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Mathematik Arbeitsbuch
Aufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung auf Klausuren an Hochschulen und Gymnasien

Anette Schelten, Bernd-Michael Kirstein, Martin Schleusener
Studeo Verlag, 192 Seiten, 2. Aufl. , 11,95 €

ISBN:3-936875-23-5

Beurteilung

Laut eigener Aussage ist das Hauptziel des Arbeitsbuches der Klausurerfolg.
Es soll Prüfungskandidaten im Fachbereich Mathematik in die Lage versetzen:

• Aufgaben und vor allem -varianten besser und schneller zu verstehen,
• Begriffe, Symbole, Formeln und Fragen richtig einzuordnen,
• Den richtigen Lösungsansatz zu finden,
• Formeln und Rechenregeln sicher anzuwenden,
• Graphiken zu skizzieren,
• Ergebnisse richtig zu interpretieren und weiterzuverarbeiten und
• Inhaltliche Fragen richtig zu beantworten.

Es soll sich im Ansatz von anderen Arbeitsbüchern dadurch unterscheiden, dass durch Analyse und Systematisierung von Klausuraufgaben der Lernstoff konsequent von der Klausur her dargestellt wird.
Den Kern des Buches bilden ausführliche Lösungsansätze für typische Aufgabenstellungen.
Jedes Kapitel beginnt mit den Unterkapiteln "Symbolleiste, Glossar und Formelsammlung", welches den relevanten Stoff zusammenfasst, "Aufgabensystematik", welches die Aufgabentypen und -stellungen gliedert und "Rechencheckliste". Danach gibt es Musteraufgaben mit zugehörigen Lösungen.
Leider vermittelt das Buch den Eindruck, die Studenten bzw. Schüler dazu bringen zu wollen zu typischen Klausuraufgaben Lösungstechniken auswendig zu lernen, statt die Inhalte zu vermitteln und zum Verständnis des Stoffes beizutragen, was aus eigener Erfahrung eine sicherere Prüfungsvorbereitung darstellt.
Es wird sehr viel Augenmerk auf Systematisierung, das Anlegen von Checklisten und dergleichen gelegt und der eigentliche Stoff wird dabei ein wenig aus den Augen verloren.
Alle, die nicht nur eine ungeliebte Prüfung bestehen, sondern den im Normalfall auch später benötigten Inhalt verstehen wollen, wird dieses Arbeitsbuch eher nicht weiterhelfen.

Inhalt

• Einleitung - Wie Sie mit diesem Arbeitsbuch arbeiten sollten
• Glossar grundlegender mathematischer Begriffe
• Das griechische Alphabet
• Rechentest zu Termumformungen

1. Funktionen mit einer Variablen
2. Folgen und Reihen
3. Integralrechnung
4. Funktionen mit mehreren Variablen
5. Vektor- und Matrizenrechnung

• Anhang
• Zusatzaufgabensammlung
• Rechentest Lösungen
• Informationen zum Rechentrainer
• Checklisten und Tipps für die Mathematik-Klausur
• Die Studeo-Methode
• Masterplan für die Klausurvorbereitung
• Informationen zum Taschenrechnertrainer

Prüfungstrainer Mathematik
Klausur- und Übungsaufgaben mit vollständigen Musterlösungen

Turtur, C.W.
Teubner Verlag, 542 Seiten, 4. Auflage , 29,90 €

ISBN: 3-8351-0023-8

Beurteilung

Das Buch soll den Studierenden zu genau den Fähigkeiten und Rechentechniken verhelfen, die sie brauchen, um gute Klausuren im Fach Mathematik schreiben zu können. Es ist nicht als Lehrbuch, sondern als Übungsbuch gedacht.
Die Aufgaben sind mit Schwierigkeitsgraden und Angaben über den Zeitrahmen, welcher für die jeweilige Aufgabe vorgesehen ist, versehen. Direkt im Anschluss an die Aufgaben befindet sich jeweils eine Musterlösung mit "Arbeitshinweisen" und "Stolperfallen", welche die Lösung noch hilfreich erläutern sollen.

