Leseecke

Mathematischer Vorkurs
zum Studium der Physik

Klaus Hefft
Spektrum Akademischer Verlag, 2006, 364 Seiten, 1. Auflage , 24,50 €

ISBN: 3-8274-1638-8

Beurteilung

In diesem Vorbereitungskurs werden die Hilfsmittel angeboten, die bereits in den ersten Physik-Vorlesungen gebraucht werden. Was im Schulunterricht nur gelegentlich und verstreut oder unvollständig vorkommt, wird nun im knappen und praxisnahen Überblick als handliches Werkzeug bereitgestellt.
Mit 144 Abbildungen und 532 Übungen - einschließlich der Lösungen am Ende des Buches - bietet dieser bequeme und handliche Vorkurs eine effiziente Vorbereitung auf das Physikstudium.

Inhalt

1. MESSEN: Messwert und Maßeinheit
   (Empirische Methode, Physikalische Größen, Maßeinheiten, Größenordnungen)
2. ZEICHEN UND ZAHLEN und ihre Verknüpfungen
   (Zeichen, Zahlen)
3. FOLGEN UND REIHEN und ihre Grenzwerte
   (Folgen, Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz, Reihen)
4. FUNKTIONEN
   (Funktion als Input-Output-Relation oder Abbildung, Funktionen-Grundausstattung, Mittelbare Funktionen, Spiegelsymmetrie, Beschränktheit, Monotonie, Eineindeutigkeit, Umkehrfunktionen, Grenzwerte, Stetigkeit)
5. DIFFERENTIATION
   (Differenzenquotient, Differentialquotient, Differenzierbarkeit, Höhere Ableitungen, Das Handwerk des Differenzierens, Numerische Differentiation, Ausblick auf Differentialgleichungen)
6. TAYLOR-ENTWICKLUNG
   (Potenzreihen, Vorbild geometrische Reihe, Form und Eindeutigkeit, Beispiele aus der Funktionen-Grundausstattung, Konvergenzradius, Genaue Regeln für das ungenaue Rechnen, Güte der Konvergenz: Restglied, Taylor-Entwicklung um beliebigen Punkt)
7. INTEGRATION
   (Arbeit, Fläche unter einer Funktion über einem Intervall, Eigenschaften des Riemann-Integrals, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Die Kunst des Integrierens, Uneigentliche Integrale)
8. KOMPLEXE ZAHLEN
   (Imaginäre Einheit und Darstellungen, Rechenregeln der komplexen Zahlen, Funktionen einer komplexen Variablen)
9. VEKTOREN
   (Dreidimensionaler euklidischer Raum, Vektoren als Verschiebungen, Addition von Vektoren, Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren, Skalarprodukt und Kronecker-Symbol, Vektorprodukt und Levi-Civita-Symbol, Mehrfachprodukte, Transformationsverhalten der Produkte)

Mathematischer Einführungskurs für die Physik

Großmann
Teubner, 2012, 407 Seiten, 10. Aufl., 29,90 €

ISBN: 3-835-10254-0

Beurteilung

Das Buch soll vor allem Studienanfänger im ersten Studienjahr ansprechen und möglichst weit führen. Es soll den Studenten der Physik helfen, die mathematischen Kenntnisse, die für dieses Fach benötigt werden, zu erlernen und zu vertiefen. Die Darstellung ist ausführlich und die Motivation wird in physikalischen Fragestellungen gesucht. Die Auswahl der behandelten Themen ist an den Bedürfnissen der Physik orientiert. Es enthält zahlreiche Beispiele und Übungen zum Selbsttest mit Lösungen am Ende des Buches.

Inhalt

1. Vektoren
   (Definition von Vektoren; Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen; Das Innere Produkt von Vektoren; Koordinatentransformationen; Matrizen; Determinanten; Eigenwerte, Eigenvektoren; Das Äußere Produkt von Vektoren; Mehrfache Vektorprodukte; Komplexe Zahlen)
2. Vektorfunktionen
   (Vektorwertige Funktionen; Ableitung vektorwertiger Funktionen; Raumkurven)
3. Felder
   (Physikalische Felder; Partielle Ableitungen; Gradient; Divergenz; Rotation; Der Vektor-Differentialoperator ∇ Nabla)
4. Integration
   (Physikalische Motivation; Das Integral über Funktionen; Methoden zur Berechnung von Integralen; Uneigentliche Integrale; Parameterintegrale; Die δ-Funktion)
5. Vektorintegration
   ((Gewöhnliches) Integral über Vektoren; Kurvenintegrale; Flächenintegrale; Volumenintegrale)
6. Integralsätze
   (Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen; Der Gaußsche Satz; Partielle Integration mittels Gaußschem Satz; Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz; Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurvenintegralen; Der Stokessche Satz; Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz; Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen)
7. Krummlinige Koordinaten
   (Lokale Koordinatensysteme; Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten)
8. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   (Physikalische Motivation; Lösen von Differentialgleichungen; Trennung der Variablen; Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung; Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung; Geometrische Methoden; Chaos; Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen); Übungen zum Selbsttest: Differentialgleichungen)
9. Randwertprobleme
   (Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz; Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten; Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder; Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen Wirbeln; Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis; Vektordifferentialgleichungen)

