Leseecke

Die Frau, für die ich den Computer erfand

Friedrich Christian Delius
Rowohlt, Berlin, 2. Auflage (17. Juli 2009), 288 Seiten, 19,90 €

ISBN-13: 978-3871346422

Suchen Sie im Zuse-Jahr 2010 noch ein Weihnachtsgeschenk? Dann kann ich Ihnen das Buch „Die Frau, für die ich den Computer erfand“ von Friedrich Christian Delius empfehlen.

Das Buch dokumentiert ein fiktives Gespräch des Autors mit dem Erfinder des Computers Konrad Zuse. Selbst, wer Zuse schon kannte, lernt diese Person der Zeitgeschichte viel besser kennen. Wer wenig über Zuse wusste, dem wird das Leben und Arbeiten des berühmten Erfinders auf eindrucksvolle Weise nahegebracht. Man lernt die schwierigen Zeiten kennen, in denen Konrad Zuse seine Idee umsetzte. Ein Erfinder, der seine gutbezahlte Stelle einer Idee opferte, deren Umsetzung von der Familie finanziert wurde (eine eindrucksvolle Stelle: „Plötzlich sagt meine Schwester: Aber du wirst unglücklich, wenn wir nein sagen! Du sollst nicht unglücklich werden! Und bietet ihre Ersparnisse an, vierhundert Mark und jeden Monat will sie abzweigen, was sie kann, sie hat gearbeitet als Stenotypistin. … Ohne die Klugheit einer Stenotypistin hätte es den Durchbruch zum Universal-Rechner wahrscheinlich nicht gegeben, jedenfalls nicht in Berlin, so viel steht fest.“). Dessen Idee vom Krieg zerbombt wurde und der dennoch nicht aufgab. Und der vor allem erst im Alter die Anerkennung bekam, die ihm zustand, da nach dem Krieg der Computer mit großem finanziellen Erfolg in den USA wieder- und weiterentwickelt wurde.

Die Idee, den Computer mit Nullen und Einsen zu füttern, also das binäre System zu nutzen, wurde aber zuerst von Zuse umgesetzt. Dass er sich im Buch in Ada Lovelace verliebt, die im 19. Jahrhundert lebte, wie grandios ausgedacht! Aber eben durchaus plausibel, hatte doch Ada Augusta Countess of Lovelace weit vor Zuses Zeit in Gedanken (zusammen mit Charles Babbage) auch bereits den Computer erfunden und ist so eine direkte Vorgängerin. Wikipedia schreibt über Charles Babbage: „Die von ihm entworfene mechanische Rechenmaschine Analytical Engine gilt als Vorläufer des modernen Computers. Untrennbar damit verbunden ist seine enge Mitarbeiterin Ada Lovelace, die unter anderem die Programmierung der Maschine in der Theorie beschrieb und daher als erste Programmiererin gilt (die Programmiersprache Ada wurde nach ihr benannt).“ Die „erste Programmiererin“ schrieb 1842 über das Gedankenexperiment der Analytischen Maschine

“Many persons imagine that the business of the engine is to give results in numerical notations, the nature of its processes must consequently be arithmetical and numerical rather than algebraical and analytical. This is an error. The engine can arrange and combine its numerical quantities exactly as if they were letters or other general symbols; and in fact might bring out its results in algebraical notation were provisions made accordingly.”

und war Zuse damit sogar voraus, denn sie machte beim automatisierten Rechnen mit Zahlen nicht Halt, sondern stellte sich automatisiertes Rechnen mit Formeln vor. Eine Utopie, die durch heutige Computeralgebrasysteme Wirklichkeit und für jedermann verfügbar geworden ist.

Die Erzählweise von Friedrich Christian Delius ist vielleicht etwas langatmig, aber sehr geschickt, eigentlich spricht er und Zuse parliert. Und dennoch hält Zuse das Heft des Gesprächs immer in der Hand.

Eine wirklich interessante Geschichte!

