Leseecke

Lehrbuch der Mathematik
Band 1: Analysis einer Veränderlichen
Band 2: Lineare Algebra
Band 3: Analysis mehrerer Veränderlicher - Integrationstheorie
Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten - Funktionentheorie - Funktionalanalysis

Storch, Wiebe
Spektrum Akademischer Verlag, 632 Seiten, 3. Aufl., 2009, 32,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2. Aufl., 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 796 Seiten, 2010, 37,99 €
Spektrum Akademischer Verlag, 850 Seiten, 2011, 42,99 €

ISBN:3-8274-2574-3
ISBN:3-827-42667-7
ISBN:3-8274-2745-2
ISBN:3-8274-2767-3

Es folgen die Rezensionen von: Band 1, Band 2, Band 3 und Band 4

Band 1

Beurteilung

Das Werk ist der erste Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, welches den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik und Physik.
Die wesentlichen Konzepte der Analysis einer Veränderlichen werden, auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren, behandelt. Zudem finden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Berücksichtigung.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung und erleichtern das Verstehen.

Inhalt

1. Grundlagen
   1. Mengen und Abbildungen
      (Mengen, Abbildungen und Funktionen, Familien, Relationen)
   2. Die natürlichen Zahlen
      (Vollständige Induktion, Endliche Mengen, Abzählbare Mengen, Primfaktorzerlegung)
   3. Ein Grundkurs in C
      (Einige Programmierbeispiele)
2. Reelle und komplexe Zahlen
   4. Die reellen Zahlen
      (Die Körperaxiome, Gruppen, Ringe und Körper, Angeordnete Körper, Der Begriff der konvergenten Folge, Konvergente Folgen und Vollständigkeit, Folgerungen aus der Vollständigkeit)
   5. Die komplexen Zahlen
      (Konstruktion der komplexen Zahlen, Konvergente Folgen komplexer Zahlen, Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen)
   6. Reihen
      (Konvergenzkriterien für Reihen, Summierbarkeit)
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
   7. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
      (Der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraumes, Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen, Beispiele)
   8. Erwartungswert und Varianz
      (Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen, Beispiele)
   9. Stochastische Unabhängigkeit
      (Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen)
4. Stetigkeit
   10. Stetige Funktionen
       (Grenzwerte von Funktionen, Stetige Funktionen, Der Zwischenwertsatz, Stetige Funktionen auf kompakten Mengen)
   11. Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktionen
       (Polynomfunktionen, Rationale Funktionen, Reelle Exponential- und Logarithmusfunktionen)
   12. Funktionenfolgen und Potenzreihen
       (Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Analytische Funktionen, Exponentialfunktion, Kreis- und Hyperbelfunktionen)
5. Differenziation
   1. Differenzierbare Funktionen
      (Rechenregeln, Differenziation analytischer Funktionen, Höhere Ableitungen, Beispiele spezieller Funktionen)
   2. Der Mittelwertsatz
      (Der Mittelwertsatz, Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, Konvexe und konkave Funktionen, Das Newton-Verfahren, Differenzieren von Funktionenfolgen)
   3. Approximation durch Polynome
      (Die Taylor-Formel, Hermite-Interpolation)
6. Integration
   16. Stammfunktionen und Integrale
       (Stammfunktionen, Bestimmte Integrale, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
   17. Uneigentliche Integrale
       (Uneigentliche Integrale, Die Γ-Funktion, Elliptische Integrale und Funktionen)
   18. Approximation von Integralen
       (Integrationsglieder, Beispiele, Numerische Integration)
   19. Einfache Differenzialgleichungen
       (Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen, Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung, Beispiele, Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 2

Beurteilung

Der vorliegende Band enthält die gesamte Lineare Algebra. Außerdem werden normierte Vektorräume und lineare Differentialgleichungen, sowie die spezielle Relativitätstheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung

Inhalt

1. Vektorräume
   1. Vektorräume
      (Algebraische Grundbegriffe, Der Vektorraumbegriff, Untervektorräume)
   2. Lineare Gleichungssysteme
      (Gaußsches Eliminationsverfahren)
   3. Basen und Dimension von Vektorräumen
      (Erzeugendensysteme, Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension von Vektorräumen)
   4. Affine Räume
      (Der Begriff des affinen Raumes, Affine Unterräume)
2. Lineare Abbildungen
   5. Lineare Abbildungen
      (Gruppenhomomorphismen, Lineare Abbildungen, Räume von linearen Abbildungen, Lineare Abbildungen und Basen, Der Rangsatz, Direkte Summen und Projektionen, Dualräume)
   6. Restklassenabbildung
      (Restklassengruppen, Restklassenräume, Exakte Sequenzen, Beispiel: Elektrische Netzwerke, Operieren von Gruppen)
   7. Affine Abbildungen
      (Affine Abbildungen, Projektive Räume und Abbildungen)
3. Matrizen und Determinanten
   8. Matrizen
      (Die Matrix einer linearen Abbildung, Rang von Matrizen, Elementarmatrizen)
   9. Determinanten
      (Permutationen, Multilineare Abbildungen, Deteminantenfunktionen, Rechenregeln für Determinanten, Die Determinante eines linearen Operators, Orientierungen, Determinanten und Volumina)
4. Lineare Operatoren
   10. Polynomalgebren
       (Polynome in einer Variablen, Polynome in mehreren Variablen)
   11. Lineare Operatoren
       (Eigenwerte, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Diagonalisierbare und trigonalisierbare Operatoren, Einige Zerlegungssätze, Jordansche Normalform, Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten)
5. Sesquilinearformen
   12. Bilinear- und Sesquilinearformen
       (Sesquilineare Funktionen, Symmetrische und komplex-hermitesche Formen, Typen hermitescher Formen)
   13. Räume mit Skalarprodukt
       (Skalarprodukte, Orthogonale Projektionen, Volumina in euklidischen Räumen)
   14. Isometrien
       (Lineare Isometrien, Affine Isometrien)
   15. Der Spektralsatz
       (Selbstadjungierte und normale Operatoren, Hauptachsentransformation, Positive Operatoren)
   16. Minkowski-Räume
       (Minkowski-Räume, Lorentz-Gruppen)
6. Normierte Vektorräume
   17. Normierte Vektorräume
       (Grundbegriffe, Stetige lineare Abbildungen)
   18. Erste Anwendungen
       (Gitter, Torusgruppen, Potenzen einer Matrix, Spektralradius, Beispiel: Stochastische Matrizen, Die Exponentialabbildung, Lie-Algebren, Zusammenhang linearer Gruppen, Numerische Verfahren)
   19. Hilbert-Räume
       (Grundlagen, Kompakte Operatoren und der Spektralsatz, Fourier-Reihen)
   20. Systeme linearer Differentialgleichungen
       (Die Picard-Lindelöf-Iteration, Systeme mit periodischen Koeffizienten, Potenzreihenansatz, Randwertprobleme, Beispiele)

• ANHANG: Topologische Grundbegriffe
• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 3

Beurteilung

Das Buch wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Geophysik und behandelt die Analysis in mehreren Veränderlichen. Im Mittelpunkt stehen die Differentialrechnung in endlichdimensionalen Zahlenräumen und die (Lebesguesche) Integralrechnung auf der Grundlage der Maßtheorie.
Daneben wird auch eine Einführung in die Topologie, die Funktionentheorie und die Stochastik gegeben. Zahlreiche Beispiele, insbesondere aus der Physik, und umfangreiches Aufgabenmaterial runden die Darstellung ab.

Inhalt

1. Topologische Grundbegriffe
   1. Topologische Räume und stetige Abbildungen
   2. Zusammenhängende und kompakte Räume
   3. Vollständige metrische Räume - Gleichmäßige Konvergenz
2. Differentialrechnung
   4. Differenzierbare Kurven
   5. Totale Differenzierbarkeit
   6. Implizite Funktionen
   7. Differentialformen und Kurvenintegrale - Vektorfelder
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   8. Dynamische Systeme
   9. Stabilität
   10. Elemente der Variationsrechnung
4. Maß- und Integrationstheorie
   11. Maße
   12. Das Borel-Lebesgue-Maß
   13. Verallgemeinerte Maße
   14. Integration
   15. LP-Räume
   16. Beispiele
5. Fourier-Transformation
   17. Die Fourier-Transformation
   18. Die Laplace-Transformation
6. Stochastik
   19. Wahrscheinlichkeitstheorie
   20. Statistik

• Tafeln
• Literaturverzeichnis
• Symbolverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Band 4

Beurteilung

Die "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" ist der abschließende Band der vierbändigen Lehrbuchreihe der Mathematik für Mathematiker, Physiker und Informatiker über den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen und darüber hinaus.
Der Band enthält die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten. Die notwendigen Hilfsmittel aus der Multilinearen Algebra und über Vektorbündel werden bereitgestellt.
Außerdem werden Lie-Gruppen, Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Grundbegriffe der Algebraischen Topologie, Funktionentheorie und Riemannsche Flächen sowie die Funktionalanalysis einschließlich der Operatorentheorie behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleiten den Text.

 Inhalt

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
   1. Grundbegriffe
      (Der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit, Beispiele, Differenzierbare Abbildungen, Tangentialräume)
   2. Tangentialbündel
      (Tangentialbündel und Vektorfelder, Untermannigfaltigkeiten, Flüsse, Kotangentialbündel und Paffsche Formen, Mannigfaltigkeiten mit Rand)
   3. Lie-Gruppen
      (Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren, Die Exponentialabbildung, Operationen von Lie-Gruppen)
   4. Beispiele und Ergänzungen
      (Mannigfaltigkeiten linearer Objekte, Topologie von Restmannigfaltigkeiten, Überlagerungen, D'Alembertsches Prinzip, Noethersches Theorem)
   5. Drei grundlegende Sätze
      (Zerlegung der Eins, Der Satz von Sard, Quotientenmannigfaltigkeiten)
2. Multilineare Algebra
   6. Tensorprodukte
      (Tensorprodukte, Tensorprodukte normierter Räume, Tensoralgebren)
   7. Äußere und symmetrische Potenzen
      (Äußere Algebren, Clifford-Algebren, Symmetrische Algebren)
3. Analysis auf Mannigfaltigkeiten
   8. Vektorbündel
      (Der Begriff des Vektorbündels, Konstruktionen von Vektorbündeln, Beispiele)
   9. Differenzialformen
      (Tensorfelder und Differenzialformen, Orientierungen, Die äußere Ableitung, De Rham-Kohomologie)
   10. Zusammenhänge
       (Zusammenhänge und der Satz von Frobenius, Lineare Zusammenhänge, Affine Zusammenhänge)
4. Integration auf Mannigfaltigkeiten
   11. Die Integralsätze
       (Der Integralbegriff, Der Satz von Gauß-Stokes, De Rham-Kohomologie mit kompaktem Träger)
   12. Ergänzungen zur De Rham-Kohomologie
       (Poincaré-Dualität, Künneth-Formeln, Singuläre Homologie und Kohomologie, Der Satz von De Rham, Weitere Beispiele zur singulären Homologie und Kohomologie)
   13. Anwendungen und Beispiele
       (Elementare Theorie der harmonischen Funktionen, Elastizitätslehre, Hydrodynamik, Maxwellsche Gleichungen, Haarsche Maße)
   14. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
       (Metrische Tensoren und Krümmungstensoren, Beispiele, Vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten)
5. Funktionentheorie
   15. Isolierte Singularitäten
       (Laurent-Entwicklung und isolierte Singularitäten, Holomorphe Vektorbündel, Verzweigte Überlagerungen)
   16. Beispiele und Ergänzungen
       (Beispiele konkreter Riemannscher Flächen, Beweis des Satzes von Riemann-Roch, Elliptische Riemannsche Flächen)
   17. Uniformisierung
       (Klassifikation Riemannscher Flächen, Der Riemannsche Abbildungssatz)
6. Funktionalanalysis
   18. Lokal konvexe Räume
       (Grundbegriffe, Dualität, Beispiele: Maße und Distributionen)
   19. Spektraltheorie
       (Das Spektrum, Der Spektralsatz für stetige normale Operatoren, Der allgemeine Spektralsatz für normale Operatoren)

• Literaturverzeichnis
• Stichwortverzeichnis

Mathematik 1 & 2
Geschrieben für Physiker

Jänich
Springer, 584 Seiten, 2. Auflage, 2005, 29,95 €
Springer, 384 Seiten, 1. Auflage, 29,95 €

ISBN: 3-540-21392-9
ISBN: 3-540-42839-9

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Mathematik 1

Beurteilung

Die Bücher richten sich hauptsächlich an Studenten der Physik, die die hier vorgestellte Mathematik für ihr Studium benötigen und dabei insbesondere an Studenten der ersten beiden Semester. Der erste Band macht den entschlossenen Versuch, rechtzeitige Darstellung des Stoffes aus physikalischer Sicht mit der systematischen Entwicklung der mathematischen Einsicht zu verbinden. Es wird immer wieder auf die verschiedenen Sprachen in der Mathematik und der Physik eingegangen.
Abgesehen davon ist das Buch auch gut zum Selbststudium geeignet, kann jedoch nicht vollständig einen universitären Übungsbetrieb ersetzen. Es enthält zu jedem Kapitel Übungsaufgaben (unterteilt in Theorie- und Rechenaufgaben), jedoch ohne Lösungen.
Es ist insgesamt lobend zu erwähnen, dass der Autor versuchen will die Problematik der frühzeitigen Bereitstellung des mathematischen Stoffes zu Beginn eines Physikstudiums zu überwinden. Es sollte jedoch jeder selbst beurteilen, ob die Darstellung thematisch und in der Ausführung für ihn die richtige ist.

Inhalt

1. Funktionen
2. Die Ableitung
3. Integration
4. Differentialgleichungen erster Ordnung
5. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
6. Bereiche und Abbildungen in mehreren Variablen
7. Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale
8. Grundbegriffe der linearen Algebra
9. Basen und Dimension
10. Lineare Approximation in der Analysis
11. Multilineare Abbildungen und die Determinante
12. Quadratische Formen, Skalar- und Kreuzprodukt
13. Schwingungen und Fourierreihen
14. Dynamische Systeme
15. Zweidimensionale Systeme mit konstanten Koeffizienten
16. Linienintegrale
17. Koordinatentransformation
18. Algebraische Strukturen
19. Metrik, Topologie und Kompaktheit
20. Kategorien und Quotienten
21. Lineare Algebra in K-Vektorräumen
22. Lineare Algebra in euklidischen und unitären Räumen

• Fußnoten und Ergänzungen
• Register

Mathematik 2

Inhalt

1. Mathematische Gundlagen der Analysis
2. Funktionenfolgen und Reihen
3. Taylorentwicklung
4. Das lokale Verhalten nichtlinearer Abbildungen an regulären Stellen
5. Die k-dimensionalen Flächen im Rⁿ
6. Analysis unter Nebenbedingungen
7. Klassische Vektoranalysis I: Gradient, Rotation und Divergenz
8. Klassische Vektoranalysis II: Integration auf Flächen
9. Klassische Vektoranalysis III: Berandete Flächen und Integralsätze
10. Der Cartan-Kalkül I: Integration von Differentialformen
11. Der Cartan-Kalkül II: Cartan-Ableitung und Satz von Stokes
12. Der Cartan-Kalkül III: Übersetzung in die Vektoranalysis
13. Mathematik und Mechanik
14. Die Euler-Lagrange-Gleichungen
15. Der Satz von Emmy Noether

• Fußnoten und Ergänzungen
• Register

Mathematik für Physiker
1- Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik
2 - Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik

Weltner, Wiesner, Heinrich, Engelhardt, Schmidt
Springer, 308 Seiten, 13. Auflage, 2006, 29,95 €
Springer, 248 Seiten, 15. Auflage, 2008, 29,95 €

ISBN: 978-3540298427
ISBN: 978-3540681984

Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2

Mathematik für Physiker 1

Beurteilung

Mathematik für Physiker stellt in zwei Bänden eine gelungene Einführung dar. Das bewährte Lehrbuch gibt es ab der 12. Auflage zusammen mit der Software Mathematik für Naturwissenschaftler, ein interaktiver Vorkurs für den PC. Zusätzlich wurden die ca. 1500 Lehr- und Übungsschritte nun als pdf auf eine CD-ROM integriert. Ein sehr nützliches, gut abgerundetes und in mehr als 25 Jahren bewährtes Lehrwerk.

Inhalt

1. Vektorrechnung
   (Skalare und Vektoren; Addition von Vektoren; Subtraktion von Vektoren; Das rechtwinklige Koordinatensystem; Komponente und Projektion eines Vektors; Komponentendarstellung im Koordinatensystem; Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar; Betrag eines Vektors; Übungsaufgaben)
2. Skalarprodukt, Vektorprodukt
   (Skalarprodukt; Kosinussatz; Skalares Produkt in Komponentendarstellung; Vektorprodukt; Vektorprodukt in Komponentendarstellung; Übungsaufgaben)
3. Einfache Funktionen, Trigonometrische Funktionen
   (Der mathematische Funktionsbegriff; Graphische Darstellung von Funktionen; Winkelfunktionen, Trigonometrische Funktionen; Übungsaufgaben)
4. Potenzen, Logarithmus, Umkehrfunktionen
   (Potenzen; Exponentialfunktion; Logarithmus, Logarithmusfunktion; Hyperbolische Funktionen; Umkehrfunktionen, inverse Funktionen; Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion; Übungsaufgaben)
5. Differentialrechnung
   (Folge und Grenzwert; Stetigkeit; Reihe und Grenzwert; Die Ableitung einer Funktion; Praktische Berechung des Differentialquotienten; Höhere Ableitungen; Maxima und Minima; Übungsaufgaben)
6. Integralrechnung
   (Die Stammfunktion; Flächenproblem und bestimmtes Integral; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Bestimmtes Integral; Zur Technik des Integrierens; Rechenregeln für bestimmte Integrale; Substitution bei bestimmten Integralen; Mittelwertsatz der Integralrechnung; Uneigentliche Integrale; Arbeit im Gravitationsfeld; Übungsaufgaben)
7. Taylorreihe und Potenzreihen
   (Vorbemerkung; Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe; Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich); Das Näherungspolynom; Allgemeine Taylorreihenentwicklung; Nutzen der Taylorreihenentwicklung; Übungsaufgaben)
8. Komplexe Zahlen
   (Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen; Komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene; Die Exponentialfunktion einer komplexen Zahl; Übungsaufgaben)
9. Differentialgleichungen
   (Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichugen; Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung 1. und 2. Ordnung; Variation der Konstanten; Randwertprobleme; Anwendungen; Übungsaufgaben)
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung
    (Einleitung; Wahrscheinlichkeitsbegriff; Abzählmethoden; Übungsaufgaben)
11. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    (Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Mittelwert; Binomialverteilung und Normalverteilung; Anhang A; Übungsaufgaben)
12. Fehlerrechnung
    (Aufgabe der Fehlerrechnung; Mittelwert und Varianz; Mittelwert und Varianz bei kontinuierlichen Verteilungen; Gewogenes Mittel; Fehlerfortpflanzung; Regressionsgerade, Korrelation; Übungsaufgaben)

Anhang
• Grundbegriffe der Mengenlehre
• Funktionsbegriff
• Quadratische Gleichungen

• Literatur
• Sachwortverzeichnis

 Mathematik für Physiker 2

Inhalt

13. Funktionen mehrerer Variablen, skalare Felder und Vektorfelder
    (Einleitung; Der Begriff der Funktion mehrerer Variablen; Das skalare Feld; Das Vektorfeld; Spezielle Vektorfelder; Übungsaufgaben)
14. Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient
    (Die partielle Ableitung; Das totale Differential; Der Gradient; Übungsaufgaben)
15. Mehrfachintegrale, Koordinatensysteme
    (Mehrfachintegrale als Lösung von Summierungsaufgaben; Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen; Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen; Koordinaten; Anwendungen: Volumen und Trägheitsmoment; Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Integrationsgrenzen; Kreisfläche in kartesischen Koordinaten; Übungsaufgaben)
16. Parameterdarstellung, Linienintegral
    (Parameterdarstellung von Kurven; Differentiation eines Vektors nach einem Parameter; Das Linienintegral; Übungsaufgaben)
17. Oberflächenintegrale
    (Der Vektorfluss durch eine Fläche; Das Oberflächenintegral; Berechnung des Oberflächenintegrals für Spezialfälle; Berechnung des Oberflächenintegrals im allgemeinen Fall; Fluss des elektrischen Feldes einer Punktlandung durch eine Kugeloberfläche mit Radius R; Übungsaufgaben)
18. Divergenz und Rotation
    (Divergenz eines Vektorfeldes; Integralsatz von Gauß; Rotation eines Vektorfeldes; Integralsatz von Stokes; Potential eines Vektorfeldes; Anhang; Übungsaufgaben)
19. Koordinatentransformationen und Matrizen
    (Koordinatenveschiebungen - Translationen; Drehungen; Matrizenrechnung; Darstellung von Drehungen in Matrizenform; Spezielle Matrizen; Inverse Matrix; Übungsaufgaben)
20. Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
    (Lineare Gleichungssysteme; Determinanten; Übungsaufgaben)
21. Eigenwerte und Eigenvektoren
    (Eigenwerte von 2 x 2 Matrizen; Bestimmung von Eigenwerten; Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 x 3 Matrix; Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren; Übungsaufgaben)
22. Fourierreihen
    (Entwicklung einer periodischen Funktion in einer Fourierreihe; Beispiele für Fourierreihen; Die Fourierreihe für Funktionen beliebiger Periode T; Fourierreihe in spektraler Darstellung; Übungsaufgaben)
23. Fourier-Integrale
    (Übergang von der Fourierreihe zum Fourier-Integral; Fourier-Transformationen; Verschiebungssatz; Diskrete Fourier-Transformation, Abtasttheorem; Fourier-Transformation der Gaußschen Funktion; Übungsaufgaben)
24. Laplace-Transformation
    (Integral-Transformationen, Laplace-Transformationen; Laplace-Transformation von Standardfunktionen und allgemeine Regeln; Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten; Lösung von simultanen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten; Übungsaufgaben)
25. Wellengleichungen
    (Wellenfunktion; Die Wellengleichung; Übungsaufgaben)

• Sachwortverzeichnis

Mathematische Methoden in der Physik

Lang, Pucker
Springer Spektrum Verlag, 736 Seiten, 2. Auflage , 2013, 45€

ISBN: 978-3827431240

Beurteilung

Dies ist die zweite, verbesserte und um die Kapitel Gruppentheorie, Variationsrechnung und Differenzialformen erweiterte Auflage des erfolgreichen Lehrbuches. Aus der Sicht von Physikern und mit dem Blick auf Anwendungen werden wichtige mathematische Methoden dargestellt. Das vorliegende Buch ist für Studierende in den ersten Semestern gedacht. Es soll die angehenden Physikerinnen und Physiker mit den für sie wichtigsten mathematischen Konzepten vertraut machen und möglichst schnell eine entsprechende Geläufigkeit in ihrer Anwendung vermitteln.
Daher wird das Hauptgewicht auf Methodik und Beispiele gelegt. Als Vorlesungsunterlage entspricht das Buch einer dreisemestrigen Vorlesung mit Übungen. Durch die Erläuterung anhand von Beispielen ist das Buch auch gut geeignet für das Selbststudium. Viele Aufgaben, deren vollständige Lösungen über das Internet abfragbar sind, regen dazu an, das Gelernte zu überprüfen und dabei das Verständnis zu vertiefen.
Dem zunehmenden Computereinsatz tragen Einschübe Rechnung, in denen sowohl auf Numerik wie auch auf algebraische Methoden eingegangen wird.
Obwohl primär für Studierende der Physik gedacht, werden auch andere Naturwissenschaftler mit diesem Buch einen nützlichen Helfer zur Hand haben.

Inhalt

Einleitung
1. Unendliche Reihen
   (Folgen und Reihen, Konvergenz und Divergenz, Potenzreihen, Was war da noch?, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
2. Komplexe Zahlen
   (Komplexe Zahlen und die komplexe Ebene, Komplexe Reihen, Funktionen komplexer Variablen, Riemannsche Blätter, Anwendungen, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
3. Vektoren und Matrizen
   (Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Vektoren und ihre Algebra, Das Eigenwertproblem, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
4. Differenzialrechnung
   (Die lineare Näherung, Funktionen mehrerer Variablen, Verschiedene Methoden der Differenziation, Extremwertaufgaben, Nebenbedingungen, Randpunkte, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
5. Integralrechnung
   (Das Integral, Integrationstechnik, Differenziation von Integralen, Mehrdimensionale Integrale, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
6. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
   (Allgemeines, Gewöhnliche DGen 1. Ordnung, Gewöhnliche DGen höherer Ordnung, Systeme von DGen, Zum Abschluss, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
7. Grundlagen der Vektoranalysis
   (Differenziation von Vektoren, Bogenlänge, Krümmung und Torsion, Linien- und Oberflächenintegrale, Skalare Felder: Niveauflächen und Gradient, Divergenz und Rotation von Vektorfeldern, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
8. Basissysteme krummliniger Koordinaten
   (Gebräuchliche Koordinatensysteme, Bestimmung von Vektorkomponenten, Bogen-, Flächen- und Volumenelement, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
9. Integralsätze
   (Der Gaußsche Integralsatz, Der Greensche Satz in der Ebene, Der Integralsatz von Stokes, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
10. Elemente der Tensorrechnung
    (Definition eines Tensors, Rechenregel für Tensoren, Beispiele für Tensoren, Differenzialoperationen und Tensoren, Drehung um eine Achse, Ko- und kontravariante Darstellung, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
11. Ein wenig Differenzialformen
    (Äußere Formen, Äußere Ableitung, Integralsätze, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
12. Funktionenräume
    (Vektorräume, Metrik, Norm, Skalarprodukt, Basis eines Vektorraums, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
13. Fourierreihe
    (Motivation und Definition, Konvergenzkriterien, Tipps und Beispiele, Komplexe Form der Fourierreihe, Fourier-Kosinus- und Fourier-Sinus-Reihe, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
14. Integraltransformationen
    (Einleitung, Die Laplace-Transformation, Die Fouriertransformation, Faltung, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
15. Funktionale und Variationsrechnung
    (Funktionale, Variationsrechnung, Distributionen und die Diracsche Deltafunktion, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
16. Operatoren und Eigenwerte
    (Einleitung, Das Eigenwertproblem in der linearen Algebra, Lineare Operatoren in Vektorräumen, Die Differenzialgleichung als Eigenwertproblem, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
17. Spezielle Differenzialgleichungen
    (Die Legendresche Differenzialgleichung, Die Besselsche Differenzialgleichung, Die Hermitesche Differenzialgleichung, Die Laguerresche Differenzialgleichung, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
18. Partielle Differenzialgleichungen
    (Übersicht, Lösungsmethoden: Numerische Verfahren, Analytische "exakte" Verfahren, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
19. Funktionentheorie
    (Analytische Funktionen, Komplexe Integration, Anwendungen, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
20. Gruppen
    (Symmetrien und Gruppen, Zweierlei Klassen, Einige wichtige Gruppen, Darstellung, Kontinuierliche Gruppen, Aufgaben, Lösungen, Literatur)
21. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
    (Zufall und Wahrscheinlichkeit, Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Funktionen von Zufallsvariablen, Mehrere Zufallsvariablen, Analyse von Daten und Fehlern, Aufgaben, Lösungen, Literatur)

1. Abkürzungen und Anmerkungen
2. Zoologie elementarer Funktionen
3. Programmbeispiele

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Band 1
Band 2
Band 3
Übungsbuch

Heinrich Rommelfanger
Spektrum Akademischer Verlag, 375 Seiten, 6. Aufl., 20,50 €
Spektrum Akademischer Verlag, 287 Seiten, 5. Aufl., 25 €
Spektrum Akademischer Verlag, 335 Seiten, 6. Aufl., 23 €
Spektrum Akademischer Verlag, 278 Seiten, 1. Aufl., 25 €

ISBN:3-8274-1486-5
ISBN:3-8274-1191-2
ISBN:3-8274-1682-5
ISBN:3-8274-1549-7

Es folgen die Rezensionen von: Band 1, Band 2, Band 3 und Übungsbuch

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Band 1

Inhalt

• Symbolverzeichnis
• Griechisches Alphabet

1. Grundlagen
   (Mengen und Elemente, Aufbau der Zahlenmengen, Aussagenlogik, Aussagen und Aussageformen, Operationen mit Aussagen, Implikationen und Äquivalenz, Gesetze der Aussagenlogik, Der mathematische Beweis, Mengenverknüpfungen, Beschränkte und unbeschränkte Teilmengen von R, Das Rechnen mit Ungleichungen, Der absolute Betrag, Folgen und Reihen, Das Summenzeichen, Binomialkoeffizient, binomische Reihe, Aufgaben)
2. Kombinatorik
   (Permutationen, Variationen und Kombinationen ohne Wiederholung, Variationen und Kombinationen mit Wiederholung, Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung, Aufgaben)
3. Zins- und Rentenrechnung
   (Einfache Verzinsung, Verzinsung mit Zinseszinsen, Effektiver Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung, Rentenrechnung, Nachschüssige Rente, Vorschüssige Rente, Tilgung durch gleichbleibende Annuitäten, Effektivverzinsung und Annuitätenschuld, Aufgaben)
4. Funktion
   (Geordnete Paare, Tupel, Produktmengen, Relationen, Abbildungen, Funktionen, Spezielle Eigenschaften reellwertiger Funktionen einer Variablen f: D→R, D⊆R, Elementare Funktionen, Ganze rationale Funktionen (Polynome), Gebrochene rationale Funktionen, Algebraische Funktionen, Trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Zur empirischen Ermittlung von Funktionen, Aufgaben)
5. Grenzwerte und Stetigkeit
   (Grenzwerte einer unendlichen Folge, Grenzwert einer Funktion für x→+∞ bzw. x→-∞, Grenzwert einer Funktion für x→x₀, Stetigkeit, Eigenschaften stetiger Funktionen, Asymptote, Aufgaben)
6. Differentialrechnung
   (Begriff und Bedeutung des Differentialquotienten, Differentiationsregeln, Ableitung transzendenter Funktionen, Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Anwendungen der Differentialrechnung, Approximation von Funktionen, Die Regel von DE L'HOSPITAL, Aufgaben)
7. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
   (Geometrische Darstellung einer Funktion z = f(x,y), Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion z = f(x,y), Partielle Ableitungen, Tangentialfläche und totales Differential, Differentiation parameterabhängiger Funktionen (Kettenregel), Partielle Ableitung zweiter und höherer Ordnung, Implizite Funktionen, Relative Extrema, Lineare Regression, Relative Extrema unter Nebenbedingungen, Homogene Funktionen, Aufgaben)
8. Integralrechnung
   (Das bestimmte Integral, Das unbestimmte Integral, Integrationstabelle, Integrationsregeln, Die Methode der partiellen Integration, Die Methode der Substitution der Variablen, Die Integration rationaler Funktionen, Anwendung bestimmter Integrale, Fläche zwischen dem Graph einer Funktion f(x) und der x-Achse, Fläche zwischen zwei Kurven, Volumenberechnung aus der Querschnittsfläche, Volumen eines Rotationskörpers, Uneigentliche Integrale, Unendliche Integrationsintervalle, Integration von nicht beschränkten Funktionen, Doppelintegrale, Das STIELTJESsche Integral, Aufgaben)

• Lösungen zu den Übungsaufgaben
• Ausgewählte Literatur
• Rentenbarwertfaktoren
• Sachverzeichnis

Beurteilung

In diesem Buch werden mathematische Grundlagen und Teilgebiete der Analysis behandelt, deren Kenntnis zum Lösen ökonomischer Probleme in Wissenschaft und Praxis unentbehrlich ist. Der Autor begründet Begriffe und Methoden aus ihren anschaulichen Quellen heraus und zeigt die konstruktiven Aspekte der Mathematik auf. Beweise werden nur dann geführt, wenn sie unmittelbar zum Verständnis beitragen.
Zahlreiche Beispiele, darunter viele ökonomische Anwendungsfälle und Kontrollaufgaben, erleichtern das Verständnis und machen den Leser mit den Rechentechniken vertraut.

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Band 2

Inhalt

• Einleitung

1. Lineare Restriktionssysteme
   (Grundbegriffe linearer Systeme, Graphische Lösung eines Gleichungssystems, Entschlüsselte lineare Gleichungssysteme, Das Entschlüsseln von linearen Gleichungssystemen, Simultane Gleichungssysteme, Lineare Restriktionssysteme mit Ungleichungen, Aufgaben)
2. Lineare Optimierung
   (Graphische Lösung, Der Simplexalgorithmus, Grundlagen, Phase 2 des Simplexalgorithmus, Phase 1 des Simplexalgorithmus, Phase 0 des Simplexalgorithmus, Untergrenzen bei der linearen Optimierung, Aufgaben)
3. Vektoren
   (Der Vektorraum, Geometrische Darstellung von Vektoren, Das Skalarprodukt, Linearkombination, Lineare Unabhängigkeit, Basis eines Vektorraums, Lösungsräume linearer Systeme, Aufgaben)
4. Matrizen
   (Spezielle Matrizen, Ordnungsrelationen zwischen Matrizen, Einfache Matrizenoperationen, Matrizenmultiplikationen, Blockmatrizen, Potenz einer Matrix, Pfeildiagramme und ihre Matrizendarstellung, Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, Die Inverse einer Matrix, Lineare Abbildungen und Matrizen, Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Aufgaben)
5. Determinanten
   (Determinantenformeln, Eigenschaften von Determinanten, Der Entwicklungssatz von LAPLACE, Die CRAMERsche Regel, Bestimmung der Inversen einer Matrix, Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren, Weitere Sätze und Definitionen, Aufgaben)
6. Quadratische Formen
   (Quadratische Formen und Definitheit, Quadratische Formen mit Nebenbedingungen, Aufgaben)
7. Relative Extrema von reellwertigen Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen
   (Grundlagen, Relative Extrema (ohne Nebenbedingungen), Relative Extrema mit Nebenbedingungen, Hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines relativen Extremums unter einer Nebenbedingung, Aufgaben)

• Lösungen zu den Übungsaufgaben
• Ausgewählte Literatur
• Sachregister

Beurteilung

In diesem Buch werden die Teile der linearen Wirtschaftsalgebra dargestellt, deren Kenntnis zum Lösen ökonomischer Probleme in Wissenschaft und Praxis unentbehrlich ist. Aus didaktischen Gründen behandelt der Autor zunächst Lösungsalgorithmen zu linearen Systemen, bevor die abstrakteren Konzepte der Vektoren-, Matrizen- und Determinantentheorie dargestellt werden. Die auf der Berechnung von Determinanten basierenden hinreichenden Bedingungen für das Vorliegen von relativen Extrema für Funktionen mehrerer Variabler mit und ohne Nebenbedingung(en) sind so formuliert, dass auch Nicht-Mathematiker damit problemlos arbeiten können.
Zahlreiche Beispiele, darunter viele ökonomische Anwendungsfälle und Kontrollaufgaben erleichtern das Verständnis und machen den Leser mit den Rechentechniken vertraut.Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Band 1

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Band 3

Inhalt

1. Differenzengleichungen und ihre Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften
   1. Grundlegende Definitionen und Aussagen über Differenzengleichungen
   2. Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung
   3. Lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)
   4. Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)
   5. Systeme linearer Differenzengleichungen (mit konstanten Koeffizienten)
2. Differentialgleichungen und ihre Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften
   6. Grundlegende Definitionen und Aussagen über Differentialgleichungen
   7. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung und 1. Grades
   8. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)
   9. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
   10. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
   11. Zufallsvorgänge, Ereignisse und Algebren
   12. Wahrscheinlichkeiten
   13. Zufallsvariable, Verteilungen
4. Stochastische Prozesse
   14. Grundlegende Definitionen und Aussagen über stochastische Prozesse
   15. MARKOVsche Prozesse
   16. WIENER-Prozesse

• Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben
• Anhang: Komplexe Zahlen und trigonometrische Funktionen
• Ausgewählte Literatur
• Sachverzeichnis

Beurteilung

In den beiden ersten Bänden wurden die mathematischen Grundlagen der Analysis und der linearen Wirtschaftsalgebra behandelt, die zum Lösen ökonomischer Fragestellungen unentbehrlich sind. Dieses Wissen reicht aber nicht aus, um dynamische Finanz- und Wirtschaftsmodelle zu verstehen. Um Konjunktur- und Wachstumsmodelle zu begreifen, bedarf es in erster Linie der Kenntnis über das Lösen von Differenzen- und Differentialgleichungen und -gleichungssystemen.
Die wichtigsten Lösungsansätze werden in den beiden ersten Teilen des Bandes 3 anschaulich dargestellt und auf zahlreiche klassische Wirtschaftsmodelle der Volks- und der Betriebswirtschaftslehre angewendet. Für die praktische Anwendung hilfreich sind insbesondere die Stabilitätsbetrachtungen.
Im dritten Teil dieses Bandes wird die Wahrscheinlichkeitstheorie mit ihren mathematischen Grundlagen dargestellt.
Darauf aufbauend werden im letzten Teil stochastische Prozesse betrachtet, die in letzter Zeit mit dem wachsenden Interesse für mathematische Modelle der Finanzwissenschaft immer bedeutsamer wurden. Neben Markov-Prozessen mit diskreter und stetiger Zeitabhängigkeit werden Wiener-Prozesse und deren Anwendungen behandelt.
Zahlreiche Beispiele und Kontrollaufgaben erleichtern das Verständnis und machen den Leser mit den Rechenverfahren vertraut.

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Übungsbuch

Inhalt

1. Grundlagen
2. Kombinatorik
3. Zins- und Rentenrechnung
4. Funktionen
5. Grenzwerte und Stetigkeit
6. Differentialrechnung
7. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
8. Integralrechnung
9. Lineare Restriktionssysteme
10. Lineare Optimierung
11. Vektoren
12. Matrizen
13. Determinanten
14. Quadratische Formen
15. Relative Extrema von reellwertigen Funktionen unabhängiger Variablen

Beurteilung

Dieses Übungsbuch stellt eine Ergänzung der Bände des Lehrbuchs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" dar. Es enthält eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben mit Musterlösungen zu dem gesamten Grundlagenwissen, das Studierende der Volks- und Betriebswirtschaftslehre in Mathematik unbedingt benötigen.
Anhand der vollständigen Lösungen lernen die Studierenden, Aufgaben formal richtig zu bearbeiten. Viele Textaufgaben zeigen den engen Zusammenhang zwischen den mathematischen Fragestellungen und deren Anwendungen in der Wirtschaftspraxis auf.
Die Gliederung und Stoffauswahl orientiert sich am oben genannten Lehrbuch. Die Aufgabensammlung kann aber unabhängig von diesen Bänden benutzt werden. Auch sind die wesentlichen Regeln und Sätze am Anfang der einzelnen Kapitel im Übungsbuch nochmals zusammengestellt.