Leseecke

1+1=10: Mathematik für Höhlenmenschen

Jürgen Beetz
Springer Spektrum; Auflage: 2012 (24. Oktober 2012), 19,95 €

ISBN-10: 3827429277
ISBN-13: 978-3827429278

Ein bemerkenswertes Buch hat der Autor verfasst: Ungewöhnlich in der Darstellung der Inhalte (Inszenierung), interessant in der Auswahl der Themen, ärgerlich wegen seiner vielen Fehler im Detail.

Ungewöhnlich in der Darstellung.
Der Untertitel „Mathematik für Höhlenmenschen“ soll die Idee des Autors zusammenfassen, uns in die Steinzeit zu versetzen und „Gedankengänge und Erklärungen unserer Vorfahren“ nachzuvollziehen. So wird die Mathematik immer wieder in Gesprächen der beiden Protagonisten (Eddi Einstein und Rudi Radlos) elementar entwickelt. Das geschieht nicht in wissenschaftlich-elaborierter Sprache, sondern umgangssprachlich, teils witzig, teils „locker-flockig“. Das macht das Buch gut lesbar. Manchmal werden die beiden noch durch zwei weitere Höhlenmenschen ergänzt: einen Seher, der schon alle Mathematik bis heute hin erkennen und daher auch die späteren Erkenntnisse der Mathematik mitteilen kann (bis hin zum Beweis des großen Satzes von Fermat durch A. Wiles), und eine Frau, die noch schlauer ist als die Männer ...

Die Herleitung vieler mathematischer Gedankengänge im Dialog halte ich für eine geschickte methodische Variante, warum diese Dialoge aber in der Steinzeit stattfinden, bleibt mir rätselhaft. So sagt denn auch der Untertitel „Mathematik für Höhlenmenschen“ nichts über den Inhalt aus.

Interessant in der Auswahl der Inhalte.
Der Titel „1 + 1 = 10“ ließ mich ein Buch über Mathematik des Computers erwarten – das allerdings war ein Fehlschluss. Von diesem Thema handelt nur das vorletzte Kapitel mit rund 30 Seiten, in dem vom Dualsystem und Boolescher Algebra ausgehend, über Algo­rithmen und Ablaufstrukturen, Datenbanken bis hin zu Backus-Naur-Formen und Turing-Test viele Aspekte angerissen werden – hier wäre weniger mehr gewesen.

Der Hauptteil des Buches stellt, meist in elementarer Weise, mathematische Themen vor: Zahlen und Gleichungen (Kapitel 1), Elementargeometrie (Kapitel 2), Funktionen und Kurven (Kapitel 3, 4). Die Kapitel 6, 8 und 9 entwickeln die Infinitesimalrechnung, Kapitel 5 und 10 stellen Grundfragen der beschreibenden Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Kapitel 11 führt in das Thema Chaostheorie und Fraktale ein. Relativ anspruchsvoll werden im Kapitel 7 Fragen der mathematischen Beweistechnik und im letzten 13. Kapitel Aspekte der wissenschaftstheoretischen Einordnung der Mathematik behandelt.

Gekonnt sind die Ausflüge (Exkurse) am Rand der Mathematik (in den Kapiteln 10 und 11) zu Finanzkrise und Börsengeschehen. Auf sehr anschauliche, konkrete Weise werden hier die komplexen Zusammenhänge dargestellt.

Der Autor lässt es sich auch nicht nehmen, Rosinen der Mathematik anschaulich zu präsentieren. So finden u. a. das Simpson-Paradoxon, die Collatz-Folge und das Problem des Handlungsreisenden („traveling salesman problem“) gebührende Aufmerksamkeit.

In zwanzig Seiten Anmerkungen werden Quellen und häufig zusätzliche Literaturstellen benannt.

Ärgerlich wegen der vielen Fehler.
Unverständlich, dass offensichtlich heutzutage selbst bei einem so renommierten Verlag (Springer Spektrum) vor einer Veröffentlichung nicht mehr ein Lektor an den Text gesetzt wird, zumindest nicht ein im Fach bewanderter. Die „normalen“ Druckfehler halten sich in den üblichen Grenzen. Aber mehr als zehn dicke fachliche Fehler in Formeln und im Text – gleichmäßig über das Buch verteilt – darf man wohl als Zumutung empfinden.

Wem kann man das Buch empfehlen?
Allen, alt oder jung (ab 15 Jahren), die Kenntnisse auffrischen, neue Aspekte erfahren oder - über den üblichen Schulstoff hinaus – mathematische Ideen kennenlernen wollen.