F.C. Delius las einen Auszug aus seinem Roman auf der Feier zum 100. Geburtstag Konrad Zuses im Deutschen Technikmuseum Berlin.

Rezension: Wolfram Koepf (Kassel)

Konrad Zuse und die Schweiz – Wer hat den Computer erfunden?

Herbert Bruderer
Oldenbourg Wissenschaftsverlag (21. März 2012), 39,80 €

ISBN-10: 3486713663
ISBN-13: 978-3486713664

An welchem deutschen Erfinder des letzten Jahrhunderts entzündet sich die Phantasie derart, dass 2012 Aquarelle von ihm neben dem Konstruktionsmodell seines ersten Rechners Z1 und einem Exemplar seiner Z11 auf der dOCUMENTA(13) präsentiert werden, über dessen Leistungen 2009 und 2010 so unterschiedliche Bücher erschienen wie Die Frau, für die ich den Computer erfand und Wer hat den Computer erfunden? (Untertitel)? In Konrad Zuse und die Schweiz (Haupttitel) beschreibt der Züricher Informatiker Herbert Bruderer faktenreich ein Kapitel aus dem Leben von Konrad Zuse (1910 – 1995). Das Inhaltverzeichnis des Buches stellt der Verlag hier zur Verfügung.

Zuse hatte während des zweiten Weltkriegs seinen vierten elektromechanischen Rechner, die Z4, gebaut. Auf seiner abenteuerlichen Flucht aus Berlin führte er noch Ende März 1945 die Z4 in Göttingen bei der damaligen Aerodynamischen Versuchsanstalt vor, um sie kurz danach im Allgäu in einem Mehllager zu verstecken. Im September 1949 unterzeichneten Zuse und Eduard Stiefel, der Leiter des Instituts für angewandte Mathematik der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, den Mietvertrag, so dass die Z4 von 1950 bis 1955 dann in Zürich zur Verfügung stand. 1950 war die ETH die einzige Universität auf dem europäischen Festland mit einem betriebsfähigen Computer (S. XI). Auf den ersten 27 Seiten des Buches und dem vierseitigen Vorwort wird über diese Zeit detailliert berichtet.

Um einen Einblick in das damalige Geschehen zu bekommen hier zuerst ein Zitat von Seite 77: Computer waren im angelsächsischen Sprachgebrauch ursprünglich Menschen, die Berechnungen ausführten. Computer waren meist Frauen. In der Regel ging es dabei um zeitraubende und eintönige Aufträge (Routinearbeiten), die Rechnerinnen und Rechner in Rechensälen mit (mechanischen) Tischrechenmaschinen erledigten. Und auf Seite 6: Der ETH stand [mit der Z4…] eine erhebliche Rechenleistung zur Verfügung. Sie entsprach einem damaligen Rechenbüro mit etwa 40 mit mechanischen Rechenmaschinen ausgestatteten Personen. Dabei brauchte die Z4 z.B. etwa fünf Minuten zur Multiplikation zweier 4 ´ 4 Matrizen (S. 15). Und das bei in einem Rechenwerk mit 2200 Telefonrelais (S. 12). Die Schilderungen mit vielen Einzelheiten der damaligen Vorgänge ergänzt Bruderer mit einem Zeitzeugenbericht von Urs Hochstrasser über Erlebnisse mit der Z4.

Es folgen sehr informationsreiche Tabellen zur Z4 mit dem Personalverzeichnis des Instituts für Angewandte Mathematik der ETH Zürich 1948 – 1964, eine sechsseitige Liste der mit der Z4 ausgeführten Aufträge nebst drei Seiten mit der Beschreibung der getätigten mathematischen Untersuchungen.

Diese aufschlussreichen Unterlagen zeigen u.a., was heute unter dem Begriff dual use diskutiert wird: Zu den ersten Aufträgen gehörten Berechnung der Spannungen in einer Talsperre und Berechnungen zum Raketenflug. In der Liste zu mathematischen Untersuchungen sind auch jeweils aus den Projekten entstandene Veröffentlichungen zitiert. Das ist ein Fundus von Themen, die jeden Numeriker auch heute noch interessieren sollten.

