Leseecke

Grenzen der Mathematik
Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

Dirk W. Hoffmann
Spektrum Akademischer Verlag, (2011), ix + 409 Seiten, 29,95 €

ISBN: 978-3-8274-2559-1

Es folgen die Rezensionen von: Thomas Sonar und Dirk Werner

Logik ist langweilig! Das war meine feste Überzeugung vom Studium bis heute. Dann kam mir Dirk Hoffmanns Buch über die Grenzen der Mathematik auf den Schreibtisch und veränderte mein Weltbild. Ein ähnliches Erlebnis hatte ich vorher nur mit Oliver Deisers Buch „Einführung in die Mengenlehre“. Hoffmann beginnt mit historischen Notizen. Vom Rätsel des Kontinuums geht es über die Grundlagenkrise, die axiomatische Mengenlehre und dem Hilbert-Programm zu Fragen der Grenzen der Berechenbarkeit. Schon auf diesen ersten – immerhin mehr als sechzig – Seiten packt die Leserschaft die Fähigkeit des Autors, spannende Geschichte(n) mit klaren Erläuterungen zur Mathematik zu verbinden. Gleich zu Anfang fällt auch der Sinn des etwas ungewöhnlichen Buchformats auf, es ist nämlich ungewöhnlich breit: Randstreifen dienen dazu, Zusatzinformationen, Abbildungen und weiteres Material bereitzustellen. Dadurch, und durch die konsequente Verwendung blau gefärbter Tabellen, Merkkästen, usw., wirkt das Druckbild in schöner Weise aufgelockert und verhindert so den Eindruck, man würde sich in einer Bleiwüste befinden. Historisch wichtige Entwicklungen werden mit Kalenderblättern angezeigt, „Aha-Erlebnisse“ mit einer Glühbirne.

Am Ende der Einführung versteht man, warum die Arbeiten von Gödel und Turing ein „Frontalangriff auf die Grundfesten der Mathematik“ waren und warum das Hilbert’sche Programm „in Trümmern“ lag. Aber das war kein Grund zur Verzweiflung: Im letzten Abschnitt „Auferstanden aus Ruinen“ führt uns Hoffmann zu relativen Beweisen der Widerspruchsfreiheit (Gödel) und folgerichtig zur Kontinuumshypothese und dem Cohenschen Unabhängigkeitsbeweis. Bei diesem Ausklang der Einleitung erscheint der Titel „Grenzen der Mathematik“ fast zu restriktiv.

Im zweiten Kapitel geht es um formale Systeme, also Aussagenlogik und Prädikatenlogik erster und zweiter Stufe. Wie überall im Buch weicht der Autor den Schwierigkeiten der Materie nicht aus. Für einen der Logik eher fern stehenden Mathematiker ist das Kapitel „hart“, aber wieder hilft die Befähigung des Autors, auch komplizierte Zusammenhänge anschaulich darzustellen. Außerdem gibt es wieder zahlreiche historische Bemerkungen, Erklärungen und Beispiele. Am Ende von Kapitel 2 hat man jedenfalls die Grundlagen (und noch ein bißchen mehr) der Logik verstanden.

Im dritten Kapitel geht es um nichts weniger als die „Fundamente der Mathematik“. Dazu zählen die Peano-Arithmetik und die axiomatische Mengenlehre, wobei die Zermelo-Fraenkelschen Axiome sehr detailliert besprochen und illustriert werden. Hoffmann scheut sich auch nicht, Ordinalzahlen wie ω+2 und ω+ω zu visualisieren und so ein Verständnis auf allen Ebenen zu ermöglichen.

In Kapitel 4 geht es dann um Beweistheorie, d.h. im Wesentlichen um die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze. Kapitel 5 ist der Theorie der Berechenbarkeit gewidmet und hier lernt man nicht nur Automatentheorie, sondern auch etwas über die Church’sche These und die Grenzen der Berechenbarkeit. Die Folgen für die Mathematik werden ausführlich diskutiert: Unvollständigkeit der Arithmetik, Unlösbarkeit des Entscheidungsproblem und die Unlösbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems. Im sechsten Kapitel kommt die algorithmische Informationstheorie zum Zuge und endet mit dem Korollar, dass jedes korrekte formale System, das stark genug ist, um die Peano-Arithmetik zu formalisieren unvollständig ist.

