Leseecke

Karl Weierstraß (1815–1897)
Aspekte seines Lebens und Werkes
Aspects of his Life and Work

Wolfgang König, Jürgen Sprekels (Hrsg.)
Springer Spektrum; 1. Aufl. 2016. (26. August 2015), 289 Seiten, 34,99 €

ISBN-10: 3658106182
ISBN-13: 978-3658106188

Meine erste Begegnung mit dem Namen Weierstraß fand in der Analysis Vorlesung am Beginn meines Mathematikstudiums statt. In Zusammenhang mit der Konvergenz von Reihen bzw. Funktionenreihen machte der Vortragende die Bemerkung „Weierstraß habe erst im – für einen Mathematiker – relativ hohen Alter von 40 Jahren begonnen sinnvolle Sätze zu beweisen“, die sich seltsamerweise bis heute in meinem Gedächtnis verankert hat. Was damit – in überspitzter Form – gemeint gewesen sein könnte, versteht man nach der Lektüre des vorliegenden Buches viel besser.

Eine präzise Zuordnung des Namens Weierstraß zu dem nach ihm benannten Majorantenkriterium für die absolute und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen erfolgte, soweit ich mich erinnern kann, nicht. Die Bedeutung von Weierstraß in der Mathematik und insbesondere in der Analysis und Funktionentheorie war dennoch kaum zu übersehen, beginnend beim Satz von Bolzano-Weierstraß und der Weierstraß-Funktion (eine überall stetige aber nirgends differenzierbare Funktion), über den nach ihm benannten Produktsatz, den Approximationssatz (Stone-Weierstraß) bis hin zum Weierstraß’schen Vorbereitungssatz.

Das vorliegende, anlässlich des 200. Geburtstags dieses berühmten Mathematikers vom Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik in Berlin herausgegebene Buch bietet sowohl einen guten Überblick über das Leben und Werk dieses bedeutenden Mathematikers als auch einen genaueren Blick auf wichtige Teilaspekte derselben.

Im ersten Kapitel „Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß“ (J. Elstrodt) erfährt man, wie Weierstraß unter schwierigen Bedingungen (als Gymnasiallehrer mit hoher Arbeitsbelastung, mit wenig Kontakten zu Kollegen und eingeschränktem Zugang zur Literatur) den Grundstein für sein wie der Autor sagt „zweites Leben“ als Mathematiker von Weltrang gelegt hat. Es ist interessant zu erfahren, wie es Weierstraß mit seiner 1854 erschienen Arbeit „Zur Theorie der Abel’schen Funktionen“ geschafft hat, nahezu aus dem Nichts ins Zentrum der damaligen mathematischen Welt aufzusteigen. Im selben Jahr wird ihm ein Ehrendoktorat der Universität Königsberg verliehen, 1856 wird er auf eine erste Professur nach Berlin berufen und 1864 wird er Ordinarius an der Universität Berlin. Die hinter diesen Erfolgen stehenden Anstrengungen fordern aber einen hohen Preis, für den Rest seines Lebens hat er mit gesundheitlichen Problemen zu kämpfen.

Im zweiten Kapitel „Zur Biographie von Karl Weierstraß und zu einigen Aspekten seiner Mathematik“ (J. Bölling) werden in sehr gelungener Weise sein Leben und die Aspekte seines Werkes, die heute zum Grundwissen jedes Mathematikers gehören, ausführlich dargestellt. Vieles wird mit aufschlussreichen Originalzitaten belegt, die einen lebendigen und nachhaltigen Eindruck von der Schwierigkeit, Dynamik und Heftigkeit dieser Übergangsphase zur modernen Mathematik geben. Dies wird etwa in der Beschreibung der Unterschiede zwischen Riemann und Weierstraß (geometrische versus analytische Arbeitsweise, Weierstraß’s Kritik am von Riemann verwendeten Dirichlet Prinzip) deutlich und ebenso in dem sich verstärkenden Konflikt mit Kronecker, der zunehmend Positionen des Finitismus (eine Form des Konstruktivismus) vertrat.

Die weiteren sechs Kapitel des Buches sind „Weierstraß und die Preußische Akademie der Wissenschaften“ (E. Knobloch), „Karl Weierstraß and the theory of Abelian and elliptic functions“ (P. Ullrich), „Building analytic function theory: Weierstraß’s approach in lecture courses and papers“ (U. Bottazzini), „Monodromy and normal forms“ (F. Catanese), „Weierstraß’s Approximation Theorem (1885) and his 1886 lecture course revisited“ (R. Siegmund-Schultze) und „Counterexamples in Weierstraß’s work (T. Archibald).

Ein wiederkehrendes Thema ist die Entstehung und Weiterentwicklung der zentralen Inhalte von Weierstraß’s berühmten Vorlesungen, die er in den Jahren von 1862 bis 1887 in Berlin gehalten hat. Ausführlichen Platz finden Weierstraß’s berühmte Gegenbeispiele (die Existenz von stetigen, nirgends differenzierbaren Funktionen, Existenz eines Variationsproblems ohne Minimum).

Die einzelnen Kapitel sind gut lesbar und ergänzen sich gegenseitig. Der Beitrag von F. Catanese blickt teilweise aus Sicht späterer Entwicklungen auf Weierstraß’s Werk und ist mathematisch anspruchsvoller. In Anbetracht der sprichwörtlichen „Weierstraß’schen Strenge“ soll nicht unerwähnt bleiben, dass im Abschnitt 8.3 Hardy’s Resultat über Riemanns Beispiel einer nirgends differenzierbaren Funktion nicht ganz korrekt wiedergegeben wird.

Als Person wird Weierstraß nicht wirklich greifbar, man würde gerne mehr über sein Privatleben, sein Verhältnis zu Sofja Kowalewskaja und über das Rätsel um seinen Ziehsohn Franz erfahren. Dies ist aber auch nicht die Intention des vor allem an Weierstraß’s Mathematik orientierten Buches, bei Interesse an diesen Fragen können die zahlreichen Quellenangaben weiterhelfen.

Es ist faszinierend und überraschend zu sehen, wie sehr Weierstraß’s Zugang zur Analysis noch die heutige Lehre in der Analysis prägt. Das Buch gibt interessante und lehrreiche Einblicke in die Entwicklung der reellen Zahlen, des modernen Funktionsbegriffs und der rigorosen reellen und komplexen Analysis. Das Buch regt dazu an manchen der angeschnittenen Themen weiter nachzugehen.

Allen, die so wie der Rezensent immer wieder erleben, dass die Grundlagen der Analysis auch den heutigen Studierenden beträchtliche Schwierigkeiten verursachen, kann die Beschäftigung mit der Geschichte der Mathematik – etwa durch Lesen dieses Buches – in vielfacher Hinsicht nützlich sein, nicht zuletzt durch die Erkenntnis, wie sehr und wie lange um diese Begriffe gerungen werden musste.

Rezension: Peter Szmolyan, Wien

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2016, Band 62, Heft 2, S. 307
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

John Napier
Life, Logarithms, and Legacy

Julian Havil
Verlag: Princeton University Press 2014, 291 Seiten, 30,95 €
Sprache: Englisch

ISBN-10: 0691155704
ISBN-13: 978-0691155708

Zumindest unter Mathematikern ist der Schotte John Napier (1550–1617) bekannt, gilt er doch neben dem Schweizer Jost Bürgi (1552–1632) als der Entdecker der Logarithmen. Julian Havil, der mir durch sein Buch GAMMA über die Eulersche Konstante bereits vor einigen Jahren sehr positiv aufgefallen ist, versucht in dem vorliegenden Buch, Leben und Werk Napiers einem breiteren Publikum zugänglich zu machen.

Allerdings gibt es mit dem Leben Napiers erhebliche Schwierigkeiten – es ist fast nichts darüber bekannt. Havil versucht mit einigem Erfolg, die wenigen gesicherten Daten sowie einige Spekulationen zu einem groben Bild zusammenzusetzen, wobei er glücklicherweise nicht der Versuchung erliegt, die fehlenden Fakten durch die Geschichte Schottlands dieser Zeit zu ersetzen; diese wird zu Recht in den Anhang verbannt. Viel mehr als eine verblasste Fotografie Napiers entsteht so nicht – aber dies ist besser als ein detailreiches Gemälde, das nur wenig mit der Wirklichkeit zu tun hat.