Das folgende Kapitel Die Maschinen von Charles Babbage, Alan Turing und John von Neumann unterscheidet sich – da mehr theoriebezogen – auch stilistisch von den ersten, während Kapitel 6 Wer hat den Computer erfunden? trotz einer siebenseitigen Liste Weitere betriebsbereite Röhrenrechner (Gesamtliste) doch die schon im Untertitel des Buches – wohl aus verkaufspsychologischen Gründen – gestellte Frage nicht eindeutig beantworten kann; trivialerweise: denn DEN Computer gab es nicht! Ein Abschnitt in diesem Kapitel berichtet über eine bisher wenig bekannte Begegnung und trägt die Überschrift Alan Turing und Konrad Zuse haben sich 1947 in Göttingen getroffen.

Die Kapitel 7 und 9 Eigenbau des Röhrenrechners ERMETH bzw. Schweizer Remington Rand mit programmgesteuerter Rechenmaschine M9 beschäftigen sich dann mehr mit dem Aspekt Schweiz und einigen Verbindungen zu Zuse.

Auf Seite 127 ist dabei noch ein bezeichnender Aspekt des Faktenreichtums des Buches zu finden: Das Berner Museum für Kommunikation ist weltweit das einzige Museum, das einen Rechenlocher M9 der Zuse KG besitzt. Die folgenden Museen haben keine solchen Maschinen: […]“(?!?) Es folgen sieben Zeilen Text mit den Angaben zu solchen 14 Museen. Auf den Seiten 202 – 203 finden sich dann schließlich Internetadressen der meisten dieser Museen unter der Überschrift  Museen mit Zuse-Maschinen ergänzt durch zwei Listen mit Internetadressen von weiteren bedeutenden technischen Museen bzw. Computermuseen in der Schweiz.

Das zweiseitige achte Kapitel Der Aufschwung des wissenschaftlichen Rechnens ist ein Text von Martin Gutknecht.

Das Quellen- und Schriftenverzeichnis umfasst 42 Seiten, das Sach- und Personenverzeichnis 15 Seiten. Aus dem dazwischen geschobenen Nachwort von Heinz Waldburger seien die letzten Sätze zitiert: Die Studierenden in den ersten Z4-Jahren waren sich wohl nicht bewusst, dass 1952 in Zürich meines Wissens die erste Informatikvorlesung auf dem europäischen Kontinent stattfand. Und vermutlich ahnte niemand, dass wir dank Zuse und dank des Triumvirats unserer Lehrer an der weltweiten Entwicklung der Informationstechnologie teilnahmen.

Das Buch strotzt vor Details und ist – insbesondere, da Bruderer bisher unbekannte Fakten belegen und Zeitzeugen befragen konnte – eine wichtige Quelle für die Mathematik- und Informatikgeschichte. Andererseits ermöglicht die gewählte Sprache auch interessierten Laien eine etwas Geduld erfordernde Lektüre. Viele zeitgenössische Fotos und auch Schaltpläne illustrieren den Text. Über Bibliotheken von Mathematik- bzw. Informatikinstituten sollte das Buch erhältlich sein.

Es lässt sich der Eindruck nicht unterdrücken, dass sich das Buch in den einzelnen Kapiteln auf frühere Texte stützt, die kaum redaktionell überarbeitet wurden. (Dazu einige Links weiter unten.) Der z.B. wiederholt erwähnte Aspekt Immerhin besass das verschlafene Zürich durch die ratternde Z4 ein, wenn auch bescheidendes, Nachtleben oder das schon oben erwähnte Mehllager einer Bäckerei seien dafür zwei typische, wenn auch ironisch ausgewählte, Beispiele. Ein sorgfältiges Lektorat des Verlages hätte auch für knappere Zitierweisen sorgen sollen, wobei hier nicht für die freiherrlich-fränkische Weise plädiert werden soll. Das Literaturverzeichnis ist wirklich umfassend (ca. 500 Titel) und enthält sehr oft nicht nur jeweils die üblichen bibliografischen, sondern auch zusätzliche inhaltliche Angaben. Im Text des Buches wird aber fast nie auf das Verzeichnis verwiesen, sondern es werden immer wieder die jeweils vollständigen bibliografischen Angaben ausgeschrieben. So sind allein auf Seite 56 viermal die Angaben zur selbstverständlich wichtigsten Quelle abgedruckt: Konrad Zuse: Der Computer – Mein Lebenswerk, Berlin, 5. unveränderte Auflage, 2010, Seiten 76, 78, 97 und 111.

