Leseecke

Geometry by its History

Alexander Ostermann, Gerhard Wanner
Springer; Auflage: 2012 (12. April 2012), 64,15 €

ISBN-10: 3642291627
ISBN-13: 978-3642291623

Mit diesem Werk setzt G. Wanner (Genève) die 1996 mit seinem mit E. Hairer verfassten Buch „Analysis by its History“ (mittlerweile auch Deutsch als „Analysis durch ihre Geschichte“ (2011)) begonnenen Bemühungen fort, mathematische Theorien unter Zuhilfenahme von historischen Beispielen dem fortgeschrittenen Anfängerstudenten nahe zu bringen. Der Tod der Geometrie (vor allem im klassischen insbesondere synthetischen Sinne) wird heute oft beschworen, gelegentlich sogar beklagt und der Geometrieanteil im Schulunterricht schrumpft. Lehramtsstudenten mit geringen geometrischen Vorkenntnissen bauen dieses Defizit im Studium nicht ab und verspüren später in der Praxis wenig Neigung, sich der Geometrie zuzuwenden. Darum ist es besonders erfreulich, dass gerade diese Gegenstand des neuen Buches von Ostermann und Wanner geworden ist. Vielleicht kann dieses exzellente Werk etwas dazu beitragen, diesen Teufelskreis zu durchbrechen.

„By its History“ meint keine systematische Geschichte der Geometrie, die Vorgehensweise der Autoren scheint mir am ehesten beschrieben durch Orientierung an historischen Problemen. Es geht also mehr um historische Mathematik als um Mathematikhistorie. Viel Attraktivität gewinnt das Werk aus den zahlreichen Abbildungen, von denen nicht wenige historischen Quellen entnommen wurden. So fordert es zum Blättern und Verweilen heraus, wobei man unversehens Manches lernt. Geschickt ausgewählte Zitate laden zum Nachdenken, manchmal auch zum Schmunzeln ein. In bester Schweizerischer Tradition (ich bitte den österreichischen Koautor um Nachsicht) ist hier Vielsprachigkeit gefordert. Das Buch ist kein Lehrbuch im klassischen Sinne mit der ehernen Abfolge Definitionen – Axiome – Sätze – Beweise – Beispiele. Es ist viel stärker problem- denn systemorientiert, wobei aber Beweise nicht vollkommen fehlen. Vieles wird auch einfach referiert und das Meiste muss der Leser selber leisten. Also kein Buch für „Dummies“ oder „Nullen“, das „leicht gemacht" verspricht. Welches Modell des Lernens den Autoren vielleicht vorschwebte, erfährt der Leser auf S. 345, wo L. Eulers Mathematikunterricht bei Johann Bernoulli beschrieben wird.

Der Inhalt von „Geometry by its History“ ist ganz ungewöhnlich reichhaltig. Es kommen weite Teile der synthetischen Elementargeometrie zur Sprache inklusive von Highlights älterer Schulmathematik wie der Feuerbachsche Neunpunktekreis und die Eulersche Gerade, die Kegelschnitte und die Kreisgeometrie (der Peripheriewinkelsatz als große Unbekannte heutzutage). Voran geht eine Übersicht zur Entwicklung der Geometrie vor Euklid sowie ein Überblick zum Inhalt der „Elemente“ des Euklid. Der der synthetischen Geometrie gewidmete Teil endet mit einem Kapitel über ebene und sphärische Trigonometrie. Natürlich gibt es auch schöne Anwendungen wie die Cardanische Aufhängung, den sphärischen Abstand zweier Punkte (Rom und Lutetia) und die Konstruktion von Sonnenuhren. Die Keplerschen Gesetze werden ausführlich besprochen einschließlich R. Feynmans Beweis (1964) dafür, dass sich ein Körper unter dem ausschließlichen Einfluss der Schwerpunkt um einen anderen auf einer Bahn von der Form eines (nicht-entarteten) Kegelschnitts bewegt.

Die zweite Hälfte des Buches widmet sich der analytischen Geometrie. Nach einer Einführung in das Thema Koordinaten – das Problem von Cramer-Castillon ist hier ein Kleinod, das es zu entdecken gilt – folgen Ausführungen zur Frage „Konstruierbar oder nicht-konstruierbar?“ mit der Konstruktion des regulären 17ecks – und zur Raumgeometrie in vektorieller Darstellung. Schließlich folgen Matrizen in Beziehung auf geometrische Abbildungen und quadratische Formen. Natürlich darf in einem Buch mit dem Titel „Geometry by its History“ die projektive Geometrie einschließlich der Perspektive nicht fehlen. Klassische Sätze wie Desargues, Pascal und Brianchon werden im Stile von J. V. Poncelet bewiesen, indem z. B. eine Gerade ins Unendliche geschickt wird. Auch hier sei ein Höhepunkt genannt: Poncelets Schließungssatz. Alle Ausführungen werden von historischen Hinweisen (z. B. auf Fundstellen, Erstverwendungen etc.) begleitet, was das eigenständige Weitersuchen sehr befördert. Im Unterschied zu vielen „historischen“ Hinweisen, die man sonst in Lehrbüchern findet, sind die Angaben bei Ostermann und Wanner korrekt, präzise und zuverlässig. Geschichte wird hier ernst genommen und nicht nur als nettes Ornament missbraucht. Daneben gibt es auch zahlreiche Hinweise auf zeitgenössische Arbeiten, was belegt, dass die Elementargeometrie doch nicht ganz so tot ist, wie man vermuten könnte. Daran haben auch dynamische Geometriesoftware und Computeralgebrasysteme nicht viel geändert.

Die einzelnen Kapitel enden mit ansprechenden Aufgaben – auch hier zeigt sich wieder die Problemorientierung. Deren Lösungen finden sich am Ende des Buches ebenso wie ein beeindruckend umfangreiches Literaturverzeichnis und ein sehr nützlicher Index.

Vor rund fünfzig Jahren erklärte J. Dieudonné im Vorwort zu seinem Buch „Algèbre linéaire et géométrie élémentaire“ (1964), Themen wie der Neunpunktekreis und die Euler-Geraden seien Spielzeuge, denen kein größeres Interesse mangels fehlender Allgemeinheit zukomme – wichtig sei die lineare Algebra. Diese zweifellos polemisch überhöhte Position hatte nicht unerheblichen Einfluss auf Mathematikunterricht und -studium. Das Buch von Ostermann und Wanner kann viel dazu beitragen, zu beweisen, wie Unrecht Dieudonné hatte. Es weist auf, welch großes Interesse diesen „Spielzeugen“ zukommt und dass sie nach wie vor hervorragend geeignet sind, die Begeisterung des Homo ludens zu wecken – neben Bereitschaft zur Anstrengung die beste Voraussetzung für Lernen und Verstehen. In ihrem Vorwort zitieren die Autoren Alain Connes:

„We must absolutely train very young people to do mathematics exercises, in particular geometric exercises – this is a very good training.“

Ihr Buch belegt überzeugend, wie dies auf dem Niveau des Studiums geschehen kann. Es ist Ostermann und Wanner in der Tat gelungen, ein interessantes und Freude bereitendes Buch – dies ist ihr im Vorwort ausgedrückter Wunsch – zu schreiben, das durchaus auch subtilen Humor zulässt (man vgl. etwa das goldene Zelt S. 25).

Zu diesem Werk kann man sie nur beglückwünschen und ihm eine möglichst große Verbreitung und natürlich auch eine baldige Übersetzung ins Deutsche wünschen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2014, Band 61, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Michael Drmota (TU Wien)

Mathematik Neu Denken
Impulse für die Gymnasiallehrerbildung an Universitäten

Albrecht Beutelspacher, Rainer Danckwerts, Gregor Nickel, Susanne Spies, Gabriele Wickel
Vieweg+Teubner (2011), viii+224 Seiten, 29,95 €

ISBN-10: 3834816485
ISBN-13: 978-3834816481

Seit dem Wintersemester 2005/2006 gibt es an den Universitäten Gießen und Siegen das von der Deutschen Telekom Stiftung geförderte Projekt „Mathematik Neu Denken“. Erklärtes Ziel ist die Verbesserung der universitären Lehrerbildung im Fach Mathematik für das gymnasiale Lehramt (im weiteren Verlauf kurz „Lehramtsstudium“ genannt). Quasi als vorläufiger Abschlussbericht möchte das vorliegende Buch, dessen Autoren an der Konzeption und Durchführung des Projekts wesentlich beteiligt sind, dem Leser Einblicke in Voraussetzungen, Ziele und Umsetzung geben.

Ausgangspunkt ist die durch etliche Untersuchungen belegte Unzufriedenheit eines nicht unerheblichen Teils der Lehramtsstudierenden mit ihrem Studium: Die fachwissenschaftlichen Anteile seien zu umfangreich, zu theoretisch und zu wenig „berufsrelevant“. Das ist weder überraschend noch ein auf Dauer haltbarer Zustand – hier soll und muss die Hochschule gegensteuern, auch wenn ich die Auffassung der Studierenden so nicht teilen kann. Denn unter den Unzufriedenen befinden sich auch diejenigen, die jeden, aber auch jeden mutmaßlich über die Schulmathematik hinausgehenden Stoff als „nicht relevant“ und „zu abstrakt“ ablehnen. Dem nicht nur hier üblichen Argument „wir brauchen mehr Absolventen“ kann ich nur entgegnen: Solche Lehrer brauchen wir nicht!

Kommen wir zurück zum Buch, das ich mit großem Interesse aufgeschlagen habe, um mich über die Konzepte der beiden beteiligten Universitäten zu informieren. Doch bereits auf Seite 3 (und wahrlich nicht nur dort) musste ich dann lesen, dass das „Ziel des Pilotprojektes [...] eine Professionalisierung des Lehramtsstudiums“ wäre. Professionalisierung? Was um alles in der Welt haben denn die Hochschulen bisher gemacht? Haben wir nur abstrakten Unsinn betrieben und die Lehramtsstudierenden völlig ignoriert? Ist an den Hochschulen eine Laientruppe mit der Ausbildung unserer zukünftigen geistigen Elite betraut? Sind exzellente Mathematiklehrerinnen und -lehrer nicht wegen, sondern trotz des Lehramtsstudiums exzellent? Gegen solche Anspielungen möchte ich mich energisch verwahren! Trotzdem habe ich zunächst noch geglaubt, der oben gescholtene Begriff sei ein Terminus technicus der Didaktik. Leider trog diese Hoffnung! Unter den vielen Beispielen solch unterschwelliger Behauptungen findet sich das folgende, auf Seite 149 zu lesende:

Die universitäre Mathematikausbildung ist in noch stärkerem Maße als die Schule geprägt von einem Übergewicht der Instruktion: Traditionell überwiegen mit den Vorlesungsphasen, deren Kernbereich die systematische Darbietung mathematischer Gegenstände ist, bereits die instruktionsorientierten Lehrformen. [...] So bleibt zu oft in allen Veranstaltungen zur Mathematik das „Sprechen über Mathematik“ dem Dozenten vorbehalten. Für fachbezogene Kommunikation der Studierenden entsteht dabei kein Raum. Sie werden in ihrem Verstehensprozess nicht begleitet.

Das steht wirklich da! Ein derart falsches und verzerrtes Bild des Mathematikstudiums kann ich nicht unkommentiert stehen lassen. Eine Vorlesung mag instruktionslastig sein, eine Veranstaltung der Mathematik ist es in keinem Fall! Dies möchte ich anhand einer einfachen Rechnung aufzeigen: Die Vorlesung „Analysis 1“ ist an meiner Hochschule, der Technischen Universität Braunschweig, 10 ECTS wert. Ein mittelmäßig begabter Studierender wird daher etwa 300 Zeitstunden aufwenden müssen, wovon (großzügig gerechnet) 100 Stunden auf die Teilnahme an Vorlesungen und Übungen entfallen. Die restlichen 200 Stunden dienen der Eigenarbeit! Nochmals zum Mitschreiben: Ein Studierender soll rund 200 Zeitstunden zum Nacharbeiten der Vorlesung, Verstehen der Inhalte, Lösen der Übungsaufgaben etc. aufwenden. Ob dies einzeln oder in Gruppen mit fachbezogener Kommunikation geschieht, ob mit Rechner oder mit Papier und Bleistift gearbeitet wird – all das überlassen wir den Studierenden, die sich die für sie günstige Lernform selber aussuchen sollen. Am Ende der Analysis 1 steht dann zwar eine Klausur, die (wie im Buch richtig bemerkt) keinen rechten Aufschluss über die Leistungsfähigkeit eines Studierenden geben kann. Am Ende des Moduls Analysis aber befindet sich eine mündliche Prüfung und damit die meines Ermessens adäquate Methode zur Feststellung der mathematischen Fähigkeiten. Und selbst wenn – wie auf Didaktiktagungen häufig zu hören ist – dabei nur ein kleiner Teil des Stoffes relevant sein sollte: Seit wann lehren wir denn nur für die Abschlussprüfung?Was für ein Bild universitärer Lehre haben diese Leute eigentlich, die ausgewachsenen Mathematikdozenten Methodik und wohlmöglich auch noch Inhalte vorschreiben wollen?

Diese Missachtung des traditionellen Mathematikstudiums schimmert an etlichen Stellen des Buches durch. Dabei sind einige Aspekte des Projekts durchaus bedenkenswert. So soll etwa die Kluft zwischen Schule und Universität durch das Einbringen historischer und philosophischer Aspekte in die Anfängervorlesungen sowie – jedenfalls für die Lehramtsstudierenden in Siegen – einer begleitenden Vorlesung „Schulanalysis vom höheren Standpunkt“ abgemildert werden. Da dann im zweiten Semester bereits eine Veranstaltung zur Didaktik der Analysis hinzukommt, muss irgendwo Stoff reduziert werden. In Siegen wurde dies mit der Reduzierung der Linearen Algebra auf eine einzige Veranstaltung im zweiten Semester erreicht; auch im Gießener Curriculum ist eine Stärkung der Fachdidaktik auf Kosten der Fachwissenschaft zu beobachten. Etliche beachtenswerte Vorschläge zur „neuen Gestaltung“ der Anfängervorlesungen findet man im zweiten, umfangreichsten Teil des Buches. So ganz neu sind viele der Ideen zwar nicht, aber hübsche Anregungen für die eigene Vorlesung bietet dieser Teil doch.

Den im letzten Teil des Buches vorgestellten (intern und extern durchgeführten) Evaluierungen des Projekts kann man entnehmen, dass das Pilotprojekt bei den Lehramtskandidatinnen und -kandidaten recht gut angekommen ist und viel zu deren Motivation beigetragen hat. Von diesem Stand aus extrapolieren die Autoren und bieten dem Leser einen „idealtypischen“, im fachwissenschaftlichen Anteil reduzierten Studienplan an. Über etwaige negative Folgen hat man sich hierbei allerdings weniger Gedanken gemacht! So konnte man in früheren Zeiten mit einem guten Staatsexamen in der Mathematik fast problemlos eine Industriekarriere einschlagen. Mit dem „Master of Education“ haben sich diese Chancen nach meiner Beobachtung bereits jetzt verringert. Wollen wirklich alle Lehramtsstudierende jetzt auch noch die Durchlässigkeit zwischen Lehramts- und Fachstudium erheblich vermindern? Vielleicht gibt es doch gute Gründe, eine Reform des Lehramtsstudiums nur sehr vorsichtig und zögernd anzugehen. Mich jedenfalls hat vorliegende Buch von dem Projekt „Mathematik Neu Denken“ nicht überzeugt!

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2012, Band 59, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe (Braunschweig)

Geheime Codes
Die berühmtesten Verschlüsselungstechniken und ihre Geschichte

Stephen Pincock, Mark Frary
Ehrenwirth, 2007, 19,95 EURO, 176 Seiten, 19,95 €

ISBN: 3-431-03734-8

Dass wir in der heutigen modernen Zeit auch im Alltagsleben von Codes und Verschlüsselungen umgeben sind, ist wohl jedem bewusst. Vom Geldautomaten über Handygespräche bis zum Kabelfernsehen, die Kryptographie beschränkt sich längst nicht mehr nur auf die Verschlüsselung geheimer Botschaften romantischer Art oder im Kriegsverlauf.
Auch dass es bereits in ferner Vergangenheit Codes und Verfahren zur Verschlüsselung von Geheimnissen gegeben hat, ist nicht erst durch den Buch- und Kinoerfolg "Der DaVinci-Code" von Dan Brown bekannt. Und da die Menschen wohl auch schon immer neugierig auf die Geheimnisse anderer waren, ist auch die Kunst der Entschlüsselung seit langem in Gebrauch.
Viele interessante Geschichten dazu finden sich in dem Buch "Geheime Codes - Die berühmtesten Verschlüsselungstechniken und ihre Geschichte" von Stephen Pincock und Mark Frary. Hier erfährt man beispielsweise, wie schon Cäsar Nachrichten verschlüsselte und das der arabische Gelehrte Abu Yusuf Yaqub Ibn Ishaq al-Sabbah al-Kindi bereits im 9.Jahrhundert die älteste bekannte Erklärung zur Dechiffrierung lieferte. Auf die arabsichen Gelehrten geht auch die Erkentnis zurück, dass zur Entschlüsselung von Chiffren die Technik der Häufigkeitsanalyse von großer Hilfe sein kann. Hierbei werden die Zeichen (evtl. Buchstaben) in der verschlüsselten Nachricht nach der Häufigkeit ihres Auftretens geordnet und dann mit den Häufigkeiten der Buchstaben in Texten der Originalsprache verglichen. Im Deutschen hat beispielsweise der Buchstabe e mit 16,6% die höchste Häufigkeit, während die Wahrscheinlichkeit, in einem deutschen Text, bei zufälligem Herausgreifen eines Buchstabens ein x oder y zu erwischen, nur bei jeweils 0,03% liegt. Handelt es sich also um eine Verschlüsselungstechnik bei der z.B. Buchstaben vertauscht werden und ist der Originaltext in deutscher Sprache, so ist es nicht zu vermuten, dass ein häufig auftretender Buchstabe ein x oder y bezeichnet, sondern eher ein e oder n (10,3%).
Natürlich handelt es sich hierbei noch um äußerst einfache Verschlüsselungstechniken, jedoch waren auch diese für die Weiterentwicklung Schritt für Schritt nötig gewesen. Sowohl deren Kenntnis als auch das Verständnis des Verfahrens zur Entschlüsselung stellten eine notwendige Voraussetzung zur Entwicklung neuer und besserer Codes dar. Eine Entwicklung, die bis heute anhält und deren vorläufiger Höhepunkt (Endpunkt?) die Quantenkryptographie ist, die als unentschlüsselbar gilt. Sie basiert auf der Quantenphysik und wird, ebenso wie die oben geschilderten Anfänge der Ver- und Entschlüsselungstechniken, am Ende des Buches vorgestellt. Dazwischen finden sich viele Entwicklungen und bekannte Beispiele aus der Geschichte der Kryptographie, wie sich aus dem recht umfangreichen Inhaltsverzeichnis ablesen lässt.
Insgesamt handelt es sich um eine kurzweilige und interessante Einführung in die Thematik und deren Geschichte, wobei häufig eine etwas umfangreichere Behandlung der Themen zu wünschen gewesen wäre. Die einzelnen Themen werden meist nur sehr knapp angerissen und es wird leider auch keine ausführliche Literaturliste angeboten, um sich zu den einzelnen Themen weiter informieren zu können.
Zum Abschluss des Buches gibt es übrigens im Anhang noch eine Reihe von Codes, welche durch einige der vorher erläuterten Verfahren verschlüsselt wurden und an welchen sich der Leser nun selbst versuchen kann.

Inhalt:

1. Ursprünge
   Vom alten Ägypten über die Codes von Sex und Religion bis zu Maria Stuart. Einfache Substitutionen, Transpositionen und Häufigkeitsanalysen.
   (Ungelöste Rätsel: Der Diskurs von Phaistos; Kulturelle Codes: Religiöse Codes; Kulturelle Codes: Codes im Kamasutra)
2. Genialität
   Als verrückte Mönche, Diplomaten und Papstberater die Kryptologie auf den Kopf stellten. Die Einrichtung staatlicher Dechiffrier-Abteilungen.
   (Kulturelle Codes: Die Geheimnisse von Rosslyn: versteckte Bedeutungen in Architektur und Musik; Ungelöste Rätsel: Das geheimnisvollste aller Bücher: das Voynich-Manuskript; Ungelöste Rätsel: Der Mann mit der eisernen Maske)
3. Grips
   Der technische Fortschritt löst Umbrüche in der Kryptologie aus; Morse Alphabet, Vignère-Quadrat, Kaiski-Test und Chiffren im Amerikanischen Bürgerkrieg. Diagraphen, Playfair-Code und Elgars anderes Enigma.
   (Spezielle Codes: Der geniale Professor Babbage; Spezielle Codes: Der Playfair-Code; Ungelöste Rätsel: Versteckter Schatz, versteckte Bedeutung - die Beale-Papiere; Ungelöste Rätsel: Die Dorabella Chiffre - Elgars anderes Enigma)
4. Beharrlichkeit
   Durch schiere Sturheit wurden in Kriegszeiten Enigma und andere Geheimschriften geknackt. Das Zimmermann-Telegramm, die ADFGX-Chiffre, Codes im Kalten Krieg, Venona-Codes und die Sprecher des Navajo-Codes.
   (Spezielle Codes: Die Enigma-Maschine; Spezielle Codes: Geheimtinte und andere Spionagewerkzeuge; Spezielle Codes: Purple und Pearl Harbour)
5. Schnelligkeit
   Im heutigen elektronischen Zeitalter schützen wirksame Codierungen Daten vor Kriminellen. Public-Key Encryptation, Faktorisierung und der Data Encryption Standard.
   (Ungelöste Rätsel: Der Zodiac-Killer, Spezielle Codes: Edgar Allan Poes Chiffre aus Graham's Magazine; Spezielle Codes: Codes in der Literatur)
6. Ausblick
   Quantenkryptographie gilt als unentschlüsselbar; sind damit die Code-Knacker am Ende? Die Kryptographie stößt in den Bereich der Quantenphysik und Chaostheorie vor.
   (Spezielle Codes: Die Katze kam zurück. Spezielle Codes: Quantenkryptographie - an zwei Orten zugleich; Spezielle Codes: Quantenkryptographie in der Pralinenschachtel)

• Anhang: Codes zum Kopfzerbrechen
• Glossar
• Indes
• Literaturempfehlungen

(Rezension: Jörg Beyer)

Geheimsprachen
Geschichte und Techniken

Beutelspacher, Albrecht
C.H. Beck Wissen, 128 Seiten, 4. Aufl., 7,90 €

ISBN: 3-406-49046-8

Inhalt

1. Kryptographie: Geheimwissenschaft oder Wissenschaft von Geheimnissen?
2. Ein erster Eindruck oder Einblicke in die Welt der klassischen Kryptographie
3. Wieviel Sicherheit gibt es? oder Wir gegen den Rest der Welt
4. Public-Key-Kryptographie oder Allein gegen alle
5. Zero-Knowledge oder Ich weiß etwas, was Du nicht weißt
6. Elektronisches Geld: ein Ding der Unmöglichkeit?
7. Wieviel Kryptographie braucht der Mensch?

Beurteilung

In den letzten Jahren hat die Bedeutung der Kryptographie praktisch und theoretisch eine enorme Bedeutung erlangt.
Ursprünglich dazu gedacht diplomatische und militärische Nachrichten sicher zu verschlüsseln und zu versuchen die verschlüsselten Nachrichten der Anderen zu entschlüsseln, treffen wir heute in vielen Bereichen auf Kryptographie: Telefonkarten, Geldautomaten, Handys, Electronic Banking, Wegfahrsperren am Auto, ...
Einer der Gründe ist sicherlich der enorme Fortschritt in den Computerwissenschften, der für die Kryptographie groß Vor-, aber auch gewisse Nachteile in sich trägt. Ein weiterer wichtiger Grund ist die Mathematik, die die Kryptographie als einen ihrer Bereiche aufgenommen hat und sie durch ihre Methoden und Strukturen enorm vorangetrieben hat.
Das Buch bildet einen umfassenden Überblick über die Wissenschaft von Geheimnissen, über verschiedene Techniken des Kodierens und Entschlüsselns und ihre Anwendungsgebiete.
Beutelspacher gibt sowohl einen interessanten historischen Einblick in die Welt der klassischen Kryptographie, als auch einen Ausblick in die aktuellen Gebiete. Außerdem stellt er die interessante Frage, wieviel Kryptographie der Mensch wohl braucht und welche gesellschaftlichen Probleme sich auftun, etwa durch Mißbrauch von kryptographischen Errungenschaften.
Alles in Allem handelt es sich um einen sehr lohnenden Einblick für alle, die schon immer wissen wollten, warum bzw. wie sicher PINs sind oder wie das Prinzip des "Elektronischen Geld" funktioniert.

Geometrie und Billard

Serge Tabachnikov
Springer Spektrum; Auflage: 2013 (9. April 2013), 24,99 €

ISBN-10: 3642319246
ISBN-13: 978-3642319242

Von einer lohnenswerten Einführung in ein Teilgebiet der Mathematik erwartet man natürlich einerseits die Vorstellung der wichtigsten Resultate des Gebiets, andererseits aber auch einen Überblick über die Entstehungsgeschichte einzelner Resultate und ihren Einfluss auf benachbarte Forschungsrichtungen. Das vorliegende Buch gibt eine solche, sehr gelungene, Einführung in die Theorie des mathematischen Billards. Was sich im ersten Moment vielleicht nach bloßem intellektuellen Zeitvertreib anhört, ist tatsächlich ein vielseitiges Wissenschaftsgebiet, in dessen Zentrum das Studium der „Bewegung eines Massepunktes in einem Gebiet, an dessen Rand der Massepunkt elastisch reflektiert wird“ steht. Solche Untersuchungen beziehen gleich mehrere mathematische Bereiche mit ein; zum Beispiel die Geometrie, dynamische Systeme, die Topologie und die Zahlentheorie. Ebenso stark sind die Verbindungen des Billards zur Physik, speziell zur Hamiltonschen Mechanik und zur geometrischen Optik.

Die Betonung in der vorliegenden Darstellung liegt auf den geometrischen Aspekten des Billards und richtet sich sowohl an interessierte fortgeschrittene Studierende der Mathematik als auch an ausgebildete Mathematiker, die Freude an Geometrie haben. Neben einer beträchtlichen Zahl von Exkursen zu benachbarten Problemstellungen regen eine große Anzahl von Übungsaufgaben zum Nachdenken an und machen Lust sich eingehender mit Billard zu beschäftigen.

Die Einführung ins mathematische Billard beginnt mit einer Motivation der Problemstellung durch Fragen aus der Mechanik und der Optik. Erste Exkurse befassen sich dabei mit dem Brechungsgesetz von Snellius, dem Huygensschen Prinzip und der Brachistochrone. Weiter geht es mit Untersuchungen des Billards im Kreis und im Quadrat. Hier werden schnell Verbindungen zur Theorie der Gleichverteilung hergestellt und das Benfordsche Gesetz über Ziffernverteilung besprochen. Das dritte Kapitel stellt einen Bezug zur klassischen Integralgeometrie her. Hier werden unter anderem Croftons berühmte Formel zur Berechnung der Länge einer Kurve, sowie die Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene bewiesen. Die verwendeten Techniken erfordern dabei vom Leser ein solides mathematisches Grundwissen aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Einer der Exkurse des dritten Kapitels gibt eine kurze Einführung in das Vierte Hilbertsche Problem und dessen Lösung.

Die Kapitel 4 bis 7 sind den zentralen Fragestellungen des Billards in Kegelschnitten, Quadriken und Polygonen gewidmet: der Existenz periodischer Orbits und ihrer Stabilität sowie dem asymptotischen Verhalten spezieller Orbits. Des weiteren wird die Existenz und Eindeutigkeit von Kaustiken ausführlich besprochen. Dabei handelt es sich um Kurven im Inneren eines Billardgebiets mit folgender Eigenschaft: Ist ein Abschnitt einer Billardbahn tangential zur Kurve, so gilt dies auch für jeden reflektierten Abschnitt. Die Exkurse in diesen Kapiteln führen den Leser über den Schließungssatz von Poncelet zu integrablen Systemen, von Evoluten und Evolventen zu einer mathematischen Theorie von Regenbögen und dem Vierscheitelsatz sowie vom Poincaréschen Wiederkehrsatz zum Satz von Gauß–Bonnet. Kurze Einführungen in die Konfigurationssätze der projektiven Geometrie, die Aubry-Mather-Theorie und die Morsetheorie runden diesen zentralen Teil des Buches ab.

Die letzten beiden Kapitel sind dem chaotischen Billard, einem technisch anspruchsvollen Teilgebiet der hyperbolischen Dynamik mit Bezügen zur Ergodentheorie, und dem dualen Billard gewidmet. Bei Letzterem handelt es sich um ein zeitdiskretes dynamisches System, bei dem die Bewegung außerhalb des Billardtisches stattfindet und die Trajektorie eines Punktes durch Spiegelung an einer Tangentialgeraden bestimmt ist.

Zusammenfassend gibt dieses Buch einen tiefen Einblick in die faszinierende Welt des mathematischen Billards und in die verschiedensten Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik und Physik. Das Buch ist sicher hervorragend als Grundlage für eine Vorlesung über fortgeschrittene Kapitel der Geometrie geeignet, und ich möchte es daher Geometrie interessierten Mathematikerinnen und Mathematikern wärmstens ans Herz legen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2013, Band 60, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Franz Schuster (Wien)