Leseecke

Geheime Codes
Die berühmtesten Verschlüsselungstechniken und ihre Geschichte

Stephen Pincock, Mark Frary
Ehrenwirth, 2007, 19,95 EURO, 176 Seiten, 19,95 €

ISBN: 3-431-03734-8

Dass wir in der heutigen modernen Zeit auch im Alltagsleben von Codes und Verschlüsselungen umgeben sind, ist wohl jedem bewusst. Vom Geldautomaten über Handygespräche bis zum Kabelfernsehen, die Kryptographie beschränkt sich längst nicht mehr nur auf die Verschlüsselung geheimer Botschaften romantischer Art oder im Kriegsverlauf.
Auch dass es bereits in ferner Vergangenheit Codes und Verfahren zur Verschlüsselung von Geheimnissen gegeben hat, ist nicht erst durch den Buch- und Kinoerfolg "Der DaVinci-Code" von Dan Brown bekannt. Und da die Menschen wohl auch schon immer neugierig auf die Geheimnisse anderer waren, ist auch die Kunst der Entschlüsselung seit langem in Gebrauch.
Viele interessante Geschichten dazu finden sich in dem Buch "Geheime Codes - Die berühmtesten Verschlüsselungstechniken und ihre Geschichte" von Stephen Pincock und Mark Frary. Hier erfährt man beispielsweise, wie schon Cäsar Nachrichten verschlüsselte und das der arabische Gelehrte Abu Yusuf Yaqub Ibn Ishaq al-Sabbah al-Kindi bereits im 9.Jahrhundert die älteste bekannte Erklärung zur Dechiffrierung lieferte. Auf die arabsichen Gelehrten geht auch die Erkentnis zurück, dass zur Entschlüsselung von Chiffren die Technik der Häufigkeitsanalyse von großer Hilfe sein kann. Hierbei werden die Zeichen (evtl. Buchstaben) in der verschlüsselten Nachricht nach der Häufigkeit ihres Auftretens geordnet und dann mit den Häufigkeiten der Buchstaben in Texten der Originalsprache verglichen. Im Deutschen hat beispielsweise der Buchstabe e mit 16,6% die höchste Häufigkeit, während die Wahrscheinlichkeit, in einem deutschen Text, bei zufälligem Herausgreifen eines Buchstabens ein x oder y zu erwischen, nur bei jeweils 0,03% liegt. Handelt es sich also um eine Verschlüsselungstechnik bei der z.B. Buchstaben vertauscht werden und ist der Originaltext in deutscher Sprache, so ist es nicht zu vermuten, dass ein häufig auftretender Buchstabe ein x oder y bezeichnet, sondern eher ein e oder n (10,3%).
Natürlich handelt es sich hierbei noch um äußerst einfache Verschlüsselungstechniken, jedoch waren auch diese für die Weiterentwicklung Schritt für Schritt nötig gewesen. Sowohl deren Kenntnis als auch das Verständnis des Verfahrens zur Entschlüsselung stellten eine notwendige Voraussetzung zur Entwicklung neuer und besserer Codes dar. Eine Entwicklung, die bis heute anhält und deren vorläufiger Höhepunkt (Endpunkt?) die Quantenkryptographie ist, die als unentschlüsselbar gilt. Sie basiert auf der Quantenphysik und wird, ebenso wie die oben geschilderten Anfänge der Ver- und Entschlüsselungstechniken, am Ende des Buches vorgestellt. Dazwischen finden sich viele Entwicklungen und bekannte Beispiele aus der Geschichte der Kryptographie, wie sich aus dem recht umfangreichen Inhaltsverzeichnis ablesen lässt.
Insgesamt handelt es sich um eine kurzweilige und interessante Einführung in die Thematik und deren Geschichte, wobei häufig eine etwas umfangreichere Behandlung der Themen zu wünschen gewesen wäre. Die einzelnen Themen werden meist nur sehr knapp angerissen und es wird leider auch keine ausführliche Literaturliste angeboten, um sich zu den einzelnen Themen weiter informieren zu können.
Zum Abschluss des Buches gibt es übrigens im Anhang noch eine Reihe von Codes, welche durch einige der vorher erläuterten Verfahren verschlüsselt wurden und an welchen sich der Leser nun selbst versuchen kann.

Inhalt:

1. Ursprünge
   Vom alten Ägypten über die Codes von Sex und Religion bis zu Maria Stuart. Einfache Substitutionen, Transpositionen und Häufigkeitsanalysen.
   (Ungelöste Rätsel: Der Diskurs von Phaistos; Kulturelle Codes: Religiöse Codes; Kulturelle Codes: Codes im Kamasutra)
2. Genialität
   Als verrückte Mönche, Diplomaten und Papstberater die Kryptologie auf den Kopf stellten. Die Einrichtung staatlicher Dechiffrier-Abteilungen.
   (Kulturelle Codes: Die Geheimnisse von Rosslyn: versteckte Bedeutungen in Architektur und Musik; Ungelöste Rätsel: Das geheimnisvollste aller Bücher: das Voynich-Manuskript; Ungelöste Rätsel: Der Mann mit der eisernen Maske)
3. Grips
   Der technische Fortschritt löst Umbrüche in der Kryptologie aus; Morse Alphabet, Vignère-Quadrat, Kaiski-Test und Chiffren im Amerikanischen Bürgerkrieg. Diagraphen, Playfair-Code und Elgars anderes Enigma.
   (Spezielle Codes: Der geniale Professor Babbage; Spezielle Codes: Der Playfair-Code; Ungelöste Rätsel: Versteckter Schatz, versteckte Bedeutung - die Beale-Papiere; Ungelöste Rätsel: Die Dorabella Chiffre - Elgars anderes Enigma)
4. Beharrlichkeit
   Durch schiere Sturheit wurden in Kriegszeiten Enigma und andere Geheimschriften geknackt. Das Zimmermann-Telegramm, die ADFGX-Chiffre, Codes im Kalten Krieg, Venona-Codes und die Sprecher des Navajo-Codes.
   (Spezielle Codes: Die Enigma-Maschine; Spezielle Codes: Geheimtinte und andere Spionagewerkzeuge; Spezielle Codes: Purple und Pearl Harbour)
5. Schnelligkeit
   Im heutigen elektronischen Zeitalter schützen wirksame Codierungen Daten vor Kriminellen. Public-Key Encryptation, Faktorisierung und der Data Encryption Standard.
   (Ungelöste Rätsel: Der Zodiac-Killer, Spezielle Codes: Edgar Allan Poes Chiffre aus Graham's Magazine; Spezielle Codes: Codes in der Literatur)
6. Ausblick
   Quantenkryptographie gilt als unentschlüsselbar; sind damit die Code-Knacker am Ende? Die Kryptographie stößt in den Bereich der Quantenphysik und Chaostheorie vor.
   (Spezielle Codes: Die Katze kam zurück. Spezielle Codes: Quantenkryptographie - an zwei Orten zugleich; Spezielle Codes: Quantenkryptographie in der Pralinenschachtel)

• Anhang: Codes zum Kopfzerbrechen
• Glossar
• Indes
• Literaturempfehlungen

(Rezension: Jörg Beyer)

Geheimsprachen
Geschichte und Techniken

Beutelspacher, Albrecht
C.H. Beck Wissen, 128 Seiten, 4. Aufl., 7,90 €

ISBN: 3-406-49046-8

Inhalt

1. Kryptographie: Geheimwissenschaft oder Wissenschaft von Geheimnissen?
2. Ein erster Eindruck oder Einblicke in die Welt der klassischen Kryptographie
3. Wieviel Sicherheit gibt es? oder Wir gegen den Rest der Welt
4. Public-Key-Kryptographie oder Allein gegen alle
5. Zero-Knowledge oder Ich weiß etwas, was Du nicht weißt
6. Elektronisches Geld: ein Ding der Unmöglichkeit?
7. Wieviel Kryptographie braucht der Mensch?

Beurteilung

In den letzten Jahren hat die Bedeutung der Kryptographie praktisch und theoretisch eine enorme Bedeutung erlangt.
Ursprünglich dazu gedacht diplomatische und militärische Nachrichten sicher zu verschlüsseln und zu versuchen die verschlüsselten Nachrichten der Anderen zu entschlüsseln, treffen wir heute in vielen Bereichen auf Kryptographie: Telefonkarten, Geldautomaten, Handys, Electronic Banking, Wegfahrsperren am Auto, ...
Einer der Gründe ist sicherlich der enorme Fortschritt in den Computerwissenschften, der für die Kryptographie groß Vor-, aber auch gewisse Nachteile in sich trägt. Ein weiterer wichtiger Grund ist die Mathematik, die die Kryptographie als einen ihrer Bereiche aufgenommen hat und sie durch ihre Methoden und Strukturen enorm vorangetrieben hat.
Das Buch bildet einen umfassenden Überblick über die Wissenschaft von Geheimnissen, über verschiedene Techniken des Kodierens und Entschlüsselns und ihre Anwendungsgebiete.
Beutelspacher gibt sowohl einen interessanten historischen Einblick in die Welt der klassischen Kryptographie, als auch einen Ausblick in die aktuellen Gebiete. Außerdem stellt er die interessante Frage, wieviel Kryptographie der Mensch wohl braucht und welche gesellschaftlichen Probleme sich auftun, etwa durch Mißbrauch von kryptographischen Errungenschaften.
Alles in Allem handelt es sich um einen sehr lohnenden Einblick für alle, die schon immer wissen wollten, warum bzw. wie sicher PINs sind oder wie das Prinzip des "Elektronischen Geld" funktioniert.

Geometrie und Billard

Serge Tabachnikov
Springer Spektrum; Auflage: 2013 (9. April 2013), 24,99 €

ISBN-10: 3642319246
ISBN-13: 978-3642319242

Von einer lohnenswerten Einführung in ein Teilgebiet der Mathematik erwartet man natürlich einerseits die Vorstellung der wichtigsten Resultate des Gebiets, andererseits aber auch einen Überblick über die Entstehungsgeschichte einzelner Resultate und ihren Einfluss auf benachbarte Forschungsrichtungen. Das vorliegende Buch gibt eine solche, sehr gelungene, Einführung in die Theorie des mathematischen Billards. Was sich im ersten Moment vielleicht nach bloßem intellektuellen Zeitvertreib anhört, ist tatsächlich ein vielseitiges Wissenschaftsgebiet, in dessen Zentrum das Studium der „Bewegung eines Massepunktes in einem Gebiet, an dessen Rand der Massepunkt elastisch reflektiert wird“ steht. Solche Untersuchungen beziehen gleich mehrere mathematische Bereiche mit ein; zum Beispiel die Geometrie, dynamische Systeme, die Topologie und die Zahlentheorie. Ebenso stark sind die Verbindungen des Billards zur Physik, speziell zur Hamiltonschen Mechanik und zur geometrischen Optik.

Die Betonung in der vorliegenden Darstellung liegt auf den geometrischen Aspekten des Billards und richtet sich sowohl an interessierte fortgeschrittene Studierende der Mathematik als auch an ausgebildete Mathematiker, die Freude an Geometrie haben. Neben einer beträchtlichen Zahl von Exkursen zu benachbarten Problemstellungen regen eine große Anzahl von Übungsaufgaben zum Nachdenken an und machen Lust sich eingehender mit Billard zu beschäftigen.

Die Einführung ins mathematische Billard beginnt mit einer Motivation der Problemstellung durch Fragen aus der Mechanik und der Optik. Erste Exkurse befassen sich dabei mit dem Brechungsgesetz von Snellius, dem Huygensschen Prinzip und der Brachistochrone. Weiter geht es mit Untersuchungen des Billards im Kreis und im Quadrat. Hier werden schnell Verbindungen zur Theorie der Gleichverteilung hergestellt und das Benfordsche Gesetz über Ziffernverteilung besprochen. Das dritte Kapitel stellt einen Bezug zur klassischen Integralgeometrie her. Hier werden unter anderem Croftons berühmte Formel zur Berechnung der Länge einer Kurve, sowie die Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene bewiesen. Die verwendeten Techniken erfordern dabei vom Leser ein solides mathematisches Grundwissen aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Einer der Exkurse des dritten Kapitels gibt eine kurze Einführung in das Vierte Hilbertsche Problem und dessen Lösung.

Die Kapitel 4 bis 7 sind den zentralen Fragestellungen des Billards in Kegelschnitten, Quadriken und Polygonen gewidmet: der Existenz periodischer Orbits und ihrer Stabilität sowie dem asymptotischen Verhalten spezieller Orbits. Des weiteren wird die Existenz und Eindeutigkeit von Kaustiken ausführlich besprochen. Dabei handelt es sich um Kurven im Inneren eines Billardgebiets mit folgender Eigenschaft: Ist ein Abschnitt einer Billardbahn tangential zur Kurve, so gilt dies auch für jeden reflektierten Abschnitt. Die Exkurse in diesen Kapiteln führen den Leser über den Schließungssatz von Poncelet zu integrablen Systemen, von Evoluten und Evolventen zu einer mathematischen Theorie von Regenbögen und dem Vierscheitelsatz sowie vom Poincaréschen Wiederkehrsatz zum Satz von Gauß–Bonnet. Kurze Einführungen in die Konfigurationssätze der projektiven Geometrie, die Aubry-Mather-Theorie und die Morsetheorie runden diesen zentralen Teil des Buches ab.

Die letzten beiden Kapitel sind dem chaotischen Billard, einem technisch anspruchsvollen Teilgebiet der hyperbolischen Dynamik mit Bezügen zur Ergodentheorie, und dem dualen Billard gewidmet. Bei Letzterem handelt es sich um ein zeitdiskretes dynamisches System, bei dem die Bewegung außerhalb des Billardtisches stattfindet und die Trajektorie eines Punktes durch Spiegelung an einer Tangentialgeraden bestimmt ist.

Zusammenfassend gibt dieses Buch einen tiefen Einblick in die faszinierende Welt des mathematischen Billards und in die verschiedensten Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik und Physik. Das Buch ist sicher hervorragend als Grundlage für eine Vorlesung über fortgeschrittene Kapitel der Geometrie geeignet, und ich möchte es daher Geometrie interessierten Mathematikerinnen und Mathematikern wärmstens ans Herz legen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2013, Band 60, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Franz Schuster (Wien)

Mathematik in der Biologie

Erich Bohl
Springer-Verlag 2001, 16,95 €

ISBN: 3540206647

Waren bisher Bücher über Mathematik für Biologen betitelt mit "Mathematik für Biologen", so konnte man sicher sein, ein Mathematik-Lehrbuch auf mathematisch einfachem Niveau, gelegentlich gespickt mit Beispielen aus der Biologie vor sich zu haben. Sehr zum Verdruss der Biologie-Studenten. Nun heißt das neueste Buch auf dem Markt "Mathematik in der Biologie". "In" der Biologie. Die für die Biostudenten vorgesehene Mathematik ist flankiert von hervorragenden Beispielen, die ein Standardmathematiker oftmals nicht willens ist, sich vor Beginn seiner Veranstaltung selber herauszusuchen. Insofern ist das Buch eine unglaubliche Bereicherung auf dem Mathe-Biobuchmarkt. Beispiele werden zu Hilfe genommen, um endlich den Sinn verschiedener Methoden zu beleuchten. Beispielsweise werden Funktionen als "Modelle" eingeführt, der Begriff der Ableitung als "Veränderung". Wie lange musste man bisher in Lehrbüchern danach suchen? Ich freue mich jedenfalls, dass meine Studenten mit diesem Buch die Möglichkeit haben, diesem Erklärungszugang nicht nur in einer Vorlesung zu begegnen, sondern ihn auch in einem Springer-Lehrbuch nachlesen zu können. Insofern ist das Buch als Vorlesungsbegleitung gut geeignet und zu empfehlen. Allerdings nicht für diejenigen, die der Mathematik schon immer skeptisch gegenüberstanden oder sie gar aus einem Buch heraus verstehen wollen. Meine Studenten, die das Buch bewerten sollten, kamen zu ähnlich kritischen Urteilen wie über die anderen bekannten Bücher. Sie argumentierten, im Grunde handele es sich um ein Buch für Mathematiker mit Interesse an Anwendungen in der Biologie. Woran liegt das? Wenn der "Kunde" im Mittelpunkt stehen soll, muss sich ein Buch an den Bedürfnissen und Wünschen des Kunden orientieren. Betrachtet man die Angebotsseite, so erweitert das vorliegenden Buch die Bandbreite zwar zweifelsohne. Fragt man jedoch nach den Bedürfnissen der Studenten, dann nicht. Meiner Ansicht nach wollen und brauchen Biostudenten einen induktiven Zugang zur Mathematik. Sicher, dieser stellt alles in der Mathematik erst einmal grundsätzlich in Frage und damit auch den Mathedozenten. Fachlich kann das eine große Herausforderung sein. Wie kann nun solch ein Buch noch besser werden? Eine induktive, Fragen provozierende und zugegebenermaßen wesentlich längere, ausführlichere Darstellungsweise wäre ein aus mathematischer Sicht vollkommen untypischer Lehrbuchstil. Aber letztlich soll es ja ein Buch für BIOLOGEN sein. Vermutlich würde so eines weggehen "wie warme Semmeln". Heißen könnte es dann "Mathematik AUS der Biologie". Guten Appetit.

(Rezension: Harald Nusser)

Modelling Extremal Events for Insurance and Finance

P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch
Springer Verlag - Series: Stochastic Modelling and Applied Probability, Vol. 33, 2003, 4. Aufl., 648 Seiten, 74,85 €

ISBN:3-540-60931-8

Dieses Buch ist ein Schatz, wenn ein Schatz etwas ist, nachdem viele suchen: Entstanden aus der Notwendigkeit, die Lücke eines Referenzwerks zu schließen, welches das Thema "Extreme Events" über die beiden Bereiche Versicherung und Finanzen angeht, ist es auch als allgemeiner Zugang zum Thema gedacht. Zwar gibt es in nahezu allen Disziplinen mittlerweile Ansätze zur Analyse extremer Ereignisse - siehe auch die Rezension zu S. Albeverio, Jentsch und Kantz (Hrsg.), Extreme Events in Nature and Society -, aber die finanz- und versicherungsmathematischen Anwendungen sind bereits sehr weit entwickelt. Daher der Bedarf an einem solchen Übersichtswerk.
Als ein solches Übersichtswerk hat das Buch Folgendes zu bieten: Erstens, einen nützlichen Leitfaden durch das Buch und seine verwendeten Methoden und Modelle mit ihren verwendeten Verteilungen und stochastischen Prozessen. Zweitens, ein grundlegendes Kapitel zur Risikotheorie und eines zur Theorie von Summen unabhängiger Zufallsvariablen. Drittens, eine Einführung in die Extremwerttheorie über Maximum und Statistik höherer Ordnungen. Viertens, einen Zugang zu extremen Ereignissen über Punktprozesse, also Zufallsverteilungen von Punkten im Raum. Fünftens (und zwar nachdem die wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden entwickelt worden sind) einen statistischen Ansatz: Wie schlagen sich Extremwerte konkret in den Daten nieder? Ergänzt wird dies durch eine Ein- (und Weiter-)führung in Zeitreihenanalyse (großer Fluktuationen).
Schließlich endet das Buch mit einem sehr interessanten Kapitel über spezielle Themen, das sich zum Beispiel mit dem Extremindex (einem Abhängigkeitsmaß für Extremereignisse), dem "Wann?" und "Warum?" von Ruin-Pfaden, dem längsten "Run", Rückversicherungsverträgen, stabilen Prozessen, und Selbstähnlichkeit (d.h. Skaleninvarianz von Verteilungen) beschäftigt. Dieses letzte Kapitel ist wegen der Kürze und dem Ideenreichtum einerseits ein Dessert für die vorangegangenen Hauptgerichte andererseits eine Vorspeise für die damit verbundenen neuen Ansätze auch jenseits dieses wunderbaren Buches. Und wie es sich für ein Übersichtswerk gehört, findet man neben einem ausführlichen Anhang zu ein paar Grundlagen hier nahezu die gesamte relevante Literatur zum Thema.
Derjenige Leser, der auf den Geschmack extremer Ereignisse gekommen ist, wird dieses Buch als eine erschöpfende Mahlzeit genießen. Dem, der sich noch in der Annäherung an dieses Thema befindet, wird einige unwiderstehliche Häppchen finden. Probieren Sie also selbst!

(Rezension: Mark Krüger)