Leseecke

Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Natur- und Wirtschaftswissenschaftler

Kurt Marti, Detlef Gröger
Springer Verlag, 280 Seiten, 2. Aufl., 19,95 €

ISBN:3-790-80100-3

Beurteilung

Moderne Techniken bauen mehr denn je auf der Mathematik auf. So durchdringen Informationsverarbeitung, Modellierung, Systemanalyse, Stochastik, Simulations- und Optimierungsmethoden alle Bereiche der Naturwissenschaften, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. Selbst Sprachwissenschaftler, Psychologen oder Soziologen benötigen heute ein ausreichendes mathematisches Rüstzeug, um in ihrem Beruf bestehen zu können.

Andererseits haben Studienanfänger sehr häufig ungenügende mathematische Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen. Zur Schaffung solider mathematischer Grundlagen vermittelt dieses Buch durch eine behutsame Einführung und Veranschaulichung der Begriffe und Methoden eine lebendige Vorstellung des Stoffes und eine saubere Beherrschung der grundlegenden analytischen Techniken, um die verschiedenartigsten Aufgaben zu lösen.

Inhalt

Teil I Zahlen - Zahlenmengen

1. Natürliche Zahlen
   (Grundeigenschaften natürlicher Zahlen, Das Prinzip der vollständigen Induktion, Übungen)
2. Reelle Zahlen
   (Eigenschaften der reellen Zahlen, Übungen)
3. Mengen und Zahlenmengen
   (Beziehungen zwischen und Operationen mit Mengen, Beschränkte Zahlenmengen - Supremum, Infimum, Übungen)
4. Kombinatorik
   (Permutationen, Kombinationen, Binomialkoeffizienten, Übungen)

Teil II Zahlenfolgen - Konvergenz - Vollständigkeit

5. Definition von Zahlenfolgen
   (Bedeutung von Zahlenfolgen, Graphische Darstellung von Folgen, Eigenschaften von Zahlenfolgen, Teilfolgen, Übungen)
6. Konvergente Folgen
   (Eigenschaften konvergenter Folgen, Übungen)
7. Rechnen mit konvergenten Folgen
   (Übungen)
8. Divergente Folgen
   (Übungen)
9. Cauchyfolgen und Vollständigkeitsaxiom
   (Übungen)
10. Häufungspunkte von Folgen
    (Übungen)
11. Zur Vollständigkeit der reellen Zahlen
    (Übungen)

Teil III Funktionen

12. Der Funktionesbegriff
    (Darstellung von Funktionen, Eigenschaften von Funktionen, Operationen mit Funktionen, Übungen)
13. Elementare Funktionen
    (Polynome, Rationale Funktionen, Trigonometrische Funktionen, Algebraische Funktionen, Übungen)
14. Grenzwerte von Funktionen
    (Grenzwerte im "Unendlichen", Grenzwerte im "Endlichen", Übungen)
15. Stetige Funktionen
    (Übungen)
16. Stetige Funktionen auf Intervallen
    (Existenz von Maximum und Minimum, Der Zwischenwertsatz, Approximation durch Polynome, Übungen)
17. Zusammengesetzte Funktionen
    (Übungen)
18. Umkehrfunktionen
    (Berechnung der Umkehrfunktion, Graph der Umkehrfunktion, Arcusfunktionen, Logarithmusfunktionen, Übungen)

Teil IV Differentialrechnung

19. Die Ableitung
    (Übungen)
20. Erste Ableitungsregeln
    (Übungen)
21. Ableitung von zusammengesetzten Funktionen und Umkehrfunktionen
    (Übungen)
22. Ableitung der elementaren Funktionen
    (Ableitung von Polynomen und rationalen Funktionen, Ableitung der trigonometrischen Funktionen, Ableitung der Arcusfunktionen, Ableitung der Exponentialfunktionen, Ableitung der Logarithmusfunktionen, Ableitung der Potenzfunktionen, Übungen)
23. Differenzierbare Funktionen auf Intervallen
    (Übungen)
24. Taylorpolynome und Satz von Taylor
    (Höhere Ableitungen, Taylorpolynome - Satz von Taylor, Übungen)
25. Die Regel von Bernoulli - L'Hospital
    (Übungen)
26. Absolute und relative Extremstellen von Funktionen
    (Übungen)
27. Konvexe und konkave Funktionen
    (Übungen)