Wegen seines Unterhaltungswertes dürfte es auch Lesern gefallen, die der Mathematik gegenüber skeptisch oder zurückhaltend eingestellt sind. Damit solche Leser nicht verunsichert oder gar falsch informiert werden, sollten die Fehler möglichst bald korrigiert werden.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

50 Schlüsselideen Mathematik

Tony Crilly
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2009, 208 Seiten, 24,95 €

ISBN-10: 9783827421180
ISBN-13: 978-3827421180

50 Kapitel zu je 4 Seiten machen dieses Buch im ungewöhnlichen, weil quadratischen Format aus. Jedes Kapitel stellt eine Schlüsselidee aus den unterschiedlichsten Bereichen der Mathematik vor, z.B. imaginäre Zahlen, das Vier-Farben-Problem, die Normalverteilung oder die Riemannsche Vermutung. Selbst der Dreh- und Angelpunkt der Schulmathematik, die Differential- und Integralrechnung, wird auf vier Seiten präsentiert. Da es, wie der Titel des Buches verspricht, um Ideen geht, wird manches mathematisch nicht präzisiert und sogar bewusst vage gehalten, um besser den Kern der Sache herausstellen zu können; zum Beispiel kommt der Autor ohne die Formel für die Dichte der Normalverteilung aus. Anstelle genau formulierter mathematischer Aussagen tritt häufig ein repräsentatives Beispiel.

Wer schon immer wissen wollte, worum es beim Problem des Handlungsreisenden geht, was das Parallelenpostulat besagt oder wer die Null erfunden hat, wird dieses Buch mit Gewinn lesen.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Abenteuer Mathematik
Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion

Pierre Basieux
Rowohlt Tb, 4., Aufl. (2. Januar 1999), 415 Seiten, 10,50 €

ISBN-10: 3499601788
ISBN-13: 978-3499601781

Die Mathematik hat in der Öffentlichkeit einen zwiespältigen Ruf. Sie gilt einerseits als unverständlich, abgehoben und rigoros bis zur Unerbittlichkeit, wird aber andererseits als Grundlage des technischen Fortschritts erkannt und ist für weite Teile des Publikums faszinierend. Pierre Basieux gelingt es, Facetten dieses Faszinosums in sieben Kapiteln auszubreiten. Diese sieben Kapitel, der Kern des Buchs, werden von einem Vor- und Nachspiel, gezählt als Kapitel -1 und Kapitel ∞, eingerahmt, in denen der Autor untersucht, inwiefern das Denkgebäude der Mathematik zur Erklärung der Wirklichkeit taugt.

Beschäftigen wir uns zuerst mit den Zweigen der Mathematik, die hier vorgestellt werden. Da geht es in Kapitel 1 um die Zahlentheorie, insbesondere die vielfältige Welt der Primzahlen, in der man häufig sehr einfache Fragen stellen kann, die bis heute ungelöst sind (etwa: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge wie 17 und 19, 71 und 73, 101 und 103 etc.?) oder nur mit den raffiniertesten Methoden der modernen Mathematik zu beantworten sind (etwa das Fermatsche Problem). Dass dies nicht nur intellektuelle Spielereien sind, sondern Methoden der Zahlentheorie zu handfesten Anwendungen führen, ist ebenfalls Gegenstand dieses Kapitels. Das Paradebeispiel hierfür sind Verschlüsselungsverfahren, die es z.B. erlauben, an jedem Geldautomaten auf der Welt Geld abzuheben (die notwendige Kontodeckung einmal vorausgesetzt).

Kapitel 2 handelt von einem anderen Klassiker der mathematischen Begriffswelt, der Unendlichkeit und ihren Paradoxien, von denen viele dank einer präzisen Notation aufgelöst werden können (abzählbare Mengen, das „Hilbertsche Hotel”, das Zenonsche Paradoxon etc.). In Kapitel 3 kommt die moderne Algebra, genauer die Gruppentheorie, zur Sprache, insbesondere wie sie von Galois in einem Geniestreich ersonnen und verwandt wurde, um ein für alle Mal zu klären, welche Gleichungen durch eine Formel (technisch gesprochen durch „Radikale”) gelöst werden können. Natürlich gibt die Biographie Galois’ einiges her für einen solchen Abschnitt (er schrieb seine Ideen in der Nacht vor seinem tödlichen Duell nieder). Auch Kapitel 5 gehört in die reine Mathematik; das Thema ist die Topologie, die ebenfalls viele leicht zu formulierende (und zu glaubende) Aussagen kennt, deren rigorose Beweise jedoch nicht auf der Hand liegen, von der Eulerschen Polyederformel bis zur Poincaré-Vermutung.