• Anhang
  (Lösungen der Übungen zum Selbsttest; Kleine Literaturauswahl)
• Sachverzeichnis

Höhere Mathematik
1 - Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung (mit CD)
2 - Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Fourier-Analysis, Variationsrechnung

Meyberg, Vachenauer
Springer, 548 Seiten, 2003, 6. Aufl., 29,95 €
Springer, 476 Seiten, 2005, 4. Aufl., 19,45 €

ISBN:3-540-41850-4
ISBN:3-540-41851-2

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Band 1

Inhalt

1. Zahlen und Vektoren
   (Mengen und Abbildungen, Die reellen Zahlen, Die Ebene, Vektoren, Produkte, Geraden und Ebenen, Gebundene Vektoren, Die komplexen Zahlen)
2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit
   (Funktionen, Polynome und rationale Funktionen, Die Kreisfunktionen, Zahlenfolgen und Grenzwerte, Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien, Funktionengrenzwerte, Stetigkeit)
3. Differentiation
   (Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion, Anwendung der Differentiation, Umkehrfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen)
4. Integration
   (Das bestimmte Integral, Integrationsregeln, Die Integration der rationalen Funktionen, Kurven, Längen- und Flächenmessung, Weitere Anwendungen des Integrals, Numerische Integration)
5. Potenzreihen
   (Unendliche Reihen, Reihen von Funktionen, Potenzreihen, Der Satz von Taylor, Taylorreihen, Anwendungen)
6. Lineare Algebra
   (Lineare Gleichungssysteme und Matrizen, Die Matrizenmultiplikation, Vektorräume, Elementarmatrizen und elementare Umformungen, Determinanten, Lineare Abbildungen und Eigenwerte, Symmetrische Matrizen und quadratische Formen)
7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation
   (Kurven in euklidischen Räumen, Reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher, Anwendungen der Differentiation, Vektorwertige Funktionen)
8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration
   (Parameterintegrale, Kurvenintegrale, Die Integration über ebene Bereiche, Die Integration über Flächen im Raum, Die Integration über dreidimensionale Bereiche)

• Literaturverzeichnis
• Anhang: Pascal-Programme
• Namen- und Sachverzeichnis

Beurteilung

Das Buch ist in erster Linie als Begleittext zur Grundvorlesung Mathematik für die Ingenieur- oder physikalisch/technische Wissenschaft konzipiert.
Es ist ziemlich knapp gehalten und beinhaltet viel Stoff mit einigen Aufgaben, zu denen jedoch leider keine Lösungen zur Verfügung stehen.
Es eignet sich für Studenten mit Mathematik als Nebenfach und auch für Interessierte zum Selbststudium, die gut mit dem Schulstoff vertraut sind.

Band 2

Inhalt

1. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   (Einfache und spezielle Differentialgleichungen 1.Ordnung, Spezielle Differentialgleichungen 2.Ordnung, Existenzsätze, Numerische Lösungen des Anfangswertproblems 1.Ordnung, Die Laplacetransformation, Lösung mittels Potenzreihenansatz, Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen höherer Ordnung, Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten, Stabilität und periodische Lösungen, Rand- und Eigenwertprobleme)
2. Funktionentheorie
   (Produktmengen in der komplexen Ebene, Einige elementare Funktionen, Gebrochen-lineare Funktionen, Potenzreihen, Differentiation und analytische Funktionen, Integration, Anwendung der Cauchyschen Integralformel, Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem, Laurentreihen und Singularitäten, Residuentheorie)
3. Fourier-Analysis
   (Trigonometrische Polynome und Reihen, Fourierreihen, Konvergenz der Fourierreihe, Anwendungen, Diskrete Fourier-Analysis, Die Fourier-Transformation)
4. Partielle Differentialgleichungen
   (Einführung, Partielle Differentialgleichungen 1.Ordnung, Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen 2.Ordnung, Trennen der Variablen, Lösungen mit Laplace- und Fourier-Transformation, Lösungen mit Green-Funktion)
5. Variationsrechnung
   (Funktionale und die Gâteaux-Variation, Die Euler-Differentialgleichung, Natürliche Randbedingungen, Transversalitätsbedingung, Variationsaufgaben mit allgemeinen Funktionalen, Variation mit Nebenbedingungen, Variation mit Funktionen in mehreren Variablen, Das Wechselspiel Variationsaufgaben-Differentialgleichungen, Direkte Methoden)

