Leseecke

Warum Kühe gern im Halbkreis grasen
...und andere mathematische Knobeleien

Albrecht Beutelspacher, Marcus Wagner
Herder-Verlag, 2010, zahlreiche Schwarz-Weiß-Illustrationen, 192 Seiten, 14,95 €

ISBN: 3451302268
EAN: 9783451302268

Wer sich gerne mit mathematischen Knobeleien beschäftigt, für den ist dieses Buch genau das Richtige. Es geht nicht darum nachzuweisen, dass es viele wichtige Anwendungen der Mathematik gibt. Nein, hier zählt nur das intellektuelle Vergnügen, wenn es im Kopf „Klick“ macht, nachdem man sich eine Weile intensiv mit einem Knobelproblem beschäftigt hat.

Die Auswahl ist sehr reichhaltig. Es gibt etwa 80 Knobeleien, bei denen verschiedene mathematische Teilgebiete eine Rolle spielen: Logik, Geometrie, Teilbarkeit usw. Zum Lösen muss man „nur“ die richtige Idee haben, Kenntnisse der Schulmathematik sind völlig ausreichend.

Das Buch liest sich gut, und es ist durch zahlreiche Bilder illustriert. Sehr sympathisch ist auch die Struktur: Zunächst wird das Problem beschrieben, dann kann man sich – bei Bedarf – einen Tipp geben lassen, und erst danach wird (meist sehr ausführlich) die Lösung erklärt.

Wer sich öfter mit solchen Knobeleien beschäftigt, wird einige alte Bekannte, zum Teil in Verkleidung, wiedererkennen, für den Rezensenten waren aber die allermeisten Probleme neu.

Ich empfehle das Buch ganz nachdrücklich: zum Selberlesen, aber auch zum Verschenken für Mathematik-Interessierte im Bekanntenkreis.

Rezension: Ehrhard Behrends, FU Berlin

101 mathematische Rätsel
aus vier Jahrtausenden und fünf Kontinenten

Heinrich Hemme
Beck, 2. Auflage 2013, 143 Seiten, 9,95 €

ISBN 10: 3406637043
ISBN 13: 978-3406637049

Heinrich Hemme ist Physikprofessor und betreibt regelmäßig die Kolumne „Kopfnuss“ in der Aachener Zeitung. In diesem Band hat er 101 mathematische Aufgaben gesammelt, die allen Knobelfreunden Freude machen werden. Viele der Knobeleien sind klassisch wie etwa das SEND + MORE = MONEY Problem oder das Königsberger Brückenproblem, und die ältesten (aus dem ägyptischen Papyrus Rhind) sind fast 4000 Jahre alt. Die jüngsten Rätsel hat der Autor selbst beigesteuert. Zu jeder Aufgabe gibt es noch Informationen über die Sammlung, der sie entnommen ist, bzw. über den Schöpfer des Problems. Der zweite Teil des Buchs stellt alle Lösungen vor.

Naturgemäß variieren die Aufgaben in Schwierigkeitsgrad und Bedeutung. Die ältesten Probleme können wir heute recht leicht in lineare Gleichungen übersetzen und lösen; Aufgaben wie das Königsberger Brückenproblem verlangen jedoch einen Kniff (den zuerst der geniale Euler gefunden hat, der damit die so genannte Graphentheorie begründet hat). Persönlich fand ich die Rätsel am interessantesten, die kontraintuitiv sind oder unlösbar erscheinen; ein Beispiel ist das (wohl recht bekannte) Bärenproblem: „Ein Jäger bricht morgens auf und wandert 10 km nach Süden. Dann ändert er seine Richtung und geht 10 km nach Osten. Dort biegt er nochmals ab, läuft nun 10 km nach Norden und gelangt zu seinem Ausgangspunkt zurück. Hier schießt er einen Bären. Welche Farbe hat der Bär?“ [Übrigens gibt es - rein mathematisch gesehen - außer der vom Autor vorgestellten „arktischen“ noch unendlich viele „antarktische“ Lösungen, aber in der Antarktis leben keine Bären.]

Insgesamt handelt es sich um eine interessante und anregende Sammlung mathematischer Denksportaufgaben.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Achtung Denkfalle
Die erstaunlichsten Alltagsirrtümer und wie man sie durchschaut

Christian Hesse
C.H. Beck Verlag; (2011), 244 Seiten, 18,00 €

ISBN-10: 3406622046
ISBN-13: 978-3406622045

„Nehmen Sie an, Sie werfen eine Münze, die gleichmäßig auf die eine oder die andere Seite fällt. Nach acht Würfen beobachten Sie folgendes Ergebnis: Zahl-Zahl-Zahl-Kopf-Zahl-Kopf-Kopf-Kopf. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ausgedrückt in Prozent, dass der nächste Wurf Zahl ist?“

In einer im Jahr 2009 durchgeführten Studie wurde diese Frage einer repräsentativen Stichprobe von knapp 1000 Personen vorgelegt. Wie wir aus dem vorliegenden Buch erfahren (Seite 147/148), nannten ca. 600 davon die richtige Antwort 50 Prozent, während die übrigen 400 eine falsche oder gar keine Antwort gaben.

Würden Sie zu den 400 gehören? Dann ist dieses Buch für Sie, denn Sie sind in eine Denkfalle getappt. Möglicherweise glauben Sie, wegen der letzten drei Kopf-Würfe wäre nach dem Gesetz der Serie als nächstes Kopf wahrscheinlicher als Zahl; möglicherweise glauben Sie aber, ebendeswegen wäre Zahl jetzt „dran“ und deshalb wahrscheinlicher. In diesem Buch erläutert Christian Hesse, Mathematikprofessor an der Universität Stuttgart, ausführlich und anschaulich, warum dies Fehlschlüsse sind (die Münze hat nämlich kein Gedächtnis), worauf sie basieren und wie sie zu vermeiden sind. Oder würden Sie zu den 600 gehören? Dann ist dieses Buch für Sie, denn der Autor deckt eine Fülle von Paradoxa auf, die nicht so leicht zu durchschauen sind und deswegen Ihr Interesse wecken werden.

In 10 Kapiteln werden bekannte und weniger bekannte logische Fehlschlüsse, Fehlinterpretationen von Daten und wahrscheinlichkeitstheoretische Falltüren vorgestellt, vom Ziegenproblem bis zum Simpson-Paradoxon. Viele dieser Dinge sind nicht nur akademischer Natur, sondern haben schon, wie das Simpson-Paradoxon, die Öffentlichkeit beschäftigt. (Es ging dabei um angebliche Benachteiligungen bei der Zulassung zum Studium an der UC Berkeley.) A propos Simpson: Auch ein anderer Simpson, der des Mordes an seiner Frau angeklagte ehemalige Footballstar O.J. Simpson, taucht auf. Sein Verteidiger hatte nämlich vorgerechnet, dass rein statistisch die Wahrscheinlichkeit für die Täterschaft seines Mandanten bei verschwindenden 0,1 Prozent liege. Allerdings war der Ansatz fehlerhaft – ob aus Unwissenheit oder mit Absicht, bleibe dahingestellt – und die korrekte Wahrscheinlichkeit beträgt satte 50 Prozent, wie auf Seite 174 erklärt.

Der flüssig geschriebene und leicht lesbare Text wird durch viele Cartoons aufgelockert. Ein lesenswertes Buch!

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Das gibt’s doch nicht!

