Leseecke

Die phantastische Geschichte der Analysis
Ihre Problemeund Methoden seit Demokrit und Archimedes. Dazu die Grundbegriffe von heute

Hans-Heinrich Körle
Oldenbourg Wissenschaftsverlag (2009), 231 Seiten., 24,80 €

ISBN-10: 9783486588255
ISBN-13: 978-3486588255

Hans-Heinrich Körle,Mathematikprofessor an der Universität Marburg und jetzt a.D., ist ein mit Sprachwitz und tiefer fachlicher Einsicht gesegneter Autor. Seine 2001 im Shaker-Verlag erschienenen Erinnerungen PHILIPPINAs Lebens-Wandel: Erinnerungen eines Marburger Mathe-Profs sollten in diesen vor Reformwollust rasenden Zeiten zur Pflichtlektüre in den Forschungs- und Kultusministerien und in den Präsidien/Rektoraten unserer Universitäten werden. Aber hier ist ein anderes Buch zu würdigen. „Die Hochschulpraxis verstellt leider oft den Blick auf das, was hinter all den Begriffen, Methoden und glatten Lehrsätzen steht. Rück-Sicht auf deren Vorgeschichte – ein Luxus? Macht man sie gelegentlich lebendig, kommt das sicher der Motivation zugute, deren besonders jene bedürfen, die selbst einmal Schüler begeistern sollen.“, schreibt der Autor im Vorwort (S. ix), das er – sehr sympathisch! – „Einladung“ nennt.

Das Buch ist in zwei Teile gegliedert, wobei der erste Teil mit „Zeiten und Zeitgeister“, der zweite mit „Aus Schatztruhe und Trickkiste“‚ überschrieben ist. Zwischen den beiden Teilen finden wir eine Zeittafel der dramatis personae. Auf den etwa 80 Seiten des ersten Teiles durchstreift der Autor die Geschichte der Analysis von der griechischen Antike über Newton und Leibniz bis ins 19. Jahrhundert in relativ kurzen Ausflügen. Die Ausflüge sind zu kurz, um wirklich eine kohärente Geschichte der Analysis zu sein, aber das Ziel des Autors ist auch nicht eine vollständige Geschichte der Analysis! Insbesondere der „Anfänger“, also Studierende der Mathematik im ersten Studienjahr, soll eine Orientierung über das Werden der Analysis und die Hintergründe so mancher Entwicklung erhalten. Das im Vordergrund stehende Anliegen des Autors ist der aktuelle „ Bezug“ (S. x) und hier entfaltet das Buch seine eigentliche Stärke. Der aktuelle Bezug ist die moderne Analysis, wie sie heute an Universitäten gelehrt wird und Körle hat stets ein Auge auf die Themen einer Anfängervorlesung im Fach Analysis. Erst im zweiten Teil des Buches werden historische Beweise mit der Hilfe moderner Bezeichnungen präsentiert, und zwar geht es exemplarisch um wichtige Kernthemen der Analysis: Die Eudoxossche Proportionenlehre, die Möndchen des Hippokrates, die Parabelquadratur des Archimedes, Robervals Zykloidenquadratur, Torricellis unendlich großer „Kühlturm“ mit endlichem Volumen, die Hyperbelquadratur, frühe Tangentenmethoden, der Hauptsatz bei Newton und Leibniz, die Brachystochrone, Eulers „Nullenrechnung“, das Cauchy- Integral, die gleichmäßige Konvergenz bei Weierstraß und noch einiges mehr. Jedem Abschnitt folgt eine Literaturliste. Manchmal findet man Kommentare zur Literatur: „falsch“, „Unstimmigkeit“, „Zeitskala falsch“, was den Autor als kritischen Leser der Sekundärliteratur ausweist.

Beide Teile sind durchzogen von Körles trockenem Humor, seinem spritzigen, witzigen und zuweilen auch ironisch-sarkastischen Sprachstil, den ich sehr schätze und der mir beim Lesen Freude macht. Nur wenige Beispiele dazu: „Die Römer kommen [...] nicht in Frage; sie haben, bei all ihrem technischen Talent, keinen Nerv fürs Theoretische.“ (S. 19); „Die Astronomie hatte ihre Sternstunde [...]. Dann die Supernova der Analysis. Nicht zufällig mit Doppelstern. [...] Newton und Leibniz lagen in der Luft.“ (S. 35); „Leider ist dem Calculus zu Lebzeiten seiner Väter kein Happyend beschieden, sondern ein Vaterschaftsprozess.“ (S. 55); „[...] verstieg er [Leibniz] sich zur Behauptung, er könne jede Reihe summieren. Schon die [...] Reihe 1/k2 verschaffte ihm wieder Bodenhaftung: Sie trotzte auch den Bernoullis, [...].“ (S. 159); „Vage Aussagen sind keine Aussagen und damit nicht disputfähig“ (S. 184).

Das Buch kommt äußerlich ganz unscheinbar daher, aber was soll denn der Fisch im Würfel auf dem Buch? Die einfallslose Einbandgestaltung auflockern? Da hätte sich der Verlag für so ein Schmuckstück von Buch doch etwas mehr einfallen lassen sollen. Dieses wundervolle Buch Körles ist weder eine Geschichte der Analysis, noch ein Analysis-Lehrbuch und schon gar keine Anekdotensammlung. Es ist – um endlich einmal eine der neuen Worthülsen zu verwenden – ein im besten Sinne transdisziplinäres Buch, das man nicht nur den Studierenden der Mathematik empfehlen sollte, sondern allen, die mehr über die Wurzeln der Analysis wissen wollen.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2010, Band 57, Heft 1, S. 159 Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Einblicke in die Geschichte der Mathematik
Bd.1: Aufgaben und Materialien für die Sekundarstufe I
Bd. 2: Aufgaben und Materialien für die Sekundarstufe II und das Lehramtsstudium

Judita Cofman
Spektrum Akademischer Verlag, Texte zur Didaktik der Mathematik, 1999 / 2001, je 24.95 Euro

ISBN: Band1: 382740391X
ISBN: Band 2: 3827410878

Diese beiden Bücher enthalten viele mathematische Aufgaben mit ausführlichen und durchweg präzisen Lösungen. Das Besondere ist, dass Aufgaben und Lösungen immer in einen Bezug zur Geschichte der Mathematik gestellt werden. So erfährt man beispielsweise, was die "alten" Ägypter und Griechen schon alles konnten, wie geradezu "modern"  Euklid schon ca. 300 v. Chr. Mathematik betrieben hat: Axiomensystem zur Geometrie, Primzahluntersuchungen (mit Beweis, dass es unendlich viele gibt), Euklidischer Algorithmus und vieles mehr.
Im Band 1 (Mathematik der Sekundarstufe I ) werden behandelt: natürliche, rationale und irrationale Zahlen; lineare und quadratische Gleichungen; Themen der Geometrie, Dreiecke, Vierecke, Vielecke, Polyeder. Schließlich werden einige berühmte Probleme der Mathematik angesprochen wie z.B.  Winkeldrittelung, Quadratur des Kreises und auch die Fermatsche Vermutung; dieser "letzte Satz von Fermat" wird für Spezialfälle bewiesen.
Im Band 2 (Mathematik der Sekundarstufe II) werden behandelt: Zahlentheorie, Gleichungen 3., 4. und höheren Grades; Komplexe Zahlen; Themen der Geometrie, darunter das spannende Gebiet der Nicht-Euklidischen Geometrie; algebraische Strukturen  wie z.B. Gruppen und Vektorräume.
Nicht behandelt werden Differential- und Integralrechnung; Vermutung des Rezensenten: da wird es wohl bald einen dritten Band geben.
Die Bücher sind eine Fundgrube für alle, die über Mathematik-Kenntnisse verfügen und sich für die historische Entwicklung interessieren; sie sollten Pflichtlektüre sein für jeden, der Mathematik lehrt.

(Rezension: Dietmar Göbel)

A History of Chinese Mathematics

Jean-Claude Martzloff
Springer Verlag (2006), 485 Seiten, 37,40 €

ISBN: 3-540-33782-2

Es war einmal, da machte sich eine Gruppe junger französischer Wissenschaftler auf den Weg, Licht in die chinesische Mathematikgeschichte zu bringen – unter ihnen Jean-Claude Martzloff. Im Jahr 1987 erschien dann das vorliegenden Buch in französischer Sprache und wurde in atemberaubender Geschwindigkeit zu der Einführung in das Gebiet und das ist es noch heute, obwohl inzwischen zahlreiche Untersuchungen dazu gekommen sind. Aus diesem Grund ist es sehr zu begrüßen, dass der Springer Verlag nach der ersten englischen Ausgabe 1997 nun eine Neuauflage vorlegt. Das Buch ist zweigeteilt in einen Abschnitt, der sich mit dem Kontext auseinandersetzt, in dem die Entwicklung der Mathematik sich in China vollzog, und in den Teil, der sich mit den eigentlichen Inhalten der chinesischen Mathematik beschäftigt. Martzloff hat dabei die Inhalte ganz bewusst nicht chronologisch geordnet, sondern nach mathematischen Teilgebieten, was das Buch für all jene interessant macht, die sich gezielt über die Entwicklungsgeschichte einzelner Bereiche informieren möchten. Auch Sinologen werden sicher von diesem Buch angezogen werden, denn Martzloff dokumentiert seine Quellen in ausgezeichneter Manier. Der historiographische Kontext wird ebenso diskutiert wie die Struktur chinesischer mathematischer Werke, die innerchinesische Rezeption von mathematischen Ideen und die Einflüsse aus Indien, dem arabischen Islam und Europa. Auch den Wegen der chinesischen Mathematik in andere Kulturen geht der Autor nach und wir lernen wichtige mathematische Texte und ihre Autoren kennen. Bei der inhaltlichen Diskussion geht es um Zahlen und ihre Darstellung. Interpretiere ich jüngste Publikationen chinesischer Historiker richtig, dann scheint doch noch nicht sicher erwiesen, dass die Null tatsächlich eine indische Erfindung ist (so habe ich es schon in der Schule gelernt und später immer wieder gelesen). Auch Martzloff entscheidet diese Frage nicht sondern stellt – das ist hervorragender Stil, den das gesamte Buch auszeichnet – die frühesten bekannten indischen und chinesischen Quellen gegenüber. Geometrie, Approximation, unendliche Reihen und vieles mehr spricht Martzloff an und diskutiert die Quellen in vorbildlicher Weise. Natürlich darf auch der Abacus und seine Rolle bei numerischen Rechnungen nicht fehlen. Dem in Gänze überzeugenden Werk sind mehrere Anhänge mitgegeben, ein Index über spezielle chinesische Bezeichnungen und weitere wichtige Indices von Namen, Büchern, etc.

Der Verlag hat das Buch in Broschur in gewohnt guter Weise ausgestattet. Zu loben ist die Fadenheftung, die ein dauerndes Arbeiten nicht übelnimmt. Die Papierqualität ist hervorragend und zahlreiche Abbildungen tragen dazu bei, dass man das Buch gerne zur Hand nimmt. Der Preis von nur ca. 37 Euro macht dieses wunderbare Standardwerk zu einem echten Geschenk.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2007, Band 54, Heft 2, S. 254
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Analogrechner
Wunderwerke der Technik – Grundlagen, Geschichte und Anwendung

Bernd Ulmann
Oldenbourg Verlag, (2010), xvii + 487 Seiten, 59,80 €

ISBN: 978-3-486-59203-0

Ach ja, Analogrechner! Da kommen fast schon nostalgische Gefühle in mir auf: Nicht nur der gute alte Rechenschieber kommt mir in den Sinn, sondern auch das alte Computerpraktikum während meines Studiums, in dem wir auch lernten, mit elektronischen Analogrechnern Differentialgleichungen zu „lösen“ bzw. besser gesagt: Differentialgleichungen elektrisch zu modellieren und die Lösungen von Differentialgleichungen graphisch darzustellen. Nun ist es ja nicht so, als seien Analogrechner völlig aus unserem Leben verschwunden. Es gibt Tankscheiben, auf denen man den Benzinverbrauch des Autos ablesen kann, und erst im letzten Jahr endete ein mehrere Millionen Euro teures europaweites Projekt mit dem Namen FACETS – Fast Analog Computing with Emergent Transient States –, in dem neue Berechnungsparadigma durch Beobachtung biologischer Systeme gewonnen wurden. Aber neben der trivialen Tankscheibe oder zukunftsträchtigen Forschungsprojekten ist der Analogrechner per se ausgestorben. Dort, wo man die Vorteile des Analogrechners nutzen möchte – zum Beispiel in der Regelungstechnik – wird der analoge Rechenknecht auf einem digitalen Kollegen emuliert.

Trotzdem ist die Geschichte der Analogrechner natürlich außerordentlich reich und man wird der Vielzahl der Maschinen sicher nicht gerecht, wenn man alle Analogrechner in 480 Seiten abhandeln wollte. Immerhin ist der Antikythera-Rechner ein frühes Beispiel und die Entwicklung der Analogrechner verläuft bis in unsere Zeit. Dieser Gefahr hat sich Bernd Ulmann nicht ausgesetzt, trotz des umfassend klingenden Titels. Das Buch beginnt zwar mit mechanischen Analogrechnern, aber dieses Kapitel ist eher eine appetitanregende Vorspeise, denn Ulmanns Liebe gehört eindeutig den elektronischen Analogrechnern, denen dann auch fast der Rest des Buches gewidmet ist.

Mit einem kurzen Ausflug in die Rechenschieber und Planimeter beginnt das Buch. Dann lernen wir mechanische Rechenelemente kennen, wie die Barrel Cam, das Differentialgetriebe und verschiedene Integrierer. Der Kelvinsche Gezeitenrechner darf natürlich auch nicht fehlen, ebenso wie die mechanischen Feuerleitrechner und Differentialanalysatoren. Diese Analysatoren benutzt Ulmann dann auch zum Übergang zu seinem eigentlichen Spezialgebiet, den elektronischen Analogrechnern, in dem er elektromechanische Differentialanalysatoren beschreibt.

Im dritten Kapitel geht es um „Die ersten elektronischen Analogrechner“. Feuerleitrechner werden in allen Details vorgestellt und ab und zu ist es hilfreich, wenn man über ein paar Kenntnisse aus der Elektrotechnik verfügt. Helmut Hoelzers Analogrechner, u.a. zur Steuerung der V2 (A4), werden technisch gewürdigt. In Kapitel 4 werden grundlegende Rechenelemente wie Potentiometer und Operationsverstärker und die aus ihnen aufgebauten Summierer und Integrierer vorgestellt. Neben Funktionsgebern und Multiplizierern werden auch Koordinatenwandler, Totzeitglieder, Rauschgeneratoren und Ausgabegeräte diskutiert. Ganz wichtig bei einem elektronischen Analogrechner ist ein wohldurchdachtes Bedienfeld, das in seiner Bedeutung einer digitalen Benutzeroberfläche entspricht.

Kapitel 5 ist der Programmierung gewidmet. Was bei der Digitalmaschine das Flußdiagramm oder Struktogramm, ist beim Analogrechner der Rechenplan. Der Autor behandelt nicht nur die Programmierung gewöhnlicher, sondern auch die partieller Differentialgleichungen. Zahlreiche Beispiele machen dieses Kapitel besonders interessant. Im sechsten Kapitel folgen Systembeispiele, z.B. die Telefunken RA 1 in konventioneller Röhrentechnik aus den 1950er Jahren. Die daraus sich entwickelnde Typreihe bei Telefunken wird vorgestellt und endet in den 1970er Jahren mit einer Kleinstmaschine der Firma Dornier, der DO-80.

Bereits in den 1950er Jahren traten Fragestellungen auf, die nicht allein mit einem reinen Analogrechner zu bewältigen waren. So waren im X-15 Versuchsflugzeugprojekt in den USA schnelle Umschaltungen zwischen verschiedenen Funktionen notwendig und das konnte eine analoge Maschine nicht mehr leisten. Also entstanden sogenannte Hybridrechner, und so lautet auch die Überschrift des siebten Kapitels, in denen die grundlegenden Ideen dieser Maschinen beschrieben werden. Im achten Kapitel geht es um digitale Differentialanalysatoren, also Maschinen, die Differentialgleichungen numerisch lösen.

Wie bereits angemerkt, werden heute Analogrechner in der Regel auf einem Digitalrechner simuliert. Dieser Technik nimmt sich das neunte Kapitel an und es mag überraschen, dass erste digitale Simulationen bereits Mitte der 1950er Jahre in den USA in Betrieb waren. Mit dem neunten Kapitel ist die Reise durch die analogen Rechner abgeschlossen. Das voluminöse Kapitel 10 enthält zahlreiche Anwendungen der analogen Rechentechnik von der Mathematik über die Gebiete Physik, Chemie, Technische Mechanik und Maschinenbau, Kerntechnik, Biologie und Medizin, Geologie und Meereskunde, Wirtschaftswissenschaften, Energietechnik, Elektronik und Nachrichtentechnik, Mess-, Steuer, und Regelungstechnik, Verfahrenstechnik, Verkehrssysteme, Luftfahrttechnik, Raketentechnik, Raumfahrttechnik, militärische Anwendungen, Ausbildung und Lehre, bis hin zu Kunst, Musik und Unterhaltung. Eine kurze Übersicht über die historischen Analogrechenzentren (ja, auch so etwas gab es!) schließt dieses wunderbare Kapitel ab.

Das Buch schließt mit einem kurzen Kapitel über die Zukunft und Chancen analoger Rechner und beginnt erst einmal mit einer Beschreibung des Niedergangs der Analogrechner seit den 1970er Jahren. Zur Zukunft des Analogrechnens gibt es eine Übersicht über einige Ideen, die sich vielleicht als fruchtbare analoge Ergänzung zu den heute so verbreiteten Digitalrechnern erweisen werden.

Das Buch ist ein Füllhorn nicht nur für Liebhaber der analogen elektronischen Rechentechnik, sondern auch für Wissenschaftshistoriker sehr interessant. Ein 609 Titel umfassendes Literaturverzeichnis zeigt, wie viel Material verarbeitet wurde. Um die Bedeutung eines solchen Werkes in unseren geschichtsvergessenen Zeiten herauszuheben, sei hier das berühmte Zitat wiedergegeben, mit dem das wunderbare Buch von Ulmann endet:

The Heritage of the Past is the Seed that Brings Forth the Harvest of the Future.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 245
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Analysis in historischer Entwicklung

Ernst Hairer, Gerhard Wanner
Springer Verlag 2011, xi+405 Seiten, 29,95 €

ISBN-10: 3642137660
ISBN-13: 978-3642137662

Im Jahr 1999 kam ich aus Hamburg an die TU Braunschweig und übernahm erst einmal die Mathematikvorlesung für die Ingenieurstudenten der Elektrotechnik. Im Wintersemester 2002/2003 konnte ich dann erstmals die Analysis für Mathematiker und Physiker lesen und es ergab sich die (natürliche) Frage nach einem begleitenden Lehrbuch. Kurz zuvor war mir das Buch „Analysis by its history“ der Autoren Gerhard Wanner und Ernst Hairer in die Hände gefallen, die ich zuvor nur als Experten in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen wahrgenommen hatte. Das Buch gefiel mir auf Anhieb und ich will verkürzt zusammenfassen, wie ich die Inhalte des Buches verstanden und dann auch den Studierenden vermittelt habe: Im ersten und zweiten Kapitel bin ich (als Dozent und Leser) an der Stelle von Leonhard Euler. Beginnend mit dem Binomialtheorem stehen Potenzreihen für exp(x), sin(x), cos(x), ln(1+x)  im Mittelpunkt des Interesses. Man vertauscht munter Grenzwertprozesse, wird aber stets durch Gegenbeispiele gewarnt, dass unter Umständen mißliche Situationen entstehen können. Mit den Exaktheitsansprüchen des 18. Jahrhunderts erarbeitet man sich so die Analysis Eulers.

Im dritten Kapitel wechselt das Personal. Wir sind jetzt Weierstraß und Cauchy und stellen höhere Anforderungen an die mathematische Exaktheit. Der Vorteil dieser genetischen Methode: Die elementaren Funktionen und die Regeln der Differentialrechnung sind schon da, eingeführt als wir noch wie Euler waren, und nun brauchen wir nur noch exakte und rigorose Beweise für schon bekannte Tatsachen. Mit einer knappen Auswahl aus den Kap. I und II (etwa im Umfang der ersten drei Wochen des Semesters; vollständig kann man die Masse an Material, die Hairer und Wanner liefern, im Rahmen einer Analysis I Vorlesung an einer deutschen Universität nicht an die Tafel bringen) konnte ich das erste Semester mit Kap. 3 beenden in dem sicheren Gefühl, nicht weniger erreicht zu haben als in einer Vorlesung, die auf den Büchern von Forster oder Blatter basiert haben würde.

Kapitel IV behandelt die mehrdimensionale Analysis bis zur Transformationsformel. Hairer und Wanner vermeiden konsequent Indexschlachten (wie etwa beim Satz über implizite Funktionen) durch Beschränkung auf zwei Dimensionen. Dies mag manchem Kollegen unbefriedigend erscheinen – nach meiner Erfahrung ist es für die meisten Hörerinnen und Hörer deutlich verständlicher, mit Funktionen f:(xy)2 zu beginnen, und dann (z. B. in der Hörsaalübung) den entsprechenden Satz für f:nn vorzustellen. Kapitel IV trägt bis zu etwas mehr als der Hälfte des Semesters, denn es endet mit mehrdimensionalen (Riemann)- Gebietsintegralen, der Transformationsformel und ein paar Bemerkungen zu Integralen mit unbeschränktem Integrationsbereich. Das heißt, dass man für die für Physiker so wichtigen Kurven- und Oberflächenintegrale und für die Sätze der Vektoranalysis auf andere Lehrbuchliteratur zurückgreifen muss. Weiterhin vermeidet das Buch das Lebesgue-Integral, was etwas schade ist, da der Begriff der Lebesgueschen Nullmenge durchaus thematisiert wird.

Ich kann für dieses Buch nur eine volle Empfehlung aussprechen. Den Analysis-Kurs auf der Basis der englischsprachigen Version dieses Buches habe ich 2006/2007 und 2010/2011 jeweils mit kleinen Modifikationen (ich habe z. B. das Lebesgue-Integral in einer Dimension behandelt) wiederholt und fast ausschließlich gute Erfahrungen gemacht. Die Studierenden fühlten sich beim Stand ihres Wissens „abgeholt“ und die Lernkurve war längst nicht so steil wie in traditionellen Kursen. Die Vorlesungen 2002/2003 und 2006/2007 habe ich mit einem eigenen Fragebogen „evaluiert“ und danach gefragt, wie der genetische Zugang zur Analysis bei den Studierenden angekommen war. Fast 90 % der Hörerinnen und Hörer waren mit diesem Zugang zufrieden oder sogar sehr zufrieden.

Leider muss ich aber noch ein paar Worte zu der Bindung des Buches sagen. Offenbar spart auch der Springer-Verlag an allen Ecken und Enden, aber nun scheint eine untere Qualitätsgrenze unterschritten worden zu sein (vergl. meine Bemerkungen zum Buch von Gilbert Strang). Die Bindung ist eine simple Klebung, die aber so stramm ist, dass sie beim Öffnen des Buches kaum nachgibt. Will man, dass das Buch auf dem Schreibtisch geöffnet liegen bleibt, dann spaltet man den Buchblock sofort!

Das Buch kostet etwas weniger als 30 €. Für dieses Geld können die Leser eines so großartigen Buches meiner Meinung nach eine dauerhaftere Bindung verlangen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2012, Band 59, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)