• Literaturverzeichnis
• Namen- und Sachverzeichnis

Beurteilung

Grundlegend gelten die gleichen Aussagen wie für der ersten Band.
Allerdings sollte der Leser den Stoff aus Band 1 beherrschen.

Codierungstheorie
Konstruktion und Anwendung Linearer Codes

A. Betten, H. Fripertinger, A. Kerber, A. Wassermann, K.-H. Zimmermann
Springer Verlag Berlin, 1998, 360 Seiten, 49,99 €

ISBN 3-540-64502-0

Bei vorliegendem Buch handelt es sich um eine elementare Einführung in die Theorie der linearen Codes. Da in ihm die algebraischen Grundlagen ausführlich erklärt werden, sollte es sich trotz der algebraischen Begründung sehr gut zum Studium auch für Nichtmathematiker mit mathematischen Grundkenntnissen eignen wie zum Beispiel Informatiker und Physiker.

Das Buch ist in drei Kapitel eingeteilt. Das erste enthält eine allgemeine Einführung der linearen Codes als Unterräume von Vektorräumen über endlichen Körpern. Es werden die Parameter eines Codes Blocklänge, Dimension und Minimaldistanz sowie die daraus abgeleiteten Begriffe Informationsrate und Fehlerkorrekturrate eingeführt und deren Relationen untersucht. Insbesondere werden die klassischen Schrankensätze von Singleton, Hamming, Plotkin, Gilbert-Varshamov etc. bewiesen. Anschliessend werden wichtige Klassen von Codes wie Hamming-Codes, Reed-Muller-Codes, MDS- und MLD-Codes vorgestellt und untersucht. Des weiteren werden wichtige Konstruktionsprinzipien diskutiert wie Punktieren, Verkürzen, Verlängern, Einschränken, Aufblasen, Summen und Tensorprodukt bilden etc.

Das zweite Kapitel ist speziell den zyklischen Codes gewidmet. Das sind lineare Codes, die zusätzlich unter zyklischer Verschiebung der Koordinaten invariant sind. Diese können auch als Ideale eines Restklassenrings aufgefasst werden und sind daher nicht nur den Methoden der linearen Algebra sondern auch der Ringtheorie zugänglich. Nach einer allgemeinen systematischen Einführung wird insbesondere auf BCH-, Reed-Solomon- und Quadratische-Reste-Codes eingegangen. Nach einem Einschub über Codierung und Decodierung zyklischer Codes werden von zyklischen Codes abgeleitete Codes wie verallgemeinerte Reed-Solomon-Codes (Generalisierung), Alternant- und klassische Goppa-Codes (Einschränkung) und verallgemeinerte Justesen-Codes (Konkatenation) besprochen. Im letzten Teil werden zyklische Codes als Unterräume einer Gruppenalgebra dargestellt und speziell Reed-Muller-Codes nochmals in diesem Kontext behandelt.

Im dritten Kapitel über Anzahlen und Repräsentanten von Isometrieklassen verlassen die Autoren den Standardstoff und widmen sich der Klassifikation linearer Codes bis auf Isometrie. Es werden zuerst die Klassifikationsprinzipien und Methoden ausführlich beschrieben wie zum Beispiel die Zerlegung in unzerlegbare lineare Codes. Exemplarisch wird die Klassifikation bis auf Isometrie für kleine Parameter unter Verwendung der Computeralgebrapakete SYMMETRICA und DISCRETA durchgeführt und in Tabellen vorgestellt. Ein weiteres Hauptthema in diesem Kapitel ist die Repräsentantenauswahl in einer Isometrieklasse und dessen Berechnung. In den abschliessenden Abschnitten wird ergänzend die Gitterbasisrelation erklärt und auf das Problem der Berechnung der Minimaldistanz angewandt sowie die zufällige Erzeugung linearer Codes mit dem Dixon-Wilf-Algorithmus vorgestellt und auf Blockcodes verallgemeinert.