Anhang

Zu einigen Texten, die inhaltlich hohe Überschneidungen mit dem Buch haben, sind Links auf dieser Seite der ETH nach Eingabe etwa der Suchworte Zuse und Bruderer zu finden. Von dort kommt man nach einigen Klicks z.B. zu dem Text von Did Alan Turing interrogate Konrad Zuse in Göttingen in 1947?

Im Literaturverzeichnis des Buches sind mehr als 20 weitere Artikel von Bruderer zum Inhalt des Buches angegeben. So sind die ersten beiden Seiten des Artikels Konrad Zuse und die ETH aus dem Informatik-Spektrum (2011, 34 (6) 565 – 576) zu finden. Hier gibt es dann als pdf-Datei die erste Auflage dieser 25-seitigen Festschrift von Bruderer: Konrad Zuse und die ETH Zürich - Zum 100. Geburtstag des Informatikpioniers Konrad Zuse.

Hingewiesen sei auf die ausführliche Rezension von Dominik Landwehr. Auf dieser Seite des Oldenbourg Verlages lassen sich schließlich noch drei knappe Auszüge von Rezensionen finden.

Rezension: Ralf Schaper (Uni Kassel)

Mathematik am Computer

Dietrich Nowottny
Springer-Verlag, 1999, 259 Seiten, 27,95 Euro

ISBN: 3540660585

Wer nicht nur mit Papier und Bleistift Mathematik machen möchte, für den ist dieses Buch ein guter Einstieg in die Welt der Mathematik mit dem Computer. Vorgestellt werden: LATEX - ein mathematisches Textverarbeitungssystem -, MATLAB - ein System vorzugsweise für Probleme der Linearen Algebra - und Maple - ein universelles mathematisches Programmsystem, das nicht nur numerisch mit Zahlen, sondern auch symbolisch mit Variablen rechnen kann. Mit vielen Beispielen wird in diese Programme eingeführt. Es gibt Übungsaufgaben (teilweise mit Musterlösungen) und weiterführende Aufgaben, außerdem eine kurze Darstellung der grundlegenden Kommandos des UNIX-Betriebssystems.
Es ist kein Buch, um Mathematik zu lernen, sondern ein Buch, das sehr hilfreich ist, vorhandene Mathematik-Kenntnisse am Computer auszuprobieren und Probleme zu lösen.

(Rezension: Dietmar Göbel)

Mathematik und Technologie

Christiane Rousseau und Yvan Saint-Aubin
Springer Spektrum, 2012, xv + 609 Seiten, 214 Abbildungen

Paperback: 49,95 €
ISBN-10: 364230091X
ISBN-13: 978-3642300912

eBook: 36,99 €
ISBN: 978-3-642-30092-9

Mit der Frage Welchen Nutzen hat die Mathematik? beginnt das Vorwort dieses nützlichen und gut lesbaren Lehrbuchs. Beantwortet wird die Frage durch die ausführliche Behandlung von Themen mit allseits bekannten Stichworten wie etwa GPS, RSA, JPEG und Google.

Das ausführliche Inhaltsverzeichnis wird auf der Internetseite des Verlages zum Buch zur Verfügung gestellt ebenso wie das Vorwort und die weiteren 47 Seiten des ersten Kapitels über Positionsbestimmung auf der Erde und im Raum. Zu diesem und den im Internet vorgestellten weiteren Kapiteln über Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel, Friese und Mosaike, der DNA-Computer und Roboterbewegung gibt es jeweils zusätzliche Links zu Seiten mit den Überschriften Related Content, References, About this Chapter, Supplementary Material. Dazu einige Bemerkungen weiter unten.