Julian Havil
Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2009, 234 Seiten, 24,95 €

ISBN-10: 9783827423061
ISBN-13: 978-3827423061

Wie schon in seinem Buch Verblüfft?! (Springer-Verlag 2009) greift Julian Havin auch in seinem neuen Buch unglaubliche mathematische Phänomene auf. Diese reichen von mathematischen Knobeleien bis zu Theoremen aus dem 20. Jahrhundert wie etwa dem Banach-Tarski-Paradoxon. Dieses besagt, dass eine Kugel vom Radius 1 so in endlich viele Schnipsel zerlegt werden kann, dass diese Stücke, neu zusammengesetzt, exakt eine Kugel von Radius 2 ergeben. Etwas drastischer: Eine Erbse kann zerlegt und neu zusammengestückelt werden, so dass eine Kugel von der Größe der Sonne entsteht. Das ist zwar unglaublich (und gewiss physikalisch unmöglich), aber im Rahmen der modernen Mengenlehre hieb- und stichfest zu beweisen. Es ist klar, dass man hierbei an die Grenzen des Teilmengenbegriffs und im Zusammenhang damit an die Grenzen des Volumenbegriffs stößt. Der Autor erklärt diese Dinge und lässt die Leser erahnen, warum solche unglaublichen Behauptungen doch stimmen.

Andere Kapitel stellen wahrscheinlichkeitstheoretische Paradoxa vor, z.B. das Simpsonsche Paradoxon, das schon Gerichte beschäftigt hat, das Ziegenproblem und das Benfordsche Gesetz. Auch hier ist es so, dass die Intuition einen häufig auf die falsche Fährte schickt. Wahrscheinlich haben die meisten Leser (wie ich selbst) beim Ziegenproblem zunächst auf die falsche Antwort getippt; der Autor rechnet uns aber vor, wie man mit der korrekten mathematischen Formulierung die richtige Antwort erhält.

Außerdem werden so unterschiedliche Dinge wie Kartentricks und unendliche Reihen, Ziffernfolgen in Zweierpotenzen, überabzählbare Mengen und vieles mehr behandelt.

Vom Leser wird Spaß am Knobeln und mathematischen Kombinieren erwartet, und wer darüber verfügt, wird bei der Lektüre des Buchs auf seine Kosten kommen. Der flüssig geschriebene Text ist fast fehlerlos ins Deutsche übersetzt; es hätte einem aufmerksamen Lektorat jedoch auffallen können, dass diverse Namen falsch geschrieben werden. Das Buch bietet mathematischen Amateuren und Profis manche Überraschung, Vergnügen und Erkenntnis.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Denksport für ein Jahr
140 mathematische Rätsel aus dem Alltag

Georg Grätzer
Spektrum Akademischer Verlag; (2010), 277 Seiten, gebunden, 14,95 €

ISBN-10: 3827425913
ISBN-13: 9783827425911

Der Autor dieser Sammlung von Denksportaufgaben ist der bekannte ungarischstämmige Mathematiker George (György) Grätzer. Die erste ungarische Auflage erschien 1959, als er noch Student an der Universität Budapest war, und erlangte offenbar wie die Bücher seines Vaters, des „Rätselkönigs“ J. Grätzer, in Ungarn erhebliche Verbreitung. Nun liegt die deutsche Übersetzung der zweiten ungarischen Auflage vor.

Das Buch enthält 140 Aufgaben, die in Wochenrationen von zwei bis drei Stück angeboten werden und so für ein Jahr reichen. Wenngleich solche Sammlungen von Knobeleien dazu einladen, mal hier und da zu schmökern, sollte man doch dem Rat des Autors zur linearen Lektüre folgen, denn viele Probleme werden ein zweites oder drittes Mal wieder aufgenommen, und dann ist der Spaß an der Lösung der ersten Version dahin. Übrigens gibt es zu vielen der Aufgaben Hinweise, die auf den Lösungsweg führen, und zu allen Aufgaben vollständig ausgearbeitete Lösungen.

Fast alle Aufgaben haben einen mathematischen Hintergrund wie z. B. das Schubfachprinzip aus der Kombinatorik, die Analyse von Invarianten und immer wieder Teilbarkeitsaussagen, jedoch benötigt man nie spezielle mathematische Vorkenntnisse. Was man benötigt, ist allerdings die Freude an Knobeleien à la Zweistein aus der „ZEIT“. Freunde dieser Art Denksport werden voll auf ihre Kosten kommen!

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)