Das Buch insgesamt ist sehr sorgfältig und leserfreundlich abgefasst. Neben dem ausführlich präsentierte Stoff mit vielen Beispielen und tabellarischen Übersichten enthält es zu jedem Abschnitt eine Reihe hilfreicher Übungsaufgaben. Es ist damit als einführende Lektüre - im dritten Kapitel auch als Ergänzung zu anderen Standardwerken über lineare Codes - sehr zu empfehlen.

Rezension: B. Heinrich Matzat (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 26 - März 2000

Höhere Mathematik
für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

Norbert Herrmann
Oldenbourg, 531 Seiten, 2007, 2. Aufl. , 39,95 €

ISBN: 3-486-58447-2

Beurteilung

Das Lehrbuch deckt die wichtigsten Themen ab, mit denen sich Ingenieure und Physiker nach den Einführungsvorlesungen aus der Analysis und der linearen Algebra beschäftigen. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt auf den für Ingenieure und Physiker wichtigen numerischen Verfahren, die auch für an Anwendungen interessierte Mathematiker von elementarer Bedeutung sind.
Der Autor veranschaulicht anhand einer Vielzahl von Beispielen und in einer leicht verständlichen Sprache die Inhalte. Ausgehend von den Grundlagen nähert er sich schrittweise komplexen Themen an und skizziert Beweise, sofern sie für das Verständnis hilfreich sind. Das Buch ist auch zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

Inhalt

1. Numerik linearer Gleichungssysteme
   (Einleitung; Zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme; Spezielle Matrizen; Vektor- und Matrix-Norm; Fehleranalyse; L-R-Zerlegung; Q-R-Zerlegung; Überbestimmte lineare Gleichungssysteme; Gleichungssysteme mit symmetrischer Matrix; Iterative Verfahren)
2. Numerik für Eigenwertaufgaben
   (Einleitung und Motivation; Grundlegende Tatsachen; Abschätzungen nach Gerschgorin; Das vollständige Eigenwertproblem; Das partielle Eigenwertproblem)
3. Lineare Optimierung
   (Einführung; Die Standardform; Graphische Lösung im 2D-Fall; Lösbarkeit des linearen Optimierungsproblems; Der Simplex-Algorithmus)
4. Interpolation
   (Polynominterpolation; Interpolation durch Spline-Funktionen)
5. Numerische Quadratur
   (Allgemeine Vorbetrachtung; Interpolatorische Quadraturformeln; Quadratur nach Romberg; Gauß-Quadratur; Vergleichendes Beispiel; Stützstellen und Gewichte nach Gauß)
6. Nichtlineare Gleichungen
   (Motivation; Fixpunktverfahren; Newton-Verfahren; Sekanten-Verfahren; Verfahren von Bairstow; Systeme von nichtlinearen Gleichungen)
7. Laplace-Transformation
   (Einführung; Existenz der Laplace-Transformierten; Rechenregeln; Die inverse Laplace-Transformation; Zusammenfassung; Anwendungen auf Differentialgleichungen; Einige Laplace-Transformierte)
8. Fourierreihen
   (Erklärung der Fourierreihe; Berechnung der Fourierkoeffizienten; Reelle F-Reihe ⇔ komplexe F-Reihe; Einige Sätze über Fourier-Reihen; Sprungstellenverfahren; Zum Gibbsschen Phänomen; Schnelle Fourieranalyse (FFT))
9. Distributionen
   (Einleitung und Motivation; Testfunktionen; Reguläre Distributionen; Singuläre Distributionen; Limes bei Distributionen; Rechenregeln; Ableitung von Distributionen; Faltung von Distributionen; Anwendung auf Differentialgleichungen)
10. Numerik von Anfangswertaufgaben
    (Einführung; Wie ein Auto bei Glätte rutscht; Aufgabenstellung; Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung; Numerische Einschritt-Verfahren; Konsistenz, Stabilität und Konvergenz bei Einschrittverfahren; Lineare Mehrschritt-Verfahren; Konsistenz, Stabilität und Konvergenz bei Mehrschrittverfahren; Prädikator-Korrektor-Verfahren)
11. Numerik von Randwertaufgaben
    (Aufgabenstellung; Zur Existenz und Einzigkeit einer Lösung; Kollokationsverfahren; Finite Differenzmethode FDM; Verfahren von Galerkin; Methode der finiten Elemente; Exkurs zur Variationsrechnung; Verfahren von Ritz)
12. Partielle Differentialgleichungen
    (Einige Grundtatsachen; Die Poissongleichung und die Potentialgleichung; Die Wärmeleitungsgleichung; Die Wellengleichung)

• Literaturverzeichnis
• Index