Die weiteren Kapitel haben die Überschriften:
Skelette und Gammastrahlen-Radiochirurgie,
Fehlerkorrigierende Codes,
Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel,
Zufallszahlengeneratoren,
Google und der PageRank-Algorithmus,
Warum 44 100 Abtastungen pro Sekunde?,
Bildkompression: Iterierte Funktionensysteme,
Bildkompression: Der JPEG-Standard,
Der DNA-Computer,
Variationsrechnung,
Science Flashes.

Hier gibt es zu jedem der Kapitel einen Look Inside Link, über den dann die ersten beiden Seiten des Kapitels gelesen werden können.

Alle Kapitel beginnen mit einem kurzen inhaltlichen Abriss der Auflistung der mathematischen Voraussetzungen und einem Vorschlag zum zeitlichen Aufwand in einer Vorlesung. Danach folgt meist ein geschichtlicher Problemaufriss, dann die Bereitstellung mathematischer Grundlagen und schließlich die mathematische Behandlung; es folgen Aufgaben und Literaturhinweise. Die einzelnen Kapitel lassen sich unabhängig von einander behandeln. Durch diesen Aufbau ist es möglich den vorgestellten Stoff ganz unterschiedlich einzusetzen: in einer selbstständigen Vorlesung, als einzelne Kapitel je nach Anspruch resp. Vorkenntnissen bzw. Studienplan für Proseminare und Seminare. Einzelne Themen lassen sich ohne großen zusätzlichen Arbeitsaufwand in übliche Vorlesungen integrieren um die jeweilige Theorie mit aktuellen Anwendungen anzureichern. Nicht nur der Inhalt des Buches ist also nützlich, sondern auch seine Gestaltung. Das gilt ebenso bei der Lektüre von Interessierten, denn wer hat z.B. noch keine JPEG-Datei angesehen.

Das Buch ist entstanden aus Kursen, die die Autoren ab 2001 an der Universität von Montreal gehalten haben. Sie schreiben dazu auf Seite vi des Vorworts:
Das Hauptziel des Kurses besteht darin, den aktiven und lebendigen Charakter der Mathematik zu demonstrieren, ihre Allgegenwart bei der Entwicklung von Technologien aufzuzeigen und die Studenten und Oberschüler in Modellierungsprozesse einzuführen, die einen Weg zur Entwicklung verschiedener mathematischer Anwendungen darstellen.

Eine Seite weiter wird ausführlich das breite Spektrum der verwandten Mathematik dargelegt. Weiterhin wird im Vorwort überzeugend die Auswahl der Themen begründet und es werden Verwendungsvorschläge unterbreitet.

Erfreulich ist, dass der Übersetzer Manfred Stern den englischen Text an einigen Stellen an deutsche Gegebenheiten angepasst hat: etwa dadurch, dass die Tabelle 12.1. Frequencies of letters in Dickens’s Oliver Twist (p. 371) in der deutschen Fassung durch die Buchstabentabelle von Goethes Leiden des jungen Werthers ersetzt wird (S. 390). An anderen Stellen wäre es wünschenswert gewesen, etwa den Summationsindex i zu ersetzen, um unästhetische Formeln wie   e2i−1    zu vermeiden.

Selbst in der englischen Fassung des Buches wird die Überschrift des letzten Kapitels erläutert: This chapter presents a variety of Science Flashes, small self-contained subjects that can each be covered in an hour or two. Warum bleibt dann Science Flashes unübersetzt? (Miniaturen wäre ein sinngemäßer Vorschlag.) Das naked eye aus dem englischen Text wird auf Seite 415 zum unbewaffneten Auge. Würde bloßes Auge, wie im Duden-Oxford-Wörterbuch, nicht reichen? Die auf Seite 170 erwähnte Abbildung 5.3 ist auch in der englischen Fassung nicht auffindbar. Doch diese Anmerkungen gehören zu einigen Kleinigkeiten, die den Wert des Buches nicht mindern! Bei einem Werk von ca. 600 Seiten lassen sich immer noch individuelle Wünsche formulieren.

In der oben erwähnten Struktur Related Content, About this Chapter, Supplementary Material zu den Seiten der einzelnen Kapitel im Internet werden unter Related Content bzw. References auch einschlägige Bücher bzw. Zeitschriftenartikel mit Hinweisen angezeigt. Die Stelle Supplementary Material bleibt bisher wohl leer.

Wie die im Buch beschriebenen neuen Technologien – etwa zu Google – hier genutzt werden könnten, sei an einem auch sehr ästhetischen Beispiel verdeutlicht. Es beginnt mit Seite 70:

In der alten Stadt Alhambra, dem Sitz der maurischen Regierung von Granada im Süden des heutigen Spaniens, findet man erstaunlich viele Mosaike von überraschender Komplexität. Lange wurde darüber diskutiert, ob die Alhambra-Mosaike alle 17 kristallografischen Gruppen repräsentieren. Grünbaum, Grünbaum und Shephard [4] behaupten, dass das nicht der Fall ist, sondern dass nur 13 Gruppen repräsentiert sind. Sogar angesichts dieser negativen Antwort ist es eine natürliche Frage, ob sich die damaligen maurischen Künstler eines Klassifizierungssystems bewusst waren.

2006 erscheint von Branko Grünbaum in den Notices of the AMS der schöne und aktuellere Artikel What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? Die kontroverse Diskussion dauert immer noch an: Mit Google finden sich neuere Artikel im Netz, die zu belegen versuchen, dass 14 bzw. alle 17 Gruppen in den Mosaiken repräsentiert sind. (s. „B. Lynn Bodner: The Planar Crystallographic Groups Represented at the Alhambra, 2013“ und „Maria Francisca Blanco Blanco, Ana Lúcia Nogueira de Camargo Harris: Symmetry Groups in the Alhambra, 2011“)

Könnten solche von Lesern gefundene Hinweise auf publizierte Literatur nicht vom Verlag als Supplementary Material angegeben werden? Das wäre ein Wunsch des Rezensenten. Denn eine Schlussfolgerung im Kapitel über Zufallsgeneratoren lautet (S. 271): …eher zeigt die Gesamtsituation, dass die Forschung auf diesem Gebiet aktiv und nicht abgeschlossen ist. Dies trifft auch auf die meisten anderen Themen zu und könnte durch aktuelle Hinweise zusätzlich verdeutlicht werden.

2009 erschien jeweils bei Springer die ursprüngliche französische Fassung des Buches, 2008 die englische und nun 2012 die deutsche. Diese Fassung gibt es auch als eBook. Die englische Fassung wurde ausführlich im Zentralblatt für Mathematik (zbMATH) besprochen.

Dieses praktische, gut lesbare Buch hat eine weite Verbreitung verdient.

Rezension: Ralf Schaper, Kassel

Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen
Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn

Rainer Kaenders, Reinhard Schmidt
Springer Spektrum; Auflage: 2., erw. Aufl. 2014 (6. Mai 2014), 24,99 €

ISBN-10: 3658042214
ISBN-13: 978-3658042219

Es folgen die Rezensionen von: H. Weber und H. Stoppel

Die frei zugängliche Software Geogebra hat eine äußerst erfolgreiche Entwicklung hinter sich. Im Jahre 2005 erstmals ins Internet gestellt, gibt es sie inzwischen in über 50 Sprachen auf der ganzen Erde. Zu den Modulen der dynamischen Geometrie (in der Ebene), dem Funktionenplotter und der (numerischen) Algebra ist mit der Zeit noch eine Tabellenkalkulation und schließlich eine (symbolische) Computeralgebra (CAS) hinzugekommen. Zur Zeit laufen die Arbeiten an einer Implementation der Geometrie im Raum, die in der Version 5 veröffentlicht werden soll.

An den mathematischen Instituten dreier deutscher Universitäten gibt es inzwischen sogenannte Geogebra-Institute, die es sich zur Aufgabe gemacht haben, den sinnvollen Einsatz der Software GeoGebra im Unterricht zu fördern und zu optimieren. Das Kölner Institut ist für die Herausgabe dieses Buches verantwortlich. Von dessen Internetseite können alle im Buch besprochenen Applets heruntergeladen werden.

Als Einstiegskurs für den Geogebra-Anfänger ist dieses Buch nicht geeignet. (Wer dafür Hilfe sucht, kann im Internet viele Materialien finden, z. B. http://www.geogebra.org/book/intro-de.pdf). Hier hingegen soll – wie dem Untertitel zu entnehmen ist – ein „tieferes Mathematikverständnis“ gefördert werden. So werden denn auch in den zehn Kapiteln Beispiele vorgestellt, die nicht zum Standardinhalt des Mathematikunterrichts gehören.

Drei Kapitel sind der Geometrie bzw. Algebra der Mittelstufe zuzuordnen, drei weitere der Analysis und eines der Stochastik der Oberstufe. In einem weiteren wird ein Optimierungsproblem aus der Wirtschaftsmathematik („In welche Aktien soll ich investieren?“) behandelt – spannend, aber für den „normalen“ Unterricht in der Regel außerhalb des Zeitbudgets. Dasselbe gilt für die faszinierende Thematik von fraktaler Geometrie und Chaostheorie (Feigenbaum-Diagramm): Die vor 20 Jahren erschienenen Bücher von Peitgen u. a. (heute nur noch antiquarisch zu bekommen) sind die Grundlage für diesen Artikel mit vielen Materialien und Geogebra-Applets. Der letzte Abschnitt über Darstellung von Funktionen durch Nomogramme und Höhenlinien dürfte am weitesten von der Unterrichtspraxis entfernt sein. Ein wenig mehr über den Inhalt einiger Kapitel kann man in der Rezension der 1. Auflage dieses Buches nachlesen.

Das „tiefere Mathematikverständnis“ von schulmathematischen Inhalten ist für Studenten (insbesondere für das Lehramt) sehr zu empfehlen. Auch Lehrer finden hier interessante Varianten zu herkömmlichen Unterrichtsthemen. Für den alltäglichen Unterricht allerdings, der oft doch unter Zeitmangel leidet und zudem durch zentrale Abiturprüfungen ein Abweichen von den kanonisierten Inhalten nur schwer zulässt, dürften die meisten Vorschläge jedoch nicht unterrichtsrelevant werden.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Der Buchtitel des von Rainer Kaenders und Reinhard Schmidt herausgegebenen Buches stellt hohe Erwartungen an das Buch. Wie auf Seite 9 erwähnt, werden in „diesem Buch [...] Wege gesucht, die [...] neuen Möglichkeiten an ausgewählten Beispielen vorzuzeigen“.

Das Buch enthält Beispiele für den möglichen Einsatz von GeoGebra im Mathematikunterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei liegen in einzelnen Fällen sogar Beschreibungen von Unterrichtseinheiten inklusive Arbeitsblättern vor. Die Inhalte der Kapitel sind unterschiedlich nah an der Schulmathematik. Zu allen Kapiteln können die dort eingesetzten GeoGebra-Dateien von der Internetseite der GeoGebra-Instituts Köln/Bonn heruntergeladen werden, wodurch sich die einzelnen Kapitel gut durcharbeiten lassen, so dass die Inhalte sinnvoll im Unterricht eingesetzt werden können.

Auf Seite 1 des ersten Kapitels wird erwähnt, dass „das Programm zur Vertiefung des Mathematikverständnisses von Schülerinnen, Schülern oder anderen Mathematiklernenden einzusetzen“ ist. Anschließend wird anhand eines Beispiels erklärt, wie sich die mathematischen Verständnisse mit GeoGebra vertiefen lassen. Dabei wird insbesondere deutlich, dass gemeint ist, mit Hilfe von GeoGebra mehr Mathematik verstehen zu können, wobei der Einsatz von GeoGebra nicht zu umfangreich sein sollte. Denn nach einer Beobachtung auf Seite 6 handelt es sich bei „diesem Schülerergebnis [...] um alles andere als eine mathematische Gewissheit, aber es legt [...]“ eine „Vermutung nahe“. Dieses Konzept wird zu einem großen Teil umgesetzt, wie es hier an einigen Beispielen beschrieben wird.

In Kapitel 2 wird sehr praxisnah beschrieben, wie GeoGebra in Verbindung mit Konstruktionen sinnvoll verwendet werden kann. Hier ist die hohe praktische Erfahrung des Autors erkennbar, der in Abschnitt 2.3 deutlich macht, dass sich Fertigkeiten wie das Zeichnen nicht durch den Einsatz von Dynamischer Geometrie Software (DGS) ersetzen lassen. In Kapitel 4 werden mit GeoGebra Nullstellen quadratischer Funktionen aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet. Neben den schon sehr bekannten Weisen wird mit Hilfe von GeoGebra die Geometrie der quadratischen Ergänzung untersucht, was sich bei der Behandlung von Polynomen zweiten Grades und quadratischer Funktionen in der Sekundarstufe I anwenden lässt. Mit der Methode von Lill wird eine weitere Anwendungsmöglichkeit von GeoGebra in der Sekundarstufe II beschrieben, bei der neben ganzrationalen Funktionen auch die Trigonometrie ihre Anwendung findet.

Auf Polynome wird auch in Kapitel 5 eingegangen. Hier befindet sich eine interessante Kombination aus Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei der Zufallspunkte in Verbindung mit quadratischen Funktionen gebracht werden. Am Ende des Kapitels (in Abschnitt 5.3) befindet sich ein Ausblick, der sich nicht zuletzt an Studentinnen und Studenten sowie Lehrerinnen und Lehrer wendet, die ihr Hintergrundwissen vertiefen möchten. Hierbei wird neben GeoGebra eine weitere Software eingesetzt, um dreidimensionale Zeichnungen machen zu können. (Mit der Beta-Version von GeoGebra 5 lassen sich auch 3-d-Graphen zeichnen. Sie ist jedoch noch nicht in einer Endfassung.)

Kapitel 6 zeigt eine Anwendung von GeoGebra in der Stochastik. Zu der hier beschriebenen Unterrichtsreihe sind in einem Anhang auch Aufgaben enthalten, in denen sich Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II mit Tests und Schätzungen beschäftigen sollen.

Verschiedene Ableitungsregeln werden in Kapitel 7 mit Hilfe von GeoGebra behandelt, wobei man sich nicht auf ganzrationale Funktionen beschränkt hat, sondern beispielsweise auch die Exponentialfunktion untersucht wird. Hier wird das Verständnis wie in Kapitel 1 und oben beschrieben durch Unterstützung durch GeoGebra erreicht. Neben den hier beschriebenen Kapiteln gibt es weitere zu den Themen des Einsatzes von GeoGebra beim Aufstellen von Vermutungen und Lösen geometrischer Probleme, zur Eulerschen Zahl, zur Iteration und zu alternativen Bildern zu Funktionen mit Hilfe von Nomogrammen und Höhenlinien.

Insgesamt lässt sich das Buch sinnvoll von Lehrerinnen und Lehrern der Mathematik nutzen, um Ideen und teilweise auch Material für den Einsatz von GeoGebra im Mathematikunterricht der Sekundarstufen I und II zu haben. Es lässt sich auch zur Erweiterung eigener Kenntnisse und Anwendungen von DGS in der Lehre verwenden und kann daher auch von Studentinnen und Studenten der Mathematik des Lehramts sinnvoll genutzt werden.

Rezension: Hannes Stoppel (Bochum) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 50 - März 2012