Leseecke

Besser als Mathe
Moderne angewandte Mathematik aus dem MATHEON zum Mitmachen

Katja Biermann, Martin Grötschel, Brigitte Lutz-Westphal (Hrsg.)
Springer Spektrum; Auflage: 2., akt. Aufl. 2013 (2. Januar 2013), 26,95 €

ISBN-10: 3658010037
ISBN-13: 978-3658010034

„Besser als Mathe“ - so urteilte ein Schüler der 8. Klasse über ein Unterrichtsprojekt „Diskrete Mathematik für die Schule“, das vom MATHEON durchgeführt wurde.

Das MATHEON ist ein Forschungszentrum der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG), das vor allem von den Berliner Universitäten getragen wird und anwendungsorientierte Grundlagenforschung in enger Zusammenarbeit mit Partnern aus der Industrie, Wirtschaft und Wissenschaft betreibt. Schule und Öffentlichkeit bilden einen weiteren Fokus seiner Aktivitäten.

Zu letzteren gehört der mathematische Adventskalender, der jährlich im Dezember veranstaltet wird. Dabei wird täglich im Internet (www.mathekalender.de) eine Aufgabe freigeschaltet, die aus der aktuellen Forschung des MATHEON erwachsen ist. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben entspricht laut Aussage der Veranstalter etwa dem Niveau der 10. - 13. Klassenstufe in Deutschland. Der große Erfolg des Mathekalenders war der Anlass für die Veröffentlichung dieses Buches. (Allein der Oberstufen-Kalender hatte in den letzten Jahren jeweils ca. 10.000 Teilnehmer – an den Mathe-Kalendern der DMV für die Klassenstufen 4 - 6 und 7 - 9 haben 2013 zusammen über 150.000 Schüler teilgenommen!)

Dreißig Aufgaben sind darin veröffentlicht. Dem eigentlichen Aufgabentext vorgeschaltet sind ausführliche Erklärungen zu dem jeweiligen realen Hintergrund und Praxisbezug. Es ist beeindruckend, in wie vielen Bereichen moderne Mathematik angewendet werden kann! Viele Aufgaben lassen sich unter dem Stichwort „Optimierung“ einordnen – kein Wunder, wenn man vom wirtschaftlichen Hintergrund der Anwendungen weiß. Wie packt man am besten Musiktitel auf eine CD (Knapsack-Problem)? Wie minimiert man die Anzahl der Züge (Fahrplan-Problem) und die Kosten einer Produktion? Wie optimiert man die Standorte der „Gelben Engel“ des Automobilclubs? Wie bewältigt man die Unmengen an Daten, die bei einer DNA-Sequenzanalyse anfallen? Wie funktioniert die lineare Optimierung bei der Planung großer Projekte und bei Transportproblemen?

In den zu lösenden Aufgaben ist das reale Problem in seiner Komplexität natürlich meist – aber nicht immer! – reduziert. Die anschließend abgedruckten Lösungen gehen umfassend auf die Fragestellung ein.

Angesichts des hohen Niveaus der Aufgaben sind die großen Teilnehmerzahlen des Mathekalenders wirklich erstaunlich. Zwar wird weitestgehend keine höhere Mathematik benötigt, aber nur selten kann man Kenntnisse aus dem Schulunterricht anbringen. Die gymnasialen Mathematik-Lehrpläne in Deutschland sehen nur wenig Themen aus der diskreten Mathematik vor und daher erfordern die Lösungen selbstständiges kreatives Denken – offensichtlich wird das von víelen mit „besser als Mathe“ (wie sie sie in der Schule erleben) beurteilt. Schüler und Lehrer, Studenten und Dozenten sowie die interessierten Öffentlichkeit sieht der Verlag als Zielgruppe an – man kann diesen das Buch nur empfehlen!