Inhalt

1. Mengenlehre
2. Elementarmathematik
3. Aussagenlogik
4. Geometrie und Vektorrechnung
5. Lineare Algebra
6. Differentialrechnung
7. Integralrechnung
8. Komplexe Zahlen
9. Funktionen mehrerer Variabler und Vektoranalysis
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
11. Folgen und Reihen
12. Gewöhnliche Differentialgleichungen
13. Funktionaltransformationen
14. Musterklausuren
15. Anhang: Tabellen

• Sachwortverzeichnis

Prüfungstrainer Analysis
1000 Fragen und Antworten für Bachelor und Vordiplom

Rolf Busam, Thomas Epp
Spektrum Akademischer Verlag, 374 Seiten, 2007 , 24,95 €

ISBN: 3-827-41895-X

Der Prüfungstrainer Analysis wendet sich an alle Studierenden der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach und soll ein Hilfsmittel zur Klausur- und Prüfungsvorbereitung darstellen, indem er die Studenten darauf vorbereitet, exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.
Das Buch ist in einem Frage - Antwort - Stil verfasst und behandelt die zentralen Begriffe und Beweise aus der Analysis. (Zu den genaueren Inhalten siehe die Inhaltsbeschreibung unten.)
Das Hauptaugenmerk wird auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Begriffe und Konzepte gelegt. Der Prüfungstrainer stellt damit keine Aufgabensammlung dar. Fragen der Form: "Zeigen Sie, dass folgende Reihe reeller Zahlen konvergiert!" oder "Berechnen Sie den Grenzwert folgender Folge!" wird man hier vergeblich suchen. Stattdessen werden die wichtigen Definitionen und Beweise in präziser, nicht zu ausufernden Weise dargestellt und die Bearbeitung und Beantwortung der gegebenen 1000 Fragen dient dazu, den Stoff, welcher in der Vorlesung gegeben wurde, in zusammengefasster Weise zu wiederholen.
Das Buch ist somit nicht wirklich zum Selbststudium oder als Lehrbuch geeignet, denn es setzt die Bekanntheit der vorliegenden Themen voraus, hilft nur diese nochmals zu festigen.
Daneben eignet sich der Prüfungstrainer Analysis allerdings auch hervorragend als Nachschlagewerk für höhere Semester.
Durch seine thematische Vollständigkeit und die ausführlichen Lösungen dient das Buch als ideale Prüfungsvorbereitung für Bachelor- oder Vordiploms-Kandidaten. Studenten, die die 1000 Fragen dieses Prüfungstrainers beantworten können, sollten sich keine Sorgen vor irgendeiner Prüfung in der Analysis machen.

Inhalt

1. Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen
   (Axiomatische Einführung der reellen Zahlen; Natürliche Zahlen und vollständige Induktion; Die ganzen und rationalen Zahlen; Der Körper der komplexen Zahlen; Die Standardvektorräume Rⁿ und Cⁿ; Einige wichtige Ungleichungen)
2. Folgen reeller und komplexer Zahlen
   (Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen; Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen; Prinzipien der Konvergenztheorie)
3. (Unendliche) Reihen
   (Definitionen und erste Beispiele; Konvergenzkriterien für reelle Reihen; Reihen mit beliebigen Gliedern, absolute Konvergenz; Umordnung von Reihen, Reihenprodukte; Elementares über Potenzreihen; Der große Umordnungssatz)
4. Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen
   (Grundbegriffe, Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen)
5. Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
   (Punktweise und gleichmäßige Kovergenz; Potenzreihen)
6. Elementare (transzendente) Funktionen
   (Die komplexe Exponentialfunktion; Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen; Natürlicher Logarithmus und allgemeine Potenzen; Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen)
7. Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung
   (Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen; Grundlagen der Differenzialrechnung; Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung; Integrationstechniken)
8. Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung
   (Taylor'sche Formel und Taylorreihen; Fixpunktiteration und Newton-Verfahren; Interpolation und einfache Quadraturformeln; Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion; Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel; Fourierreihen (Einführung in die Theorie); Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie)
9. Metrische Räume und ihre Topologie
   (Grundbegriffe; Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit; Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte; Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen; Wege, Zusammenhangsbegriffe; Der Satz von Stone-Weierstraß)
10. Differenzialrechnung in mehreren Variablen
    (Partielle Ableitungen; Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz; (Totale) Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen; Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel; Der lokale Umkehrsatz; Der Satz über implizite Funktionen; Untermannigfaltigkeiten im Rⁿ; Extrema unter Nebenbedingungen, Langrange'sche Multiplikatoren)
11. Integralrechnung in mehreren Variablen
    (Parameterabhängige und n-fache Integrale; Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger; Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen; Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen; Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen; Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue; Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften; Der Banachraum L¹ und der Hilbertraum L²; Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte; Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen; Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rⁿ)
12. Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze
    (Vektorfelder, Kurvenintegrale, Pfaff'sche Formen; Die Integralsätze von Gauß und Stokes)

• Literatur
• Symbolverzeichnis
• Namen- und Sachverzeichnis

Höhere Mathematik
für Naturwissenschaftler und Ingenieure

Bärwolff
Spektrum Akademischer Verlag, 882 Seiten, 1. Aufl. , 55 €

ISBN: 3-8274-1436-9

Beurteilung

Dieses Lehrbuch wendet sich an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften und stellt die gesamte Höhere Mathematik, wie sie üblicherweise im Grundstudium behandelt wird, in einem Band zusammen.
Ausgangspunkt ist dabei stets die Frage, womit der Ingenieur und der Naturwissenschaftler in seiner Arbeit konfrontiert wird, wie z.B. die Modellierung und Optimierung technischer Prozesse oder die Beschreibung physikalischer Gesetzmäßigkeiten.
Das Werk erschließt systematisch die zugrunde liegenden mathematischen Themen, ausgehend von der Schulmathematik über die Lineare Algebra bis hin zu partiellen Differentialgleichungen. Dem Autor gelingt eine in sich geschlossene und didaktisch eingängige Darstellung der höheren Mathematik, wobei Beweise nur angegeben werden, wenn sie für das Verständnis hilfreich sind. Alle neu eingeführten Begriffe werden durch Abbildungen oder Beispiele veranschaulicht.
Eine Vielzahl von Übungsaufgaben erleichtern die Vertiefung des Lernstoffs.

Inhalt

1. Grundlagen
   (Logische Grundlagen; Grundlagen der Mengenlehre; Abbildungen, Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion; Ganze, rationale und reelle Zahlen; Ungleichungen und Beträge; Komplexe Zahlen; Aufgaben)
2. Analysis von Funktionen einer Veränderlichen
   (Begriff der Funktion; Eigenschaften von Funktionen; Elementare Funktionen; Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen; Eigenschaften stetiger Funktionen; Differenzierbarkeit von Funktionen; Lineare Approximation und Differential; Eigenschaften differenzierbarer Funktionen; Taylorsche Formel und der Satz von Taylor; Extremalprobleme; Banachscher Fixpunktsatz und Newton-Verfahren; Kurven im R²; Integralrechnung; Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern; Parameterintegrale; Uneigentliche Integrale; Numerische Integration; Interpolation; Aufgaben)
3. Reihen
   (Zahlenreihen; Funktionenfolgen; Gleichmäßig konvergente Reihen; Potenzreihen; Operationen mit Potenzreihen; Komplexe Potenzreihen, Reihen von exp x, sin x und cos x; Numerische Integralberechnung mit Potenzreihen; Konstruktion von Reihen; Fourier-Reihen; Aufgaben)
4. Lineare Algebra
   (Determinanten; Cramersche Regel; Matrizen; Lineare Gleichungssysteme und deren Lösung; Allgemeine Vektorräume; Orthogonalisierungsverfahren nach Erhard Schmidt; Eigenwertprobleme; Vektorrechnung im R³; Aufgaben)
5. Analysis im Rⁿ
   (Eigenschaften von Punktmengen aus dem Rⁿ; Abbildungen und Funktionen mehrerer Veränderlicher; Kurven im Rⁿ; Stetigkeit von Abbildungen; Partielle Ableitung einer Funktion; Ableitungsmatrix und Hesse-Matrix; Differenzierbarkeit von Abbildungen; Differentiationsregeln und die Richtungsableitung; Lineare Approximation; Totales Differential; Taylor-Formel und Mittelwertsatz; Satz über implizite Funktionen; Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen; Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen; Ausgleichsrechnung; Newton-Verfahren für Gleichungssysteme; Aufgaben)
6. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   (Einführung; Allgemeine Begriffe; Allgemeines zu Differentialgleichungen erster Ordnung; Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen; Spezielle, durch Transformationen lösbare Differentialgleichungen; Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung; Anmerkungen zum "Rechnen" mit Differentialgleichungen; Numerische Lösungsmethoden; Potenzreihen zur Lösung von Differentialgleichungen; Besselsche und Legendresche Differentialgleichungen; Nichtlineare Differentialgleichungen; Aufgaben)
7. Vektoranalysis und Kurvenintegrale
   (Die grundlegenden Operatoren der Vektoranalysis; Rechenregeln und Eigenschaften der Operatoren der Vektoranalysis; Potential und Potentialfeld; Skalare Kurvenintegrale; Vektorielles Kurvenintegral - Arbeitsintegral; Stammfunktion eines Gradientenfeldes; Berechnungsmethoden für Stammfunktionen; Vektorpotentiale; Aufgaben)
8. Flächenintegrale, Volumenintegrale und Integralsätze
   (Flächeninhalt ebener Bereiche; Riemannsches Flächenintegral; Flächenintegralberechnung durch Umwandlung in Doppelintegrale; Satz von Green; Transformationsformel für Flächenintegrale; Integration über Oberflächen; Satz von Stokes; Volumen räumlicher Bereiche; Normalbereiche und die konkrete Volumenintegralberechnung; Transformationsformel für Volumenintegrale; Satz von Gauß; Aufgaben)
9. Partielle Differentialgleichungen
   (Was ist eine partielle Differentialgleichung?; Beispiele von partiellen Differentialgleichungen; Separation der Variablen; Untersuchung der Wellengleichung; Korrektheit von Problemstellungen; Aufgaben)
10. Funktionentheorie
    (Komplexe Funktionen; Differentiation komplexer Funktionen; Elementare komplexe Funktionen und Potenzreihen; Konforme Abbildungen; Integration komplexer Funktionen; Reihenentwicklungen komplexer Funktionen; Behandlung von Singularitäten und der Residuensatz; Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes; Harmonische Funktionen; Aufgaben)
11. Integraltransformationen
    (Definition von Integraltransformationen; Fourier-Transformation; Umkehrung der Fourier-Transformation; Eigenschaften der Fourier-Transformation; Anwendung der Fourier-Transformation auf partielle Differentialgleichungen; Laplace-Transformation; Inverse Laplace-Transformation; Rechenregeln der Laplace-Transformation; Praktische Arbeit mit der Laplace-Transformation und der Rücktransformation; Aufgaben)
12. Variationsrechnung und Optimierung
    (Einige mathematische Grundlagen; Funktionale auf Banach-Räumen; Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten; Klassische Variationsrechnung; Einige Variationsaufgaben; Natürliche Randbedingungen und Transversalität; Isoperimetrische Variationsprobleme; Funktionale mit mehreren Veränderlichen; Aufgaben)
13. Wahrscheinlichkeitsrechnung
    (Zufällige Ereignisse; Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse; Zufallsgrößen; Zufällige Vektoren; Aufgaben)
14. Statistik
    (Stichproben; Punktschätzung; Intervallschätzung; Statistische Tests; Korrelations- und Regressionsanalyse; Aufgaben)

1. Formelkompendium
2. Literaturhinweise

• Index

Kompaktkurs Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
mit 329 Aufgaben und Lösungen

Duma
Springer Verlag, 624 Seiten , 29,95 €

ISBN: 3-540-43598-0

Beurteilung

Das Buch soll in erster Linie Studenten der Ingenieurswissenschaften und Physik, aber auch Informatik- und Mathematikstudenten (vor allem fürs Lehramt) helfen, das Grundstudium zu überstehen.
Es ist jedoch nicht dazu geeignet, den Besuch von Vorlesungen, aktive Mitarbeit an Übungsgruppen und das Studium anderer Lehrbücher zu ersetzen oder überflüssig zu machen.
Jedes der drei Kapitel enthält etwa den Stoff eines Semesters.
Es ist zu empfehlen, zu jedem Thema zunächst die theoretischen Betrachtungen zu lesen. Erst dann ist es sinnvoll, zu versuchen, die Übungen in Angriff zu nehmen. Zu Prüfungsvorbereitungen gibt es jeweils drei angebotene Tests im Umfang von ein bis drei Stunden.

Inhalt

Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra

Begriffe und Ergebnisse

1. Mathematische Logik
2. Binomischer Satz
3. Ungleichungen, Betrag
4. p-adische Darstellung der Zahlen
5. Komplexe Zahlen
6. Mengen
7. Funktionen
8. Polynome, Horner-Schema
9. Vektorräume
10. Geometrie in der Ebene und im Raum
11. Lineare Gleichungssysteme, Abbildungen und Matrizen
12. Folgen und Reihen reeller und komplexer Zahlen
13. Grenzwerte von Funktionen
14. Stetige Funktionen
15. Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
16. Elementare Funktionen

1. 1. Aufgaben für das erste Kapitel
   2. Erster Test für das erste Kapitel
   3. Zweiter Test für das erste Kapitel
   4. Dritter Test für das erste Kapitel
2. Differenziation, Integration und Matrizenkalkül
   1. Begriffe und Ergebnisse
      1. Differenzierbare Funktionen
      2. Die Regeln von de l'Hospital
      3. Iterationsverfahren
      4. Kurvendiskussion
      5. Interpolationspolynome und Spline-Interpolation
      6. Integralrechnung
      7. Uneigentliche Integrale
      8. Quadraturformeln
      9. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
      10. Lineare Abbildungen, Eigenwerte und Hauptachsentransformation von Matrizen
      11. Kurven und Flächen zweiter Ordnung
      12. Funktionen mehrerer Veränderlicher
      13. Parameterintegrale
   2. Aufgaben für das zweite Kapitel
   3. Erster Test für das zweite Kapitel
   4. Zweiter Test für das zweite Kapitel
   5. Dritter Test für das zweite Kapitel
3. Ausgewählte Themen aus der Analysis
   1. Begriffe und Ergebnisse
      1. Kurven in der Ebene und im Raum
      2. Flächen im dreidimensionalen Raum
      3. Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen und Funktionenreihen
      4. Periodische Funktionen und Fourierreihen
      5. Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlicher
      6. Kurvenintegrale, Potenzialfelder, Greenscher Satz
      7. Oberflächenintegrale, Divergenzsatz von Gauß, Satz von Stokes
      8. Einführung in die Funktionentheorie
      9. Laplace-Transformation und ihre Anwendungen
      10. Fouriertransformation und ihre Anwendungen
   2. Aufgaben für das dritte Kapitel
   3. Erster Test für das dritte Kapitel
   4. Zweiter Test für das dritte Kapitel
   5. Dritter Test für das dritte Kapitel
   • Literaturhinweise
   • Index