Um Napiers Bedeutung und Wirken erfassen zu können, muss man daher seine Schriften heranziehen – und genau um diese geht es im Hauptteil des Buches. Den Reigen beginnt ein heute eher absonderlich anmutendes Werk Napiers: „A Plaine Discovery of the Whole Relevation of St. John“ ist eine Analyse der Offenbarung, deren Ergebnisse (wie es sich einem Mathematiker geziemt) in Propositionen gegliedert sind. Hierbei „offenbart“ sich vor allem Napier, nämlich als Erz-Evangelikaler, der im Katholizismus und insbesondere im Papst das Böse schlechthin sieht. Damit wird Napier allerdings nur zu einem Extremen in einer extremen Zeit – die Schrift jedenfalls erfuhr damals eine beträchtliche Aufmerksamkeit.

In den beiden folgenden Kapiteln werden die Arbeiten Napiers besprochen, die mein Interesse an dem Buch geweckt haben: Die Einführung des Logarithmus und damit ein Meilenstein in der Geschichte der Mathematik steht auf dem Programm. Gerade hier gelingt Havil vorbildlich der Spagat zwischen Werktreue, Lesbarkeit für jeden, der sich für Logarithmen interessiert, und einer Aufarbeitung des Textes in moderner mathematischer Sprache. Es ist einfach ein Genuss, den Ausführungen Havils zu folgen! So erfahren wir von den in der Geometrie verwurzelten Motiven Napiers, den Logarithmus für die Werte des Sinus zu berechnen, um die allfälligen Verhältnisrechnungen um ein wesentliches zu vereinfachen. Genauer: Die Tafeln enthalten die Werte von 10⁷ ln (10⁷ /x) für x = 10⁷ sin (α), wobei die Schrittweite von α eine Bogenminute beträgt. Damit konnten alle vorkommenden Werte, die immerhin auf 7 Stellen genau sind, als ganze Zahlen angegeben werden. Auch die Gedanken Napiers zum Logarithmus sowie die Berechnungsverfahren kommen zur Sprache. In diesen Überlegungen, die Havil erneut liebevoll für den mathematischen Laien aufbereitet, kann der Leser bereits erste Ahnungen der später entstandene Differentialrechnung erkennen – auch hier zeigt sich, dass Napier zu den großen Mathematikern seiner Zeit gerechnet werden muss.

Ein weiterer Beitrag Napiers zur Mathematik sind die nach ihm benannten Rechenstäbe, die ebenfalls die ihnen gebührende Aufmerksamkeit in einem eigenen Kapitel finden, sind sie doch gewissermaßen Vorboten der automatisierten Rechnung. Auch die nicht veröffentlichten, von seinem Sohn zusammengetragenen Fragmente zur Rechenkunst fehlen nicht, zeigen sie doch, dass Napier etwa im Umgang mit negativen Zahlen (die noch heftig umstritten waren und sich beileibe noch nicht durchgesetzt hatten) seiner Zeit bereits voraus war. Das letzte Kapitel beschäftigt sich – wie könnte es anders sein – mit dem weiteren Werdegang des Logarithmus nach Napier. Mehrere Anhänge, die vor allem mathematische Erläuterungen und Exkursionen beinhalten, für die im Text selbst kein Platz war, runden das Buch ab.

Insgesamt halten wir damit nicht nur eine ausgesprochen gut lesbare Würdigung Napiers in den Händen, sondern insbesondere eine wirklich spannend geschriebene Schilderung der Geburt des Logarithmus, die man auch und gerade einem interessierten Laien guten Gewissens zum Lesen geben kann. Ich für meinen Teil habe die Lektüre jedenfalls sehr genossen. Daher spreche ich dem Werk meine uneingeschränkte Empfehlung aus.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2015, Band 62, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe (Braunschweig)

