Leseecke

Fünf Minuten Mathematik
100 Beiträge der Mathematik-Kolumne der Zeitung DIE WELT

E. Behrends
Vieweg, 2006, 3. Aufl., 256 Seiten, 22,90 €

ISBN:3-834-80082-1

Es folgen die Rezensionen von: Jörg Bewersdorff und Michael Drmota

Dem Buch liegt eine wöchentlich erschienene Kolumne in der Tageszeitung DIE WELT zugrunde. An 100 Erscheinungstagen gab der Autor Erhard Behrends jeweils einen kurzen, allgemein verständlichen Überblick über ein einzelnes mathematisches Thema. So wurden, erschließbar jeweils mit mit einem Leseaufwand von etwa "fünf Minuten", Themen behandelt wie z.B. die Kreiszahl Pi, die Legende von den Reiskörnern auf einem Schachbrett, kryptographische Verfahren mit öffentlichen Schlüsseln, Tonleitern, Wahrscheinlichkeiten im Lotto, das Vierfarbenproblem, die Theorie der Knoten, die Preisbildung von Optionen, das Benfordsche Gesetz und vieles mehr.
Die Beiträge, die alle über das kostenlose Web-Archiv der Zeitung DIE WELT zugänglich sind, wurden für die Buchausgabe nicht nur schön illustriert, sondern vor allem auch durch z.T. mathematisch detaillierte Ausblicke erheblich erweitert, was der Untertitel des Buches leider nur ungenügend deutlich macht. So ist ein Buch entstanden, das der Mathematiker – per Definition sei mit der maskulinen Form auch der Fall der Mathematikerin eingeschlossen – bedenkenlos in seiner Familie verschenken kann – etwa zur Beantwortung der Frage "Was macht eigentlich Papa?". Am Wochenende kann er dann in einzelnen Ausblicken bestimmt selbst noch Unbekanntes entdecken.
Durch seine Aufteilung in 2×100 Abschnitte eignet sich das Buch hervorragend dazu, etwa auf einer Reise stückweise gelesen zu werden. Auch Lehrer finden ganz bestimmt einige Ideen, um den Unterricht anregender zu machen: Wer hätte etwa gedacht, dass es sich bei der Grundlage des Google-Rankings eigentlich um eine – in den Augen von manchen Schülern "öde" – Wahrscheinlichkeit handelt?
Anders als im englischsprachigen Raum, wo der Begriff Popular Science im Gegensatz zum deutschsprachigen Pendant populärwissenschaftlich keine Abwertung beinhaltet, sind populäre deutschsprachige Mathematikbücher leider noch immer Exoten. Es ist zu hoffen, dass Erhard Behrends mit seinen Aktivitäten, aus denen zusammen mit Martin Aigner zuvor schon das ebenfalls sehr empfehlenswerte Buch Alles Mathematik hervorgegangen ist, Nachahmer findet. Denn so, wie Spitzensport nur aus Breitensport erwachsen kann, werden die mathematischen Forscher von morgen auch nur aus einem genügend großen Reservoir von frühzeitg mit Mathematik "infizierten" Schülern erwachsen.

(Rezension: Jörg Bewersdorff)

Nach den ersten beiden Auflagen in den Jahren 2006 und 2008 ist jetzt die dritte (und aktualisierte) Auflage dieses kleinen Klassikers von Ehrhard Behrends erschienen, in dem seine 100 „Fünf Minuten Mathematik“-Kolumnenbeiträge der Montagausgaben der „WELT“ aus den Jahren 2003 und 2004 in revidierter Form nachgedruckt sind. (Neben der ursprünglichen deutschen Ausgabe sind bereits Übersetzungen ins Japanische, Englische und Französische erschienen und weitere Übersetzungen sind in Vorbereitung.) Das Zielpublikum sind hier nicht vorrangig (professionelle) Mathematikerinnen und Mathematiker, sondern die interessierte Öffentlichkeit, was wahrlich kein einfaches Unterfangen ist – und es ist trotz dieser Schwierigkeit virtuos gelungen.

Ehrhard Behrends schreibt in der Einleitung: „Es gibt drei Aspekte, die mir beim Schreiben der Kolumne wichtig waren: Mathematik ist nützlich. Es sollte klar gemacht werden, warum unsere gegenwärtige technisch-naturwissenschaftliche Welt ohne Mathematik nicht funktionieren würde. Das Gütesiegel mathematics inside könnte auf immer mehr Produkten stehen. Mathematik ist faszinierend. Neben der Nützlichkeit bietet die Mathematik auch eine ganz besondere intellektuelle Faszination. Der unstillbare Drang, ein vorgelegtes Problem lösen zu wollen, kann ungeahnte Energien frei setzen. Ohne Mathematik kann die Welt nicht verstanden werden. Nach Galilei ist ,Das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben‘. Zu seiner Zeit war es nicht viel mehr als eine Vision. Heute weiß man, dass Mathematik die Brücke ist, die uns in Bereiche führt, die weit jenseits der menschlichen Vorstellungskraft liegen. Ohne Mathematik hat heute niemand mehr die Möglichkeit, ,zu erkennen, was die Welt im Innersten zusammenhält‘.“

Gemäß dieses Dreifachmottos greife ich pars pro toto drei Beiträge heraus. So wird etwa im 90. Beitrag „Mathematik macht Organe sichtbar“ die Computertomographie beschrieben, wo aus der Absorptionverteilung aus verschiedenen Richtungen auf die Struktur des durchleuchteten Körpers rückgeschlossen wird. Behrends bezeichnet sie treffend als „High-Tech“ und „High-Math“.

Ein weiterer Leckerbissen ist der 19. Beitrag „Der fünfdimensionale Kuchen“, wo der Dimensionsbegriff auf sehr elegante Weise erläutert wird.

Schließlich möchte ich den 93. Beitrag „Hat die Welt ein Loch?“ erwähnen, wo ausgehend von der Lösung der Poincareschen Vermutung eine Brücke zur Einsteinschen Relativitätstheorie und der Beschreibung des Weltalls geschlagen wird.

Die Beiträge sind sehr abwechslungsreich und umfassen auch Themen wie „Ich hasse Mathematik, weil ...“, „Fly me to the moon“, „Erdbeereis kann tödlich sein“ oder „Mit Mathematik zum Millionär“. Es ist also für jeden etwas dabei.

Dieses Buch sollte in keiner Bibliothek eines/r Mathematik-Interessierten fehlen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2013, Band 60, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Michael Drmota (Wien)

Geheime Botschaften
Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in die Zeiten des Internet

Simon Singh
Carl Hanser Verlag 2000, 475 Seiten, 24,90€
Taschenbuch: Dtv, 2001, 12,50 €

ISBN: 3446198733
ISBN: 3423330716

Gespannt hat man auf das neue Buch des Erfolgsautors Singh ("Fermats letzter Satz") gewartet. Wieder legt er ein Werk vor, das man uneingeschränkt empfehlen kann.
Diesmal geht es um das Thema Kryptographie: Mit welchen Methoden wird der Kampf geführt zwischen denjenigen, die eine Nachricht verschlüsseln, und denjenigen, die sie trotzdem lesen möchten?
Im Laufe der Geschichte wechselten sich die Erfolge zwischen beiden Seiten ab, zurzeit scheinen die Verschlüsseler die Nase vorn zu haben. Welche immer ausgefeilteren Methoden dabei eingesetzt wurden, kann hier nachgelesen werden.
Wieder versteht es Singh, das Wesentliche ohne technischen Ballast zu sagen und die Menschen hinter den Verfahren lebendig werden zu lassen. Es handelt sich um ein Buch, das alle Mathematik-Fans eigentlich gelesen haben müssten.
Übrigens: Als besonderen Leseanreiz hat Singh einige verschlüsselte Texte (verschlüsselt nach den beschriebenen Verfahren, steigender Schwierigkeitsgrad) in dem Buch veröffentlicht und einen Preis von 10.000 Pfund für die vollständige Lösung ausgesetzt.
Wenn Sie sich Hoffnung auf das Geld machen: Es ist leider schon zu spät, die Texte sind schon entziffert und das Geld ist vergeben. Alle, die sich vergeblich am Entziffern versucht haben, können sich die Lösung ansehen. Die dürfte allerdings wohl nur für Berufsmathematiker in allen Einzelheiten nachvollziehbar sein.