Im siebten und letzten Kapitel wagt sich der Autor dann noch in die Modelltheorie, beschreibt Meta-Resultate zur Prädikatenlogik, Nichtstandardmodelle der Arithmetik und Boolesche Modelle.

Das Buch von Dirk W. Hoffmann hat mir ausgesprochen gut gefallen. Der Schreibstil des Autors – stets auf Verständlichkeit bedacht – die vielen historischen Bezüge, die wohldurchdachte Aufmachung des Buches mit seinen vielen Bildern, Beispielen und Merkkästen und nicht zuletzt die jedem Kapitel beigegeben Aufgaben machen das Buch zu einer Perle.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 243
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Manchen Zeitgenossen gilt die Mathematik als hermetisch, trocken und weltfremd. Aber auch unter Mathematikern gibt es Vorurteile gegenüber einzelnen Teildisziplinen. So wird von vielen Wissenschaftlern das Gebiet der mathematischen Logik – wenn überhaupt – nur mit spitzen Fingern angefasst, denn sie wird als hermetisch, trocken und weltfremd wahrgenommen. In seinem lebendig geschriebenen Buch Grenzen der Mathematik entkräftet der Autor, Professor für Informatik in Karlsruhe, diese Vorurteile.

Die mathematische Logik untersucht, vereinfacht gesagt, welche Aussagen mit welchen Hilfsmitteln beweisbar sind. Als mathematische Disziplin muss sie klar definieren, mit welchen Begriffen sie operiert; die dabei benötigte Präzision unterscheidet sie von einer philosophischen Disziplin. Eines der herausragenden Ergebnisse der mathematischen Logik ist der Unvollständigkeitssatz von Gödel, von dem es zwei Versionen gibt. Gödels Sätze machen es klar, dass die Wahrheit und die Beweisbarkeit einer Aussage zu unterscheiden sind, denn in (fast) jedem formalen mathematischen System gibt es wahre Aussagen, die innerhalb dieses Systems nicht herleitbar sind.

Es ist ein zentrales Anliegen dieses Buches, die Gödelschen Sätze zu erklären, zu beweisen und Missverständnisse über sie auszuräumen. Im Unterschied zu D. Hofstadters Bestseller Gödel, Escher, Bach: Ein endloses geflochtenes Band, der vor ca. 25 Jahren einem breiteren Publikum die Gödelschen Sätze nahebringen wollte, handelt es sich bei Hoffmanns Buch um ein mathematisches Fachbuch, und es ist frei von Spekulationen. Es ist jedoch lebendig geschrieben, sehr ausführlich gehalten und reich illustriert wie ein Sachbuch, und erfolgreich ist es darüber hinaus.

Der Autor beginnt sein Buch mit einem historischen Überblick, in dem unter anderem die Grundlagenkrise der Mathematik Anfang des 20. Jahrhunderts und das Hilbertsche Programm geschildert werden. Das nächste Kapitel erklärt, was unter einem formalen System zu verstehen ist und was es bedeutet, dass eine Aussage innerhalb dieses Systems herleitbar ist. Beispiele solcher Systeme sind die Peano-Arithmetik, also die elementare Theorie der natürlichen Zahlen, und die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Schließlich werden die Gödelschen Sätze ausführlich besprochen. Weitere Kapitel beschäftigen sich mit Berechenbarkeitstheorie, die es schon lange vor den ersten Computern gab, aber mit deren Entwicklung neue Anwendungsmöglichkeiten erfuhr, und mit Modelltheorie.

Wenngleich Hoffmanns Buch ein Fach- und kein Sachbuch ist, verlangt es doch vom Leser keinerlei mathematische Vorkenntnisse (einmal wird motivationshalber der Begriff der Stetigkeit einer Funktion erwähnt); was man jedoch mitbringen sollte, ist die Bereitschaft, Gedanken sehr penibel nachzuvollziehen. In den Text eingestreut sind biographische Skizzen von Mathematikern wie von Neumann, Turing, Church, Gödel etc., und jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben, deren Musterlösungen auf den Internetseiten des Autors zu finden sind.

Dieses Buch wird auch der mathematischen Logik skeptisch Gegenüberstehende überzeugen.

PS: Wer sich intensiver mit den Gödelschen Sätzen beschäftigen möchte, wird an dem Buch Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze. Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis, Springer-Spektrum 2013, desselben Autors interessiert sein.

Rezension: Dirk Werner

Geschichte der Mathematik

Kaiser, Nöbauer
Oldenbourg Verlag, 320 Seiten, 2. Aufl., 29,90 €

ISBN:3-486-11595-2

Beurteilung

Das Buch ist aus Fortbildungskursen für Mathematiklehrer an höhreren Schulen entstanden und ist in erster Linie für Mathematiklehrer und Lehramtskandidaten der Mathematik gedacht.

Es soll den Mathematiklehrer befähigen die Geschichte der Mathematik mehr als bisher in seine Unterrichtsarbeit einzubauen. Daher wird zunächst ein Überblick über die Geschichte der Mathematik von den Anfängen bis zur Gegenwart gegeben. Dann wird auf die historische Entwicklung der wichtigsten im Schulunterricht behandelten Teile der Mathematik näher eingegangen.
Es werden dabei immer wieder Zitate aus Werken berühmter Mathematiker eingefügt, die dem Leser zeigen sollen, wie langwierig und schwerlich der Weg bis zu unserer heutigen Mathematik war und wie Dinge, die uns heute selbstverständlich erscheinen, erst mühsam erkannt und ausformuliert werden mussten.
Dem Fakt, dass auf die bedeutende Rolle der Mathematik bei der Entstehung der heutigen Zivilisation und Kultur im Schulunterricht kaum eingegangen wird, will dieses Buch Abhilfe schaffen und durch ein etwas näheres Eingehen auf die Geschichte der Mathematik den Schülern die Stellung der Mathematik in der Kulturgeschichte vor Augen führen.
Da einerseits in Mathematiklehrbüchern historische Gesichtspunkte fast überhaupt nicht berücksichtigt werden und andererseits der angehende Mathematiklehrer in der Universitätsausbildung kaum Gelegenheit hat, Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik zu hören, ist dieses Buch wärmstens zu empfehlen.

Inhalt

Die Entwicklung der Mathematik von den Anfängen bis zur Gegenwart

1. Einleitung
2. Die historischen Entwicklungslinien
3. Ägypter und Babylonier
   (Mathematik in der Steinzeit, Die Ägypter, Die Babylonier)
4. Die Mathematik in der klassischen Antike
   (Einleitung, Die Ionische Periode, Die Athenische Periode, Die Alexandrinische Periode, Die Spätzeit)
5. Die chinesische und die indische Mathematik
   (Die chinesische Mathematik, Die indische Mathematik)
6. Die Mathematik der Araber
   (Einleitung, Frühzeit, Hochzeit, Spätzeit)
7. Die Mathematik des europäischen Mittelalters
   (Anfänge, Das Hochmittelalter)
8. Die Mathematik der Renaissance
   (Einleitung, Die Frühzeit, Die Rechenmeister, Die italienischen Algebraiker, Die Revolution des astronomischen Weltbildes und ihr Einfluss auf die Mathematik)
9. Die Mathematik der Barockzeit
   (Einleitung, Arithmetik und Rechentechnik, Algebra und Zahlentheorie, Die Entstehung der analytischen Geometrie, Vorstudien zur Infinitesimalrechnung, Geometrie, Angewandte Mathematik)
10. Die Mathematik in der Zeit der Aufklärung
    (Einleitung, Die entstehung des Infinitesimalkalküls, Der Ausbau des Calculus, Euler, Zeitgenossen Eulers)
11. Die Weltmathematik
    (Einleitung, Gauß, Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Mengenlehre und Topologie, Grundlagen der Mathematik, Angewandte Mathematik, Die Entwicklung des Computers)
12. Ausblicke

