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Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks

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Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks
Eine Reise in die Geschichte der Mathematik

Keith Devlin
C.H.Beck, 2009. 205 S.: Mit 13 Abbildungen im Text, gebunden, 17,90 €

ISBN 978-3-406-59099-3

Ein Briefwechsel sollte die Geschichte der Mathematik verändern: Risikomanagement, strategisches Glücksspiel und Wetterprognosen – diese Errungenschaften verdanken wir den Mathematikern Blaise Pascal und Pierre Fermat. Ein abgebrochenes Glücksspiel und die Frage, wie der Gewinn aufzuteilen sei, beschäftigte die Männer und führte zu einem regen Austausch über die Möglichkeiten der Berechnung möglicher Spielausgänge. Ganz nebenbei wurden dabei die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelegt, die unser heutiges Leben in vielen Bereichen beeinflusst.

Keith Devlin nutzt einen dieser historischen Briefe als Grundlage für sein Buch „Pascal, Fermat und die Berechnung des Glücks“ und erzählt die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Einige Biographien und Erläuterungen mathematischer Entwicklungen bereichern die Geschichte, die gut verständlich, wenn auch teilweise etwas chaotisch, erzählt wird. Devlin hat ein kurzweiliges Buch geschaffen, dass in keiner Weise an unverständliche Mathematikbücher oder trockene Geschichtszusammenfassungen erinnert.

Rezension: Anne Wendt in Mitteilungen der DMV 18-3, S. 138-139 PDF, 143 KB (Herbst 2010)

Sie nannten sich Der Wiener Kreis

wiener kreis

Sie nannten sich Der Wiener Kreis
Exaktes Denken am Rand des Untergangs

Karl Sigmund
Verlag: Springer Spektrum 2015, 357 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3658085347
ISBN-13: 978-3658085346

Aus Anlass ihres 650-jährigen Jubiläums veranstaltete die Universität Wien im Jahr 2015 eine Ausstellung über jenen Zirkel von Philosophen, Mathematikern und Vertretern anderer Wissenschaften, der vor allem in den 20er und frühen 30er Jahren des 20. Jahrhunderts wirkte und unter dem Namen „Wiener Kreis“ einen festen Platz in der europäischen Wissenschafts- und Geistesgeschichte erobert hat. In Verbindung mit dieser Ausstellung ist das vorliegende Buch erschienen. Der Autor Karl Sigmund ist Mathematiker, wirkte jahrzehntelang als Professor, neuerdings als Emeritus an der Universität Wien und ist einer der Hauptverantwortlichen für die Ausstellung.

Ungeachtet der großen Katastrophen, die unmittelbar folgen sollten, kann man die Epoche vom ausgehenden 19. Jahrhundert bis in die Zwischenkriegszeit als eine der fruchtbarsten des abendländischen Denkens bezeichnen, vergleichbar am ehesten mit Renaissance und Aufklärung. Die philosophische Moderne, für die der Wiener Kreis repräsentativ stehen kann, verdankte sich zu einem beträchtlichen Teil den revolutionären Erkenntnissen der Physik und Mathematik dieser Zeit und ließ kaum einen wesentlichen Bereich aus Wissenschaft und Kultur unberührt.

Charakteristisch für die „wissenschaftliche Weltauffassung“ – so der Titel einer programmatischen Schrift des Wiener Kreises aus dem Jahr 1929 – sind u. a. eine ausdrückliche Abwendung von jeglicher Metaphysik, eine positivistische Haltung gegenüber den empirischen Wissenschaften und, darüber hinausgehend, eine fruchtbare Anteilnahme und auch maßgebliche Mitwirkung an den zeitgenössischen Entwicklungen in den logischen Grundlagen der Mathematik. In eigenen Worten des Wiener Kreises: „In der Wissenschaft gibt es keine ,Tiefen‘: Alles ist Oberfläche: Alles Erlebte bildet ein kompliziertes, nicht immer überschaubares, oft nur im einzelnen fassbares Netz. Alles ist dem Menschen zugänglich; und der Mensch ist das Maß aller Dinge.“ Die Aufgabe bestehe in der Klärung traditioneller philosophischer Probleme, die teils als Scheinprobleme entlarvt, teils in empirische Probleme umgewandelt und damit dem Urteil der Erfahrungswissenschaft unterstellt würden.

