Leseecke

Die Gesetze des Chaos

Ilya Prigogine
Insel Taschenbuch 1998, 113 Seiten, 6.50 €

ISBN: 3458338853

Dieses Buch entstand aus einer Vortragsreihe, die der Nobelpreisträger Ilya Prigogine 1993 in Mailand gehalten hat. Der prominente Autor und das Modewort "Chaos" im Titel dürften hohe Verkaufszahlen garantieren, insbesondere, da der Klappentext eine leicht verständliche Zusammenfassung verspricht.
Es ist dem Rezensenten allerdings nur schwer vorstellbar, dass irgendein Laie dieses Buch mit Gewinn lesen kann. Der für Nicht-Spezialisten verständliche Anteil ist recht vage gehalten, da, wo es etwas präziser wird, werden mehrere Semester eines Mathematik- oder Physik-Studiums ohne weitere Erklärung vorausgesetzt. Nach solchen Passagen heißt es dann oft "wir haben nun eingesehen, dass...": Allen frustrierten Lesern sei versichert, dass sie in zahlreicher Gesellschaft sind, wenn das für sie nicht zutrifft.

Und wo bleibt das Positive? Das Buch ist für eine spezielle Zielgruppe wirklich empfehlenswert, nämlich für Studierende der Mathematik und der Naturwissenschaften, die die ersten Semester erfolgreich absolviert haben. Für die kann es so etwas wie ein Appetitanreger sein, eine wunderbare Gelegenheit, sich über einige aktuelle Ideen an der Schnittstelle Mathematik/Physik zu informieren und zu sehen, wo die verschiedenen im Studium gelernten Begriffe aus Wahrscheinlichkeitstheorie, Theorie der Differentialgleichungen und Funktionalanalysis eine Rolle spielen: Zusammenhang zwischen deterministischer und stochastischer Beschreibung des Chaos, Eigenfunktionen, der Perron-Frobenius-Operator, ...

Achtung: Wie viele andere Naturwissenschaftler auch liebt Prigogine suggestive Bilder, die in der Mathematik eigentlich schon lange nicht mehr zeitgemäß sind. Die "Diracfunktion" ist nun einmal keine Funktion, die außer bei Null überall verschwindet, sie ist eine Distribution. Einige Semester Mathematikstudium sollten es aber potenziellen Leserinnen und Lesern ermöglichen, an den entsprechenden Stellen die notwendigen Präzisierungen selbst vorzunehmen.

Zum Schluss noch eine Bitte an den Verlag: Lasst doch Bücher dieses Typs vor Drucklegung noch einmal von einem Fachmann/einer Fachfrau durchsehen, um Übersetzungsfehler zu vermeiden. Es ist - als Beispiel - schon ein bisschen verwirrend, wenn von "Prüffunktionen" die Rede ist, wo doch alle "Testfunktionen" sagen.

(Rezension: E. Behrends)

Extreme Events in Nature and Society

S. Albeverio, V. Jentsch, H. Kantz (Hrsg.)
Springer Verlag - Series: The Frontiers Collection, 2006, 352 Seiten, 53,45 €

ISBN:3-540-28610-1

Dieser Sammelband befasst sich mit dem noch jungen Thema der Extrem-Ereignisse, so genannter "Xevents", die die Forschung in der Mathematik, Physik, Ozeanografie, Meteorologie, Geologie und Hirnforschung seit etwa zehn Jahren umtreibt. Ein "Xevent" ist ein Ereignis von sehr geringer Wahrscheinlichkeit aber katastrophaler Wirkung. Beispiele dafür sind zahllos: Terrorangriffe, Stromausfälle, Erdbeben, Monsterwellen, Wind- und Niederschlagsextreme, Epilepsie und Finanzkrisen. Statistisch können Xevents mit Ansätzen der bereits vor etwa fünfzig Jahren entwickelten "Statistik extremer Werte" beschrieben werden. Für andere Eigenschaften wie die Dynamik von Xevents eignen sich physikalische Methoden der komplexen Systeme, die Zustände betrachten, die sich weit entfernt von ihrem Gleichgewicht befinden. Ziel ist letztlich über Modellierung einen universellen Zugang zu Xevents zu finden, der bis zu einem gewissen Grad dann Gemeinsamkeiten zwischen den so unterschiedlichen Feldern formuliert, in denen Xevents auftreten. Damit wäre dann die notwendige Vorhersage, Abschätzung und das Management von Xevents möglich.
Die Gliederung des Buches folgt diesem Leitfaden: in drei Teilen - Allgemeine Betrachtungen, Szenarios, Vorbeugung - entwickelt der Sammelband einen Überblick über den gegenwärtigen Stand des Problems. Die Faszination für Xevents und die Suche nach geeigneten Methoden, diesem Phänomen mit Lösungen nahe zu kommen, durchzieht das gesamte Buch. Vom Standpunkt der Mathematik aus, der letztlich die Aufgabe zukommen wird, eine universellen Formulierung zu liefern, gibt es Ähnlichkeiten zu der in den siebziger Jahren von Thom und später Arnol'd entwickelten "Katastrophentheorie". Xevents erfordern aber wohl eine Vereinigung verschiedener Ansätze aus der Statistik extremer Werte, dynamischen Systemtheorie, Chaos- und Katastrophentheorie, die gegenwärtig in einer Kombination der "Theorie großer Abweichungen" und Sattelpunkt-Methoden gesehen wird.
Es bleibt also spannend und dadurch ist dieses Buch selbst ein kleiner Xevent: Es fasziniert für eine Theorie, die nicht nur unzählige Anwendungsfelder hat, sondern darüber hinaus darauf zielt, Disaster zu verstehen und zu vermeiden und damit etwas in den Mittelpunkt stellt, was uns allen gemeinsam ist: das Leben.

(Rezension: Mark Krüger)

Fundamentals of Error-Correcting Codes

W. C. Huffman und V. Pless
Cambridge University Press, 2003, 646 Seiten, 64,00 $

ISBN 0-521-78280-5

Ein halbes Jahrhundert nach der Geburtsstunde der Codierungstheorie (Publikation von C. Shannons Artikel A mathematical theory of communication, 1948) erschien das zweibändige Handbook of Coding Theory, eine Sammlung aus 33 Beiträgen verschiedener Autoren zum aktuellen Stand der Forschung auf diesem Gebiet. Herausgeber des Handbook sind die beiden Autoren des vorliegenden Buches, das nach ihren eigenen Angaben unter anderem als Hinführung zum Handbook dienen soll.

Das Buch eignet sich für Leser mit soliden Kenntnissen in linearer Algebra; die benötigten Grundlagen aus der Algebra (z. B. endliche Körper, euklidischer Algorithmus) bzw. elementaren Zahlentheorie werden im Text entwickelt.

Der Hauptteil der Buches (Kapitel 1–11) ist der sogenannten elementaren Codierungstheorie gewidmet. Im einführenden Kapitel werden die Grundkonzepte linearer Codes erklärt: Erzeuger- und Kontrollmatrizen, Konstruktionen mit Codes, Äquivalenzbegriffe, Dualität, sowie erste Beispielklassen (Hamming-, Golay und Reed-Muller-Codes) und der Satz von Shannon. Die Kugelpackungsschranke liefert eine Überleitung zum zweiten Kapitel, in dem in aller Ausführlichkeit die verschiedenen (asymptotischen) Schranken behandelt werden. Die im Kapitel 3 entwickelten elementaren Aussagen über endliche Körper und verwandte Themen finden direkte Anwendung im folgenden Kapitel über zyklische Codes. Im fünften Kapitel werden BCH- und spezielle Reed-Solomon-Codes vorgestellt und mehrere Decodier-Algorithmen erklärt. Die QR-Codes (quadratische Reste) werden im sechsten Kapitel als Spezialfall der von V. Pless eingeführten sogenannten duadischen Codes entwickelt. Auch das siebte Kapitel über Gewichtsverteilungen behandelt nicht nur den Standardstoff, sondern z. B. auch verallgemeinerte Hamming-Gewichte.

Blockpläne (Designs) und Steinersysteme sind das Thema des achten Kapitels, wo u. A. die Nichtexistenz einer projektiven Ebene der Ordnung 10 (in Form einer Zusammenfassung) als Anwendung gegeben wird. Auf die Bedeutung der Steinersysteme für die Symmetriegruppen der Codes wird hier allerdings nicht eingegangen.

Zwei Kapitel über selbstduale Codes liegen mitten im Forschungsgebiet der Autoren. Die hier behandelten Themen gehen deutlich über den Umfang anderer Lehrbücher hinaus. In diesen Kapiteln finden sich auch besonders zahlreiche Research Problems. Das elfte Kapitel behandelt den Überdeckungsradius (die kleinste Zahl d, so dass jedes Wort des Alphabets Abstand höchstens d von einem Codewort hat) und Formeln zur Bestimmung desselben für einige Klassen von Codes.

Die letzten vier Kapitel des Buches lassen sich am besten als Ausblicke in andere Gebiete der Codierungstheorie verstehen. Im zwölften Kapitel werden erstmals nichtlineare Codes, nämlich sogenannte lineare Codes über Z/4Z, betrachtet, die als additive Untergruppen von (Z/4Z)n definiert sind und in Zusammenhang mit einigen bekannten Familien nichtlinearer binärer Codes stehen.

Die Einführung in die algebraische Geometrie und geometrische Goppa-Codes (Kapitel 13) ist sehr elementar und knapp gehalten und deshalb nicht beweisvollständig. Hauptresultat in diesem Kapitel (ebenfalls ohne Beweis) ist die Existenz geometrischer Codes, für die die Gilbert-Varshamov-Schranke überschritten wird (Tsfasman-Vladut-Zink). So wird auf wenigen Seiten klar, warum diese Codes sich wachsenden Interesses erfreuen.

Zwei Kapitel über Convolution Codes and Soft Decision schließen diesen zweiten Teil des Buches ab.