Problemgeschichte einiger mathematischer Teilgebiete

1. Zur Geschichte der Arithmetik
   (Die Zahlenschreibweise in vorgriechischer Zeit, Die Zahlenschrift der Griechen und Römer, Die Entwicklung unserer heutigen Zahlenschreibweise, Das Rechnen mit dem Abakus, Die Entstehung der Logarithmen, Die Erfindung mechanischer Rechenmaschinen, Die Entwicklung der elektronischen Rechner)
2. Die Entwicklung des Zahlbegriffs
   (Die Genesis der natürlichen Zahlen, Die Ausbildung der ganzen Zahlen, Die Entstehung der Bruchzahlen, Irrationale Zahlen, Komplexe Zahlen, Die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen, Transfinite Zahlen, Neuere Entwicklungen)
3. Die Auflösung von Gleichungen
   (Gleichungen in vorgriechischer Zeit, Quadratische Gleichungen bei Euklid, Diophant, Al-Khuwarizmi, Die Algebra des 'Ummar al-Khayyam, Die italienischen Algebraiker der Renaissancezeit)
4. Der Satz des Pythagoras
5. Die klassischen Probleme der Antike
   (Die Dreiteilung des Winkels, Die Würfelverdopplung, Die Quadratur des Kreises, Die Zahl π, Die Unmöglichkeitsbeweise, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal)
6. Der Ursprung der Kegelschnitte
7. Die Entstehung der Infinitesimalrechnung
   (Inhaltsbestimmungen in der Antike, Die Beiträge der Araber zum Inhaltsproblem, Die Beiträge von Kepler und Cavalieri zur Infinitesimalrechnung, Fermat und die Anfänge der Differentialrechnung, Die Vorläufer der Integralrechnung im 17. Jahrhundert in Frankreich und England, Leibniz und Newton und die Entdeckung des Calculus, Bemerkungen zur Analysis zur Zeit Eulers, Die Arithmetisierung der Analysis, Weiterentwicklung des Integralbegriffs, Nonstandard-Analysis)
8. Anfänge der Trigonometrie
9. Berühmte Probleme der Zahlentheorie
   (Zahlen mit speziellen Eigenschaften, Probleme der Primzahlverteilung, Additive Probleme)
10. Die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung
11. Der Mathematikunterricht im Wandel der Zeit

• Lebensdaten und Arbeitsgebiete einiger bedeutender Mathematiker
• Register
• Zeittafel

From Eudoxus to Einstein
A History of Mathematical Astronomy

Christopher M. Linton
Cambridge University Press (2004), 516 Seiten, 114,88 €

ISBN: 0-521-82750-7

Eine Geschichte der Astronomie von den Anfängen bis zur Relativitätstheorie zu schreiben und das ganze dann in ein Buch von ca. 500 Seiten zu pressen scheint ein nahezu aussichtsloses Unterfangen zu sein, doch es gibt Vorbilder, z.B. Pannekoek¹, der aber die Relativitätstheorie ausklammert und Dreyer², der nur bis zu Kepler kommt. Jeder Liebhaber oder Kenner dieser uralten und immer noch modernen Wissenschaft hat seine eigenen Vorlieben, die er oder sie in einem solchen Buch präsentiert haben möchte. Hier ist nun ein Buch über mathematische Astronomie und um es gleich vorweg zu nehmen: Linton hat ein großartiges Buch vorgelegt.

Im Vorwort legt der Autor den Kurs fest: „ ... I have taken the view in this book that it is more important to understand what it is that was accomplished than precisely how it was achieved“, und diesen Kurs hält er strikt ein. Nur zehn Seiten benötigt Linton in der Einführung, um alle benötigten Fachtermini (synodischer Monat, Deklination, Sonnenwende, etc.) zu erläutern und den Leser dadurch einzustimmen. Dann beginnt die Reise mit den Beiträgen der babylonischen Astronomie, über die wir durch die Arbeiten von Neugebauer und seiner Schule an der Brown University erstaunlich viel wissen³. Dann folgt eine Beschreibung und Diskussion der klassichen griechischen Astronomie. Jeder, der sich wie ich durch Arthur Koestlers Buch The Sleepwalkers⁴ angezogen fühlte und dort zum ersten Mal lernte, dass selbst das Tycho Brahesche Weltsystem bereits als Modell den Griechen bekannt war, wird auch hier auf seine Kosten kommen, allerdings in einer im Gegensatz zu Koestler wissenschaftlich stets streng begründeten Weise. Die Planetentheorien (wozu ich auch die Theorie der Bewegung von Mond und Sonne zähle) stehen im Vordergrund der Diskussion und die Theorien des Eudoxus, Aristarchus, Apollonius und Hipparchus, die schließlich in Ptolemäus’ Almagest münden, erfüllen den heutigen Leser immer wieder mit ungläubigem Staunen – es gab schließlich noch keine Teleskope! Das Ptolemäische Weltsystem erfährt besondere Aufmerksamkeit, hat es doch bis weit in das 16te Jahrhundert hinein gewirkt. Seine Mechanismen werden detailiert erläutert und ein Abschnitt ist der Trigonometrie gewidmet, die Ptolemäus seinen astronomischen Ausführungen vorangestellt hatte.

Als ein Kleinod kann ein Kapitel über die Astronomie der Inder und Araber bezeichnet werden. Auch hier beschränkt sich Linton nicht auf das Erzählen, sondern er erklärt die geozentrischen Weltsysteme, die außerhalb unserer westlichen Kultur entwickelt wurden. Mit der Entwicklung von Klöstern und der Scholastik beginnt dann wieder das Interesse an Astronomie im Westen. Über Peurbach und Regiomontanus führt der Weg zu Kopernikus, dessen De Revolutionibus zu den Meilensteinen der Astronomie zählt⁵. Immer wieder erstaunlich ist die hohe Komplexität des Kopernikanischen Systems, in dem die Anzahl von Epizykeln im Vergleich zum geozentrischen System des Ptolemäus etwa verdoppelt werden musste, um eine Übereinstimmung mit den damals verfügbaren Beobachtungen sicherzustellen. Es folgen Beschreibungen der Arbeiten und Theorien von Tycho Brahe, Kepler und Galilei. Wie im Rest des Buches auch gelingt es Linton in spannender Weise, die wissenschaftlichen Leistungen der Protagonisten mit ihren Lebensbeschreibungen zu verknüpfen. In natürlicher Weise schließt sich Newton an, der mit seinem Gravitationsgesetz und einer Mondtheorie wesentliche nach-Galileische Beiträge zur Astronomie geleistet hat. Mit der nun vorhandenen Differential- und Integralrechnung macht auch die Astronomie enorme Fortschritte: Clairaut, Euler, d’Alembert, Lagrange sind hier die hervorstechenden Namen. In wissenschaftlicher Hinsicht geht es in dieser Zeit um verbesserte Mondtheorien, Theorien der Bewegung von Kometen, das genaue Aussehen der Erde, das Verständnis der Abweichungen der mittleren Bahnen von Saturn und Jupiter und die Frage nach der Stabilität des Sonnensystems in Form des Dreikörperproblems gewinnt nun an Aufmerksamkeit. Fragen nach den Abständen der Planeten im Sonnensystem werden aufgeworfen; das Titius-Bode-Gesetz gewinnt Anhänger und gibt ersten Anlass, nach weiteren Planeten zu suchen. Gauß findet am Übergang vom 18ten zum 19ten Jahhrundert den Planetoiden Ceres rein rechnerisch aus seiner Methode der Bahnbestimmung – die rechnende Astronomie wird als Wissenschaft geboren. Die Methoden zur Bahnberechnung werden so weit verfeinert, dass Störungen in Planetenbahnen als Vorhandensein weiterer Planeten gedeutet werden können – Uranus, Neptun und Pluto sind schließlich gefunden worden.