Teil V Integralrechnung

28. Bestimmtes Integral - unbestimmtes Integral
    (Unbestimmtes Integral, Bestimmtes Integral, Übungen)
29. Partielle Integration - Integration durch Substitution
    (Partielle Integration, Integration durch Substitution, Übungen)
30. Integration rationaler Funktionen
    (Partialbruchzerlegung, Integration durch Partialbrüche, Übungen)

Teil VI Theorie der Reihen

31. Konvergente Reihen
    (Absolute und bedingte Konvergenz, Übungen)
32. Konvergenzkriterien für Reihen
    (Übungen)
33. Taylorreihen
    (Übungen)

• Ergebnisse zu den nicht gelösten Übungsaufgaben
• Literaturverzeichnis
• Index

Mathe, Märkte und Millionen
Plaudereien über Finanzmathematik zum Mitdenken und Mitrechnen

Bernd Luderer
Springer Spektrum; Auflage: 2013 (7. Oktober 2013), 19,99 €

ISBN-10: 3658027738
ISBN-13: 978-3658027735

Der Buchtitel weckte die Erwartung in mir, mehr über die großen Geschichten aus der Welt der Finanzmärkte zu erfahren. Wer z. B. wissen will, wie manche Spekulanten ihre Millionen erwirtschaftet haben oder mit welchen Algorithmen die computergesteuerten Börsengeschäfte funktionieren, wird nach der Lektüre wie ich enttäuscht sein.

Der Untertitel trifft den Inhalt dafür aber recht genau: 40 kurze Kapitel befassen sich – jeweils auf 2 bis 5 Seiten, oft in Form von Dialogen – mit Fragen der Finanzmathematik. Mit vielen kleinen Rechnungen werden Begriffe und Zusammenhänge erklärt.

Die erste Hälfte des Buches behandelt Beispiele aus der klassischen Finanzmathematik. Zins und Zinseszins stehen hier im Mittelpunkt. Begriffe wie Nominal- und Effektivzins, Rendite, Annuität und Tilgung, Barwertvergleich und Zeitwert werden erläutert und in kleinen Rechnungen anschaulich gemacht. Dabei werden in Rechnungen mit Variablen meist allgemeine Formeln hergeleitet und dann mit konkreten Zahlen besprochen: Zinses- und Zinseszins-Formeln (lineare und geometrische Verzinsung), die Verdoppelungszeit in Abhängigkeit vom Zinssatz, die stetige Verzinsung (mit der Eulerschen Zahl e). Der Verfasser greift aber teilweise auch auf Formeln ohne Herleitung zurück (z. B. die sogenannte Barwertformel der nachschüssigen Rentenrechnung). Die grundlegenden Formeln sind in einem Anhang zusammengestellt.

Die zweite Hälfte des Buches ist der „Mathematik der Finanzmärkte“ gewidmet. Hier geht es u. a. um Zinsstrukturkurven, Spot Rates und Swap Rates, Futures und verschiedene Typen von Optionen. Wie man Optionspreise berechnet, führt der Verfasser mit Hilfe der Formel von Black und Scholes in mehreren Kapiteln vor. Der sogenannte Cost-Average-Effekt wird an Beispielen demonstriert und diskutiert: Es geht dabei um die Frage, ob es bei regelmäßigem Sparen in einem Investmentfond günstiger ist, feste Beträge oder eine feste Anzahl von Fondsanteilen zu wählen. Eine allgemeingültige Antwort ist auch hier nicht möglich, da die wechselnden Bedingungen von Zinsen und Kursen zu verschiedenen Anlagestrategien führen können. Abschließend bespricht der Autor in diesem Teil die Formel zur Berechnung der Einkommensteuer in Deutschland und wendet sie auf einige Beispiele an. In diesem Zusammenhang verdeutlicht er dann der Begriff der „kalten Progression“ modellhaft.

Das Buch macht die Mathematik durchsichtig, die hinter diesen Finanzprodukten steckt: hinter einfachen (z. B. die Autofinanzierung – bar oder in Raten) und auch hinter etwas komplexeren (z. B. Basis- und Call-Preis bei Optionen). Aber Entscheidungshilfen für eigene Geldanlagen erhält man dadurch nur schwerlich.

Auf die „Millionen“ aus dem Buchtitel kommt der Autor schließlich in rund fünf Zeilen im letzten Kapitelchen zu sprechen: „Die Märkte haben ihre eigenen Gesetze. Nur welche? Darauf kann das Buch leider keine Antwort geben.“ Diese „Millionen“ sind denn nur wohlklingende Alliteration!

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Oberstufenmathematik leicht gemacht
Band 1: Differential- und Integralrechnung
Band 2: Lineare Algebra, Analytische Geometrie

Peter Dörsam
PD-Verlag Heidenau, 270 Seiten, 4. Aufl. , 9,80 €
PD-Verlag Heidenau, 310 Seiten, 3. Aufl., 9,80 €

ISBN:3-930737-04-3
ISBN:3-930737-63-9

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Oberstufenmathematik leicht gemacht

Band 1: Differential- und Integralrechnung

Beurteilung

Es wird versucht, die Grundideen der mathematischen Zusammenhänge darzustellen. Längere Beweisführungen gibt es nur dort, wo sie für das Verständnis der Zusammenhänge wichtig sind. Neue Begriffe werden immer ausführlich erläutert und anhand von Beispielen veranschaulicht. Am Ende der meisten Kapitel gibt es Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen.

Der Band behandelt den gesamten Bereich der Differential- und Integralrechnung, der in der Oberstufe benötigt wird.
Er ist sowohl inhaltlich als auch wegen des günstigen Preises eindeutig zu empfehlen.

Inhalt

1. Einleitung
2. Folgen und Reihen
   (Grundlagen, Arithmetische Folgen, Geometrische Folgen, Grenzwerte von Folgen)
3. Funktionen
   (Begriff der Funktion, Graphen von Funktionen, Geraden, Parabeln zweiten Grades, Parabeln n-ter Ordnung, Ganzrationale Funktionen, Gebrochenrationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Umkehrfunktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus, Trigonometrische Funktionen)
4. Grenzwerte von Funktionen
   (Grenzwerte für x gegen Unendlich, Grenzwerte gegen eine reelle Zahl, Übungsaufgaben)
5. Steigung von Funktionen
   (Grundlagen, Ableitungen verschiedener Funktionen, Ableitungen von verknüpften Funktionen, Ableitungsübersicht, Ableitungsübungen, Tangente und Normale, Konkave und konvexe Funktionen, Newton-Verfahren, Bestimmung von Grenzwerten)
6. Kurvendiskussion
   (Einführung, Monotonie, Stetige und unstetige Funktionen, Symmetrie von Funktionen, Nullstellen von Funktionen, Bestimmung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten, Wendepunkte, Wertemengen von Funktionen, Kurvendiskussion für ganzrationale Funktionen, Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen, Besonderheiten bei streng monotonen Funktionen, Schema zur Kurvendiskussion, Weitere Aufgaben zur Kurvendiskussion)
7. Weitere Aufgabentypen zur Differentialrechnung
   (Bestimmung von Funktionengleichungen, Extremwerte mit Nebenbedingungen, Schnittpunkte von Funktionen)
8. Integralrechnung
   (Grundlagen, Berechnen von Integralen, Flächenberechnung, Bestimmung von einfachen Integralen, Komplexere Integrationsmethoden, Tabelle wichtiger Stammfunktionen, Integralfunktionen, Uneigentliche Integrale, Berechnung von Summen mittels Integralen, Rotationskörper, Übungsaufgaben)
9. Anhang
   (Lösungen von Gleichungen, Bruchrechnen, Grundlegende Rechenregeln, Typische Fehler, Formeln, Mathematische Zeichen, Griechisches Alphabet)

• Stichwortverzeichnis

Oberstufenmathematik leicht gemacht
Band 2: Lineare Algebra, Analytische Geometrie

Inhalt

1. Lineare Gleichungssysteme
   (Grundlagen aus der Mittelstufe, Einführungsbeispiel zum Gauß-Algorithmus, Grundlagen des Gauß-Algorithmus, Unlösbare und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme, Weitere Zusammenhänge, Umgehen von Brüchen, Gleichungssysteme mit Konstanten, Berechnung mittels Matrizen)
2. Vektorrechnung im Anschauungsraum
   (Grundlagen, Addition und S-Multiplikation, Lineare Abhängigkeit, Vektorraum 1, Vektorraum 2: formale Betrachtung, Teilungsverhältnisse, Vektoren in Koordinatenschreibweise)
3. Die Parameterform der Geraden und der Ebene
   (Grundlagen, Geradengleichung, Rechnen mit Geraden, Parametergleichung der Ebene, Rechnen mit Ebenen)
4. Koordinatenform
   (Koordinatenform der Geraden, Koordinatenform der Ebene)
5. Metrischer Raum / Normalenform
   (Skalarprodukt, Normalenform der Geraden, Normalenform der Ebene, Schnittmengen-Berechnung für die Normalenform, Schnittwinkel, Hessesche Normalenform)
6. Vektorprodukt
   (Grundlagen, Vektorprodukt und Normalenvektor, Vektorprodukt und Flächenberechnung, Zusammenfassung der Eigenschaften des Vektorprodukts, Volumenberechnung, Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden)
7. Kreis und Kugel
   (Kreis und Kugelgleichung, Schnittmengen mit Punkten, Geraden und Ebenen, Tangenten und Tangentialebene)
8. Matrizen
   (Definition einer Matrix, Elementare Rechenregeln für Matrizen, Multiplikation von Matrizen mit Matrizen)
9. Determinanten
   (Grundlagen zur Berechnung, Determinanten und lineare Abhängigkeit, Die Cramersche Regel, Determinanten und Vektorprodukt)
10. Anhang
    (Anhang aus Band 1, Quadratische Gleichungen, Schema zum Gauß-Algorithmus, Lineare Abhängigkeit, Geraden- und Ebenengleichung, Schnitt von Geraden und Ebenen, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Kreis und Kugel, Mathematische Zeichen, Griechisches Alphabet)

Beurteilung

Grundlegend gilt die gleiche Bewertung wie zu Band 1. Auch hier wird der gesamte Stoff der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie der Oberstufe abgedeckt.
Leider wird in Band 2 auf weitere Übungsaufgaben, zusätzlich zu den Beispielen, verzichtet.

Mathematik
...zum Studiumsanfang - die wichtigsten Grundlagen aus der Schulzeit verständlich erklärt
...anschaulich dargestellt - für Studierende der Wirtschaftswissenschaften
...in den Wirtschaftswissenschaften - Augabensammlung mit Lösungen

Peter Dörsam
PD-Verlag Heidenau, 64 Seiten, 4. Aufl., 2,90 €
PD-Verlag Heidenau, 368 Seiten, 12. Aufl., 12,80 €
PD-Verlag Heidenau, 176 Seiten, 8. Aufl., 7,80 €

ISBN:3-930737-54-X
ISBN:3-930737-27-2
ISBN:3-930737-18-3

Es folgen die Rezensionen von Mathematik...: ...zum Studienanfang, ...anschaulich dargestellt und ...in den Wirtschaftswissenschaften

Mathematik zum Studiumsanfang
die wichtigsten Grundlagen aus der Schulzeit verständlich erklärt

Beurteilung

Das Buch soll eine effektive Hilfe zum Studienanfang darstellen. Es spiegelt nicht den gesamten Schulstoff wider und die Ausarbeitung wurde bewusst knapp gehalten. Eine ausführlichere Darstellung des Stoffs findet sich in den Bänden "Oberstufenmathematik leicht gemacht".

Inhalt

     Funktionen
    (Begriff, Graphen, Parabeln und ganzrationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktion, Darstellung des Taschenrechners für sehr große und sehr kleine Zahlen, Rechenregeln für Exponenten, Logarithmen, Rechenregeln für Logarithmen, Anwendung von Logarithmen)
    Steigung von Funktionen / Ableitungen
    (Grundlagen, Ableitung für Potenzen, Ableitung für Sinus- und Cosinusfunktionen, Ableitung für Exponential- und Logarithmusfunktionen, Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel, Ableitungsübersicht)
    Bestimmung von Extremwerten / Hoch-, Tief- und Sattelpunkte
    (Notwendige Bedingung, Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte, Schema zur Bestimmung von Extremwerten)
    Vektorrechnung
    (Grundlagen, Lineare Abhängigkeit, Vektorräume, Dimension und Basis)
    Lösung von Gleichungen
    (Lineare Gleichungen, Quadratische Gleichungen, Homogene Gleichungen höherer Ordnung, Inhomogene Gleichungen höherer Ordnung, Gleichungen mit Quotienten, Komplexere Gleichungen, Gleichungssysteme, Ungleichungen)
    Grundlegende Rechenregeln
    (Wurzeln und Potenzen, Logarithmen, Multiplizieren von Klammern, Bruchrechnen, Ableitungsregeln)
    Typische Fehler
    Mathematische Zeichen
    Index

Mathematik anschaulich dargestellt
für Studierende der Wirtschaftswissenschaften

Inhalt

    Lineare Algebra
    (Vektorrechnung, Matrizen, Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Rang und Inverse, Formales Rechnen mit Matrizen, Konkrete Überprüfung auf lineare Abhängigkeit, Überprüfung auf Vektorraumeigenschaften, Lineare Optimierung)
    Folgen und Reihen
    (Grundlagen, Grenzwerte von Folgen)
    Funktionen
    (Begriff der Funktion, Ganzrationale Funktionen, Nullstellen von Funktionen, Echtgebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Umkehrfunktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus, Trigonometrische Funktionen, Grenzwerte von Funktionen, Stetige und unstetige Funktionen)
    Differentialrechnung einer Veränderlichen
    (Einführung, Steigung einer Funktion, Ableitungen verschiedener Funktionen, Ableitungen von verknüpften Funktionen, Ableitungsübersicht, Ableitungsübungen, Bestimmung von Extremwerten, Wendepunkte, Weitere Zusammenhänge)
    Integralrechnung
    (Grundlagen, Bestimmung von Integralen, Bestimmtes Integral, Flächenberechnung, Bestimmung von einfachen Integralen, Komplexere Integrationsmethoden, Tabelle wichtiger Stammfunktionen, Integralfunktionen, Uneigentliche Integrale, Berechnung von Summen mittels Integralen, Übungsaufgaben)
    Differential- und Differenzgleichungen
    (Differentialgleichungen, Differenzgleichungen)
    Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
    (Grundlagen, Partielle Ableitungen, Extremwerte von Funktionen mit mehreren Variablen, Lagrangetechnik, Totales Differential, Abbildungen in den "R hoch n")
    Finanzmathematik
    Anhang
    (Lösungen von Gleichungen, Bruchrechnen, Grundlegende Rechenregeln, Typische Fehler, Formeln, Mathematische Zeichen, Griechisches Alphabet)

    Stichwortverzeichnis

Beurteilung

Das Buch will die mathematischen Zusammenhänge möglichst anschaulich vermitteln und hat deshalb ausführliche Darstellungen und zahlreiche Abbildungen. Es werden zusätzlich zu den Grundlagen auch für die Wirtschaftswissenschaften wesentliche mathematische Gebiete behandelt und durch ökonomische Anwendungen ergänzt.

Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften
Augabensammlung mit Lösungen

Inhalt

    Lineare Algebra
    Grenzwerte
    Differentialrechnung einer Veränderlichen
    Integralrechnung
    Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
    Differentialgleichungen
    Finanzmathematik
    Aussagenlogik und Mengen
    Index

Beurteilung

Das Buch enthält ausgewählte Aufgaben aus Grundstudiumsklausuren der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften. Es gibt zu allen Aufgaben ausführliche Lösungen, in denen die einzelnen Lösungsschritte genau erklärt werden.

Gut vorbereitet in die erste Mathematikklausur
Fit in einer Woche

Etienne Emmrich, Carsten Trunk
Hanser Fachbuch Verlag, 2007, 240 Seiten, 14,90 €

ISBN: 3-446-41135-6

Das Buch richtet sich vornehmlich an Studierende der Ingenieurwissenschaften an Universitäten und ist als Begleiter für die konzentrierte Vorbereitung auf die Mathematikklausur des ersten Semesters konzipiert. Die Aufgaben und Lösungen sind so gewählt, dass die Vorbereitung etwa eine Woche dauern soll.
Als Einführung gibt es zwei Kapitel zum praktischen Thema der Prüfungsvorbereitung und dem psychologischen Thema der Prüfungsangst. Daraufhin folgen die mathematischen Einzelkapitel, wie sie aus dem Inhaltsverzeichnis zu entnehmen sind. Es handelt sich also in etwa um den Stoff einer Vorlesung der Analysis und einigen Kapiteln der Linearen Algebra und der Analytischen Geometrie. Somit deckt die Themenauswahl in etwa den Mathematik-Einführungskurs für Ingenieure ab.
Die einzelnen Kapitel sind so aufgebaut, dass Aufgaben gestellt werden und anhand der Lösungswege die Bearbeitung solcher Aufgaben erläutert wird. Zum Abschluss gibt es dann jeweils nochmal eine Zusammenfassung der wichtigsten Rechenregeln.
Das Buch liefert keine Einleitungen in die Themen und erklärt diese auch nicht wie ein Lehrbuch. Der Fokus liegt ausschließlich auf den Lösungsverfahren für Aufgaben. Am Ende des Buches gibt es noch drei Beispielklausuren mit Lösungen zum Selbsttest.
Das Buch ist, wie oben beschrieben, nicht geeignet, sich in die Thematik neu einzuarbeiten. Für Studenten, welche mit dem Stoff vertraut sind, sich jedoch beim Lösen von Aufgaben, wie sie in Klausuren auftreten, noch nicht sicher fühlen, stellt das Buch eine gute Hilfe und Prüfungsvorbereitung dar. Es ersetzt allerdings auf keinen Fall das Lernen, wie es wohl für jede Prüfung und Klausur notwendig ist.

Inhalt

• Prüfungsvorbereitung und Lernen
• Prüfungsangst
• Alles auf einem Blatt

1. Grenzwerte
2. Reihen und Potenzreihen
3. Komplexe Zahlen
4. Eigenschaften von Funktionen
5. Differentiation und Extremwerte
6. Taylorpolynom und Restgliedabschätzung
7. Integration, partielle Integration und Substitutionsregel
8. Partialbruchzerlegung und Integration rationaler Funktionen
9. Uneigentliche Integrale
10. Fourierreihen
11. Vollständige Induktion
12. Lineare Gleichungssysteme
13. Lineare Abbildungen, Basen und Eigenwerte
14. Analytische Geometrie

• Achtung! - Fallen und trickreiche Aufgaben
• Erste Beispielklausur
• Zweite Beispielklausur
• Dritte Beispielklausur
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Sachwortverzeichnis