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Der perfekte Tipp
Statistik des Fußballspiels

Andreas Heuer
Spektrum Akademischer Verlag; Auflage: 2012 (13. März 2012), 24,95 €

ISBN-10: 3827426286
ISBN-13: 978-3827426284

Erstaunlich, was in diesem Buch auf rund 300 Seiten alles an Erkenntnissen aus den Spielergebnissen und Tabellenständen der Fußball-Bundesliga mit wissenschaftlicher Genauigkeit gewonnen wird.

Leicht nachvollziehbar ist, wie beschreibende Aussagen erhalten wurden, dass z. B. die Anzahl der Tore pro Spiel im Laufe der Jahre abgenommen hat, oder dass fast die Hälfte aller Spiele mit einem Tor Vorsprung endete. Schon erstaunlicher, wie die Tatsache ermittelt wurde, dass sich die durchschnittliche Laufleistung eines Spielers während eines Spiels in dieser Zeit etwa verdoppelt hat.

Verblüffend aber ist, wie aus der Analyse der Daten eine komplexe Formel entwickelt wird, die Spielausgänge zu prognostizieren erlaubt. Wie der gesunde Menschenverstand weiß, wird ein Fußballspiel zu einem hohen Prozentsatz vom Zufall bestimmt. Nur der restliche Anteil ist auf die „wahre“ Leistungsstärke zurückzuführen – und die steht in den Untersuchungen dieses Buches zur Debatte. So wird u. a. gezeigt, dass ein hoher statistischer Zusammenhang zwischen dieser Spielstärke und den Torchancen einerseits und der Spielstärke und dem „Marktwert“ der Mannschaft andererseits besteht – beide haben daher in dem vom Verfasser entwickelten Modell auch einen wichtigen Anteil am Prognosewert für das Abschneiden am Saisonende. Dieses Modell erlaubt Prognosen über den Ausgang eines speziellen Spiels und, daraus folgend, über die Abschlusstabelle der Bundesliga und damit den deutschen Meister.

Hilfsmittel dafür sind zum einen Computer, ohne die nicht die Unmengen an Daten aus 50 Bundesligajahren ausgewertet und ohne die nicht 100.000 mal eine Bundesliga-Saison simuliert hätten werden können, zum andern die modernen Methoden der Statistik: die explorative Datenanalyse liefert Verfahren, die Aussagen mit hoher statistischer Zuverlässigkeit erlauben.

Im Anhang werden auf 40 Seiten die verwendeten statistischen Begriffe und Verfahren dargestellt. Sie reichen von Mittelwert, Varianz, Standardabweichung und Sigma-Umgebungen, über die Gauß-, Binomial- und Poisson-Verteilung, das Bayes-Theorem, weiter über Ausgleichsgeraden und Korrelationskoeffizienten bis hin zu multivariaten Regressionsverfahren und -analysen.

Der Buchtitel kann zu falschen Schlüssen verleiten: eine Anleitung zum perfekten Ausfüllen eines Tippscheins erhält man natürlich nicht. Für den Großteil der Fußball-Fans oder Toto-Spieler ist der Inhalt sicher nicht geeignet – für diese dürften allenfalls die in wenigen Zeilen zusammengefassten Ergebnisse am Ende eines Abschnittes einen gewissen Informationswert besitzen. Ansonsten sind die Überlegungen zur Interpretation von Daten, Tabellen und Diagrammen sehr anspruchsvoll und verlangen ein hohes Maß an Konzentration – auch wenn der Text immer wieder von Zitaten von Fußballspielern und Trainern passend und auflockernd garniert ist.

Wer den Text auch aus wissenschaftlichem Interesse liest, wird im Literaturverzeichnis sicher weiter fündig werden: man kann nur staunen, welch eine Fülle an Büchern und – mehr noch – an wissenschaftlichen Publikationen zu diesem Thema existiert.

Die entwickelten Rechenverfahren werden vom Verfasser, Professor für physikalische Chemie an der Universität Münster, benutzt, um regelmäßig Prognosen über die laufende Bundesliga-Saison abzugeben. Diese werden bei spiegel online veröffentlicht, die letzte erschien nach elf Spielen der laufenden Saison 2013/14 am 8.11.2013 und ist zu finden unter spiegel.de

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Die Gesetze des Chaos

Ilya Prigogine
Insel Taschenbuch 1998, 113 Seiten, 6.50 €

ISBN: 3458338853

Dieses Buch entstand aus einer Vortragsreihe, die der Nobelpreisträger Ilya Prigogine 1993 in Mailand gehalten hat. Der prominente Autor und das Modewort "Chaos" im Titel dürften hohe Verkaufszahlen garantieren, insbesondere, da der Klappentext eine leicht verständliche Zusammenfassung verspricht.
Es ist dem Rezensenten allerdings nur schwer vorstellbar, dass irgendein Laie dieses Buch mit Gewinn lesen kann. Der für Nicht-Spezialisten verständliche Anteil ist recht vage gehalten, da, wo es etwas präziser wird, werden mehrere Semester eines Mathematik- oder Physik-Studiums ohne weitere Erklärung vorausgesetzt. Nach solchen Passagen heißt es dann oft "wir haben nun eingesehen, dass...": Allen frustrierten Lesern sei versichert, dass sie in zahlreicher Gesellschaft sind, wenn das für sie nicht zutrifft.

Und wo bleibt das Positive? Das Buch ist für eine spezielle Zielgruppe wirklich empfehlenswert, nämlich für Studierende der Mathematik und der Naturwissenschaften, die die ersten Semester erfolgreich absolviert haben. Für die kann es so etwas wie ein Appetitanreger sein, eine wunderbare Gelegenheit, sich über einige aktuelle Ideen an der Schnittstelle Mathematik/Physik zu informieren und zu sehen, wo die verschiedenen im Studium gelernten Begriffe aus Wahrscheinlichkeitstheorie, Theorie der Differentialgleichungen und Funktionalanalysis eine Rolle spielen: Zusammenhang zwischen deterministischer und stochastischer Beschreibung des Chaos, Eigenfunktionen, der Perron-Frobenius-Operator, ...

Achtung: Wie viele andere Naturwissenschaftler auch liebt Prigogine suggestive Bilder, die in der Mathematik eigentlich schon lange nicht mehr zeitgemäß sind. Die "Diracfunktion" ist nun einmal keine Funktion, die außer bei Null überall verschwindet, sie ist eine Distribution. Einige Semester Mathematikstudium sollten es aber potenziellen Leserinnen und Lesern ermöglichen, an den entsprechenden Stellen die notwendigen Präzisierungen selbst vorzunehmen.

Zum Schluss noch eine Bitte an den Verlag: Lasst doch Bücher dieses Typs vor Drucklegung noch einmal von einem Fachmann/einer Fachfrau durchsehen, um Übersetzungsfehler zu vermeiden. Es ist - als Beispiel - schon ein bisschen verwirrend, wenn von "Prüffunktionen" die Rede ist, wo doch alle "Testfunktionen" sagen.

(Rezension: E. Behrends)

Extreme Events in Nature and Society

S. Albeverio, V. Jentsch, H. Kantz (Hrsg.)
Springer Verlag - Series: The Frontiers Collection, 2006, 352 Seiten, 53,45 €

ISBN:3-540-28610-1

Dieser Sammelband befasst sich mit dem noch jungen Thema der Extrem-Ereignisse, so genannter "Xevents", die die Forschung in der Mathematik, Physik, Ozeanografie, Meteorologie, Geologie und Hirnforschung seit etwa zehn Jahren umtreibt. Ein "Xevent" ist ein Ereignis von sehr geringer Wahrscheinlichkeit aber katastrophaler Wirkung. Beispiele dafür sind zahllos: Terrorangriffe, Stromausfälle, Erdbeben, Monsterwellen, Wind- und Niederschlagsextreme, Epilepsie und Finanzkrisen. Statistisch können Xevents mit Ansätzen der bereits vor etwa fünfzig Jahren entwickelten "Statistik extremer Werte" beschrieben werden. Für andere Eigenschaften wie die Dynamik von Xevents eignen sich physikalische Methoden der komplexen Systeme, die Zustände betrachten, die sich weit entfernt von ihrem Gleichgewicht befinden. Ziel ist letztlich über Modellierung einen universellen Zugang zu Xevents zu finden, der bis zu einem gewissen Grad dann Gemeinsamkeiten zwischen den so unterschiedlichen Feldern formuliert, in denen Xevents auftreten. Damit wäre dann die notwendige Vorhersage, Abschätzung und das Management von Xevents möglich.
Die Gliederung des Buches folgt diesem Leitfaden: in drei Teilen - Allgemeine Betrachtungen, Szenarios, Vorbeugung - entwickelt der Sammelband einen Überblick über den gegenwärtigen Stand des Problems. Die Faszination für Xevents und die Suche nach geeigneten Methoden, diesem Phänomen mit Lösungen nahe zu kommen, durchzieht das gesamte Buch. Vom Standpunkt der Mathematik aus, der letztlich die Aufgabe zukommen wird, eine universellen Formulierung zu liefern, gibt es Ähnlichkeiten zu der in den siebziger Jahren von Thom und später Arnol'd entwickelten "Katastrophentheorie". Xevents erfordern aber wohl eine Vereinigung verschiedener Ansätze aus der Statistik extremer Werte, dynamischen Systemtheorie, Chaos- und Katastrophentheorie, die gegenwärtig in einer Kombination der "Theorie großer Abweichungen" und Sattelpunkt-Methoden gesehen wird.
Es bleibt also spannend und dadurch ist dieses Buch selbst ein kleiner Xevent: Es fasziniert für eine Theorie, die nicht nur unzählige Anwendungsfelder hat, sondern darüber hinaus darauf zielt, Disaster zu verstehen und zu vermeiden und damit etwas in den Mittelpunkt stellt, was uns allen gemeinsam ist: das Leben.

(Rezension: Mark Krüger)

Fundamentals of Error-Correcting Codes

W. C. Huffman und V. Pless
Cambridge University Press, 2003, 646 Seiten, 64,00 $

ISBN 0-521-78280-5

Ein halbes Jahrhundert nach der Geburtsstunde der Codierungstheorie (Publikation von C. Shannons Artikel A mathematical theory of communication, 1948) erschien das zweibändige Handbook of Coding Theory, eine Sammlung aus 33 Beiträgen verschiedener Autoren zum aktuellen Stand der Forschung auf diesem Gebiet. Herausgeber des Handbook sind die beiden Autoren des vorliegenden Buches, das nach ihren eigenen Angaben unter anderem als Hinführung zum Handbook dienen soll.

Das Buch eignet sich für Leser mit soliden Kenntnissen in linearer Algebra; die benötigten Grundlagen aus der Algebra (z. B. endliche Körper, euklidischer Algorithmus) bzw. elementaren Zahlentheorie werden im Text entwickelt.

Der Hauptteil der Buches (Kapitel 1–11) ist der sogenannten elementaren Codierungstheorie gewidmet. Im einführenden Kapitel werden die Grundkonzepte linearer Codes erklärt: Erzeuger- und Kontrollmatrizen, Konstruktionen mit Codes, Äquivalenzbegriffe, Dualität, sowie erste Beispielklassen (Hamming-, Golay und Reed-Muller-Codes) und der Satz von Shannon. Die Kugelpackungsschranke liefert eine Überleitung zum zweiten Kapitel, in dem in aller Ausführlichkeit die verschiedenen (asymptotischen) Schranken behandelt werden. Die im Kapitel 3 entwickelten elementaren Aussagen über endliche Körper und verwandte Themen finden direkte Anwendung im folgenden Kapitel über zyklische Codes. Im fünften Kapitel werden BCH- und spezielle Reed-Solomon-Codes vorgestellt und mehrere Decodier-Algorithmen erklärt. Die QR-Codes (quadratische Reste) werden im sechsten Kapitel als Spezialfall der von V. Pless eingeführten sogenannten duadischen Codes entwickelt. Auch das siebte Kapitel über Gewichtsverteilungen behandelt nicht nur den Standardstoff, sondern z. B. auch verallgemeinerte Hamming-Gewichte.

Blockpläne (Designs) und Steinersysteme sind das Thema des achten Kapitels, wo u. A. die Nichtexistenz einer projektiven Ebene der Ordnung 10 (in Form einer Zusammenfassung) als Anwendung gegeben wird. Auf die Bedeutung der Steinersysteme für die Symmetriegruppen der Codes wird hier allerdings nicht eingegangen.

Zwei Kapitel über selbstduale Codes liegen mitten im Forschungsgebiet der Autoren. Die hier behandelten Themen gehen deutlich über den Umfang anderer Lehrbücher hinaus. In diesen Kapiteln finden sich auch besonders zahlreiche Research Problems. Das elfte Kapitel behandelt den Überdeckungsradius (die kleinste Zahl d, so dass jedes Wort des Alphabets Abstand höchstens d von einem Codewort hat) und Formeln zur Bestimmung desselben für einige Klassen von Codes.

Die letzten vier Kapitel des Buches lassen sich am besten als Ausblicke in andere Gebiete der Codierungstheorie verstehen. Im zwölften Kapitel werden erstmals nichtlineare Codes, nämlich sogenannte lineare Codes über Z/4Z, betrachtet, die als additive Untergruppen von (Z/4Z)n definiert sind und in Zusammenhang mit einigen bekannten Familien nichtlinearer binärer Codes stehen.

Die Einführung in die algebraische Geometrie und geometrische Goppa-Codes (Kapitel 13) ist sehr elementar und knapp gehalten und deshalb nicht beweisvollständig. Hauptresultat in diesem Kapitel (ebenfalls ohne Beweis) ist die Existenz geometrischer Codes, für die die Gilbert-Varshamov-Schranke überschritten wird (Tsfasman-Vladut-Zink). So wird auf wenigen Seiten klar, warum diese Codes sich wachsenden Interesses erfreuen.

Zwei Kapitel über Convolution Codes and Soft Decision schließen diesen zweiten Teil des Buches ab.

Der vorliegende Text ist gut zum Selbststudium geeignet, zahlreiche Übungsaufgaben (z. T. sehr elementar, aber eigentlich immer nützlich) erhöhen die Fingerfertigkeit im Umgang mit dem vorgestellten Material. Mindestens genauso wertvoll ist das Buch jedoch für die Vorbereitung von Vorlesungen und Übungen. Damit man angesichts der Fülle des Materials den Überblick behält, haben die Autoren der Einleitung einen Auswahlvorschlag für eine einsemestrige Vorlesung sowie Themenblöcke für weiterführende Vorlesungen beigefügt. Aber auch als Ergänzung zu anderen Texten und als Fundgrube für Beispiele und Gegenbeispiele ist dieses Buch überaus gut zu gebrauchen. Erfreulich sind auch die Abschnitte über Anwendungen z. B. in der CD-Codierung oder in der Raumfahrt.

Es ist den Autoren gelungen den Text klar verständlich zu halten, und es hat sich sicher ausgezahlt, dass sie dabei auf die Anregungen von Studenten und Kollegen (nach einigen Testläufen in Kursen) zurückgreifen konnten. Die große Sorgfalt, mit der dieses Buch geschrieben und bis zu seiner endgültigen Form überarbeitet wurde, ist heute leider nicht mehr selbstverständlich.

Rezension: Julia Hartmann (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 35 - Oktober 2004