Unter dem Titel „New Methods“ wendet sich Linton dann der Hamilton-Jacobi-Theorie und der Störungsrechnung im 19ten Jahrhundert zu. Charles Delaunay legt eine algebraische Mondtheorie vor und Poincaré betritt die Bühne mit seiner spektakulären (und erst einmal falschen) Behandlung des Dreikörperproblems, aus dessen Korrektur dann eine ganz neue Forschungsrichtung innerhalb der Mathematik – die nichtlineare Dynamik – entstand. Das letzte Kapitel ist der Relativitätstheorie gewidmet, mit deren Hilfe sich die Anomalitäten in der Perihelbewegung des Merkurs erklären ließen. Die Wirkung der Sonnengravitation ist im Fall des Merkurs als sonnennächstem Planeten groß. Das Phänomen suchte nach einer Erklärung und Einstein suchte nach einem Paradigma für seine allgemeine Relativitätstheorie, voilà!

Lintons Buch ist ein fantastischer Reisebegleiter durch die Astronomiegeschichte – spannend, informativ und bis ins Detail genau. Egal, ob man sich für Astronomiegeschichte im Einzelnen interessiert oder ob man nach einem Blick an den nächtlichen Sternenhimmel gerne mal episodenhaft schmökern möchte, dieses Buch gehört einfach in greifbare Nähe auf jedes Bücherregal.

¹ A. Pannekoek – A History of Astronomy. (George Allen & Unwin 1961)
² J.L.E. Dreyer – History of the Planetary Systems from Thales to Kepler. (Cambridge University Press 1906)
³ Dem Springer Verlag ist nicht genug zu danken, dass er 2006 Otto Neugebauers dreibändiges Werk A History of Ancient Mathematical Astronomy wieder nachgedruckt hat, über das ich an dieser Stelle demnächst genauer berichten werde.
⁴ A. Koestler – The Sleepwalkers. (Hutchinson 1959)
⁵ N.M. Swerdlow, O. Neugebauer – Mathematical Astronomy in Copernicus’s De Revolutionibus. (Springer Verlag 1984) enthält in zwei Bänden eine wunderbare Analyse der Mathematik hinter der Astronomie des Kopernikus, ist aber schon seit längerem nicht mehr im Druck.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2007, Band 54, Heft 1, S. 126
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections:
Filling a gap in the history of algebra

Jacqueline Stedall
European Mathematical Society 2011, xii+224 Seiten, 68 €
Sprache: Englisch

ISBN-10: 3037190922
ISBN-13: 978-3037190920

Gängige Übersichten zur Geschichte der Mathematik verfolgen die Geschichte der Algebra von den mesopotamischen Zivilisationen bis hin zu Tartaglia und Cardano’s Ars magna, dann wird in der Regel ein großer Sprung vollführt und die Geschichte der Algebra wird mit Lagrange und seinen Ergebnissen zur Gruppentheorie sozusagen wieder gestartet. Das Publikationsdatum der Ars magna ist 1545; Lagrange publizierte seine großen Einsichten im Jahr 1771. Was geschah in den 226 Jahren dazwischen? Übernahm erst einmal die Analysis in diesen Jahren und ging die Algebra derweil schlafen, um erfrischt unter den Händen eines Lagrange zu erwachen? Welche Sekundärliteratur gibt es denn überhaupt speziell zur Geschichte der Algebra? Da ist zum Einen das bei Noordhoff 1973 erschienene Buch „Origins of modern algebra“ des Ungarn Nový Luboš, der noch Descartes eine wichtige Rolle zuweist, sich aber auf die Zeit von 1770 bis 1870 konzentriert. Der Klassiker ist „A history of algebra from al-Khwãrizmï to Emmy Noether“ von Bartel van der Waerden. Selbst dieser eminente Algebraiker mit tiefer historischer Einsicht (man lese nur seinen Klassiker „Erwachende Wissenschaft“) springt in nur einer Seite von Descartes (1637) zu Lagrange. Aus neuerer Zeit (2000) ist das sehr lesbare Buch „The beginnings and evolution of algebra“ von Isabella Bashmakova und Galina Smirnova zu nennen, das ich vor einiger Zeit in dieser Rubrik besprechen durfte. Die Autorinnen behandeln die Zeit vom 17. zum 18. Jahrhundert auf immerhin etwa 6 Seiten, aber die Ergebnisse eines Viète oder eines Eulers und anderer aus dieser Zeit bleiben doch unzusammenhängend nebeneinander stehen. Auch „An Introduction to the History of Algebra“ von Jacques Sesiano (2009) kommt gar nur bis zu Descartes. Dem Ziel des Stedallschen Buches am nächsten kommen vielleicht „Die Geschichte der Algebra“ (Hrsg. E. Scholz) und „A History of Abstract Algebra“ von Israel Kleiner (2007), aber hier wird ein anderer Weg beschritten.

Jacqueline Stedall hat dem dunklen Zeitalter der Algebra zwischen Cardano und Lagrange auf die Sprünge geholfen und eine Geschichte der Algebra in dieser Zeit vorgelegt. Stedall ist prädestinert für diese Aufgabe, hat sie doch mit ihrer Untersuchung „A discourse concerning algebra: English algebra to 1685“ zur Algebra bei John Wallis dem „al-jabr“, also dem Auflösen von Gleichungen, schon ein Forschungsprojekt gewidmet. Um dieses „al-jabr“ geht es schließlich auch in der Zeit bis Lagrange, der letztlich von der reinen Auflösung von Gleichungen zu strukturellen Fragen vorstößt und das „al-jabr“ hinter sich läßt.

Das Buch ist in drei Teile gegliedert. Teil I ist „From Cardano to Newton: 1545 to 1707“ überschrieben, Teil II mit „From Newton to Lagrange: 1707 to 1771“ und der sehr kurze dritte Teil mit „After Lagrange“. Teil I ist noch klar personell gegliedert: Cardano, Viète, Descartes und Newton, aber das ist für die stürmischen Jahre in Teil II nicht mehr ohne weiteres möglich. Im ersten Teil spielt neben den genannten Protagonisten natürlich auch Thomas Harriot die ihm gebührende Rolle, kein Wunder auch, denn Harriot und seine Algebra waren in der Vergangenheit intensiver Forschungsgegenstand von Stedall, so wie auch die Algebra des John Wallis. Teil III ist ein Rückblick, aber auch ein Ausblick auf die nach Lagrange kommende Algebra.

Das Buch ist sehr lebhaft geschrieben, außerordentlich informativ und sehr empfehlenswert. Die European Mathematical Society hat mit ihrer Buchreihe Heritage of European Mathematics, in der auch das vorliegende Buch erschienen ist, ein kleines Meisterwerk vollbracht. Die Bücher sind sauber und robust gebunden und das verwendete Papier ist ein nicht ganz weißes, haptisch sehr angenehmes, das zur hervorragenden Lesbarkeit viel beiträgt. Einige Abbildungen sind eingestreut.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2012, Band 59, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)

Florenz und Bagdad
Eine westöstliche Geschichte des Blicks

Hans Belting
C.H. Beck, 2008, 318 Seiten, 29,90 €

ISBN: 3-406-57092-5

Der perspektivische Blick und seine Bedeutung für die Kunst, in welcher die perspektivische Malerei zur absolut vorherrschenden Variante dieser Kunstform wurde, entstand im Italien der Renaisance. Gleichzeitig herrscht in der islamischen Welt das allbekannte Bilderverbot vor. Dies sind die geläufigen Eckdaten einer Epoche, die zwar nicht grundlegend falsch sind, in ihrer Absolutheit die Realität der damaligen Zeit jedoch nicht wirklich widerspiegeln. Den gegenseitigen Einfluss und Kontakt der beiden, nie so deutlich getrennten Welten, zeigt der Kunsthistoriker Hans Belting in seinem Buch Florenz und Bagdad - Eine westöstliche Geschichte des Blicks auf.
Entscheidende Bedeutung für die Entwicklung des perspektivischen Blicks und unverzichtbare Voraussetzung dafür waren die Arbeiten des arabischen Mathematikers Abu Ali al-Hasan Ibn al-Haitham (965 - 1040), im Westen bekannt unter dem Namen Alhazen, der inzwischen gar als der arabische Archimedes bezeichnet wurde. Von seinen 92 Büchern sind heutzutage noch 55 Werke erhalten, in denen er unter anderem eine Zusammenfassung der euklidischen Geometrie dar- oder die Planetentheorie des Ptolemäus widerlegte. In seiner Darstellung Alhazens zeigt Hans Belting auch sehr gut, dass das teilweise verbreitete Bild der arabischen Wissenschaftler des Mittelalters als reine Überlieferer der antiken Wissenschaften nicht haltbar ist.
Bereits 1028 versuchte Alhazen in seinem Buch Kitab al-Manazir (Buch der Sehtheorie) "Mathematik und Physik in eine Synthese zu bringen, denn es ging ihm darum, die Kluft zwischen Mathematik und empirischer Beobachtung zu schließen." Übersetzungen und Kommentare zu diesem Buch schrieben unter anderem Roger Bacon und Witelo und es wurde zu einer wichtigen Quelle für Johannes Kepler.
Nicht nur Alhazens Einfluss auf die Entstehung der Perspektive in der europäischen Malerei der Renaissance erläutert Hans Belting. Er zeigt in seinem ständigen Blickwechsel zwischen eben dieser europäischen Renaissance und der islamischen Welt auch die Geometrisierung der Kunst letzterer, welche nicht nur durch ein religiöses Bilderverbot, "sondern auch durch die ästhetischen, gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Kontexte dieser Kultur" entstand. So gibt es ein wunderbares Kapitel über die Geometrie der sogenannten Muqarnas, deren genaue Definition schwer fällt und die Belting mit einem Wabendekor oder den Hängeformen von Stalaktiten vergleicht. Er beschreibt sie als "geniale und nahezu einzigartige Erfindung, um die Geometrie aus ihren Flächengrenzen zu erlösen und über diese hinaus dorthin zu führen, wo wir unwillkürlich von Raum sprechen wollen." Die Ausführungen sind an dieser Stelle, sowie im gesamten Buch, mit vielen hilfreichen Illustrationen versehen, welche es ermöglichen, die im Text erläuterten Verfahren und konkret beschriebenen Dinge auch bildlich nachzuvollziehen.
Neben den Muqarnas wird auch die Form der Maschrabiyyas, eine Art Fenstergitter aus Holz und deren geometrische Inszenierung des Lichts analysiert. Das Fenstergitter hat in der arabischen Kultur zum Einen die Funktion eine Trennung von Innen und Außen herbeizuführen, so kann man zwar vom Inneren des Raumes nach Außen sehen, nicht jedoch umgekehrt. Durch das einfallende Licht bilden sich aber außerdem geometrische Muster aus Licht und Schatten am Fußboden und den Wänden, die im Laufe des Tages durch das Zimmer wandern. Belting beschreibt dies mit den Worten: "Wollte man von Perspektive sprechen, so wäre sie im Sinne arabischer Optik eine Perspektive des Lichts, das über die Schranke des Fensters nach innen tritt und dort von der Geometrie des Fensterdekors reguliert wird, ohne dass dabei Bilder in unserem Sinne entstehen."
Damit ist man abschließend auch wieder bei den Studien Alhazens angelangt, welcher sich ausführlich mit Lichtreflexionen auseinandersetzte und auch als Erfinder der camera obscura gilt, welche er selbst bereits al-bait al-muzlim (Dunkle Kammer) nannte.
Auch wenn Hans Belting natürlich seine Darstellung eindeutig auf kunsthistorische Aspekte ausrichtet, lässt sich in diesem Buch, wie in den oben beschriebenen Beispielen gezeigt, auch vieles über Wissenschaftsgeschichte und das Zusammenspiel verschiedener Kulturen in dieser erfahren.

(Rezension: Joerg Beyer)