Grenzen der Mathematik
Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

Dirk W. Hoffmann
Spektrum Akademischer Verlag, (2011), ix + 409 Seiten, 29,95 €

ISBN: 978-3-8274-2559-1

Es folgen die Rezensionen von: Thomas Sonar und Dirk Werner

Logik ist langweilig! Das war meine feste Überzeugung vom Studium bis heute. Dann kam mir Dirk Hoffmanns Buch über die Grenzen der Mathematik auf den Schreibtisch und veränderte mein Weltbild. Ein ähnliches Erlebnis hatte ich vorher nur mit Oliver Deisers Buch „Einführung in die Mengenlehre“. Hoffmann beginnt mit historischen Notizen. Vom Rätsel des Kontinuums geht es über die Grundlagenkrise, die axiomatische Mengenlehre und dem Hilbert-Programm zu Fragen der Grenzen der Berechenbarkeit. Schon auf diesen ersten – immerhin mehr als sechzig – Seiten packt die Leserschaft die Fähigkeit des Autors, spannende Geschichte(n) mit klaren Erläuterungen zur Mathematik zu verbinden. Gleich zu Anfang fällt auch der Sinn des etwas ungewöhnlichen Buchformats auf, es ist nämlich ungewöhnlich breit: Randstreifen dienen dazu, Zusatzinformationen, Abbildungen und weiteres Material bereitzustellen. Dadurch, und durch die konsequente Verwendung blau gefärbter Tabellen, Merkkästen, usw., wirkt das Druckbild in schöner Weise aufgelockert und verhindert so den Eindruck, man würde sich in einer Bleiwüste befinden. Historisch wichtige Entwicklungen werden mit Kalenderblättern angezeigt, „Aha-Erlebnisse“ mit einer Glühbirne.

Am Ende der Einführung versteht man, warum die Arbeiten von Gödel und Turing ein „Frontalangriff auf die Grundfesten der Mathematik“ waren und warum das Hilbert’sche Programm „in Trümmern“ lag. Aber das war kein Grund zur Verzweiflung: Im letzten Abschnitt „Auferstanden aus Ruinen“ führt uns Hoffmann zu relativen Beweisen der Widerspruchsfreiheit (Gödel) und folgerichtig zur Kontinuumshypothese und dem Cohenschen Unabhängigkeitsbeweis. Bei diesem Ausklang der Einleitung erscheint der Titel „Grenzen der Mathematik“ fast zu restriktiv.

Im zweiten Kapitel geht es um formale Systeme, also Aussagenlogik und Prädikatenlogik erster und zweiter Stufe. Wie überall im Buch weicht der Autor den Schwierigkeiten der Materie nicht aus. Für einen der Logik eher fern stehenden Mathematiker ist das Kapitel „hart“, aber wieder hilft die Befähigung des Autors, auch komplizierte Zusammenhänge anschaulich darzustellen. Außerdem gibt es wieder zahlreiche historische Bemerkungen, Erklärungen und Beispiele. Am Ende von Kapitel 2 hat man jedenfalls die Grundlagen (und noch ein bißchen mehr) der Logik verstanden.

Im dritten Kapitel geht es um nichts weniger als die „Fundamente der Mathematik“. Dazu zählen die Peano-Arithmetik und die axiomatische Mengenlehre, wobei die Zermelo-Fraenkelschen Axiome sehr detailliert besprochen und illustriert werden. Hoffmann scheut sich auch nicht, Ordinalzahlen wie ω+2 und ω+ω zu visualisieren und so ein Verständnis auf allen Ebenen zu ermöglichen.

In Kapitel 4 geht es dann um Beweistheorie, d.h. im Wesentlichen um die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze. Kapitel 5 ist der Theorie der Berechenbarkeit gewidmet und hier lernt man nicht nur Automatentheorie, sondern auch etwas über die Church’sche These und die Grenzen der Berechenbarkeit. Die Folgen für die Mathematik werden ausführlich diskutiert: Unvollständigkeit der Arithmetik, Unlösbarkeit des Entscheidungsproblem und die Unlösbarkeit des zehnten Hilbert’schen Problems. Im sechsten Kapitel kommt die algorithmische Informationstheorie zum Zuge und endet mit dem Korollar, dass jedes korrekte formale System, das stark genug ist, um die Peano-Arithmetik zu formalisieren unvollständig ist.

Im siebten und letzten Kapitel wagt sich der Autor dann noch in die Modelltheorie, beschreibt Meta-Resultate zur Prädikatenlogik, Nichtstandardmodelle der Arithmetik und Boolesche Modelle.

Das Buch von Dirk W. Hoffmann hat mir ausgesprochen gut gefallen. Der Schreibstil des Autors – stets auf Verständlichkeit bedacht – die vielen historischen Bezüge, die wohldurchdachte Aufmachung des Buches mit seinen vielen Bildern, Beispielen und Merkkästen und nicht zuletzt die jedem Kapitel beigegeben Aufgaben machen das Buch zu einer Perle.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 243
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Manchen Zeitgenossen gilt die Mathematik als hermetisch, trocken und weltfremd. Aber auch unter Mathematikern gibt es Vorurteile gegenüber einzelnen Teildisziplinen. So wird von vielen Wissenschaftlern das Gebiet der mathematischen Logik – wenn überhaupt – nur mit spitzen Fingern angefasst, denn sie wird als hermetisch, trocken und weltfremd wahrgenommen. In seinem lebendig geschriebenen Buch Grenzen der Mathematik entkräftet der Autor, Professor für Informatik in Karlsruhe, diese Vorurteile.

Die mathematische Logik untersucht, vereinfacht gesagt, welche Aussagen mit welchen Hilfsmitteln beweisbar sind. Als mathematische Disziplin muss sie klar definieren, mit welchen Begriffen sie operiert; die dabei benötigte Präzision unterscheidet sie von einer philosophischen Disziplin. Eines der herausragenden Ergebnisse der mathematischen Logik ist der Unvollständigkeitssatz von Gödel, von dem es zwei Versionen gibt. Gödels Sätze machen es klar, dass die Wahrheit und die Beweisbarkeit einer Aussage zu unterscheiden sind, denn in (fast) jedem formalen mathematischen System gibt es wahre Aussagen, die innerhalb dieses Systems nicht herleitbar sind.

Es ist ein zentrales Anliegen dieses Buches, die Gödelschen Sätze zu erklären, zu beweisen und Missverständnisse über sie auszuräumen. Im Unterschied zu D. Hofstadters Bestseller Gödel, Escher, Bach: Ein endloses geflochtenes Band, der vor ca. 25 Jahren einem breiteren Publikum die Gödelschen Sätze nahebringen wollte, handelt es sich bei Hoffmanns Buch um ein mathematisches Fachbuch, und es ist frei von Spekulationen. Es ist jedoch lebendig geschrieben, sehr ausführlich gehalten und reich illustriert wie ein Sachbuch, und erfolgreich ist es darüber hinaus.

Der Autor beginnt sein Buch mit einem historischen Überblick, in dem unter anderem die Grundlagenkrise der Mathematik Anfang des 20. Jahrhunderts und das Hilbertsche Programm geschildert werden. Das nächste Kapitel erklärt, was unter einem formalen System zu verstehen ist und was es bedeutet, dass eine Aussage innerhalb dieses Systems herleitbar ist. Beispiele solcher Systeme sind die Peano-Arithmetik, also die elementare Theorie der natürlichen Zahlen, und die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Schließlich werden die Gödelschen Sätze ausführlich besprochen. Weitere Kapitel beschäftigen sich mit Berechenbarkeitstheorie, die es schon lange vor den ersten Computern gab, aber mit deren Entwicklung neue Anwendungsmöglichkeiten erfuhr, und mit Modelltheorie.

Wenngleich Hoffmanns Buch ein Fach- und kein Sachbuch ist, verlangt es doch vom Leser keinerlei mathematische Vorkenntnisse (einmal wird motivationshalber der Begriff der Stetigkeit einer Funktion erwähnt); was man jedoch mitbringen sollte, ist die Bereitschaft, Gedanken sehr penibel nachzuvollziehen. In den Text eingestreut sind biographische Skizzen von Mathematikern wie von Neumann, Turing, Church, Gödel etc., und jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben, deren Musterlösungen auf den Internetseiten des Autors zu finden sind.

Dieses Buch wird auch der mathematischen Logik skeptisch Gegenüberstehende überzeugen.

PS: Wer sich intensiver mit den Gödelschen Sätzen beschäftigen möchte, wird an dem Buch Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze. Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis, Springer-Spektrum 2013, desselben Autors interessiert sein.

Rezension: Dirk Werner

Geschichte der Mathematik

Kaiser, Nöbauer
Oldenbourg Verlag, 320 Seiten, 2. Aufl., 29,90 €

ISBN:3-486-11595-2

Beurteilung

Das Buch ist aus Fortbildungskursen für Mathematiklehrer an höhreren Schulen entstanden und ist in erster Linie für Mathematiklehrer und Lehramtskandidaten der Mathematik gedacht.

Es soll den Mathematiklehrer befähigen die Geschichte der Mathematik mehr als bisher in seine Unterrichtsarbeit einzubauen. Daher wird zunächst ein Überblick über die Geschichte der Mathematik von den Anfängen bis zur Gegenwart gegeben. Dann wird auf die historische Entwicklung der wichtigsten im Schulunterricht behandelten Teile der Mathematik näher eingegangen.
Es werden dabei immer wieder Zitate aus Werken berühmter Mathematiker eingefügt, die dem Leser zeigen sollen, wie langwierig und schwerlich der Weg bis zu unserer heutigen Mathematik war und wie Dinge, die uns heute selbstverständlich erscheinen, erst mühsam erkannt und ausformuliert werden mussten.
Dem Fakt, dass auf die bedeutende Rolle der Mathematik bei der Entstehung der heutigen Zivilisation und Kultur im Schulunterricht kaum eingegangen wird, will dieses Buch Abhilfe schaffen und durch ein etwas näheres Eingehen auf die Geschichte der Mathematik den Schülern die Stellung der Mathematik in der Kulturgeschichte vor Augen führen.
Da einerseits in Mathematiklehrbüchern historische Gesichtspunkte fast überhaupt nicht berücksichtigt werden und andererseits der angehende Mathematiklehrer in der Universitätsausbildung kaum Gelegenheit hat, Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik zu hören, ist dieses Buch wärmstens zu empfehlen.

Inhalt

Die Entwicklung der Mathematik von den Anfängen bis zur Gegenwart

1. Einleitung
2. Die historischen Entwicklungslinien
3. Ägypter und Babylonier
   (Mathematik in der Steinzeit, Die Ägypter, Die Babylonier)
4. Die Mathematik in der klassischen Antike
   (Einleitung, Die Ionische Periode, Die Athenische Periode, Die Alexandrinische Periode, Die Spätzeit)
5. Die chinesische und die indische Mathematik
   (Die chinesische Mathematik, Die indische Mathematik)
6. Die Mathematik der Araber
   (Einleitung, Frühzeit, Hochzeit, Spätzeit)
7. Die Mathematik des europäischen Mittelalters
   (Anfänge, Das Hochmittelalter)
8. Die Mathematik der Renaissance
   (Einleitung, Die Frühzeit, Die Rechenmeister, Die italienischen Algebraiker, Die Revolution des astronomischen Weltbildes und ihr Einfluss auf die Mathematik)
9. Die Mathematik der Barockzeit
   (Einleitung, Arithmetik und Rechentechnik, Algebra und Zahlentheorie, Die Entstehung der analytischen Geometrie, Vorstudien zur Infinitesimalrechnung, Geometrie, Angewandte Mathematik)
10. Die Mathematik in der Zeit der Aufklärung
    (Einleitung, Die entstehung des Infinitesimalkalküls, Der Ausbau des Calculus, Euler, Zeitgenossen Eulers)
11. Die Weltmathematik
    (Einleitung, Gauß, Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Mengenlehre und Topologie, Grundlagen der Mathematik, Angewandte Mathematik, Die Entwicklung des Computers)
12. Ausblicke

Problemgeschichte einiger mathematischer Teilgebiete

1. Zur Geschichte der Arithmetik
   (Die Zahlenschreibweise in vorgriechischer Zeit, Die Zahlenschrift der Griechen und Römer, Die Entwicklung unserer heutigen Zahlenschreibweise, Das Rechnen mit dem Abakus, Die Entstehung der Logarithmen, Die Erfindung mechanischer Rechenmaschinen, Die Entwicklung der elektronischen Rechner)
2. Die Entwicklung des Zahlbegriffs
   (Die Genesis der natürlichen Zahlen, Die Ausbildung der ganzen Zahlen, Die Entstehung der Bruchzahlen, Irrationale Zahlen, Komplexe Zahlen, Die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen, Transfinite Zahlen, Neuere Entwicklungen)
3. Die Auflösung von Gleichungen
   (Gleichungen in vorgriechischer Zeit, Quadratische Gleichungen bei Euklid, Diophant, Al-Khuwarizmi, Die Algebra des 'Ummar al-Khayyam, Die italienischen Algebraiker der Renaissancezeit)
4. Der Satz des Pythagoras
5. Die klassischen Probleme der Antike
   (Die Dreiteilung des Winkels, Die Würfelverdopplung, Die Quadratur des Kreises, Die Zahl π, Die Unmöglichkeitsbeweise, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal)
6. Der Ursprung der Kegelschnitte
7. Die Entstehung der Infinitesimalrechnung
   (Inhaltsbestimmungen in der Antike, Die Beiträge der Araber zum Inhaltsproblem, Die Beiträge von Kepler und Cavalieri zur Infinitesimalrechnung, Fermat und die Anfänge der Differentialrechnung, Die Vorläufer der Integralrechnung im 17. Jahrhundert in Frankreich und England, Leibniz und Newton und die Entdeckung des Calculus, Bemerkungen zur Analysis zur Zeit Eulers, Die Arithmetisierung der Analysis, Weiterentwicklung des Integralbegriffs, Nonstandard-Analysis)
8. Anfänge der Trigonometrie
9. Berühmte Probleme der Zahlentheorie
   (Zahlen mit speziellen Eigenschaften, Probleme der Primzahlverteilung, Additive Probleme)
10. Die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung
11. Der Mathematikunterricht im Wandel der Zeit

• Lebensdaten und Arbeitsgebiete einiger bedeutender Mathematiker
• Register
• Zeittafel

From Eudoxus to Einstein
A History of Mathematical Astronomy

Christopher M. Linton
Cambridge University Press (2004), 516 Seiten, 114,88 €

ISBN: 0-521-82750-7

Eine Geschichte der Astronomie von den Anfängen bis zur Relativitätstheorie zu schreiben und das ganze dann in ein Buch von ca. 500 Seiten zu pressen scheint ein nahezu aussichtsloses Unterfangen zu sein, doch es gibt Vorbilder, z.B. Pannekoek¹, der aber die Relativitätstheorie ausklammert und Dreyer², der nur bis zu Kepler kommt. Jeder Liebhaber oder Kenner dieser uralten und immer noch modernen Wissenschaft hat seine eigenen Vorlieben, die er oder sie in einem solchen Buch präsentiert haben möchte. Hier ist nun ein Buch über mathematische Astronomie und um es gleich vorweg zu nehmen: Linton hat ein großartiges Buch vorgelegt.

Im Vorwort legt der Autor den Kurs fest: „ ... I have taken the view in this book that it is more important to understand what it is that was accomplished than precisely how it was achieved“, und diesen Kurs hält er strikt ein. Nur zehn Seiten benötigt Linton in der Einführung, um alle benötigten Fachtermini (synodischer Monat, Deklination, Sonnenwende, etc.) zu erläutern und den Leser dadurch einzustimmen. Dann beginnt die Reise mit den Beiträgen der babylonischen Astronomie, über die wir durch die Arbeiten von Neugebauer und seiner Schule an der Brown University erstaunlich viel wissen³. Dann folgt eine Beschreibung und Diskussion der klassichen griechischen Astronomie. Jeder, der sich wie ich durch Arthur Koestlers Buch The Sleepwalkers⁴ angezogen fühlte und dort zum ersten Mal lernte, dass selbst das Tycho Brahesche Weltsystem bereits als Modell den Griechen bekannt war, wird auch hier auf seine Kosten kommen, allerdings in einer im Gegensatz zu Koestler wissenschaftlich stets streng begründeten Weise. Die Planetentheorien (wozu ich auch die Theorie der Bewegung von Mond und Sonne zähle) stehen im Vordergrund der Diskussion und die Theorien des Eudoxus, Aristarchus, Apollonius und Hipparchus, die schließlich in Ptolemäus’ Almagest münden, erfüllen den heutigen Leser immer wieder mit ungläubigem Staunen – es gab schließlich noch keine Teleskope! Das Ptolemäische Weltsystem erfährt besondere Aufmerksamkeit, hat es doch bis weit in das 16te Jahrhundert hinein gewirkt. Seine Mechanismen werden detailiert erläutert und ein Abschnitt ist der Trigonometrie gewidmet, die Ptolemäus seinen astronomischen Ausführungen vorangestellt hatte.

Als ein Kleinod kann ein Kapitel über die Astronomie der Inder und Araber bezeichnet werden. Auch hier beschränkt sich Linton nicht auf das Erzählen, sondern er erklärt die geozentrischen Weltsysteme, die außerhalb unserer westlichen Kultur entwickelt wurden. Mit der Entwicklung von Klöstern und der Scholastik beginnt dann wieder das Interesse an Astronomie im Westen. Über Peurbach und Regiomontanus führt der Weg zu Kopernikus, dessen De Revolutionibus zu den Meilensteinen der Astronomie zählt⁵. Immer wieder erstaunlich ist die hohe Komplexität des Kopernikanischen Systems, in dem die Anzahl von Epizykeln im Vergleich zum geozentrischen System des Ptolemäus etwa verdoppelt werden musste, um eine Übereinstimmung mit den damals verfügbaren Beobachtungen sicherzustellen. Es folgen Beschreibungen der Arbeiten und Theorien von Tycho Brahe, Kepler und Galilei. Wie im Rest des Buches auch gelingt es Linton in spannender Weise, die wissenschaftlichen Leistungen der Protagonisten mit ihren Lebensbeschreibungen zu verknüpfen. In natürlicher Weise schließt sich Newton an, der mit seinem Gravitationsgesetz und einer Mondtheorie wesentliche nach-Galileische Beiträge zur Astronomie geleistet hat. Mit der nun vorhandenen Differential- und Integralrechnung macht auch die Astronomie enorme Fortschritte: Clairaut, Euler, d’Alembert, Lagrange sind hier die hervorstechenden Namen. In wissenschaftlicher Hinsicht geht es in dieser Zeit um verbesserte Mondtheorien, Theorien der Bewegung von Kometen, das genaue Aussehen der Erde, das Verständnis der Abweichungen der mittleren Bahnen von Saturn und Jupiter und die Frage nach der Stabilität des Sonnensystems in Form des Dreikörperproblems gewinnt nun an Aufmerksamkeit. Fragen nach den Abständen der Planeten im Sonnensystem werden aufgeworfen; das Titius-Bode-Gesetz gewinnt Anhänger und gibt ersten Anlass, nach weiteren Planeten zu suchen. Gauß findet am Übergang vom 18ten zum 19ten Jahhrundert den Planetoiden Ceres rein rechnerisch aus seiner Methode der Bahnbestimmung – die rechnende Astronomie wird als Wissenschaft geboren. Die Methoden zur Bahnberechnung werden so weit verfeinert, dass Störungen in Planetenbahnen als Vorhandensein weiterer Planeten gedeutet werden können – Uranus, Neptun und Pluto sind schließlich gefunden worden.

Unter dem Titel „New Methods“ wendet sich Linton dann der Hamilton-Jacobi-Theorie und der Störungsrechnung im 19ten Jahrhundert zu. Charles Delaunay legt eine algebraische Mondtheorie vor und Poincaré betritt die Bühne mit seiner spektakulären (und erst einmal falschen) Behandlung des Dreikörperproblems, aus dessen Korrektur dann eine ganz neue Forschungsrichtung innerhalb der Mathematik – die nichtlineare Dynamik – entstand. Das letzte Kapitel ist der Relativitätstheorie gewidmet, mit deren Hilfe sich die Anomalitäten in der Perihelbewegung des Merkurs erklären ließen. Die Wirkung der Sonnengravitation ist im Fall des Merkurs als sonnennächstem Planeten groß. Das Phänomen suchte nach einer Erklärung und Einstein suchte nach einem Paradigma für seine allgemeine Relativitätstheorie, voilà!

Lintons Buch ist ein fantastischer Reisebegleiter durch die Astronomiegeschichte – spannend, informativ und bis ins Detail genau. Egal, ob man sich für Astronomiegeschichte im Einzelnen interessiert oder ob man nach einem Blick an den nächtlichen Sternenhimmel gerne mal episodenhaft schmökern möchte, dieses Buch gehört einfach in greifbare Nähe auf jedes Bücherregal.

¹ A. Pannekoek – A History of Astronomy. (George Allen & Unwin 1961)
² J.L.E. Dreyer – History of the Planetary Systems from Thales to Kepler. (Cambridge University Press 1906)
³ Dem Springer Verlag ist nicht genug zu danken, dass er 2006 Otto Neugebauers dreibändiges Werk A History of Ancient Mathematical Astronomy wieder nachgedruckt hat, über das ich an dieser Stelle demnächst genauer berichten werde.
⁴ A. Koestler – The Sleepwalkers. (Hutchinson 1959)
⁵ N.M. Swerdlow, O. Neugebauer – Mathematical Astronomy in Copernicus’s De Revolutionibus. (Springer Verlag 1984) enthält in zwei Bänden eine wunderbare Analyse der Mathematik hinter der Astronomie des Kopernikus, ist aber schon seit längerem nicht mehr im Druck.

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2007, Band 54, Heft 1, S. 126
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags