Leseecke

Kreisgeometrie
Eine elementare Einführung

Günter Aumann
Springer Spektrum, Auflage: 2015 (2. März 2015), Taschenbuch, 260 Seiten, 24,99 €

ISBN-10: 3662453053
ISBN-13: 978-3662453056

Fragt man heutige Lehramtsstudierende des Masters of Education, welche Sätze der Kreisgeometrie sie kennen, so erntet man Unverständnis – der Begriff Kreisgeometrie ist ihnen nicht geläufig. Erläutert man genauer, was inhaltlich gemeint ist, so fällt ihnen aus den Zeiten ihres Schulunterrichts noch ein, dass es den Thales-Kreis gibt und die Kreistangente im Berührpunkt senkrecht auf dem zugehörigen Radius steht. Mehr ist in der Regel kaum zu holen, ein Faszinosum wie der Name „Peripheriewinkelsatz“ löst Erstaunen aus: Weder in der Schule noch im Mathematikstudium ist den Studierenden so etwas je begegnet. Für diese Lücken in einem einst zentralen Bereich der Schulgeometrie¹ lassen sich verschiedene Gründe anführen: Zum einen ist da der allgemeine Rückgang der Geometrie in der Schule zu nennen, verknüpft mit einem fast vollständigen Verschwinden der traditionellen synthetischen Geometrie aus den Universitätsvorlesungen, zum andern die starke Orientierung hin auf das Allgemeine, sprich die lineare Algebra, im Studium. Ein Juwel der Kreisgeometrie, der Neunpunktesatz, der in deutscher Sprache gerne nach Karl Wilhelm Feuerbach (1800–1834) benannt wird, war ein beliebtes Beispiel für ein nutzloses Spielzeug ohne allgemeinen Wert, wie sich Jean Dieudonné in seinem Feldzug gegen die klassische Geometrie in etwa ausdrückte.² Schließlich spielt der Kreis in einer axiomatisierten Geometrie à la Hilbert keine Rolle mehr. Eine Ausnahme im großen Trend war allerdings Johannes Kratz’ Buch (1983) zur Didaktik der Geometrie [2], das ausführlich auf die Kreisgeometrie einging.

Umso erfreulicher ist es, dass nun ein Buch vorliegt, das diese fast vergessenen Inhalte in ansprechender und gut zugänglicher Darstellung behandelt. Günter Aumann’s „Kreisgeometrie“ bringt auf rund 250 Seiten sehr viel Material aus dem Bereich der Kreisgeometrie, beginnend mit dem motivierenden Thema „Maßwerke der Gotik“ über grundlegende einfache Sätze (die Annahme des Autors, diese seien aus der Schule bekannt (vgl. S. VI), scheint mir allerdings mehr als optimistisch) bis hin zu Preziosen wie Feuerbach-Kreis, Malfatti-Kreise und natürlich Apollinisches Berührproblem. Auch weniger bekannte dennoch interessante Themen wie die Möbius’schen Kreisverwandtschaften – die konforme Ebene also –, Kreisketten sowie Kurven konstanter Dicke und Reuleaux-Polygone kommen zur Sprache. Einiges aus dem Bereich der projektiven Geometrie wird erwähnt (harmonische Punkte, Sätze von Pascal und Brianchon), aber auch Konstruktionen mit dem Zirkel (Mohr-Mascheroni) und dem Lineal allein (Poncelet-Steiner). Ein- und umbeschriebene Vielecke sind ein wichtiges Thema, Kleinode mit Praxisbezug sind Geradführungen und Watts Bohrer.

Die Voraussetzungen, die die erfolgreiche Lektüre des Buches erfordert, sind relativ gering. Nach dem Grundstudium der Mathematik sollte man über diese verfügen. Zahlreiche schön gestaltete Abbildungen, dankenswerterweise durchgehend farbig, erleichtern einerseits das Verständnis und belegen andererseits den hohen ästhetischen Wert gerade der Kreisgeometrie. Das Vorgehen des Autors ist elementargeometrisch, der Einsatz von Algebra wurde weitgehend reduziert. Eine Diskussion der axiomatischen Grundlagen gibt es nicht; in der Tradition des 19. Jhs. starten wir – wie auch im Schulunterricht – gewissermaßen mittendrin. Ganz wie E. Bloch zu Beginn seiner Tübinger Vorlesungen bemerkte: Mitten hinein versetzt zu werden, ist am besten. Recht kurz bei Aumann kommen historische Aspekte der Kreisgeometrie, hier könnte der interessierte Leser ergänzend zu Tropfke’s Klassiker (1940) [3] greifen, der 40 Seiten wertvolle Informationen rund um den Kreis bietet.

Der These des Autors „Die Kreisgeometrie ist das ideale Gebiet, Interessierten den Reichtum der Geometrie zu erschließen.“ (S. VI) kann man auf Grund dieses Buches nur zustimmen. Schön wäre, ähnliche Bücher zu anderen Themen der Geometrie zu haben, wie etwa sphärische Geometrie oder Raumgeometrie. Und noch schöner wäre es natürlich, wenn solche Themen wieder intensiver in der Lehrerbildung zur Sprache kämen.

Rezension: Klaus Volkert (Wuppertal)

Literatur

1. Baltzer, R.: Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie. Die Elemente der Mathematik, Bd. 2. Hirzel, Leipzig (1867)
2. Kratz, J.: Zentrale Themen des Geometrieunterrichts aus didaktischer Sicht. BSV, München (1983)
3. Tropfke, J.: Ebene Geometrie. Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 4. De Gruyter, Berlin (1940). Bearbeitet von K. Vogel
4. Weber, H., Wellstein, J.: Elementare Geometrie. Encyklopädie der Elementar-Mathematik, Bd. II. Teubner, Leipzig (1907)

¹ Man vgl. etwa klassische Darstellungen des mathematischen Schulstoffes für die Hand des Lehrers wie jene von R. Baltzer (1867) [1] oder von Weber-Wellstein (1907) [4].
² Vgl. die Einleitung zu seinem Buch „Algèbre linéaire et géométrie élémentaire“ (1964) oder auch seinen Artikel „Moderne Mathematik und Unterricht auf der höheren Schule“ (Mathematisch-physikalische Semesterberichte 8 (1962), 166–177).

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Der SchnellerSchlauerMacher für Zufall und Statistik

Christian Hesse
Springer Spektrum (13. Oktober 2015), 288 Seiten, ab 9,00 €

ISBN-10: 3662471191
ISBN-13: 978-3662471197

Christian Hesses SchnellerSchlauerMacher will kein populärwissenschaftliches Sachbuch sein. Es ist aber auch kein einführender Kurs in die Wahrscheinlichkeitstheorie, und erst recht kein Buch, das hülfe, schnell und effizient durch eine Prüfung oder Klassenarbeit zu kommen. Viel eher ist es ein modernes schlaues Buch für ein in erster Linie als jugendlich angenommenes Zielpublikum: eine Sammlung weitgehend unabhängig voneinander lesbarer Kapitel zu leicht verständlichen und repräsentativen Problemen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandten Gebieten.

Begonnen wird mit der Kontraintuivität zufälliger Phänomene, demonstriert an der scheinbar einfachen Aufgabe, eine Folge von fairen Münzwürfen zu imitieren. Weitere Themen sind: Lottowahrscheinlichkeiten, Gleichgewichtsstrategien in Nullsummenspielen (am Beispiel Schere-Stein-Papier und evolutionären Konkurrenzsituationen), Ziegenproblem, Benfordsches Gesetz, Lebenszeitschätzung nach J. Gott, Geburtstagsparadoxon, Simpson-Paradoxon, Testfehler und noch einiges mehr. Das fachliche Vokabular wird dabei durchgehend möglichst gering gehalten. Stattdessen wird zielstrebig vorgerechnet und unterwegs die Intuition des Lesers in die richtige Spur gelenkt. Die Erklärungen sind dennoch zumeist mathematisch sauber und genau. Vielfach werden unterschiedliche Lösungswege für die behandelten Probleme aufgezeigt, die sich auch im Abstraktionsgrad unterscheiden. In eingeschobenen Abschnitten meldet sich die Figur des Erklärbären zu Wort, der sich auf Erklärbares beschränkt. Im Haupttext hingegen bleibt Platz für zahlreiche Anmerkungen über dies und das, und durch die zusätzlichen Auftritte der Mitglieder einer Familie K. bekommt der Text auch ein großes Quäntchen Lebensnähe.

Fazit: ein niederschwelliges, sehr kurzweilig zu lesendes Buch, das sicher bei vielen Menschen ab der 9. Schulstufe Lust und Interesse an der Mathematik abseits rigider Lehrpläne wecken kann. Aber auch überall dort, wo Wahrscheinlichkeitstheorie als lästige Pflichtveranstaltung wahrgenommen wird, könnten Lehrende wie Lernende dem Buch mehr als eine Anregung für eine oft vermisste Illustrierung ihres Fachs entnehmen.

Rezension: Claus Griessler (Wien)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Zahlenzauber

J.H. Conway, R.K. Guy
Birkhäuser, 2002, 342 Seiten, 32 €

ISBN: 3764352442

Der Birkhäuser-Verlag hat ein wirklich informatives Buch zum Thema "Zahlen" in einer guten Übersetzung herausgebracht. Es wurde gutes Papier verwendet, es gibt viele Abbildungen, und die sind oft mehrfarbig.
Zum Inhalt: Die Autoren nähern sich dem Zahlbegriff zunächst historisch, z.B. vergleichen sie, nach welchem System in verschiedenen Sprachen gezählt wird: Nicht nur die Franzosen sagen so etwas Kompliziertes wie sechzig-fünfzehn, wenn sie 75 meinen.
Bald schon wird es mathematischer, eingehend werden die Untersuchungen der Pythagoräer zu speziellen Zahlen beschrieben (Dreieckszahlen, Viereckszahlen, vollkommene Zahlen usw.). Später trifft man viele gute Bekannte, die einem aus anderen Zusammenhängen geläufig sind, wie Primzahlen oder Fibonacci-Zahlen. Der Rezensent hat aber auch eine Fülle von Neu-Entdeckungen gemacht. Sei es, dass es über schon vertraute Zahlen neue interessante historische oder mathematische Informationen gibt, sei es, dass man von Zahlen hört, die einem auch nach vielen Jahren der Beschäftigung mit der Mathematik noch nie vorgestellt wurden: Das Buch ist eine wahre Fundgrube. Es behandelt auch Entwicklungen, die erst in den letzten Jahren aktuell wurden wie etwa die surrealen Zahlen. (Merkwürdigerweise wird zum Thema "nonstandard Analysis" überhaupt nichts gesagt.) Fazit: Das Buch ist rundum empfehlenswert, auch und besonders für Fans der Mathematik unter den Nicht-Fachleuten. Sie erfahren, welche verschiedenen Typen von Zahlen das Interesse der Mathematiker hervorgerufen haben, was die Quadratur des Kreises mit den zahlentheoretischen Eigenschaften von zu tun hat, wie der goldene Schnitt mit den Fibonacci-Zahlen zusammenhängt und und und.
Ich empfehle es aber auch allen Berufsmathematikern, die einmal im Teilbereich "Zahlen" auf Entdeckungsreise gehen wollen.

(Rezension: Ehrhard Behrends)

Zwilling der Unendlichkeit
Eine Biographie der Zahl Null

Charles Seife
Goldmann Verlag, 2002, 10 €

ISBN: 344215054X

"Das Universum beginnt und endet mit der Null", so schließt der Mathematiker und Journalist Ch. Seife sein Buch. Etwas weiter davor steht: "Die Null wohnt sozusagen an der Nahtstelle von Quantenmechanik und Relativitätstheorie. Sie wohnt dort, wo die beiden Theorien sich treffen, und ist verantwortlich für deren Kollision."
Seife spricht der Null etwas Mystisches zu. Für ihn ist klar, dass die Null entdeckt und nicht vom menschlichen Verstand geschaffen wurde. Selbstverständlich beginnt auch Seife sein Buch mit historischen Ausführungen, denn er schreibt ja eine "Biographie". Literarisch elegant gelingt es ihm dann immer wieder, der Null in den für uns gerade grundlegenden physikalischen Theorien zu Ruhm zu verhelfen. Nebenbei erfährt der Leser etwas über den Casimir-Effekt und schwarze Löcher und das alles zum Preis für ein Buch über Null!

(Rezension: Harald Nusser)

Das Buch der Zahlen

Adam Spencer
Dtv, 2002, 192 Seiten, 9 €

ISBN: 3423204893

Dieses Buch beschreibt eine kurze und äußerst kurzweilige Reise durch die Welt der natürlichen Zahlen von 1 bis 100. Die jeweilige Zahl wird hierbei mit den unterschiedlichsten Bereichen des Lebens in Verbindung gebracht. So erfährt der Leser, wie oft pro Jahr jeder Bürger Kentuckys dem Gesetz nach ein Bad nehmen muss. Wer hätte gedacht, dass fast jede Zahl etwas Film, Musik und Religion zu tun hat?
Die wenigen mathematischen Fachbegriffe (z. B. Primzahl, vollkommene Zahl) werden leicht verständlich erläutert, und sie werden auch nur für das Verständnis eines Bruchteils des Buchs benötigt.
Nicht zuletzt durch die zahlreichen Knobelaufgaben hat es jedem etwas zu bieten, ob Mathemuffel oder Mathefreak.
Als kleiner Wermutstropfen müssen ein paar Fehler betrachtet werden, die bei gründlicherer Übersetzung hätten vermieden werden können.

(Rezension: Andreas Braunß)