Die übrigen drei Kapitel können zur angewandten Mathematik gezählt werden. Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit und schlägt die Brücke zu den Fraktalen und der wohl unvermeidlichen Chaostheorie. Kapitel 6 widmet sich einer mathematischen Aufgabe par excellence, der Optimierung. Hier finden sich nicht die altbekannten Extremwertaufgaben der Schulmathematik, sondern eine Fülle von in der diskreten Mathematik beheimateten Problemen wie das Problem des Handlungsreisenden. Die Überlegungen zur algorithmischen Komplexität der Lösungsverfahren münden im „P=NP”-Problem; dies ist eines der Millenniumsprobleme, für deren Lösung das Clay Mathematical Institute ein Preisgeld von je 1 Million US-Dollar ausgelobt hat. (Übrigens gehört auch die oben ausgesprochene Poincaré-Vermutung zu diesen Problemen. Dieses ist vor wenigen Jahren durch G. Perelman gelöst worden, eine Tatsache, die in weiteren Auflagen dieses 1999 erstmals erschienenen Titels erwähnt werden könnte.)

Schließlich gibt es noch ein Kapitel zur Spieltheorie. Der Name „Spieltheorie” ist genereller Usus, aber etwas irreführend, denn er unterschätzt die Anwendungsmöglichkeiten dieser Theorie, geht es doch hier um Entscheidungsprobleme bei „Spielen” wie der globalen Wirtschaft oder einem Atomkrieg und nicht nur um Schulhofspiele wie Schere-Stein-Papier.

All diese Kapitel sind kenntnisreich, flüssig und unterhaltsam geschrieben, und ein großer Leserkreis von Freunden der Mathematik wird sie mit Freude und Gewinn lesen. Dass der Autor einige mathematische Ideen nicht ganz zutreffend beschreibt (z.B. Seite 114, 183, 232), Einstein ein Newton-Zitat in den Mund legt (Seite 144) und E. Rubik, den Erfinder des „Zauberwürfels”, zu einem Physiker macht (Seite 164), sollte man als lässliche Sünden bewerten.

Aber der Autor will und leistet noch mehr. In den Rahmenkapiteln reflektiert er über das Verhältnis von Mathematik und Wirklichkeit. Sein zentraler Begriff, den er im Buch immer wieder verwendet, ist der Begriff Fiktion. Die Mathematik beschäftigt sich „mit nach gewissen Regeln erdachten Objekten, mit Fiktionen also” (Seite 14); wo man innermathematisch sonst vom Begriff der Gruppe, der Wahrscheinlichkeit etc. spricht, setzt der Autor „die Fiktion Gruppe”, „die Fiktion Wahrscheinlichkeit” etc. ein. Diese Fiktionen folgen „dem erweiterten gesunden Menschenverstand”, womit die klassische Aussagenlogik, die Grundlage aller mathematischen Beweise, gemeint ist. „Unsere auf Erfahrung beruhende Logik lässt sich auf unsere Fiktionen erweitern, ohne dass, umgekehrt, den Fiktionen real existierende, physische Objekte entsprechen müssten.” (Seite 94)

Dass diese Fiktionen doch so viel mit der Wirklichkeit zu tun haben, bleibt unbestreitbar; warum das so ist, letztendlich jedoch ein Rätsel, auch für den Autor. Er steht dem Slogan „Die Welt ist mathematisch” allerdings skeptisch gegenüber; für ihn ist Mathematik eine Sprache zur Beschreibung der Wirklichkeit, eine Sprache, die „anders, aber nicht glorreicher” (Seite 352) ist. Der Nutzen der Mathematik sei jedoch nicht von der Hand zu weisen, sei aber, wie bei anderen kulturellen Leistungen auch, nicht bezifferbar.

Fazit: ein gutes und lesenswertes Buch über die älteste Science Fiction der Menschheit, die Mathematik.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Alles Mathematik
Von Pythagoras zu Big Data

Martin Aigner, Ehrhard Behrends (Herausgeber)
Vieweg Verlag, 2002, 342 Seiten, Preis: 25,90 €

ISBN: 3528131314

Was beschäftigt Mathematikerinnen und Mathematiker heute? Wer sich näher informieren möchte, sollte zu diesem Buch greifen, in 20 Artikeln werden verschiedene aktuelle Aspekte des Faches ausführlich erläutert. Es geht um technische Anwendungen (Optimierung bei der Verkehrsplanung, Mathematik in der Medizin, CD-Player, ...) und um aktuelle Entwicklungen in der angewandten (Kryptographie, Quantencomputer, ...) und reinen Mathematik (Fermat-Problem, Knotentheorie, ..); auch werden Fragen über das Verhältnis von Mathematik zu Philosophie und Musik angesprochen.
Das Buch enthält die folgenden Kapitel:

• Mathe wird Kult - Beschreibung einer Hoffnung (Gero von Randow)
• Die Mathematik der Compact Disc (Jack van Lint)
• Therapieplanung an virtuellen Krebspatienten (Peter Deuflhard)
• Bildverarbeitung und Visualisierung für die Operationsplanung (Heinz-Otto Peitgen et al.)
• Der schnellste Weg zum Ziel (Martin Grötschel et al.)
• Romeo und Julia, spontane Musterbildung und Turings Instabilität (Bernold Fiedler)
• Die Rolle der Mathematik auf den Finanzmärkten (Walter Schachermayer)
• Elektronisches Geld - Ein Ding der Unmöglichkeit oder bereits Realität? (Albrecht Beutelspacher)
• Kugeln im Computer - Die Kepler-Vermutung (Martin Henk und Günter Ziegler)
• Wie rechnen Quanten? Die neue Welt der Quantencomputer (Ehrhard Behrends)
• Das Pendel - Alles vorbestimmt und doch nicht vorhersagbar (Volker Enß)
• Der große Satz von Fermat - die Lösung eines 300 Jahre alten Problems (Jürg Kramer)
• Primzahlen, geheime Codes und die Grenzen der Berechenbarkeit (Martin Aigner)
• Schwingungen - Von Pythagoras zum CD-Player (Ehrhard Behrends)
• Die Mathematik der Knoten (Elmar Vogt)
• Die Geometrie der Welt (Martin Aigner)
• Von den Seifenblasen (Dirk Ferus)
• Musikalische Anwendung stochastischer und rekursiver Verfahren (Orm Finnendahl)
• Mathematik zum Klingen gebracht: Die dynamische stochastische Synthese von Iannis Xenakis (Peter Hoffmann)
• Ein Blick in die Zukunft: Mathematik in einer Multimedia-Zivilisation (Philip J. Davis)

(Rezension: Dirk Werner)

Mit den Mathemädels durch die Welt

Jeanine Daems, Ionica Smeets
Springer Spektrum (3. Januar 2016)
Taschenbuch, 180 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3662480980
ISBN-13: 978-3662480984

Es folgen die Rezensionen von: Gabriela Schranz-Kirlinger und Hartmut Weber

Das aus dem Niederländischen übersetzte Buch hat seinen Ursprung in dem beliebten Blog der Mathemädels, den sie in den Jahren 2006 bis 2010 führten. Aus dem Blog resultierte eine vierzehntägige Kolumne über Mathematik in der Zeitung de Volkskrant und schließlich das vorliegende Buch.

Die beiden Mathemädels sind mittlerweile erwachsen geworden. Jeanine Daems arbeitet in der Ausbildung von Lehrerinnen und Lehrern an der Hogeschool Utrecht und unterrichtet Mathematikgeschichte an der Universität Utrecht. Ionica Smeets arbeitet sowohl als freie Journalistin als auch als Lehrende für Wissenschaftskommunikation an der Universität Leiden.

Die vorliegende Sammlung bietet einen verständlichen Zugang zu verschiedensten mathematischen Gebieten, die einerseits im Schulunterricht oft zu kurz kommen und andererseits aber auch teilweise weit über den Schulstoff hinausgehen. Es gelingt den beiden Autorinnen ausgezeichnet die Lesenden zu einem spielerischen Verständnis von Themen wie Zahlentheorie, nichteuklidische Geometrie, Symmetrie, Graphentheorie und vieles mehr zu führen und fundamentale Ideen mit Aktivitäten (Abschnitte Do-it-yourself) zu verbinden. Es finden sich zahlreiche originelle Bastelanleitungen, etwa eine Anleitung zum Nähen einer Kleinschen Flasche aus drei Stofftaschentüchern oder die Beschreibung des speziellen Schälens einer Orange als Veranschaulichung des Banach-Tarski-Paradoxons. Sie geben in den acht Kapiteln aber auch viele sehr interessante Empfehlungen zu weiterführender Literatur, zu Webseiten, zu Filmen, zu Rätseln, zu Orten oder Museen. Zahlreiche Themen zur Geschichte der Mathematik und historische Persönlichkeien werden ebenfalls erwähnt, wie etwa Archimedes, Ludolph van Ceulen oder Évariste Galois.

Mit ein, zwei oder drei Chilischoten werden die schärferen also komplizierteren mathematischen Sachverhalte und Probleme bezeichnet, die eventuell auch übersprungen werden können. Das Banach-Tarski-Paradoxon, aber auch das Buffonsche Nadelproblem, normale Zahlen oder der Satz von Ramsey sind übrigens mit zwei Chilischoten gekennzeichnet. Der Beweis des Polyedersatzes hat drei Chilischoten bekommen.

Im ersten Kapitel Zahlenfolgen und Tapeten: Muster wird etwa der Bogen von einfachen Zahlenfolgen über Fraktale (mit Bastelanleitung), Maurits Cornelis Escher und der Keplerschen Vermutung bis zur Frage Warum manchmal zwei Straßenbahnen gleichzeitig kommen? gespannt. Ähnlich in den weiteren Abschnitten über Zahlen (von E bis zu einer Trillion), über Geometrie (von Kugeln und Polyeder), über das Rechnen, über Wahrscheinlichkeiten, Optimierung, Paradoxa und Beweisen. Erwähnenswert – weil doch ungewöhnlich – ist der Abschnitt über Liebe und Freundschaft. Dieses Kapitel ist ein bisschen anders als die anderen, hier werden durchaus interessante Überlegungen zu Geschenken, zur Suche eines Partners oder eine Partnerin, zu sozialen Netze und zu noch viel mehr gegeben. Allerdings bleibt hier auch vieles vage.

Zusammenfassend wird in dem vorliegendem Werk die faszinierende Welt der Mathematik anhand von spannenden Beispielen und kuriosen Geschichten auf einem sehr ansprechenden Niveau vorgestellt. Die einzelnen Geschichten laden ein, alltägliche Erlebnisse mit mathematischen Augen zu betrachten. Es lohnt sich in jedem Fall dieses Buch zu lesen, ob man schon begeistert von der Mathematik ist oder noch nicht.

Rezension: Gabriela Schranz-Kirlinger (Wien)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Ein höchst ungewöhnliches Buch haben die „Mathemädels“ geschrieben, zwei niederländische Universitäts-Mathematikerinnen und Autorinnen eines Mathematik-Blogs sowie einer Kolumne in einer holländischen Zeitung.

Ungewöhnlich nicht so sehr die Inhalte, die bewegen sich doch zu gutem Teil im Rahmen populärwissenschaftlicher Darstellungen aus den Bereichen Geometrie, Krypotographie, Zahlen- und Graphentheorie – auch wenn versucht wird, „die Geschichten, die in jedem populärwissenschaftlichen Mathematikbuch stehen, so gut es geht zu vermeiden“ (so im Vorwort).

Ungewöhnlich und anregend ist vielmehr die Präsentation der Inhalte. Man kann sich immer wieder recht kleine Abschnitte von wenigen Seiten heraussuchen und unabhängig von anderen Inhalten lesen. Sehr anschaulich und mit vielen schönen Grafiken werden die Sachverhalte vorgestellt und zwar auf einem fachlichen Niveau, das (meistens) keine großen Vorkenntnisse erfordert.

Ungewöhnlich weiter die im Buch verstreuten und kommentierten Hinweise auf insgesamt 13 Bücher, aber nicht nur auf mathematische Sachbücher, sondern auch auf einen Gedichtband und mehrere Romane, wie etwa den von Apostolis Doxiadis, Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung (auf dieser Website sehr positiv besprochen). Ebenso werden fünf Mathematik-Museen kurz beschrieben, wie auch verschiedene Filme, von denen einige auf youtube zu finden sind.

Neben kleinen Rätseln gibt es neun Mal „Bastel-Anleitungen“, die unter dem Stichwort „do-it-yourself“ angekündigt werden. So kann man z. B. Fraktale kneten, das Buffonsche Nadelparadoxon selbst experimentell erfahren, das „black-path-game“ spielen, Möbius-Band und Kleinsche Flasche herstellen und auf eine ganz besondere Weise Apfelsinen schälen. Und wer nicht selber zu Knete, Papier und Schere greifen will, dem werden Geschenktipps gegeben, mit denen man kleine Accessoirs wie z. B. Servietten oder T-Shirts mit mathematischem Pfiff erwerben kann.

All diese für ein Mathematikbuch doch recht überraschenden Aspekte machen dieses Buch zu einem recht ungewöhnlichen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)