Sigmund versteht es meisterhaft, diese philosophischen Ansätze mit Leben zu erfüllen, personifiziert durch die Protagonisten, die dem Wiener Kreis selbst angehörten oder wenigstens starken Einfluss auf ihn ausübten. Als Ahnherren fungierten die Physiker Ernst Mach (1838–1916) und Ludwig Boltzmann (1844–1906), als Gründer im Jahr 1924 der Philosoph Moritz Schlick (1882–1936), der Mathematiker Hans Hahn (1879–1934) und der Nationalökonom sowie Sozialreformer Otto Neurath (1882– 1945). Die wichtigsten Vorbilder waren der Mathematiker David Hilbert (1862–1943), der Philosoph Bertrand Russell (1872–1970) und der Physiker Albert Einstein (1879– 1955). Die jüngeren Mitglieder des Wiener Kreises standen diesen singulären Größen kaum nach: der Philosoph Rudolf Carnap (1891–1970) sowie die Mathematiker Karl Menger (1902–1985) und – viele philosophische Ansichten des Wiener Kreises zwar nicht teilend, hinsichtlich spektakulärer Einzelleistungen aber eine ganze Epoche überragend – Kurt Gödel (1906–1978). Großen Einfluss auf den Wiener Kreis entfalteten auch die Philosophen Ludwig Wittgenstein (1889–1951) und Karl Popper (1902–1994), die allerdings mehr (Wittgenstein) oder weniger (Popper) freiwillig auf eine Teilnahme an den Sitzungen des Wiener Kreises verzichteten.

Die intellektuellen, menschlichen und auch allzu menschlichen Verflechtungen der erwähnten sowie zahlreicher weiterer Persönlichkeiten werden von Sigmund so plastisch geschildert, dass der Leser bald meint, sie alle persönlich zu kennen: den philanthropischen Schlick, den intellektuell souveränen und urteilssicheren Hahn, den beständig gegen die Metaphysik polternden, in seiner optimistischen Vitalität aber durchaus sympathischen Neurath, den nicht immer so sympathischen Popper, den schwierigen Wittgenstein, das von Geisteskrankheit bedrohte Genie Gödel usw.

Doch Sigmund ist nicht nur ein großartiger Porträtist, der eine äußerst feine und stilistisch brillante Feder führt. (Über Neurath und seinen Sohn erfahren wir: „Neurath wollte aus seinem Pauli einen Proletarier machen – den Vorstadtdialekt beherrschte der Kleine bereits. Doch ein Kind zu erziehen ist schwer: Aus dem Knaben wurde später ein Gelehrter.“) Als Mathematiker versteht es der Autor, die Umwälzungen seiner eigenen Disziplin durch Hilbert, Gödel etc. angemessen und gleichzeitig allgemeinverständlich zu vermitteln, ohne sich jemals im Technischen zu verlieren. (Eine Abbildung zeigt eine Quittung der Wiener Buchhandlung Deuticke neben einer Druckseite voll kryptischer Zeichenketten, aber ohne Fließtext. Der Kommentar daneben: „Kurt Gödel kauft sich etwas zum Lesen: Die Principia Mathematica“.) Doch auch die weit über sein angestammtes Fach hinausgehenden und sehr universellen ideengeschichtlichen Bezüge überblickt Sigmund souverän und wird seinem Gegenstand auf beeindruckende Weise gerecht. So wird sein Buch zum umfassenden Kaleidoskop des (nicht nur) wissenschaftlichen Geistes einer ganzen Epoche.

Natürlich bleiben auch die verhängnisvollen damaligen politischen Entwicklungen nicht ausgespart. Sigmund enthält sich lautstarker Werturteile. Doch legt er Fakten vor, die eine deutliche Sprache sprechen und anhand derer es dem Leser frei steht, sich seine eigenen Gedanken zu machen. Bei genauem Lesen einer Abbildung stößt dieser beispielsweise auf das Gelöbnis „dem Führer unbedingte Treue und Gehorsam zu leisten“. Doch ist damit kein Führer gemeint, der erst nach Deutschland gehen musste, um dort fragwürdige Karriere zu machen. Das Zitat ist nämlich eine von acht Forderungen, die sich schon im Jahr 1935 auf der Mitsgliedskarte Kurt Gödels bei der Vaterländischen Front finden („Selbst der unpolitische Gödel muss zur Vaterländischen Front“), der Einheitspartei im austrofaschistischen Ständestaat unter Dollfuß und Schuschnigg. (Zum Verhältnis von Dollfuß zu Hitler merkt Sigmund an: „Man musste kein Demokrat sein, um die Nazis zu fürchten.“)

Bezeichnend für das geistig-politische Klima im Österreich schon vor 1938 waren die Reaktionen auf die Ermordung Schlicks 1936 durch seinen psychisch offenbar schwerst abnormen ehemaligen Studenten Johann Nelböck. In einem regierungsnahen Blatt stilisierte ein anonymer Autor unter dem Pseudonym „Professor Austriacus“ das Verbrechen zu einem „Weltanschauungskampf“ zwischen dem jungen und einsamen Nelböck und Schlick – obwohl selbst nicht einmal Jude – als „Abgott der jüdischen Kreise Wiens“. Erst unter „dem Einfluss der radikal nierderreißenden Philosophie, wie sie Dr. Schlick vortrug“, sei Nelböck zum Mörder geworden. Resümee: „Auf die philosophischen Lehrstühle der Wiener Universität im christlich–deutschen Österreich gehören christliche Philosophen! – Hoffentlich beschleunigt der schreckliche Mordfall an der Wiener Universität eine wirklich befriedigende Lösung der Judenfrage.“ Nach 1945 ging man zwar nicht mehr so weit, die Ermordung Schlicks mit ideologischen Argumenten entschuldigen zu wollen. Doch erweckt die damalige Berufungspolitik an Österreichischen Universitäten den Eindruck, dass man eine Wiederbelebung gewaltsam unterbrochener intellektueller Traditionen auch dort, wo sie möglich gewesen wäre (etwa durch eine Rückberufung von Karl Menger aus Amerika nach Wien), vorsätzlich verhindern wollte.

Der Leser (besonders wenn er wie der Rezensent selbst Wiener ist) ist beeindruckt, wie gerade diese Stadt noch in der lebensschwachen Ersten Republik weltweit Hochburg einer der Aufklärung verpflichteten Geistestätigkeit und auch -haltung war. Hätte diese Haltung auch in der Gesellschaft vorgeherrscht, wäre sie zweifellos ein Bollwerk gegen autoritäre politische Entwicklungen gewesen. Doch tragischerweise musste sie sehr schnell der totalitären Übermacht weichen.

Freilich gab es auch im Wiener Kreis und seiner Umgebung kindische Eitelkeiten und daraus resultierende Auseinandersetzungen um philosophische Spitzfindigkeiten. Legendär ist jene zwischen Popper und Wittgenstein 1946 in Cambridge. Doch zeigt Sigmunds Buch am Beispiel des Wiener Kreises, seiner Proponenten, seiner Philosophie und seiner Zeit: Es gibt einige Einsichten, auf die sich wache, denkende und (um im Sinne Neuraths zu sprechen) nicht von Metaphysik umnebelte Menschen einigen könn(t)en und deren Popularisierung die Welt um ein kleines bisschen, wenn nicht gar beträchtlich besser machen würde. Wissenschaftler und Intellektuelle sollten diese in Sigmunds Buch unausgesprochene, aber doch implizit enthaltene Botschaft bedenken.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2015, Band 62, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Reinhard Winkler (Wien)

Die altägyptische Zeitmessung

borchardt altägyptische Zeitmessung

Die altägyptische Zeitmessung
Was die Altägypter über Uhren und Zeitmessung wussten

Ludwig Borchardt, Daniela Wuensch, Klaus P. Sommer (Hrsg.)
Termessos Verlag 2013, 189 Seiten, 36,80 €

ISBN-10: 3938016140
ISBN-13: 978-3938016145

Nach Kant sind Raum und Zeit Formen der Sinnlichkeit a priori im Sinne der transzendentalen Ästhetik und mindestens beim Raum hat Kant mit der Geometrie ein klares mathematisches Bild vor Augen. Wie auch der Raum, so hat der Begriff „Zeit“ die Phantasie der Menschen früh angeregt und auch der Wunsch nach dem „Messen“ von Zeit ist vermutlich so alt wie die Geometrie. Besondere Bedeutung hatte die Zeit zweifelsohne für die alten Ägypter und von ihnen kennen wir die ersten Zeitmesser der Menschheit, die Wasseruhren. Nun reicht es nicht, irgendein Gefäß zu nehmen, es an seinem unteren Rand mit einer Ausflußöffnung zu versehen und dann Wasser aus diesem Gefäß auslaufen zu lassen. Schließlich möchte man den Lauf der Zeit gleichmäßig messen, so, wie uns dieses Verfließen der Zeit ja tatsächlich vorkommt. Also muß der Ausfluß aus dem vollständig gefüllten Gefäß in gleichen Zeiten die gleichen Markierungen überstreichen wie beim fast leeren Gefäß. Ebensolches gilt für Einlaufuhren, bei denen ein stetiger Wasserzufluß ein Gefäß füllt. Und hier ist der Anknüpfungspunkt zur Mathematik!

Im Jahr 1920 erschien Die Geschichte der Zeitmessung und der Uhren, Band I, Lieferung B, herausgegeben von Ernst von Bassermann-Jordan. Diese Lieferung war Ludwig Borchardts Altägyptische Zeitmessung, um die es im vorliegenden Buch geht und die man hier vollständig abgedruckt findet. Borchardt war einer der führenden Ägyptologen seiner Zeit und ist bis heute wohl für die Entdeckung der Nofretete Büste in Amarna bekannt. Da er sowohl Architektur als auch Ägyptologie studierte, interessierte er sich ganz wesentlich für altägyptische Bauforschung. In der umfangreichen Arbeit über die altägyptische Zeitmessung hat Borchardt akribisch Wasser, Sonnen- und Sternenuhren untersucht, und ist dabei im Detail auf ihre Konstruktion eingegangen. Er beginnt mit Auslaufuhren und macht das älteste Exemplar an der Regierungszeit des Pharaos Amenophis III. fest. Die Auslaufuhr ist zu einem kulturellen ägyptischen Exportschlager geworden, denn Borchardt verfolgt das Auftreten solcher Uhren bis in die Neuzeit. Auf einem Papyrus findet man die Berechnung von Auslaufuhren, die Borchardt minutiös verfolgt. Von Einlaufuhren war Borchardt nur genau ein Exemplar bekannt, das er etwa um 100 n.Chr. ansiedelt und das er samt seiner inneren Skala rekonstruiert.

Bei den Sonnenuhren beschreibt Borchardt zwei Typen, die er beide genau analysiert. Die Vermutung, man hätte erst mit Hilfe einer Wasseruhr den Lauf der Sonne in gleiche Zeitabschnitte zerlegt und aus diesem Wissen heraus die Sonnenuhren konstruiert, verwirft Borchardt. Die nicht unerheblichen Fehler, die sich in den Auslaufuhren finden, finden sich bei den Sonnenuhren nämlich nicht wieder. Bei den Sternenuhren scheint es jedoch Praxis gewesen zu sein, dass man den Gang eines Gestirns erst mit einer Wasseruhr vermessen hat. Zum Schluß stellt Borchardt fest, dass alle drei Uhrentypen voneinander abweichende Zeiten maßen, d.h. jede der Uhren teilte den Verlauf der Zeit anders. Besonders groß waren die Fehler bei den Auslaufuhren.

Die Borchardt’sche Arbeit ist voller Zeichnungen, Skizzen und Schwarz-weiß-Photographien, die zum Verständnis der Ausführungen maßgeblich beitragen. Aber eine solche wissenschaftshistorische Arbeit wie die Borchardts kann man nach fast 100 Jahren nicht mehr kommentarlos lesen. Daher hat die Wissenschaftshistorikerin Daniela Wuensch dem Borchardt’schen Werk unter dem Titel „Einleitung: Was die alten Ägypter über Uhren und Zeitmessung wussten“ ein langes Essay vorangestellt. Hier erfahren die Leser nicht nur etwas zum Leben Borchardts und zur Entdeckung des alten Ägyptens, sondern auch viel Material zur Erforschung der altägyptischen Zeitmessung. So erfahren wir, dass 66 Jahre nach Borchardt australische Naturwissenschaftler die Untersuchung der Auslaufuhren wieder aufnahmen und ein Modell bauten, mit dem sie experimentierten. Sie berücksichtigten im Gegensatz zu Borchardt auch die Auslauföffnung und stellten fest, dass man mit altägyptischen Auslaufuhren wesentlich höhere Genauigkeiten erreichen konnte als Borchardt vermutet hatte. Die alte Uhr aus Karnak zeigte pro Stunde einen Fehler von weniger als eine Minute – eine beachtliche Leistung.

Weiterhin argumentiert Wuensch sehr nachvollziehbar, dass Borchardts Analyse der Auslaufuhren bereits 1920 die Meinung Otto Neugebauers aus dem Jahr 1975, die ägyptische Astronomie habe keinerlei Beitrag zu den exakten Wissenschaften geleistet, falsifiziert hatte. Gerade die Analyse der Auslaufuhren zeigte Borchardt die Liebe der Ägypter zur mathematischen Präzision. Wir sollten auch nicht übersehen, dass in griechischen Quellen stets Ägypten als das Land bezeichnet wurde, aus dem die Mathematik kam. Die sich anschließende Beschreibung der weiteren Wasser, Sonnen und Sternenuhren durch Daniela Wuensch ist ebenfalls sehr lesenswert. So ist Borchardts Enttäuschung über die scheinbare Ungenauigkeit der untersuchten Uhren wohl eher den Anforderungen eines Mannes des 19. Jahrhunderts geschuldet. Der ägyptische Kalender war jedenfalls so genau, dass man ihn noch heute verwenden könnte. Wuensch stellt auch die Bedeutung von Borchardts Werk klar heraus und bezeichnet seine Leistung als einmalig aus der Perspektive der Wissenschaftsgeschichte. Bemerkungen des Verlegers Klaus Sommer und eine moderne Bibliographie schließen das einführende Essay ab.

Das vorliegende Buch kann ich allen an Fragen der Zeitmessung interessierten Lesern nur ans Herz legen. Es enthält die wunderbare klassische Arbeit Borchardts sowie einen erhellenden Kommentar einer modernen Wissenschaftshistorikerin, die die klassische Arbeit in den historischen Kontext einordnet. Zudem ist das Buch einfach gut gemacht: Großformatig, auf gutem Papier gedruckt und sauber in festem Einband gebunden. Es macht Freude, in einem solchen Buch zu lesen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2013, Band 60, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)

Logicomix

logicomix

Logicomix
Eine epische Suche nach Wahrheit

Apostolos Dixiadis und Christos H. Papadimitriou
Deutsche Übersetzung Ebi Naumann. 351 Seiten, Atrium-Verlag, Hamburg, 24,90 €

ISBN-10: 3855350698
ISBN-13: 978-3855350698

Kennen Sie die folgende Geschichte? Ein Barbier hat die Aufgabe, genau diejenigen Männer seines Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Dies hört sich harmlos an, aber wer rasiert nun den Barbier? Wenn der Barbier sich selbst rasiert, dann darf er als Barbier sich nicht rasieren. Wenn er aber vom Barbier rasiert wird, dann darf er sich nicht selbst rasieren. Diese Geschichte, die als Russellsche Antinomie bekannt ist, hat sich 1901 Bertrand Russell ausgedacht, und der auftretende Widerspruch führte zu einer Grundlagenkrise der Mathematik, denn er zeigt, dass man Mengen nicht beliebig definieren darf, da sonst Widersprüche auftreten können: Nicht jede mögliche Definition einer Menge ist erlaubt!

Mehr zur Russellschen Antinomie findet man auf den Seiten Mathematik durch die Jahrtausende - Kapitel 10, Bertrand-Russell: Sein Paradoxon wird 100 Jahre alt sowie 100 Jahre moderne Mathematik von Mathematik.de.

logicomix comic

Um die Historie dieses Paradoxons bis hin zu den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen geht es in dem vorliegenden Comicbuch von Apostolos Dixiadis und Christos H. Papadimitriou. Die wichtigsten Protagonisten der Story sind Georg Cantor, Gottlob Frege, Kurt Gödel, David Hilbert, John von Neumann, Bertrand Russell, Alfred N. Whitehead und Ludwig Wittgenstein.

Alleine schon die Entstehungsgeschichte dieses Comics ist ausgesprochen unterhaltsam und lehrreich. Sie steht in englischer Sprache auf Youtube als Film zur Verfügung: Teil 1, Teil 2, Teil 3. logicomix autorDer Comic ist von allerhöchster Qualität und nicht mit billigen Produkten zu vergleichen. Er erzählt diese hochinteressante Geschichte historisch korrekt anhand eines ausgedachten Vortrags von Bertrand Russell. Jeder, der diese Fragestellungen der Logik interessant findet, wird das Buch mit Freude lesen. Mathematisches Interesse sollte der Leser aber schon mitbringen.

Mehr zur Geschichte der Logik findet man auch in unserem Mathematikhistorischen Kalenderblatt vom Juni 2008 sowie vom November 2010.

Die Abbildung links zeigt Apostolos Doxiadis bei einer Lesung mit anschließender Diskussion am 13. September 2010 an der FU Berlin (Foto: Wolfram Koepf).

Rezension: Wolfram Koepf, Uni Kassel

Leonhard Euler

leonhard Euler

Leonhard Euler
Ein Mann, mit dem man rechnen kann

Andreas K. Heyne, Alice K. Heyne, Elena S. Pini
Birkhäuser Verlag (2007), 50 Seiten, 21,29 €
ISBN: 978-3-7643-7779-3

Ein Comic zum Euler-Jahr 2007? Ich war anfangs doch außerordentlich voreingenommen und konnte mir nicht vorstellen, dass ein Comic auch nur näherungsweise Euler gerecht werden könnte, aber nach dem Lesen waren meine Vorurteile wie weggeblasen. Die Autoren Andreas und Alice Heyne haben im Verbund mit der Zeichnerin Elena Pini eine witzige Hommage an Euler vorgelegt. Der Comic enthält zahllose Anachronismen und das nicht nur in den Texten („Diese ewigen Römer gehen mir auf den Keks“), sondern auch mehr oder weniger versteckt in den Bildern. Als Euler sich auf seine Adjunktur in Medizin vorbereitet, hält er nicht nur ein Buch mit dem Titel „Das komplette Medizin-Studium in 30 Tagen“ in Händen, sondern in einer Bücherkiste liegt auch der „Pschyrembel“, dessen erste Auflage im Jahr 1894 erschien! Ja, Euler schreckt auch nicht davor zurück, das Buch „Anatomie für Dummies“ zur Hand zu nehmen. Bei der Audienz bei Katharina der Großen tragen einige Herren Schärpen mit Aufschriften wie „Aktueller Liebhaber“, „Liebhaber von der letzten Woche“ und „Aktueller Ersatzliebhaber“ und in dieser Art geht es munter weiter durch Eulers Leben. Leser konnten bis zum 30. Juni 2007 an einem Wettbewerb teilnehmen, in dem sie die „Fehler“ in diesem Comic an den Verlag berichten konnten. Mindestens ein Leser hat diesen Wettbewerb arg missverstanden und auf den Seiten einer großen Internet-Buchhandlung darüber geschimpft, dass solche Fehler doch eigentlich nicht auftreten dürften, und rät vom Kauf der Erstauflage ab.

Der Comic ist nicht nur witzig geschrieben und hervorragend gezeichnet, sondern zeichnet sich auch durch hohe Genauigkeit bei den Fakten des Eulerschen Lebens aus. Man kann ihn Schülerinnen und Schülern ohne schlechtes Gewissen in die Hand drücken oder einfach mit Genuss selber lesen!

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2008, Band 55, Heft 1, S. 100
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags