Leseecke

From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections:
Filling a gap in the history of algebra

Jacqueline Stedall
European Mathematical Society 2011, xii+224 Seiten, 68 €
Sprache: Englisch

ISBN-10: 3037190922
ISBN-13: 978-3037190920

Gängige Übersichten zur Geschichte der Mathematik verfolgen die Geschichte der Algebra von den mesopotamischen Zivilisationen bis hin zu Tartaglia und Cardano’s Ars magna, dann wird in der Regel ein großer Sprung vollführt und die Geschichte der Algebra wird mit Lagrange und seinen Ergebnissen zur Gruppentheorie sozusagen wieder gestartet. Das Publikationsdatum der Ars magna ist 1545; Lagrange publizierte seine großen Einsichten im Jahr 1771. Was geschah in den 226 Jahren dazwischen? Übernahm erst einmal die Analysis in diesen Jahren und ging die Algebra derweil schlafen, um erfrischt unter den Händen eines Lagrange zu erwachen? Welche Sekundärliteratur gibt es denn überhaupt speziell zur Geschichte der Algebra? Da ist zum Einen das bei Noordhoff 1973 erschienene Buch „Origins of modern algebra“ des Ungarn Nový Luboš, der noch Descartes eine wichtige Rolle zuweist, sich aber auf die Zeit von 1770 bis 1870 konzentriert. Der Klassiker ist „A history of algebra from al-Khwãrizmï to Emmy Noether“ von Bartel van der Waerden. Selbst dieser eminente Algebraiker mit tiefer historischer Einsicht (man lese nur seinen Klassiker „Erwachende Wissenschaft“) springt in nur einer Seite von Descartes (1637) zu Lagrange. Aus neuerer Zeit (2000) ist das sehr lesbare Buch „The beginnings and evolution of algebra“ von Isabella Bashmakova und Galina Smirnova zu nennen, das ich vor einiger Zeit in dieser Rubrik besprechen durfte. Die Autorinnen behandeln die Zeit vom 17. zum 18. Jahrhundert auf immerhin etwa 6 Seiten, aber die Ergebnisse eines Viète oder eines Eulers und anderer aus dieser Zeit bleiben doch unzusammenhängend nebeneinander stehen. Auch „An Introduction to the History of Algebra“ von Jacques Sesiano (2009) kommt gar nur bis zu Descartes. Dem Ziel des Stedallschen Buches am nächsten kommen vielleicht „Die Geschichte der Algebra“ (Hrsg. E. Scholz) und „A History of Abstract Algebra“ von Israel Kleiner (2007), aber hier wird ein anderer Weg beschritten.

Jacqueline Stedall hat dem dunklen Zeitalter der Algebra zwischen Cardano und Lagrange auf die Sprünge geholfen und eine Geschichte der Algebra in dieser Zeit vorgelegt. Stedall ist prädestinert für diese Aufgabe, hat sie doch mit ihrer Untersuchung „A discourse concerning algebra: English algebra to 1685“ zur Algebra bei John Wallis dem „al-jabr“, also dem Auflösen von Gleichungen, schon ein Forschungsprojekt gewidmet. Um dieses „al-jabr“ geht es schließlich auch in der Zeit bis Lagrange, der letztlich von der reinen Auflösung von Gleichungen zu strukturellen Fragen vorstößt und das „al-jabr“ hinter sich läßt.

Das Buch ist in drei Teile gegliedert. Teil I ist „From Cardano to Newton: 1545 to 1707“ überschrieben, Teil II mit „From Newton to Lagrange: 1707 to 1771“ und der sehr kurze dritte Teil mit „After Lagrange“. Teil I ist noch klar personell gegliedert: Cardano, Viète, Descartes und Newton, aber das ist für die stürmischen Jahre in Teil II nicht mehr ohne weiteres möglich. Im ersten Teil spielt neben den genannten Protagonisten natürlich auch Thomas Harriot die ihm gebührende Rolle, kein Wunder auch, denn Harriot und seine Algebra waren in der Vergangenheit intensiver Forschungsgegenstand von Stedall, so wie auch die Algebra des John Wallis. Teil III ist ein Rückblick, aber auch ein Ausblick auf die nach Lagrange kommende Algebra.

Das Buch ist sehr lebhaft geschrieben, außerordentlich informativ und sehr empfehlenswert. Die European Mathematical Society hat mit ihrer Buchreihe Heritage of European Mathematics, in der auch das vorliegende Buch erschienen ist, ein kleines Meisterwerk vollbracht. Die Bücher sind sauber und robust gebunden und das verwendete Papier ist ein nicht ganz weißes, haptisch sehr angenehmes, das zur hervorragenden Lesbarkeit viel beiträgt. Einige Abbildungen sind eingestreut.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2012, Band 59, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)

Florenz und Bagdad
Eine westöstliche Geschichte des Blicks

Hans Belting
C.H. Beck, 2008, 318 Seiten, 29,90 €

ISBN: 3-406-57092-5

Der perspektivische Blick und seine Bedeutung für die Kunst, in welcher die perspektivische Malerei zur absolut vorherrschenden Variante dieser Kunstform wurde, entstand im Italien der Renaisance. Gleichzeitig herrscht in der islamischen Welt das allbekannte Bilderverbot vor. Dies sind die geläufigen Eckdaten einer Epoche, die zwar nicht grundlegend falsch sind, in ihrer Absolutheit die Realität der damaligen Zeit jedoch nicht wirklich widerspiegeln. Den gegenseitigen Einfluss und Kontakt der beiden, nie so deutlich getrennten Welten, zeigt der Kunsthistoriker Hans Belting in seinem Buch Florenz und Bagdad - Eine westöstliche Geschichte des Blicks auf.
Entscheidende Bedeutung für die Entwicklung des perspektivischen Blicks und unverzichtbare Voraussetzung dafür waren die Arbeiten des arabischen Mathematikers Abu Ali al-Hasan Ibn al-Haitham (965 - 1040), im Westen bekannt unter dem Namen Alhazen, der inzwischen gar als der arabische Archimedes bezeichnet wurde. Von seinen 92 Büchern sind heutzutage noch 55 Werke erhalten, in denen er unter anderem eine Zusammenfassung der euklidischen Geometrie dar- oder die Planetentheorie des Ptolemäus widerlegte. In seiner Darstellung Alhazens zeigt Hans Belting auch sehr gut, dass das teilweise verbreitete Bild der arabischen Wissenschaftler des Mittelalters als reine Überlieferer der antiken Wissenschaften nicht haltbar ist.
Bereits 1028 versuchte Alhazen in seinem Buch Kitab al-Manazir (Buch der Sehtheorie) "Mathematik und Physik in eine Synthese zu bringen, denn es ging ihm darum, die Kluft zwischen Mathematik und empirischer Beobachtung zu schließen." Übersetzungen und Kommentare zu diesem Buch schrieben unter anderem Roger Bacon und Witelo und es wurde zu einer wichtigen Quelle für Johannes Kepler.
Nicht nur Alhazens Einfluss auf die Entstehung der Perspektive in der europäischen Malerei der Renaissance erläutert Hans Belting. Er zeigt in seinem ständigen Blickwechsel zwischen eben dieser europäischen Renaissance und der islamischen Welt auch die Geometrisierung der Kunst letzterer, welche nicht nur durch ein religiöses Bilderverbot, "sondern auch durch die ästhetischen, gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Kontexte dieser Kultur" entstand. So gibt es ein wunderbares Kapitel über die Geometrie der sogenannten Muqarnas, deren genaue Definition schwer fällt und die Belting mit einem Wabendekor oder den Hängeformen von Stalaktiten vergleicht. Er beschreibt sie als "geniale und nahezu einzigartige Erfindung, um die Geometrie aus ihren Flächengrenzen zu erlösen und über diese hinaus dorthin zu führen, wo wir unwillkürlich von Raum sprechen wollen." Die Ausführungen sind an dieser Stelle, sowie im gesamten Buch, mit vielen hilfreichen Illustrationen versehen, welche es ermöglichen, die im Text erläuterten Verfahren und konkret beschriebenen Dinge auch bildlich nachzuvollziehen.
Neben den Muqarnas wird auch die Form der Maschrabiyyas, eine Art Fenstergitter aus Holz und deren geometrische Inszenierung des Lichts analysiert. Das Fenstergitter hat in der arabischen Kultur zum Einen die Funktion eine Trennung von Innen und Außen herbeizuführen, so kann man zwar vom Inneren des Raumes nach Außen sehen, nicht jedoch umgekehrt. Durch das einfallende Licht bilden sich aber außerdem geometrische Muster aus Licht und Schatten am Fußboden und den Wänden, die im Laufe des Tages durch das Zimmer wandern. Belting beschreibt dies mit den Worten: "Wollte man von Perspektive sprechen, so wäre sie im Sinne arabischer Optik eine Perspektive des Lichts, das über die Schranke des Fensters nach innen tritt und dort von der Geometrie des Fensterdekors reguliert wird, ohne dass dabei Bilder in unserem Sinne entstehen."
Damit ist man abschließend auch wieder bei den Studien Alhazens angelangt, welcher sich ausführlich mit Lichtreflexionen auseinandersetzte und auch als Erfinder der camera obscura gilt, welche er selbst bereits al-bait al-muzlim (Dunkle Kammer) nannte.
Auch wenn Hans Belting natürlich seine Darstellung eindeutig auf kunsthistorische Aspekte ausrichtet, lässt sich in diesem Buch, wie in den oben beschriebenen Beispielen gezeigt, auch vieles über Wissenschaftsgeschichte und das Zusammenspiel verschiedener Kulturen in dieser erfahren.

(Rezension: Joerg Beyer)

Felix Klein in Leipzig
Mit F. Kleins Antrittsrede, Leipzig 1880

Rüdiger Thiele
Edition am Gutenbergplatz Leipzig 2011, 280 Seiten, 26,50 €

ISBN 978-3-937219-47-9
ISBN-13: 978-3937219479

Felix Klein war einer der führenden Mathematiker seiner Zeit; sein immenser Einfluss auf die Mathematik dauert bis heute nicht nur durch sein bekanntes „Erlanger Programm“ ungebrochen an. Daher mutet es merkwürdig an, dass es zwar eine Fülle von historischen Veröffentlichungen über Klein gibt, eine umfassende Biographie jedoch immer noch fehlt. Diese fehlt auch weiterhin, aber wenigstens für eine sehr interessante Epoche des Lebens Kleins gibt es Abhilfe: Rüdiger Thiele schildert spannend und überaus lesenswert die Leipziger Zeit Kleins (1880 bis 1886).

Klein wurde 1880 auf die neu geschaffene Professur für Geometrie in Leipzig berufen. Seine Antrittsrede „Über die Beziehungen der neueren Mathematik zu den Anwendungen“ – die im Buch dankenswerterweise vollständig abgedruckt ist – weist Klein auch noch in der heutigen Zeit als Visionär aus, dem nicht nur die Mathematik, sondern auch die Vermittlung und die Anwendungen seines Fachs sehr am Herzen lagen. Etliche Neuerungen vom Lesezimmer über neue Seminarräume bis hin zu Fahrradständern sind unmittelbar auf ihn zurückzuführen – Neuerungen, die vor allem den Studenten zugute kamen. Auch die von Klein sehr geförderte internationale Ausrichtung der Mathematik, die damals auf wenig Gegenliebe der Wissenschaftsbürokratie stieß, zeigt die Unabhängigkeit seiner Gedanken. Hinzu kommen die unter anderem in der „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“ niedergelegten, immer noch gültigen Thesen zur Didaktik der Mathematik. Die Bedeutung Kleins als Mathematiker hat meiner Auffassung nach Max Bense unübertroffen in Worte gefasst: weder in der Tradition der an Einzelproblemen orientierten Mathematiker noch in der Grundlagentheorie stehe Klein, sondern vielmehr sei ein neues Motiv mathematischen Forschens mit ihm entdeckt worden.

Es geht hierbei um [...] etwas drittes: um den Zusammenschluss großer selbständiger geometrischer Disziplinen (Metrik, projektive und affine Geometrie) zu einem einheitlichen geometrischen System bzw. die Entwicklung dieser selbständigen geometrischen Systeme aus einem einzigen mathematischen Prinzip. Damit bricht das Systemdenken in die Mathematik ein und ergänzt auf eine wunderbare Weise das ältere Problemdenken. (Leben der Mathematiker, S. 69.)

Natürlich wird im Buch auf die Beiträge Kleins zur Mathematik aus seinen Leipziger Jahren ausführlich eingegangen. Insbesondere die Entstehung des „Grenzkreistheorems“ (oder Uniformisierungssatz, wie dieses Ergebnis, das nicht nur nach Courant zu den schönsten Ergebnissen der Funktionentheorie zählt, heute genannt wird) wird eingehend beleuchtet. Leider markiert dieses Theorem auch eine entscheidende Zäsur im Leben Kleins: nach Abschluss der Arbeiten brach er durch das ungeheuere Arbeitspensum in Forschung, Lehre und Verwaltung vollständig zusammen. Das war zwar (wie Rüdiger Thiele richtig hervorhebt) nicht das Ende der wissenschaftlichen Aktivitäten Kleins, aber eine deutliche Verlagerung auf das Gebiet des „Wissenschaftsmanagements“ ist im Anschluss doch festzustellen.

Mit dem Buch liegt ein hervorragend geschriebener, ausführlicher Bericht über einen entscheidenden Lebensabschnitt Kleins vor, den ich mit Begeisterung verschlungen habe und den ich jedem an der Geschichte der Mathematik Interessierten nachdrücklich empfehlen möchte. Neben dem Text halten die Anhänge ebenfalls eine Vielzahl an Informationen bereit. Wie oben erwähnt befindet sich auch die sehr lesenswerte Antrittsrede Kleins im vollständigen Wortlaut im Anhang.

Zum Abschluss wünsche ich mir, dass die lang vermisste vollständige Biographie Kleins in absehbarer Zukunft erscheinen möge – und dass diese ebenso gelungen sein wird wie das vorliegende Buch.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe

Euklids Erbe
Ein streifzug durch die Geometrie und ihre Geschichte

Aumann, Günter
WBG Wissenschaftliche Buchgesellschft, 224 Seiten, 1. Aufl.
ISBN: 3-534-18932-9, 42,90 €

Inhalt

Vorwort

Anstelle einer Einleitung: einige Schlaglichter
1. Geometrie - die erste Wissenschaft
   (Thales: der Anfang, Die rutschende Leiter, Weitere Sätze von Thales, Griechische Geometer: eine Tour d'Horizon, Euklids Elemente)
2. Nicht alles ist Zahl
   (Pythagoras, Ist alles Zahl?, Das Fünfeck und der goldene Schnitt, Zahlen, Zahlen, Zahlen, Ein Satz des Eudoxos)
3. Pythagoras - der Satz
   (Der Satz und seine Geschichte, Exkurs: Zur Geschichte der Schulgeometrie, Weitere Beweise zum Satz des Pythagoras, Zwei Anwendungen)
4. Die Platonischen Körper
   (Feuer, Erde, Wasser, Luft, Euklids Beweis, Die Euler'sche Polyederformel)
5. Die Kugel
   (Archimedes, Das Prinzip der Exhaustion, Geometrie auf der Kugel, Kugel und Zylinder, Die stereographische Projektion)
6. Die Erde
   (Die Tageslänge, Eratosthenes und der Umfang der Erde, Der Horizont, Die Umlaufbahn der Erde, Landkarten)
7. Sphärenklänge
   (Ein kleiner Abstecher in die Astronomie, Das Sehnenviereck, Quadrat und Rechteck)
8. Verhältnisse
   (Harmonische Teilung einer Strecke, Teilverhältnisse im Dreieck, Mittelwerte, Der Kreis des Apollonis, Apollonis von Perge)
9. "Geht nicht" gibt's nicht: Alles lässt sich konstruieren
   (Gauß und die regelmäßigen Vielecke, die Dreiteilung des Winkels, Das Delische Problem, Die Quadratur des Kreises, Faltungen)
10. Rund um die euklidische Ebene
    (Die absolute Geometrie, Das euklidische Parallelenaxiom, Die hyperbolische Geometrie)

• Literaturverzeichnis
• Abbildungsnachweis
• Index

Beurteilung

Alle Mathematikstudenten sind bereits nach kurzer Zeit mit euklidischen Räumen wohl vertraut, doch ist der Kenntnisstand über den Namensgeber Euklid meist sehr begrenzt.
Das Buch möchte sowohl Geometriebuch, als auch ein Buch zur Geschichte der Geometrie sein. Es behandelt als Geometriebuch im Wesentlichen den gymnasialen Schulstoff zu diesem Thema und versucht gleichzeitig einen Eindruck vom Leben und Denkweise der großen griechischen Geometer zu vermitteln.
Viele Ergebnisse und Betrachtungen werden mit insgesamt über 100 Illustrationen veranschaulicht und Nichtmathematikern wird durch die Wahl der Formulierungen und erläuternden Einschübe versucht den Zugang zu erleichtern.

Erste Anfänge der Naturwissenschaften
Eine geschichtliche Betrachtung

Dieter Starke
Verlag Harri Deutsch (2006), 437 Seiten, 29,80 €

ISBN: 3-8171-1775-2

Der Verlag Harri Deutsch hat mein Leben von Studentenzeiten an positiv begleitet und inzwischen haben mir zahlreiche Kollegen berichtet, dass es ihnen ähnlich ergangen ist. Wo bekam man sonst hervorragende Fachbücher aus DDR-Pressen zu studentenfreundlichen Preisen wie etwa den vollständigen „Smirnow“ oder die drei Bände des „Fichtenholz“ oder den alten „Bronstein“? Inzwischen muss ich den Verlag uneingeschränkt dafür loben, dass er auch einige der „Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften“ wieder aufgelegt hat und als Taschenbücher im Programm hält.

Was soll ich dagegen vom Buch des Physikers Dieter Starke halten? Ein Urteil fällt schwer, aber warum?

