Leseecke

Die Zukunft is fuzzy
Unscharfe Logik verändert die Welt

Bart Kosko
Piper, 1999, 24,90 €

ISBN: 3492041876

Auf über vierhundert Seiten sollen wir in die Welt der Unschärfe ("fuzz") eingeführt werden. Dazu gibt es guten Grund! Schon zu Beginn wird uns vor Augen geführt, dass die Menschheit über zwei Jahrtausende auf dem Holzweg war. Das Problem ist nichts weniger als unsere binäre Logik (also wahr oder falsch) - die Grundlage unseres wissenschaftlichen Denkens.

Bart Kosko ist es nun gelungen, diese "aristotelische Haarspalterei" (S. 21) zu entlarven: "Die binäre Logik ist von jeher die Logik der Macht gewesen" (S. 12). (Und die Amerikaner waren nicht auf dem Mond, möchte man ergänzen.) Vielmehr bedarf es einer Theorie des Ungefähren, der Unschärfe, deshalb kommen ja auch Ying und Yang (S. 22) vor. Sinnfällige Beispiele unterlegen das, der Himmel ist eben nie völlig blau, die Erdumlaufbahn um die Sonne keine perfekte Ellipse.

Die Fuzzy-Logik versucht, solchen Tatsachen durch Wahrheitswerte gerecht zu werden, die nicht nur 0 und 1 (falsch und wahr) sondern auch Werte dazwischen annehmen können. So könnte man die Aussage "Der Himmel ist blau" unter Umständen zu 80% wahr nennen. Das ist die Fuzzy-Logik. Dass nun die "Mathematik der Fuzzy-Logik selbst nicht unscharf ist" (S. 27) wird als bloße Fuzzy-Ironie abgetan. Hat der Autor schon vergessen, dass er nur fünf Seiten zuvor mit eben dieser formalen Logik gründlich "aufgeräumt" hatte?

Schade, dass einem durch solche populistischen Entgleisungen die Lust genommen wird, das ganze wirklich ernstzunehmen. Und das muss man. Die Fuzzy-Technik findet man heute überall - von der Waschmaschine bis zur Steürung von Fahrstühlen, von Spamfiltern bis zur Fahrplanoptimierung. Vor allem enthält das Buch eine Menge Geschichtchen. Fuzzy in Wirtschaft, Politik, Kultur und überall. Alles bleibt ein bisschen unscharf. (Wie man ein Coase-Theorem lieber nicht beweist: s. Kapitel 6, wir lernen woher "links" und "rechts" in der Politik kommen, dank Fuzzy kann man sich überlappende Trapeze zeichnen (S. 60) und politische Gesinnungen von sozialistisch bis faschistisch unscharf (klar) klassifizieren.)

Und doch werde ich den Verdacht nicht los, dass diese nebulöse Masche am Ende Prinzip ist: fuzzy ist nicht was drinsteht sondern wie.

(Rezension: Bernd Schmidt)

Die Grammatik der Logik

Wolfgang Blum
dtv, 1999, 8,50 €

ISBN: 3423330376

Dieses Büchlein, erschienen in der dtv-Reihe "Naturwissenschaftliche Einführungen", soll den Leser in die Welt der Mathematik führen, ja mehr noch, es soll das "Wissen unserer Zeit" aus dem Gebiet der Mathematik darstellen. Das ist streng genommen nicht möglich und wäre für den unbedarften Leser wohl kaum verdaulich. Also hat es der Autor unternommen, kurzweilig verschiedene Gebiete der Mathematik vorzustellen, deren Gegenstand knapp zu umreißen, und er hat auch gelegentlich Namen von Persönlichkeiten eingestreut, die das jeweilige Gebiet vertreten haben. So kommt ein Buch zustande, dass über lange Strecken gut zu lesen ist. Fuer manche Dinge, die im Text erörtert werden, gibt es separate Displays, in denen eine Beweisidee detailliert erklärt wird. Ein paar der dargestellten Sachverhalte reizen den Rezensenten jedoch zum Kommentar. Ein grober Schnitzer ist dem Autor unterlaufen, als er den Bereich der reellen Zahlen einführt, siehe auch Glossar, S. 123). Diese entstehen dort als Erweiterung der rationalen durch Hinzunahme von Wurzeln. Dadurch entstehen auch Zahlen, die nicht rational zu sein brauchen, der Beweis für die Quadratwurzel aus 2 wird geführt. Aber es gibt eben auch reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind. Ein prominenter Verteter, die Zahl Pi, wird im Text ausführlich gewürdigt. Da hätte es sehr schon gepasst, wenn ein paar Worte zur Transzendenz von Pi gesagt wären. Es scheint eine besondere Herausforderung zu sein, den Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie vorzustellen. Auf S. 78 werden mögliche Anwendungen genannt, wobei bemerkt wird, dass sie "sogar zur Berechnung von Flächen" reichen. Dies ist die Keimzelle aller stochastischen Verfahren. Die meisten anderen Anwendungen werden erst dadurch ermöglicht, dass man das anstehende Problem auf eine Flächenberechnung zurückführt! An anderer Stelle, S. 73, wird dem Leser nahegelegt, "alle wichtigen Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung handeln davon, was bei unendlicher Wiederholung passiert". So weit würde der Rezensent dann doch nicht gehen wollen. Was der "Zentrale Grenzwertsatz" besagt, wird durch die Formulierung "in vielen Faellen läuft alles auf jene (Gaußsche Glocken-)kurve hinaus" nicht erhellt (S. 74). In der Darstellung der Statistik, ansprechend angekündigt unter "Lügen, grobe Lügen und Statistik", wird darauf hingewiesen, wie problematisch der falsche Umgang mit Daten sein kann. Es wäre aber schön gewesen, wenn dem Leser auch gesagt würde, dass bei richtiger Anwendung statistischer Methoden aus großen Datenmengen wichtige Informationen gezogen werden können, die sonst nicht zu erhalten wären. Insgesamt hinterlässt dies Buch beim Rezensenten einen zwiespältigen Eindruck. Das, was bei den Herausgebern als "Leichtigkeit und Humor" angepriesen wird, heißt eben auch, dass an vielen Stellen die Ernsthaftigkeit der Darstellung zu kurz kommt. Nur mit historischen Details, die oft recht interessant sind, und Anekdoten kann dem Leser die Mathematik nur begrenzt nahe gebracht werden, das Wissen unserer Zeit sowieso nicht. Ja, der (falsche) Eindruck, Mathematik sei etwas für exotische Außenseiter, wird durch das Buch eher untermauert als korrigiert.

(Rezension: Peter Mathé)

Die 85 Methoden, eine Krawatte zu binden

Thomas Fink und Yong Mao
Hoffmann und Campe 2001, 143 Seite, 12,50 €
Taschenbuch: Piper, 2002, 7,90 €

ISBN: 3455112900
ISBN: 3492235069

Mathematik im Alltag, und das schon am frühen Morgen: Gleich nach dem Aufstehen, nach dem etwas verschlafenen Blick in den Spiegel mit dem "ich kenn Dich zwar nicht, aber ich rasier Dich trotzdem", kommt Mann an beim Versuch, die Krawatte zu binden. Nun hat Mann ja irgendwann (zur Konfirmation, oder zum Tanzstundenabschlussball?) einmal von Papa gezeigt bekommen, wie das geht, und versucht das dann die vielen Jahre und Jahrzehnte danach immer wieder (wenn nötig) genau so wie damals hinzukriegen. Erst übereinanderlegen, dann untendurchziehen, dann von rechts oben drüber, und nochmals unten durch, oder wie? Oder wer kann schon zwei verschiedene Krawattenknoten binden?
Nun, das vorliegende Buch kann einen da einiges lehren - und tut dies auf ausgesprochen unterhaltsame, elegante und charmante Art. Erstens: Das Problem hat Geschichte, Kulturgeschichte, wenn die auch nicht ganz bis zu den alten Griechen zurückgeht. Zweitens: In dem Problem steckt Mathematik drin: Wenn wir nicht bereit sind, mehr als x mal über/unter/quer zu stecken und zu falten, dann gibt's da eigentlich nur endlich viele Möglichkeiten. Wie viele eigentlich? Und wie viele der "endlich vielen Möglichkeiten" liefern nun schöne/vernünftige/brauchbare Krawattenknoten? Nun, die "85" im Titel kann einem natürlich schon was verraten. Und Drittens: Die Mathematik und die Ästhetik des Krawattenbindens gehen eine ganz harmonische und profitable Zweierbeziehung ein.
Und mehr sei dazu nicht verraten. Lesen, und/oder verschenken!

(Rezension: Günter M. Ziegler)

Der mathematische Zauberstab
Verblüffende Tricks mit Karten und Zahlen

Ehrhard Behrends

Verlag: rororo (27. November 2015), Taschenbuch, 9,99 €

ISBN-10: 349962902X
ISBN-13: 978-3499629020

Abrakadabra – Ehrhard Behrends ist unter die Zauberer gegangen!

Der bekannte Mathematik-Professor ist einer der Mitbegründer der Website, auf der Sie diese Rezension lesen, und der Autor mehrerer populärer Bücher, mit denen er Mathematik „unters Volk“ bringen will. Jetzt ist er – wie er in der Einleitung schreibt – auch Mitglied bei den „Berliner Zauberfreunden“ und (laut seiner Homepage) im „Magischen Zirkel von Deutschland“.

Und dass der Autor tatsächlich selbst zaubert, merkt man auf vielen Seiten des Buches. Er gibt nicht nur die für Zauberbücher üblichen Hinweise, dass man seine Tricks gut vorbereiten müsse und den Zuschauern nicht verraten dürfe. Nein, ganz konkret und detailliert erfährt man darüberhinaus, wie die Karten bei den verschiedenen Kunststücken zu präparieren sind, wie man die Vorführung mit geeigneten Worten einleiten und wie man das Publikum an entscheidenden Stellen der Tricks ablenken kann.

Handwerkliche Hinweise für die verschiedenen Arten des Mischens von Kartenstapeln und das richtige Abheben werden ausführlich beschrieben. Wie kann man beim Mischen die unterste Karte unten behalten? Wie muss man abheben, damit die Reihenfolge der Karten letztendlich unverändert bleibt? Auch diese „Methoden“ vermittelt der Verfasser dem interessierten Leser. Da wird klar, dass die Tricks – wie der Autor mehrfach betont – gut geübt sein müssen, bevor man damit vor ein Publikum treten kann.

Aber nicht nur das Handwerkliche, auch die Vorführung mit Gesten und Worten sollte man trainiert haben, damit der Zaubertrick möglichst überzeugend präsentiert werden kann. Und dann sorgt – und das ist kein Hokuspokus – bei richtiger Vorbereitung die Mathematik dafür, dass alles funktioniert.

Das Buch ist so angelegt, dass – wer will – die Mathematik stets überblättern kann. Das wäre aber schade. Die Mathematik hinter den Kunststücken ist nicht sehr kompliziert, und der Autor möchte sicher gerne, dass viele sich auch damit beschäftigen. Es werden – wohl manchen bekannte – Eigenschaften der Zahl 1001 (= 7·11·13) oder der Zahl 1089 sowie das „modulo-Rechnen“ für einige überraschende Zahlenspielereien verwendet. Die meisten Tricks lassen sich jedoch mit Spielkarten durchführen – teils genügt ein Skatblatt, teils sollte besser ein vollständiges Kartenspiel wie etwa bei Canasta oder Rommé genommen werden. Wer sich mit dem mathematischen Hintergrund beschäftigen will, kann etwas lernen (oder sich vielleicht wieder in Erinnerung rufen) über die Neunerprobe, magische Quadrate und Fibonacci-Zahlen. Das Rechnen im Dualsystem kommt ebenso vor wie das Beweisverfahren der vollständigen Induktion, einfache Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten und „intransitive Würfel“.

Einige Quellen zu mathematischen Zaubereien (Bücher und Internetseiten) ergänzen das schöne Buch, dem eine weite Verbreitung zu wünschen ist – damit das Zaubern und der Zauber der Mathematik vielen Lesern näher gebracht wird. Dreimal schwarzer Kater!

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Der ganz normal verteilte Zufall
Mathematische Glücksspiele und Orakel

Amir D. Aczel
Spektrum Akademischer Verlag, Kartoniert (TB), 2010, 25 Schwarz-Weiß-Abbildungen, 183 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 382742500X
ISBN-13: 9783827425003

In vielen populären Mathematikbüchern geht es um den Zufall. Das hat gute Gründe, denn anders als bei vielen „abstrakten“ Bereichen der Mathematik gibt es viele Verbindungen zu konkreten Lebenserfahrungen: Versicherungen, Glücksspiel, Risiko bei Börsentransaktionen usw. Auch innermathematisch nimmt die Bedeutung von Verfahren zu, die den Zufall produktiv einsetzen. Das Anwendungsspektrum reicht von der Numerik (Monte-Carlo-Verfahren) bis in sehr „theoretische“ Gebiete. So kann man zum Beispiel die Aussage präzisieren, dass eine vorgelegte Zahl mit 99 Prozent Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist. Der Fieldsmedaillen-Gewinner Terence Tao hat sogar prognostiziert, dass das 21. Jahrhundert für die Mathematiker das Jahrhundert des Zufalls werden würde.

Im Buch von Aczel findet sich eine Fülle von interessanten Informationen zu diesem Thema. Nach einer historischen Einführung (erste Glücksspiele, Ursprünge der mathematischen Wahrscheinlichkeitsrechnung) wird grundsätzlich Theoretisches dargestellt, man erfährt viel Wissenswertes über die Chancen beim Glücksspiel, und natürlich werden auch die gängigen Paradoxien der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben (Busparadoxon, Geburtstagsparadoxon, Affen tippen Hamlet, …) Der Leser kann zum Beispiel lernen, dass bei Vorliegen der Unabhängigkeit von Ereignissen die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung leicht berechnet werden kann und dass die Normalverteilung eine ganz besondere Rolle spielt. Auch wird deutlich, dass unser Gehirn nicht gut mit der Umkehrung von bedingten Wahrscheinlichkeiten umgehen kann und wie es möglich ist, diese Schwierigkeiten mit der Bayes-Formel zu umgehen. Und wer noch nichts über Pferdewetten, Poker oder Roulette weiß, kann sich hier in die Anfangsgründe der Spielregeln und der bestmöglichen Strategien einführen lassen.

Es handelt sich um ein wirklich empfehlenswertes Buch, das sich gut liest und das sehr informativ ist. Mathematische Fehler gibt es so gut wie keine. Man sollte in der nächsten Auflage allerdings die kritische Anzahl beim Geburtstagsparadoxon von „20“ in den richtigen Wert „23“ verbessern. Auch wäre ein Register sehr hilfreich, da manche Begriffe in späteren Abschnitten ohne erneute Erklärung verwendet werden.

Rezension: Ehrhard Behrends, FU Berlin