Leseecke

A Singular Introduction to Commutative Algebra

G.-M. Greuel, G. Pfister
Springer Verlag, 2008 (2. Auflage), 689+XX Seiten, 53,45 €

ISBN 978-3-540-73541-0

Mit dem Computeralgebrasystem SINGULAR kann man Berechnungen in (kommutativen) Polynomringen mit Koeffizienten in gewissen Körpern sowie in deren Faktorringen und Lokalisierungen (in maximalen Idealen) ausführen. Das vorliegende Buch führt in die Kommutative Algebra und damit auch in die Algebraische Geometrie so weit ein, wie das zum Verständnis der in SINGULAR verwendeten Begriffe und Algorithmen nötig ist. Die Auswahl der Themen erfolgte mit Blick auf deren Bedeutung für die Algebraische Geometrie und die Singularitätentheorie. Die Autoren suchen nicht nach größter Allgemeinheit, sondern beschränken sich auf jene Bereiche, die in einem Computeralgebrasystem darstellbar sind. Alle Begriffe, Algorithmen und Konzepte werden im Buch durch mit SINGULAR gerechnete Beispiele verdeutlicht. Beim Lesen hat man das angenehme Gefühl, dass das Buch viel an Inhalt vermittelt, dabei aber immer im positiven Sinn ”am Boden bleibt“. Das Fehlen von Hinweisen auf Anwendungen der vorgestellten Algorithmen (zum Beispiel in der ganzzahligen Optimierung, der Systemtheorie oder der Statistik) beeinträchtigt den sehr guten Gesamteindruck nur wenig.

Die ersten zwei Kapitel führen in die algorithmische Theorie der kommutativen Ringe und Moduln ein. Es werden die Theorie der Gröbnerbasen und der Standardbasen erläutert und deren grundlegende Anwendungen auf Berechnungen mit Idealen und Untermoduln besprochen (”Gröbner-basics“). In der vorliegenden zweiten Auflage wurde das erste Kapitel um einen Abschnitt ergänzt: Mit einem Beitrag von Viktor Levandovskyy über Gröbnerbasen in G-Algebren, einer Klasse von gewissen assoziativen Algebren, wird der Erweiterung von SINGULAR auf das Rechnen in nichtkommutativen Ringen Rechnung getragen. Wichtige Beispiele für G-Algebren sind Weyl-Algebren und universelle Einhüllende von endlichdimensionalen Lie-Algebren.

Im Kapitel 3 wird die Noethersche Normalisierung einer endlich erzeugten Algebra besprochen und ein auf einem Normalitätskriterium von Grauert und Remmert fußender Algorithmus zu ihrer Berechnung angegeben. Im Kapitel 4 geht es um die Berechnung der Primärzerlegung und des Radikals eines Ideals. Neu gegenüber der ersten Auflage sind Abschnitte über charakteristische Mengen (für die Berechnung der minimalen assoziierten Primideale) und über Dreiecksmengen (für ein Verfahren zur Lösung von nulldimensionalen Systemen polynomialer Gleichungen). Kapitel 5 ist dem Hilbert-Polynom bzw. dem Hilbert-Samuel-Polynom und deren Anwendung auf die Dimensionstheorie gewidmet. Kapitel 6 handelt von formalen Potenzreihen, dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz und der Berechnung von Standardbasen von Idealen in Potenzreihenringen. Das abschließende Kapitel 7 ist eine Einführung in die (algorithmische) homologische Algebra.

Das letzte Drittel des Buches besteht aus drei Anhängen: Anhang A liefert den geometrischen Hintergrund für die im Hauptteil des Buches eingeführten Begriffe und Resultate der kommutativen Algebra. Dieser Abschnitt ist eine sehr konkrete und anschauliche Einführung in die algebraische Geometrie. Anhang B (neu in der zweiten Auflage) beschreibt Algorithmen zur Faktorisierung von Polynomen in einer und mehreren Variablen über endlichen Körpern, Q und algebraischen Erweiterungen davon. Anhang C führt in die Benutzung des Computeralgebrasystems SINGULAR ein, dieser Anhang wurde in der zweiten Auflage im Hinblick auf die Version 3-0-3 überarbeitet.

(Rezension: Franz Pauer, Innsbruck) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 43 - Oktober 2008

Algebraic Aspects of Cryptography

N. Koblitz
Band 3 der Reihe Algorithms and Computations in Mathematics, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1998, pp. 206, 149,79€.

ISBN 3-540-63446-0

Der Autor, der durch seine Bücher "Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms'' (GTM 97, Springer 1984) und "A Course in Number Theory and Cryptography'' (GTM 114, Springer 1987) vielen Lesern dieses Rundbriefs gut bekannt sein wird, hat hier ein kleines Werk vorgelegt, das man wohl am Besten als "Lesebuch zu algebraischen Aspekten der Kryptographie mit öffentlichem Schlüssel'' charakterisieren kann.

Bis Mitte der 70er Jahre (der Autor setzt den Schnitt im Jahr 1976) spielten derartige Verfahren in der Kryptographie im Vergleich zu symmetrischen Verfahren bekanntlich eine untergeordnete Rolle. Dies änderte sich erst unter dem Druck verschiedener Computeranwendungsmöglichkeiten. Die generelle Aufgabenstellung für den Entwurf eines Kryptosystems mit öffentlichem Schlüssel kann man wie folgt formulieren: Es ist eine (injektive) Funktion f : X → Y von der Menge der Quelltexteinheiten X in die Menge Y der verschlüsselten Nachrichteneinheiten zu entwerfen, die für alle x ∈ X einfach zu berechnen ist, für die aber f^-1(y) für die meisten y ∈ im (f) ohne zusätzliche, öffentlich nicht zugängliche Information nicht mit zumutbarem Aufwand zu ermitteln ist. Allerdings soll es eine geheime Zusatzinformation, den privaten Schlüssel, geben, mit dessen Hilfe auch die Umkehraufgabe, das Dechiffrieren, einfach wird.

Viele schwierige mathematische Probleme gaben bisher Anlass für sichere oder vermeintlich sichere Verschlüsselungsverfahren. Die von einer Kryptanalyse zu beantwortenden Fragen sind dabei vor allem komplexitätstheoretischer Natur. Allerdings fortgeschrittener Art, denn die Existenz eines privaten Schlüssels legt die Frage nahe, ob man nicht durch geschickte Kombination öffentlich erzeugbarer Zusatzinformationen diesen Schlüssel doch irgendwie berechnen kann. Die "Code-Knacker'' setzen gerade hier an.

Da sich damit in der Kryptanalyse die gesamte Mathematik wie in einem Brennglas sammelt, wird man in einem Büchlein wie dem des Autors immer nur einen kleinen Ausschnitt dieses großen Gebiets einfangen können. Der Autor hat hierfür drei Themenkreise (Monomsysteme, polynomiale Gleichungssysteme und Verallgemeinerungen des Diffie-Hellman-Verfahrens auf elliptische und hyperelliptische Kurven) mit algebraischem Hintergrund gewählt, die bisher nicht in monographischer Form vorlagen.

Das Buch kann man grob in zwei (auch umfangmäßig etwa gleich große) Teile teilen. Im ersten Teil (Kap. 1 - 3) werden wichtige Begriffe und Zusammenhänge der im Weiteren benötigten mathematischen und kryptographischen Grundlagen erläutert und teilweise bewiesen. Der Umfang dieses Teils ist vor allem einer recht detaillierten Darlegung algorithmischer Aspekte geschuldet. Diese fände man zwar auch anderswo, jedoch gewinnt das Buch damit selbst für fortgeschrittene Studenten eine gewisse Abgeschlossenheit. Ein Teil des Materials wurde (für den fleißigen Leser) in eine Fülle von Übungsaufgaben ausgelagert, zu denen im Anhang Lösungen bzw. Lösungshinweise enthalten sind.

Der erste Teil umfasst im Einzelnen eine Tour durch kryptographische Fragen (Aufgabenstellung und Geschichte; das RSA-Kryptosystem; der Ansatz von Diffie-Hellman zur Verwendung von Logarithmus-Abbildungen; Anwendungen auf digitale Signaturen, Passwörter, Auswertung verdeckter Information), die Diskussion relevanter Komplexitätsklassen (polynomial vs. exponentiell; P, NP und NP-hart; Berechnungsaufgaben mit Zusatzinformationen; probabilistische Verfahren) an Beispielen aus Kombinatorik und Zahlentheorie sowie Fragen aus der Theorie endlicher Körper (Existenz- und Eindeutigkeitssatz; konstruktive Aspekte) und der Polynomringe (bis hin zu Hilberts Nullstellensatz, S-Polynomen und Gröbnerbasen).

Im zweiten Teil wird der Leser, begleitet von Alice, Bob und Catherine, durch die bereits oben genannten drei Themenkreise geführt. Der Autor legt großen Wert auf eine ausführliche und verständliche Darlegung des jeweils betrachteten kryptographischen Verfahrens, das in den zugehörigen Übungsaufgaben weiter vertieft werden kann. Die Kryptanalyse erfolgt in der Regel von einer einfach zu brechenden Variante aus, die sich verstärken, aber mit mehr Einsatz von Mathematik auch wieder brechen lässt. Der dabei gezeichnete Weg führt von einer guten Straße über unebenes Gelände bis hin zum Dickicht moderner Forschungen und (noch) ungelöster Fragen.

Kap. 4 befasst sich mit dem Imai-Matsumoto-System. Die Idee des Systems besteht darin, die Abbildung u → u^h zum Verschlüsseln zu verwenden, wobei u aus einer endlichen Erweiterung von F_q stammt. Zusätzlich werden affine Transformationen vor- und nachgeschaltet, um "die Spuren zu verwischen''. Für geeignete Exponenten h (Summen von wenigen q-Potenzen) lässt sich daraus ein polynomiales Kodierungssystem herleiten. Die Kryptanalyse zeigt, dass in einigen Fällen aus diesen Gleichungen die Existenz bilinearer Gleichungen folgt, die man zum Kodebrechen mit linearer Algebra verwenden kann.

Kap. 5 befasst sich mit dem "Polly Cracker''. Hierbei ist X = F ein Körper und Y = F[T₁,...,T_n] ein Polynomring. Eine Nachricht x ∈ X wird durch ein zufälliges Polynom p ∈ I(B) bzgl. eines (öffentlich bekannten) Polynomsystems B ⊂ Y zu c = x + p verfälscht. Die Dechiffrierung erfolgt mit Kenntnis einer (geheimen) Nullstelle y ∈ Fⁿ von B. Die Kryptanalyse muss also feststellen, wie schwierig es ist, eine solche Nullstelle allein aus den Gleichungen B zu bestimmen. Hierzu werden Gleichungssysteme betrachtet, die sich aus verschiedenen NP-harten kombinatorischen Problemen ableiten lassen, womit das Erstellen eines solchen Systems in P, sein Knacken aber (wahrscheinlich) in NP liegt. Abschließend wird eine Verallgemeinerung des Polly Crackers betrachtet, wo X eine Teilmenge der Standardmonome bzgl. I(B) ist. Der Autor folgt den Argumenten von T. Mora (1993), der vermutet, dass es mit Blick auf intelligente Attacken mit linearer Algebra einen solchen "Krypto-Gröbner'' nicht geben kann.

Kap. 6 ist schließlich Kryptosystemen auf der Basis elliptischer und hyperelliptischer Kurven gewidmet. Diese basieren auf der Idee von Diffie-Hellman, die auf die additive Gruppe der Kurve (im elliptischen Fall) bzw. deren Jacobischer (im hyperelliptischen Fall) angewendet wird. Damit vergrößert sich der Fundus von Gruppen, wo man die Anwendung der genannten Idee studiert hat, beträchtlich. Die Ausführungen beginnen mit einer Zusammenstellung der wichtigsten Fakten aus der Theorie elliptischer Kurven, die im weiteren benötigt werden. Es schließt sich eine ausführliche Erörterung verschiedener Aspekte von Kryptosystemen an, die elliptische Kurven verwenden (subexponentielles Verhalten des Originalverfahrens von Diffie und Hellman für G = F_q^*; Diskreter Logarithmus und "schlechte'' Gruppenordnungen; ECDSA-Verfahren zur digitalen Signatur; Auswahl "guter'' Kurven und Probleme der klassischen Zahlentheorie). Im abschließenden Teil werden die Fragen auf hyperelliptische Kurven übertragen. Wichtigstes neues Problem ist dabei die effiziente Ausführung der Addition auf der Jacobischen, das in einem Anhang ("An Elementary Introduction to Hyperelliptic Curves'' von A. J. Menezes, Yi-Hong Wu und R. J. Zuccherato) abgehandelt wird.

Mit zunehmender Schwierigkeit des Materials werden die Ausführungen dabei skizzenhafter und beschränken sich immer stärker auf den Hinweis auf entsprechende Quellen, was den Charakter eines guten "Lesebuchs'', wie ich es oben bezeichnet habe, ausmachen sollte. Das Buch eignet sich damit selbst für "advanced undergraduates'', wie es im Klappentext heißt, als Einstieg und erster Überblick über ein Gebiet, in dem sich in den letzten Jahren auf überraschende Weise praktische Anwendungsmöglichkeiten für tief innermathematische Themen ergeben haben.

Rezension: Hans-Gert Gräbe (Leipzig) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 25 - Oktober 1999

Algorithmische Geometrie

M. Joswig, T. Theobald
Vieweg Verlag, 2008, 266 Seiten, 37,99 €

ISBN 978-3-8348-0281-1

Algorithmische Fragen in der Geometrie erhielten in den letzten Jahrzehnten vor allem durch Anwendungen in der Computergraphik oder bei Optimierungsprobleme eine große Aufmerksamkeit. Das vorliegende Lehrbuch von Joswig und Theobald möchte auf einem auch für Bachelor-Studiengänge geeigneten Niveau in dieses Gebiet einführen.

Das Buch gliedert sich in drei Teile. Der erste behandelt die lineare algorithmische Geometrie. Er beinhaltet zunächst eine kurze Einführung in die projektive Geometrie (die an vielen Stellen im Buch benutzt wird) und studiert dann ausführlicher Polytope und Polyeder. An algorithmischen Fragestellungen werden die lineare Optimierung mit dem Simplex-Algorithmus sowie die Berechnung von konvexen Hüllen, Voronoi-Diagrammen und Delone-Zerlegungen diskutiert.

Der zweite Teil beschäftigt sich mit der nichtlinearen algorithmischen Geometrie, was hier vor allem das Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Gröbnerbasen bedeutet. Dazu werden zunächst die benötigten Grundbegriffe aus kommutativer Algebra und algebraischer Geometrie eingeführt. Dann werden Gröbnerbasen und deren Berechnung mit dem Buchberger-Algorithmus diskutiert. Das Lösen erfolgt schließlich mit Hilfe von Eliminationsidealen (und vereinzelt auch Resultantenmethoden).

Im dritten Teil werden weiterführende Anwendungen angeschnitten. Hier wird als erstes das Problem der Kurvenrekonstruktion studiert. Dann werden einige Fragen zu Geradenkonfigurationen mit Hilfe von Plücker-Koordinaten behandelt. Den Abschluss bilden einige Anwendungen der nichtlinearen Geometrie, wie das direkte kinematische Problem bei Stewart-Plattformen oder das Global Positioning System (GPS).

Laut Klappentext ist das Buch für Studierende ab dem 4. Semester gedacht. Zumindest der erste Teil kann aber sicherlich auch schon im 3. Semester benutzt werden. Der zweite Teil setzt jedoch eine Einführungsvorlesung in Algebra voraus, wie sie typischerweise erst im 3. Semester gehört wird. Die Autoren geben sich große Mühe, alle Beweise auf einem dieser Studienphase angemessenen Niveau zu führen sowie alle Konstruktionen durch nachvollziehbare Anwendungen zu motivieren. Wie es sich für ein ordentliches Lehrbuch gehört, werden alle Kapitel durch Übungsaufgaben ergänzt sowie kurzen ”Anmerkungen“, in denen u. A. auf weiterführende Literatur oder verfügbare Software verwiesen wird. An vielen Stellen werden konkrete Berechnungen in Systemen wie POLYMAKE, SINGULAR oder MAPLE vorgeführt.

Kritisch lässt sich nur wenig anmerken. Wünschenswert wäre ein weiterer Anhang, in dem die verwendeten Konzepte aus der Topologie kurz eingeführt werden, da gerade bei Bachelor-Studierenden nicht unbedingt vorausgesetzt werden kann, dass sie eine Topologie-Vorlesung besucht haben. Da die Autoren verschiedentlich auf Komplexitätsfragen eingehen, verwundert es, dass nicht einmal in den Anmerkungen zum Buchberger-Algorithmus etwas über die praktische Komplexität des Algorithmus zu finden ist. An einigen wenigen Stellen haben sich auch kleine Fehler eingeschlichen, die sich aber leicht korrigieren lassen. Aufgrund eines Fehlers des Verlags ist übrigens der größte Teil der Auflage ohne Inhaltsverzeichnis erschienen; die Autoren stellen auf der Webseite www.mathematik.tu-darmstadt.de/˜joswig/algo/index.html einen Ersatz in Form einer PDF-Datei zur Verfügung.

Insgesamt handelt es sich aber um ein sehr gelungenes und gut lesbares Lehrbuch, das sich in Bachelor- Studiengängen vielfältig einsetzen lässt.

Rezension: Werner M. Seiler, Kassel aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 45 - Oktober 2009

The Four Pillars Of Geometry

John Stillwell
Springer Verlag (2005), 228 Seiten, 40,99 €

ISBN: 13 978–0387–25530–9

Um es vorweg zu nehmen: Sicherlich kann das Buch höchstens als Zusatzlektüre zu einer Vorlesung über Geometrie dienen. Andererseits – und das macht dieses Buch in meinen Augen wertvoll – umfasst das Buch das Wissen, das ein Gymnasiallehrer von Geometrie mindestens haben sollte. Und so profitieren nicht nur Studierende des Staatsexamens, sondern auch „fertige“ Lehrer und, nicht zuletzt, Schüler der höheren Klassenstufen. Das aber ist sicherlich mehr, als man von manch anderem Buch über Geometrie sagen kann. Leider steht dem gegenüber der hohe Preis (ca. 45 €) und damit gleich am Beginn der Besprechung meine Aufforderung an den Springer-Verlag, ein Paperback zu einem deutlich geringerem Preis folgen zu lassen.

Vier Säulen habe die Geometrie, so John Stillwell, nämlich die Euklidische Geometrie, die lineare Algebra, die projektive Geometrie und die Transformationsgruppen. Jede dieser Säulen bilde einen eigenständigen Zugang zur Geometrie; aber die Kenntnis aller vier sei nötig, um die Geometrie in ihrer Gesamtheit zu sehen und verstehen, ginge es doch gerade um die Möglichkeit, unterschiedliche Standpunkte einnehmen zu können. Diesen Gedanken kann sicherlich jeder Geometer (und hoffentlich auch jeder andere Mathematiker) nur zustimmen.

Jeder der angesprochenen Säulen werden in dem Buch zwei Kapitel gewidmet: Das jeweils erste beschäftigt sich mit eher konkreten Themen, während das zweite mehr zum Abstrakten geht. Jedes der einzelnen Kapitel ist eingerahmt von einer Vorschau und einer Diskussion, die sowohl geschichtliches Wissen als auch Ausblicke gibt. In diesem Rahmen steht liebevoll aufbereitet und mit vielen, für einen Anfänger sehr nützlichen, Aufgaben versehen der eigentliche Text. An jeder Stelle erkennen wir, dass dem Autor die Geometrie wirklich an das Herz gewachsen ist und dass er diese Freude an den Leser weitergeben möchte. An keiner Stelle hat man den Eindruck, in einer toten Einöde des Wissens im Schema „Definition-Satz-Beweis“ allein gelassen zu werden. Jeder Begriff wird verständlich erläutert. Wo eine Zeichnung not tut, da finden wir eine; wo zusätzliche Erklärungen zum Nutzen eines Begriffes erforderlich sind, da werden diese gegeben.

Der axiomatische Aufbau der Euklidischen Geometrie, motiviert durch Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal, umfasst unter anderem die Beweise der Sätze von Pythagoras und Thales (und macht ihre Abhängigkeit vom Parallelenpostulat deutlich) und, abschließend, einer Diskussion der Hilbertschen Axiome der Euklidischen Ebene. Der nächste Pfeiler, die Lineare Algebra, wird in der Sprache der Koordinaten begonnen und nimmt zunächst Kurs auf Isometrien und den Drei-Spiegelungen-Satz. Das Ziel aber ist die Einführung von (Euklidischen) Vektorräumen. Projektive Geometrie wird ausführlich am Thema Perspektive motiviert und erreicht über das Doppelverhältnis und die Sätze von Pappus und Desargues die geometrische Konstruktion der Addition und der Multiplikation. Den Abschluss bilden die Transformationsgruppen, eingeführt am Beispiel der linearen Transformationen, der Transformationen der projektiven Geraden und der Isometriegruppe der 3-Sphäre inklusive ihrer Beschreibung durch Quaternionen. Diese Vorbereitungen dienen im letzten Kapitel dann zur näheren Betrachtung der hyperbolischen Geometrie und ihrer Transformationen.

Um den Kreis zur Einleitung zu schließen: Aus der heutigen Sicht tiefliegende Ergebnisse kann das Buch nicht aufweisen. Auch ist die Stoffauswahl nicht auf einen der heute üblichen mathematischen Studiengänge an einer Hochschule zugeschnitten, so dass das Buch nur als gewinnbringende Begleitlektüre dienen kann. Übrig bleibt ein Kanon des geometrischen Wissens, den ich als „Allgemeinbildung“ bezeichnen möchte, der in allgemein verständlicher Form hervorragend aufbereitet ist. Das ist zu einer Zeit, in der nicht nur die Geometrie immer mehr ins Abseits gedrängt wird, schon sehr viel. Und so erklärt sich hoffentlich meine Begeisterung für dieses Buch, das man wohl jedem mathematisch interessierten Abiturienten, auf jeden Fall aber jedem Mathematiklehrer in die Hand geben möge.

Rezension: Harald Löwe, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2007, Band 54, Heft 1, S. 128
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Vorkurs Mathematik
Ein Übungsbuch für Fachhochschulen

M. Knorrenschild
Carl Hanser Verlag, 176 Seiten , 2013, 4. Aufl., 12,99 €

ISBN: 3-446-43798-3

Beurteilung

Das Buch ist nicht unbedingt zum Auffrischen, sondern zum Schließen von Lücken konzipiert und erfordert gewisse Eigeninitiative. Das Ziel ist es, elementare mathematische Begriffe und Methoden gründlich zu vermitteln. Es wird bewusst auf fortgeschrittene Themen wie Grenzwert-, Differential- und Integralrechnung verzichtet und nur der Stoff bis zur 10 Klasse behandelt. Auch gibt es viele Beispiele und Übungsaufgaben, die zur Festigung des Stoffs beitragen.
Fazit:
Wenn man weiß, dass nur elementare Themen behandelt werden, ist es sehr zu empfehlen und sehr preiswert.

Inhalt

1. Elementares Rechnen
   (Grundrechenarten / Bruchrechnen / Prozentrechnen / Potenzen / Summen und Produkte / Fakultäten und Binomialkoeffizienten)
2. Elementare Strukturen
   (Aussagenlogik / Anordnung von Zahlen / Mengenlehre)
3. Funktionen
   (Grundlegendes / Umkehrbarkeit, Monotonie / Komposition / Translation, Skalierung, Spiegelung / Wurzelfunktionen / Polynome bis zweiten Grades / rationale Funktionen / Exponential- und Logarithmusfunktion)
4. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen
   (Grundlegendes / lineare Gleichungen / Gleichungen mit Brüchen / Gleichungen mit Beträgen / Quadratische Gleichungen / Gleichungen mit Quadratwurzeln / Bestimmung von Umkehrfunktionen / weitere Gleichungen / Gleichungssysteme / Textaufgaben / Grundlegendes zu Ungleichungen / lineare Ungleichungen / Ungleichungen mit Brüchen / Ungleichungen mit Beträgen / Quadratische Ungleichungen / weitere Ungleichungen)
5. Ein wenig elementare Geometrie
   (Rechtwinklige Dreiecke / Kreise und Ellipsen / Hyperbeln / Parabeln und Geraden / Strahlensätze)
6. Trigonometrische Funktionen
   (Trigonometrie am Einheitskreis / Wissenswertes über sin und cos / Schwingungen / Wissenswertes über tan, cot / Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen)
7. Einige Tests

• Lösungen der Aufgaben und Tests
• Literaturverzeichnis
• Sachverzeichnis