Starke, vor seiner Pensionierung Professor für Physik und Technische Optik an der FH Aachen, hat nach eigenen Aussagen eine „Ergänzung zur Vorlesung ,Geschichte der Naturwissenschaften – erste Anfänge“‘ schreiben wollen. Diese Vorlesung gehört nach Starkes Aussagen zu einem Wahlpflichtfach des Studium Generale in einem Ingenieurstudium und es ist unbestritten löblich, werdenden Ingenieuren einen Abriss der frühen Entwicklung ihrer Grundlagenwissenschaften geben zu wollen. Dann erklärt der Autor, er sei nach dem Motto: „Mut zur Lücke!“ vorgegangen, da man im Rahmen einer solchen Vorlesung das Thema nicht erschöpfend bearbeiten kann. Und in diesem Punkt hat Starke in gewisser Weise gelogen, denn das Buch explodiert schon fast vor Inhalten aus Naturwissenschaften, Philosophie und Theologie; Zitaten, Detailverliebtheit und einer Unmenge von Ideen über geistige Verbindungen zwischen der Antike und heute, und gerade hier habe ich ein Problem: Das Buch ist zu voll! Es strotzt vor Information und man spürt auf jeder Seite, dass der Autor, der offenbar im besten Sinne viel weiß, sein Wissen auch mitteilen möchte. Aber so entstehen in Teilen „Wuste“ von – durchaus hoch interessanten – Wissensbergen, die den Leser einfach überschwemmen. Ich werde auf diese Kritik in kürze zurückkommen.

Im Vorwort lernen wir weiter, dass auf Quellen- und Literaturangaben verzichtet wurde und dass das auch in Physikbüchern üblich sei. Dafür gibt es am Ende des Buches ein, wie der Autor schreibt, umfassendes Quellenverzeichnis. Ich habe lange überlegt, ob das Fehlen solcher Angaben im Text vielleicht ein Vorteil für die Ingenieurstudierenden darstellt, die beim Lesen unter Umständen verwirrt worden wären, und ich bin zu dem endgültigen Urteil gekommen, dass hier ein großer Fehler des Buches vorliegt. Mich stört das Fehlen eines brauchbaren Apparates jedenfalls ungemein, denn nun kommen zwei Dinge zusammen: Der schon berichtete Überfluss an Inhalten und die fehlende Überprüfbarkeit der Information. Als Beispiel möchte ich den Abschnitt „Die beiden Einzelgänger des 5. Jahrhunderts v. u. Ztr.: Xenophanes und Heraklit“ ab Seite 127 anführen. Woher stammen die Informationen zu Xenophanes und woher kommen die zahlreichen Zitate, die auf uns herunterprasseln? Über mehrere Seiten lesen wir „Epikur meint: Zitat“, „Albertus Magnus sagt: Zitat“, „Kepler sagt: Zitat“, „Der deutsche Philosoph Arthur Schopenhauer schreibt: Zitat“, und so weiter und so weiter: Keines dieser Zitate ist wirklich nachprüfbar, denn die Quellenverweise fehlen einfach! Die dafür mehr als reichlich am Ende der Abschnitte eingefügten Bemerkungen entschädigen dafür leider nicht, sondern liefern eher noch mehr Informationen zur Sache. Schade, denn das Buch hätte neben zahlosen Zitaten, die den Leser manchmal in einer Flut überschwemmen, doch mehr zu bieten.

Dann aber die Fehler: Nicht nur, dass Poseidonios in der Zeit wohl rückwärts lebte und Bertrand Russell nicht „Bertrand Russel“ hieß – solche Fehler mag man auch in einer zweiten Auflage verschmerzen – aber dass „der bekannte Theologe Dietrich Bonhoeffer“ im Jahr 1961 von der Religion in der mündigen Welt gesprochen haben soll, zeugt schon von eklatanter Ignoranz. Die Ausführungen zu den klassischen Philosophen leiden zudem unter dem doch sehr einseitigen Blickwinkel eines modernen Physikers, aber darauf will ich gar nicht mehr weiter eingehen.

Aus diesem Thema hätte man etwas Großartiges machen können; die Gelegenheit wurde verpasst und das Ziel verfehlt. Unsere technische Elite leidet schon seit geraumer Zeit an einer krassen Un- und Halbbildung bezüglich wichtiger philosophischer und historischer Themen. Mit dem vorliegenden Buch wird höchstens die Halbbildung weiter verstärkt. Zur Bildung von Ingenieuren kann man so nicht beitragen.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2007, Band 54, Heft 2, S. 246
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags