Leseecke

Mathematisch denken
Mathematik ist keine Hexerei

John Mason, Leone Burton, Kaye Stacey
Oldenbourg Verlag, 212 Seiten, 4. Aufl., 24,80 €

ISBN: 3-486-57854-5

Beurteilung

Das Buch beschäftigt sich mit der prinzipiellen Arbeitsweise der Mathematik und möchte aufzeigen, wie man mit ganz beliebigen Aufgabenstellungen umgeht, sie erfolgreich bearbeitet und aus der Bearbeitung Erfahrungen für andere Problemstellungen ableitet.
Das Buch ist nicht konzipiert, um es von vorne bis hinten durchzulesen, sondern soll eine Anregung zum eigenen Arbeiten sein.
Die behandelte Thematik wird immer wieder durch begleitende Beispiele und Problemstellungen illustriert. Dabei wird empfohlen, wenn man ein Problem nicht lösen kann, eben nicht einfach weiter zu lesen, sondern weiter aus verschiedenen Perspektiven darüber nachzudenken. Auch gibt es häufig Hinweise, wie z.B. sich erst einmal Spezialfälle zu veranschaulichen (und dann zu versuchen auf allgemeine Lösungen zu schließen), sich nochmals die gegebenen Voraussetzungen anzusehen (Setzt man vielleicht stillschweigend viel mehr voraus und behindert so die eigenen Lösungsansätze?) und mit Lösungen kritisch umzugehen (Gilt die Lösung vielleicht nur in bestimmen Spezialfällen und nicht immer?).
Auch wenn man trotz allem zu keiner Lösung gelangt wird man durch die Versuche und die nachgelesenen Erklärungen des Lösungsweges viel für spätere Aufgaben lernen (zumindest, wenn man sich wirklich ernsthaft mit dem Problem beschäftigt hat). Ziel des Buches ist es ja gerade nicht Ergebnisse zu produzieren, sondern Erfahrungen zu erwerben, mathematische Konzepte auf Problemstellungen anwenden zu können.
Gerichtet ist das Buch primär an Schüler und Studenten, die mathematische Probleme angehen möchten, es ist aber auch allen anderen Interessierten herzlichst empfohlen.

Inhalt

1. Das Anpacken von Problemen
   • Betrachten Sie Spezialfälle
   • Verallgemeinerungen
   • Machen Sie sich Notizen!
   • Rückblick und Vorausschau
2. Arbeitsphasen
   • Die drei Phasen
   • Die Planungsphase
   • Die eigentliche Durchführung
   • Die Rückblick-Phase
   • Zusammenfassung
3. Überwindung von Schwierigkeiten
   • Die Ausgangslage
   • Zusammenfassung
4. Das Aufstellen von Vermutungen
   • Was versteht man unter Aufstellen von Vermutungen?
   • Vermutungen: Das Rückgrat jeder Lösung
   • Wie kommen die Vermutungen zustande?
   • Das Aufdecken von Gesetzmäßigkeiten
   • Zusammenfassung
5. Erklären und Beweisen
   • Strukturen
   • Die Suche nach Strukturen
   • Wann hat man eine Vermutung bewiesen?
   • Wie wird man sein innerer Feind?
   • Zusammenfassung
6. Haben Sie immer noch Schwierigkeiten?
   • Die Reduzierung auf eine präzise Fragestellung und der Prozess intensiven Nachdenkens
   • Spezialisieren und Verallgemeinern
   • Stillschweigende Annahmen
   • Zusammenfassung
7. Die Entwicklung eines inneren Ratgebers
   • Die Aufgaben des inneren Ratgebers
   • "Schnappschüsse" von Gefühlszuständen
   • Arbeitsbeginn
   • Wie man sich engagiert
   • Der eigentliche Denkvorgang
   • Beharrlichkeit
   • Einsichten
   • Seien Sie skeptisch
   • Nachbearbeitung
   • Zusammenfassung
8. Wie erfindet man Fragen?
   • Ein Spektrum von Aufgaben
   • Einige "fragwürdige" Umstände
   • Beobachtungen
   • Was steht dem Stellen von Fragen im Weg?
   • Zusammenfassung
9. Wie man in die mathematische Denkweise hineinwächst
   • Wie man seine mathematische Denkweise verbessern kann
   • Wie provoziert man mathematisches Denken?
   • Wie man das mathematische Denken fördern kann
   • Der Nutzen der mathematischen Denkweise
   • Zusammenfassung
10. Aufgaben

Anhang
• Literaturverzeichnis
• Aufgabenverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Mathematik für Einsteiger
Vor- und Brückenkurs zum Studienbeginn

Fritzsche
Spektrum Akademischer Verlag, 404 Seiten, 2009, 4. Aufl. , 24,99 €

ISBN: 3-8274-1784-8

Beurteilung

Im Mittelpunkt des Buches stehen der logische Aufbau und die Technik des Beweisens.
Es ist sehr angenehm geschrieben, übersichtlich und besitzt viel Inhalt. Das Niveau ist ungefähr das eines Mathematik-Leistungskurses und daher sehr geeignet für Studienanfänger und für interessierte Nicht-Mathematiker mit einem gewissen Kenntnisstand (z.B. Abitur). Das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie wird nicht behandelt.
Als Nachschlagewerk oder Hilfsbuch für Schüler ist es nicht unbedingt zu empfehlen, da es hauptsächlich in Univerrsitätssprache geschrieben ist, was jedoch nicht abschrecken sollte.

Inhalt

1. Wie wahr ist die Mathematik?
   (Alltag / Axiome / Sätze und Beweise in der Geometrie / Logik / Beweismethode)
2. Von Mengen und Unmengen
   (Mengenbegriff / Probleme / Quantoren / Verneinung)
3. Unendlich viele Zahlen
   (Axiome der Addition, Multiplikation, Anordnung / natürliche Zahlen / Induktion / ganze Zahlen / endlich Mengen / Teilbarkeit und Primzahlen / euklidischer Algorithmus / große Zahlen)
4. Auf dem Weg ins Irrationale
   (Summen / Kombinatorik / geometrische Folgen / Vollständigkeitsaxiom / Beträge / quadratische Gleichungen und Ungleichungen / Wurzeln / Folgen / Grenzwertsätze / geometrische Reihen / monotone Konvergenz / Intervallschachtelung)
5. Eins hängt vom andern ab
   (Produktmengen und Relationen / der Funktionsbegriff / Mengen von Funktionen / Polynome / injektive und surjektive Abbildungen / Mächtigkeit / Verknüpfungen von Abbildungen / Umkehrabbildungen und Monotonie / Logarithmus / Automorphismen und Gruppen)
6. Parallelität der Ereignisse
   (Projektionen / Koordinaten / lineare Gleichungssysteme / Halbebenen und Dreiecke / Orthogonalität / Satz des Pythagoras / Flächenfunktionen)
7. Allerlei Winkelzüge
   (Kreis und Bogenmaß / Winkel in Dreiecken / Winkelfunktionen / Additionstheoreme / Bewegungen)
8. Das Parallelogramm der Kräfte
   (Vektoren / Vektorräume / lineare Unabhängigkeit / Ortsvektoren / Geraden und Ebenen / Norm und Skalarprodukt / Hessesche Normalenform / Basis und Dimension / Matrizen und Determinanten / Gauß-Verfahren / Vektorprodukt)
9. Extremfälle
   (Stetigkeit / Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen / Stetigkeitsbeweise / Ableitung / Ableitungsregeln / Extremwerte / Mittelwertsatz / Wendepunkt und Krümmung)
10. Die Kunst des Integrierens
    (Riemannsche Integration / Berechnung von Integralen / Fundamentalsatz / natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion / partielle Integration und Substitution)
11. Imaginäre Welten
    (Kubische Gleichungen / komplexe Zahlen / komplexe Folgen und Funktionen / die Eulersche Formel und Einheitswurzeln / Fundamentalsatz bzw. Hauptsatz der Algebra / Quaternionen)

• Einige Beweise
• Lösungen zu den Aufgaben im Text
• Zusätzliche Aufgaben
• Literaturverzeichnis
• Stichwortverzeichnis
• Lösungen zu Aufgaben gibt es auch unter:
  www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/

Keine Angst vor Algebra
Von der Bruchrechnung zum Logarithmus

Thomas Rießinger
Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 416 Seiten, 2007, 1. Aufl. , 19,50 €

ISBN: 3-8274-1779-1

Beurteilung

Da in der Algebra viel mit Buchstaben gerechnet wird, mit Formeln hantiert und Gleichungen gelöst werden, aufgrund ihrer Abstraktion also, erscheint sie häufig abschreckend. Das dies nicht so sein muss versucht dieses Buch aufzuzeigen.
Es behandelt die gleichen Themen, die auch schon aus der Schule bekannt sind, allerdings wird, laut eigener Aussage, versucht diese so zu erklären, dass sie für den Leser verständlich sind und nicht um gewaltige Theorien zu entwickeln.
Zur Übung sind an jedem Kapitelende Aufgaben, deren Lösungen sich am Ende des Buches befinden (allerdings nur die Endlösungen, die Lösungswege gibt es im Internet). Das Buch versucht also bereits bekannten, häufig jedoch längst wieder vergessenen Stoff in Erinnerung zu rufen und aufzufrischen.
Da dies auf recht anschauliche Weise geschieht, besteht auch berechtigter Grund zur Hoffnung, dass dieses Unternehmen von Erfolg gekrönt sein wird.

Inhalt

1. Rechnen mit Zahlen
   (Die Grundrechenarten, Brüche, Erweitern und Kürzen, Teiler und Primzahlen, Addition und Subtraktion von Brüchen, Multiplikation und Division von Brüchen, Dezimalbrüche, Negative und rationale Zahlen)
2. Dreisatz, Prozente und Zinsen
   (Dreisatz, Was sind Prozente?, Prozentwert, Prozentsatz, Grundwert, Zinsen)
3. Terme, lineare Gleichungen, Lineare Funktionen
   (Terme, Vereinfachung von Termen, Lineare Gleichungen, Lineare Funktionen, Eigenschaften linearer Funktionen, Lineare Ungleichungen)
4. Und noch mehr Terme
   (Summen mit mehreren Variablen, Produkte mit mehreren Variablen, Produkte und Potenzen von Summen, Bruchterme, Rechnen mit Bruchtermen, Bruchgleichungen)
5. Lineare Gleichungssysteme
   (Gleichungen mit zwei Unbekannten, Rechnerische Methoden, Anwendungen und Systeme mit drei Gleichungen)
6. Reelles und Quadratisches
   (Quadratwurzeln und irrationale Zahlen, Rechnen mit Wurzeln, Quadratische Funktionen, Quadratische Gleichungen, Biquadratische Gleichungen, Wurzelgleichungen, Linearfaktoren, Polynomdivision)
7. Potenzen und Wurzeln
   (Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Exponentialgleichungen)
8. Lösungen

• Index

Keine Angst vor Mathe
Hochschulmathematik für Einsteiger

Poguntke
Teubner, 258 Seiten, 2010, 4. Aufl. , 27,99 €

ISBN: 3-834-80966-7

Beurteilung

Konzipiert ist das Buch vor allem für Leute, die plötzlich wieder Mathematik-Kenntnisse benötigen (z.B. im Studium) oder an Mathematik interessiert sind und es bedauern, bisher immer ziemlich schlecht in Mathe gewesen zu sein. Es richtet sich extra auch an ältere Leute (d.h. in diesem Fall ab 20), für die der Schulstoff schon etwas zurückliegt.
Es ist nicht das Ziel, ein alternatives Schulbuch darzustellen, sondern über ein gelockertes Verhältnis den Spaß an der Mathematik zu fördern.
Das Buch ist nicht auf Vollständigkeit angelegt, beispielsweise fehlt die Integralrechnung und auf Beweise wird zum Teil verzichtet.
Am Ende jedes Kapitels gibt es Übungsaufgaben, deren Lösungen sich komplett am Ende des Buches befinden.
Es bleibt festzuhalten, dass der Inhalt doch auf sehr einfachem Niveau bleibt. Beispielsweise wird versucht, Ableitungen ohne einen Grenzwertbegriff oder Differentialquotienten einzuführen, was einem wirklich mathematisch Interessierten dann doch nicht unbedingt weiterhilft.
Man sollte sich vor dem Kauf also lieber genau ansehen, ob einem die Themen und Erklärungen wirklich zu dem reichen, was man sich persönlich verspricht.

Inhalt

1. Zahlen
2. Rechnen
3. Gleichungen und Ungleichungen
4. Funktionen und ihre Ableitungen
5. Gleichungssysteme
6. Geometrie
7. Zählen
8. Zufall und Wahrscheinlichkeit
9. Endlich und Unendlich - Die neuen Probleme mit der Endlichkeit

• Lösungen der Aufgaben
• Literaturhinweise und Lesetipps
• Sachverzeichnis

Mathematik für Ahnungslose
Eine Einstiegshilfe für Studierende

Yára Detert
Hirzel Verlag, 227 Seiten, 2. Aufl. , 29,80 €

ISBN: 3-7776-1386-X

Beurteilung

"Mathematik für Ahnungslose" deckt im Wesentlichen die Oberstufenmathematik und die ersten Ansätze für das Studium mit Mathematik als Nebenfach ab. Um den Umfang nicht zu groß werden zu lassen wurde die Stochastik jedoch weggelassen.

Es soll die Möglichkeit geben, Versäumtes und in Vergessenheit geratenes nachzuarbeiten, indem man sich mit Rechenbeispielen beschäftigt und die Rechenwege nachvollzieht.
Die Darstellung des Buches ist sehr übersichtlich und die einzelnen Themen werden gut erklärt. Aufgaben werden vorgerechnet und erleichtern somit das Verständnis.
Der Titel ist in meinen Augen nicht gerade glücklich gewählt, aber das Buch stellt eine gute Zusammenfassung der Schulmathematik und Vorbereitung auf das Studium dar. Leider ist es etwas teuer.

Inhalt

Verzeichnis mathematischer Symbole
1. Grundlagen
   (Maßeinheiten und ihre Umwandlungen, Bruchzahlen, Dreisatzrechnung, Binomische Formeln, Flächensätze am rechtwinkligen Dreiecke (Pythagoras), Trigonometrie, Flächenberechnung an Vielecken, Berechnung an Körpern, Potenzen/Wurzeln, Logarithmen)
2. Analysis
   (Funktionen, Differenzialrechnung, Bausteine einer Kurvendiskussion, Kurvendiskussion, Extremwertprobleme, Differenzialgleichungen, Integralrechnung, Komplexe Zahlen)
3. Lineare Algebra / Analytische Geometrie
   (Vektoren, Skalarprodukt von Vektoren, Lineare Gleichungssysteme, Analytische Geometrie mit Geraden, Analytische Geometrie mit Ebenen, Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln)
Stichwortverzeichnis