(Rezension: Ehrhard Behrends)

Die enttäuschte Erkenntnis
Paramathematische Denkzettel

Alfred Schreiber
Edition am Gutenbergplatz Leipzig; Auflage: 1 (11. September 2013), 19,50 €

ISBN-10: 3937219684
ISBN-13: 978-3937219684

Das Büchlein enthält in seinem Hauptteil 36 voneinander unabhängige Texte von jeweils durchschnittlich vier bis fünf Seiten. Die Texte stammen aus den Jahren 2002 bis 2012, wurden in den „Mitteilungen der Deutschen Mathematikervereinigung“ unter der Kolumne „Denkzettel“ veröffentlicht und sind nun in drei Gruppen zu je einem Dutzend zusammengefasst. Die Titel dieser Gruppen, auf die wir unten noch exemplarisch zu sprechen kommen wollen, lauten „Kulturtechnik“, „Vorspiegelungen“ und „Enttäuschungen“.

Dem Hauptteil vorangestellt ist ein „erster Denkzettel“. Darin erläutert der Autor genauer, wie er den Titel des Buches verstanden wissen will. Grob zusammengefasst geht es um bedenkenswerte („Denkzettel“) Aspekte der Mathematik, dargestellt nicht in Form fachwissenschaftlicher Abhandlungen, sondern gewissermaßen neben der mathematischen Forschung herlaufend („Paramathematik“), wobei manch weit verbreitete Fehleinschätzungen der Mathematik korrigiert (d.h. auch „Hoffnungen enttäuscht“) werden.

Zum Beispiel thematisiert unter „Kulturtechnik“ ein Text mit dem Titel „Irgendwie ein Dichter“ Analogien und Unterschiede zwischen der Tätigkeit von Mathematikern und Dichtern. Eingangs wird Weierstraß zitiert: „Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.“ Welcher Mathematiker wollte dem ad hoc widersprechen? (Der Rezensent sicher nicht!) Umso interessanter ist es, sich auf die sehr differenzierten Gedanken des Autors zur Weierstraß’schen These einzulassen.

Unter „Vorspiegelungen“ finden sich vor allem Texte, wo scheinbar Offensichtliches in Frage gestellt, wenn nicht gar als trügerischer Schein entlarvt wird. Wer sich beispielsweise um eine aufrichtige und nicht oberflächliche Antwort auf die Frage „Warum Mathematik?“ bemüht, dem sei als Denkanregung der Text mit dem Titel „Mathematik – aus guten Gründen?“ ans Herz gelegt.

Besondere Würdigung verdienen auch in der dritten Gruppe („Enttäuschungen“) die allerletzten beiden Texte, welche die Titel „Das Herstellen einer gemeinsamen Überzeugung“ und „Enttäuschte Erkenntnis“ tragen. Auf wenigen Seiten findet sich darin sehr Grundlegendes zu den erkenntnistheoretischen Möglichkeiten und Grenzen von Mathematik im Besonderen und Wissenschaft im Allgemeinen, noch dazu in sehr klarer und leicht zugänglicher Darstellung.

Dieser Vorzug in der Darstellung gilt für das gesamte Buch, so dass die Lektüre mathematischen Laien, sofern sie der Mathematik aufgeschlossen gegenüber stehen, kaum mehr Mühe kosten wird als Fachmathematikern. Die wertvollste Wirkung kann das Buch vermutlich dann erzielen, wenn manche seiner reichhaltigen Anregungen auch in den Schulunterricht getragen werden.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2014, Band 61, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Michael Drmota (TU Wien)

Die großen Fragen - Mathematik

Tony Crilly, Simon Blackburn (Hrsg.)
Spektrum Akademischer Verlag, 2012, 208 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 382742917X
ISBN-13: 978-3827429179

Der englische Verlag Quercus gibt seit ein paar Jahren die Reihe The Big Questions heraus, aus der einige Bände jetzt auch auf deutsch vorliegen. Jeder Band beschreibt in 20 Kapiteln, deren Überschrift jeweils eine der „großen Fragen“ formuliert, ein Gebiet der exakten (Mathematik, Physik, ...) oder nicht so exakten (Philosophie, Gott, ...) Wissenschaften.

Was den Band Mathematik angeht, reichen diese Fragen von eher technischen („Was ist Symmetrie?“, „Können wir einen Code erzeugen, der nicht zu knacken ist?“) bis zu philosophischen und ästhetischen („Ist die Mathematik wahr?“, „Ist Mathematik schön?“). Insgesamt erfährt man von Tony Crilly in diesem Buch, wie auch schon in seinem Vorgänger 50 Schlüsselideen Mathematik, mit dem es nichtleeren Schnitt besitzt, auf verständliche Weise einiges über die moderne Mathematik. Ein paar Themen sind Primzahlen, nichteuklidische Geometrie, die wohl unvermeidlichen Fraktale, die Poincaré-Vermutung, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, die Riemannsche Vermutung und vieles mehr. Der Text enthält auch diverse Skizzen zur Veranschaulichung der vorgestellten Ideen.

Zum Beispiel berichtet das Kapitel „Welche Gestalt hat das Universum?“ über Topologie und Mannigfaltigkeiten. Zuerst geht es um das Königsberger Brückenproblem, den Ausgangspunkt der Graphentheorie, und spezielle Graphen, genannt Bäume, und ihre Anwendungen in der Chemie. Es folgen Knotenprobleme, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Möbius-Band und die Kleinsche Flasche, schließlich einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten und die Poincaré-Vermutung sowie Gedanken zur Topologie und Geometrie des Universums. Es gelingt dem Autor, all diese Dinge auf etwa 10 Seiten verständlich darzustellen.

Das letzte Kapitel lautet „Gibt es noch ungelöste Probleme?“, eine Frage, deren Antwort (ja!) nicht für alle Nichtmathematiker offensichtlich ist. Als Beispiel werden vier Jahrhundertprobleme vom Kaliber der Riemannschen Vermutung vorgestellt; ich hätte mir jedoch gewünscht, dass der Autor sich noch mehr dem Thema „Mathematik als Prozess“ widmet und erklärt, was die Mühen der Ebene sind, mit denen sich die Tausende von Mathematikern weltweit beschäftigen, deren Forschung nicht in diese Höhe reicht.

Schließlich ist dem Verlag zu gratulieren, einerseits diese interessante Buchreihe auch deutschen Lesern zugänglich zu machen, andererseits speziell für diesen Band mit Roland Girgensohn einen professionellen und sprachmächtigen Mathematiker als Übersetzer gewonnen zu haben.

Bei der Lektüre dieses anregenden Bandes werden seine Leser gewiss Antworten auf die großen Fragen der Mathematik erhalten.

Rezension: Dirk Werner

Ein Esel lese nie
Mathematik der Palindrome

Karl Günter Kröber
Rowohlt Tb, 2003, 348 Seiten, 9,90 €

ISBN: 3499615762

Ein Palindrom ist etwas, das man vorwärts wie rückwärts lesen kann, z.B. Otto oder der Titel dieses Buchs. Hier geht es dem Autor aber nicht um Wörter, sondern um Zahlen. Sein Anliegen ist es, Zahlen, die keine Palindrome sind, gewissen Rechenoperationen zu unterwerfen, um sie möglicherweise dazu zu machen. Zum Beispiel so: Nimm eine Zahl (etwa 69), spiegele die Ziffern (96) und addiere die beiden (165). Nun wiederhole die Prozedur: 165+561=726, 726+627=1453, 1453+3541=4994; aha, ein Palindrom. Hier muss man nicht stehen bleiben: 4994+4994=9988, 9988+8899=... ad libitum.

Ein solches Verfahren kann beliebig variiert werden: Man kann statt zu addieren die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren oder Mischformen bilden, etwa in den ersten drei Schritten addieren und im vierten subtrahieren (dann werden aus der 69 via 165, 726 und 1453 als Nächstes 3541-1453=2088 usw.), man kann statt im Zehnersystem bezüglich anderer Basen rechnen, und man kann natürlich alle möglichen Startwerte durchprobieren.

All das hat der Autor über mehrere Jahre getan und in den sich entwickelnden Zahlenfolgen verschiedene Strukturen erkennen können, die er in farbigen Grafiken darstellt. Diese Beobachtungen machen 80 Prozent des Buches aus, es folgen noch ein paar Spekulationen über Beziehungen zur Molekularbiologie; schließlich findet man Spiegelsymmetrie auch in der DNS.

Vermutlich steckt hinter den hier vorgestellten empirischen Befunden interessante Mathematik; nur ist sie in diesem Buch leider nicht zu finden, da fast nichts erklärt wird. Freunde der dynamischen Systeme, übernehmen Sie!

(Rezension: Dirk Werner)