Der vorliegende Text ist gut zum Selbststudium geeignet, zahlreiche Übungsaufgaben (z. T. sehr elementar, aber eigentlich immer nützlich) erhöhen die Fingerfertigkeit im Umgang mit dem vorgestellten Material. Mindestens genauso wertvoll ist das Buch jedoch für die Vorbereitung von Vorlesungen und Übungen. Damit man angesichts der Fülle des Materials den Überblick behält, haben die Autoren der Einleitung einen Auswahlvorschlag für eine einsemestrige Vorlesung sowie Themenblöcke für weiterführende Vorlesungen beigefügt. Aber auch als Ergänzung zu anderen Texten und als Fundgrube für Beispiele und Gegenbeispiele ist dieses Buch überaus gut zu gebrauchen. Erfreulich sind auch die Abschnitte über Anwendungen z. B. in der CD-Codierung oder in der Raumfahrt.

Es ist den Autoren gelungen den Text klar verständlich zu halten, und es hat sich sicher ausgezahlt, dass sie dabei auf die Anregungen von Studenten und Kollegen (nach einigen Testläufen in Kursen) zurückgreifen konnten. Die große Sorgfalt, mit der dieses Buch geschrieben und bis zu seiner endgültigen Form überarbeitet wurde, ist heute leider nicht mehr selbstverständlich.

Rezension: Julia Hartmann (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 35 - Oktober 2004

Das Geheimnis des kürzesten Weges

P. Gritzmann, R. Brandenberg
Springer Verlag, 2001, 356 Seiten, 19,95 €

ISBN: 354022193X

Ruth hat von ihrem Vater einen Computer geschenkt bekommen, nicht irgendeinen, sondern einen mit einer geheimnisvollen Kommunikationsbox versehenen. Ein kleiner Druck auf den Schalter und es meldet sich Vim, der - wie er sagt - gut zuhören kann und einiges zu erzählen hat. Und schon sind wir mittendrin in einer wundersamen Tour durch die Welt auf der Suche nach dem kürzesten Weg. Ruth erfährt von Vim, was Routenplanung mit Satellitenübertragung und Handys zu tun hat, über Schachprobleme und das Münchner U-Bahn-Netz wird diskutiert, weiter geht's von der Müllabfuhr zum Chinesischen Postboten, von platonischer Liebe und gierigen Algorithmen ist die Rede, und schließlich steigt sie mit Freund Jan in das Problem des Handlungsreisenden ein und erfährt staunend, was das mit dem Windows Minesweeper zu tun hat und mit der Datensicherheit und ...

(Rezension: Martin Aigner)

Der Zahlenteufel

Hans Magnus Enzensberger
Hanser, 1997, 263 Seiten 19,90 €
Hanser TB: Dtv 1999, 11 €

ISBN: 3446189009
ISBN: 3423620153

Hans Magnus Enzensberger, der Lyriker, Essayist und Liebhaber der Mathematik, hat ein Kinderbuch geschrieben, laut Untertitel "für alle, die Angst vor der Mathematik haben". Die Hauptfigur ist ein Teufelchen, ein leicht cholerisches und stets ungeduldiges Wesen, das dem Sechstklässler Robert Nacht um Nacht im Traum erscheint, um ihm diverse Tricks aus dem Reich der Zahlen vorzuführen. Anfänglich ist Robert wenig begeistert von seinem nächtlichen Besucher, ist er doch schon genug von schlechten Träumen bei Nacht und von den Aufgaben seines Mathematiklehrers bei Tag geplagt. Doch sehr schnell macht ihm der Zahlenteufel klar, dass die "richtige" Mathematik nichts mit dem schulischen Rechendrill zu tun hat, und weiht ihn in einige Geheimnisse der Null und der Eins, der Fibonacci-Zahlen und der Primzahlen, der unendlichen Mengen und vieler anderer Dinge ein, was Robert mehr und mehr begeistert. Aber Robert erfährt auch, dass die Essenz der Mathematik ist, aufgestellte Aussagen zu beweisen und nicht nur in wie vielen Einzelfällen auch immer zu überprüfen. Übrigens: Eines wird auch der Zahlenteufel im Gegensatz zu seinen Ankündigungen nicht schaffen, nämlich zu beweisen, dass "irgendwas hoch 0 gleich 1" ist; tatsächlich ist das eine Definition, und man kann nur argumentieren, warum sie sinnvoll ist, aber nicht, dass sie richtig ist. Nun ist der Zahlenteufel ein Traumwesen, und das berechtigt ihn offenbar, Rettich statt Wurzel, prima Zahl statt Primzahl, unvernünftige Zahl statt irrationale Zahl etc. zu sagen. Im Kontext der Geschichte ist das aber bei weitem nicht so anbiedernd albern, wie es sich im ersten Moment anhört; und hat nicht schon der große Göttinger Mathematiker David Hilbert geschrieben, man müsse statt Punkt, Gerade, Ebene stets auch Stuhl, Tisch, Bierseidel sagen können? Enzensberger hat ein Buch geschrieben, das allen Freunden der Mathematik und denen, die es werden wollen, die Mathematik von ihrer faszinierenden Seite zeigt; Rotraut Susanne Berner hat es wunderbar illustriert. Kinder jeden Alters (sagen wir zwischen 12 und 100) werden es mit Vergnügen lesen.

(Rezension: Dirk Werner)