Leseecke

Geometrie und Billard

Serge Tabachnikov
Springer Spektrum; Auflage: 2013 (9. April 2013), 24,99 €

ISBN-10: 3642319246
ISBN-13: 978-3642319242

Von einer lohnenswerten Einführung in ein Teilgebiet der Mathematik erwartet man natürlich einerseits die Vorstellung der wichtigsten Resultate des Gebiets, andererseits aber auch einen Überblick über die Entstehungsgeschichte einzelner Resultate und ihren Einfluss auf benachbarte Forschungsrichtungen. Das vorliegende Buch gibt eine solche, sehr gelungene, Einführung in die Theorie des mathematischen Billards. Was sich im ersten Moment vielleicht nach bloßem intellektuellen Zeitvertreib anhört, ist tatsächlich ein vielseitiges Wissenschaftsgebiet, in dessen Zentrum das Studium der „Bewegung eines Massepunktes in einem Gebiet, an dessen Rand der Massepunkt elastisch reflektiert wird“ steht. Solche Untersuchungen beziehen gleich mehrere mathematische Bereiche mit ein; zum Beispiel die Geometrie, dynamische Systeme, die Topologie und die Zahlentheorie. Ebenso stark sind die Verbindungen des Billards zur Physik, speziell zur Hamiltonschen Mechanik und zur geometrischen Optik.

Die Betonung in der vorliegenden Darstellung liegt auf den geometrischen Aspekten des Billards und richtet sich sowohl an interessierte fortgeschrittene Studierende der Mathematik als auch an ausgebildete Mathematiker, die Freude an Geometrie haben. Neben einer beträchtlichen Zahl von Exkursen zu benachbarten Problemstellungen regen eine große Anzahl von Übungsaufgaben zum Nachdenken an und machen Lust sich eingehender mit Billard zu beschäftigen.

Die Einführung ins mathematische Billard beginnt mit einer Motivation der Problemstellung durch Fragen aus der Mechanik und der Optik. Erste Exkurse befassen sich dabei mit dem Brechungsgesetz von Snellius, dem Huygensschen Prinzip und der Brachistochrone. Weiter geht es mit Untersuchungen des Billards im Kreis und im Quadrat. Hier werden schnell Verbindungen zur Theorie der Gleichverteilung hergestellt und das Benfordsche Gesetz über Ziffernverteilung besprochen. Das dritte Kapitel stellt einen Bezug zur klassischen Integralgeometrie her. Hier werden unter anderem Croftons berühmte Formel zur Berechnung der Länge einer Kurve, sowie die Isoperimetrische Ungleichung in der Ebene bewiesen. Die verwendeten Techniken erfordern dabei vom Leser ein solides mathematisches Grundwissen aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Einer der Exkurse des dritten Kapitels gibt eine kurze Einführung in das Vierte Hilbertsche Problem und dessen Lösung.

Die Kapitel 4 bis 7 sind den zentralen Fragestellungen des Billards in Kegelschnitten, Quadriken und Polygonen gewidmet: der Existenz periodischer Orbits und ihrer Stabilität sowie dem asymptotischen Verhalten spezieller Orbits. Des weiteren wird die Existenz und Eindeutigkeit von Kaustiken ausführlich besprochen. Dabei handelt es sich um Kurven im Inneren eines Billardgebiets mit folgender Eigenschaft: Ist ein Abschnitt einer Billardbahn tangential zur Kurve, so gilt dies auch für jeden reflektierten Abschnitt. Die Exkurse in diesen Kapiteln führen den Leser über den Schließungssatz von Poncelet zu integrablen Systemen, von Evoluten und Evolventen zu einer mathematischen Theorie von Regenbögen und dem Vierscheitelsatz sowie vom Poincaréschen Wiederkehrsatz zum Satz von Gauß–Bonnet. Kurze Einführungen in die Konfigurationssätze der projektiven Geometrie, die Aubry-Mather-Theorie und die Morsetheorie runden diesen zentralen Teil des Buches ab.

Die letzten beiden Kapitel sind dem chaotischen Billard, einem technisch anspruchsvollen Teilgebiet der hyperbolischen Dynamik mit Bezügen zur Ergodentheorie, und dem dualen Billard gewidmet. Bei Letzterem handelt es sich um ein zeitdiskretes dynamisches System, bei dem die Bewegung außerhalb des Billardtisches stattfindet und die Trajektorie eines Punktes durch Spiegelung an einer Tangentialgeraden bestimmt ist.

Zusammenfassend gibt dieses Buch einen tiefen Einblick in die faszinierende Welt des mathematischen Billards und in die verschiedensten Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik und Physik. Das Buch ist sicher hervorragend als Grundlage für eine Vorlesung über fortgeschrittene Kapitel der Geometrie geeignet, und ich möchte es daher Geometrie interessierten Mathematikerinnen und Mathematikern wärmstens ans Herz legen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2013, Band 60, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Franz Schuster (Wien)

Mathematik in der Biologie

Erich Bohl
Springer-Verlag 2001, 16,95 €

ISBN: 3540206647

Waren bisher Bücher über Mathematik für Biologen betitelt mit "Mathematik für Biologen", so konnte man sicher sein, ein Mathematik-Lehrbuch auf mathematisch einfachem Niveau, gelegentlich gespickt mit Beispielen aus der Biologie vor sich zu haben. Sehr zum Verdruss der Biologie-Studenten. Nun heißt das neueste Buch auf dem Markt "Mathematik in der Biologie". "In" der Biologie. Die für die Biostudenten vorgesehene Mathematik ist flankiert von hervorragenden Beispielen, die ein Standardmathematiker oftmals nicht willens ist, sich vor Beginn seiner Veranstaltung selber herauszusuchen. Insofern ist das Buch eine unglaubliche Bereicherung auf dem Mathe-Biobuchmarkt. Beispiele werden zu Hilfe genommen, um endlich den Sinn verschiedener Methoden zu beleuchten. Beispielsweise werden Funktionen als "Modelle" eingeführt, der Begriff der Ableitung als "Veränderung". Wie lange musste man bisher in Lehrbüchern danach suchen? Ich freue mich jedenfalls, dass meine Studenten mit diesem Buch die Möglichkeit haben, diesem Erklärungszugang nicht nur in einer Vorlesung zu begegnen, sondern ihn auch in einem Springer-Lehrbuch nachlesen zu können. Insofern ist das Buch als Vorlesungsbegleitung gut geeignet und zu empfehlen. Allerdings nicht für diejenigen, die der Mathematik schon immer skeptisch gegenüberstanden oder sie gar aus einem Buch heraus verstehen wollen. Meine Studenten, die das Buch bewerten sollten, kamen zu ähnlich kritischen Urteilen wie über die anderen bekannten Bücher. Sie argumentierten, im Grunde handele es sich um ein Buch für Mathematiker mit Interesse an Anwendungen in der Biologie. Woran liegt das? Wenn der "Kunde" im Mittelpunkt stehen soll, muss sich ein Buch an den Bedürfnissen und Wünschen des Kunden orientieren. Betrachtet man die Angebotsseite, so erweitert das vorliegenden Buch die Bandbreite zwar zweifelsohne. Fragt man jedoch nach den Bedürfnissen der Studenten, dann nicht. Meiner Ansicht nach wollen und brauchen Biostudenten einen induktiven Zugang zur Mathematik. Sicher, dieser stellt alles in der Mathematik erst einmal grundsätzlich in Frage und damit auch den Mathedozenten. Fachlich kann das eine große Herausforderung sein. Wie kann nun solch ein Buch noch besser werden? Eine induktive, Fragen provozierende und zugegebenermaßen wesentlich längere, ausführlichere Darstellungsweise wäre ein aus mathematischer Sicht vollkommen untypischer Lehrbuchstil. Aber letztlich soll es ja ein Buch für BIOLOGEN sein. Vermutlich würde so eines weggehen "wie warme Semmeln". Heißen könnte es dann "Mathematik AUS der Biologie". Guten Appetit.

(Rezension: Harald Nusser)

Modelling Extremal Events for Insurance and Finance

P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch
Springer Verlag - Series: Stochastic Modelling and Applied Probability, Vol. 33, 2003, 4. Aufl., 648 Seiten, 74,85 €

ISBN:3-540-60931-8

Dieses Buch ist ein Schatz, wenn ein Schatz etwas ist, nachdem viele suchen: Entstanden aus der Notwendigkeit, die Lücke eines Referenzwerks zu schließen, welches das Thema "Extreme Events" über die beiden Bereiche Versicherung und Finanzen angeht, ist es auch als allgemeiner Zugang zum Thema gedacht. Zwar gibt es in nahezu allen Disziplinen mittlerweile Ansätze zur Analyse extremer Ereignisse - siehe auch die Rezension zu S. Albeverio, Jentsch und Kantz (Hrsg.), Extreme Events in Nature and Society -, aber die finanz- und versicherungsmathematischen Anwendungen sind bereits sehr weit entwickelt. Daher der Bedarf an einem solchen Übersichtswerk.
Als ein solches Übersichtswerk hat das Buch Folgendes zu bieten: Erstens, einen nützlichen Leitfaden durch das Buch und seine verwendeten Methoden und Modelle mit ihren verwendeten Verteilungen und stochastischen Prozessen. Zweitens, ein grundlegendes Kapitel zur Risikotheorie und eines zur Theorie von Summen unabhängiger Zufallsvariablen. Drittens, eine Einführung in die Extremwerttheorie über Maximum und Statistik höherer Ordnungen. Viertens, einen Zugang zu extremen Ereignissen über Punktprozesse, also Zufallsverteilungen von Punkten im Raum. Fünftens (und zwar nachdem die wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden entwickelt worden sind) einen statistischen Ansatz: Wie schlagen sich Extremwerte konkret in den Daten nieder? Ergänzt wird dies durch eine Ein- (und Weiter-)führung in Zeitreihenanalyse (großer Fluktuationen).
Schließlich endet das Buch mit einem sehr interessanten Kapitel über spezielle Themen, das sich zum Beispiel mit dem Extremindex (einem Abhängigkeitsmaß für Extremereignisse), dem "Wann?" und "Warum?" von Ruin-Pfaden, dem längsten "Run", Rückversicherungsverträgen, stabilen Prozessen, und Selbstähnlichkeit (d.h. Skaleninvarianz von Verteilungen) beschäftigt. Dieses letzte Kapitel ist wegen der Kürze und dem Ideenreichtum einerseits ein Dessert für die vorangegangenen Hauptgerichte andererseits eine Vorspeise für die damit verbundenen neuen Ansätze auch jenseits dieses wunderbaren Buches. Und wie es sich für ein Übersichtswerk gehört, findet man neben einem ausführlichen Anhang zu ein paar Grundlagen hier nahezu die gesamte relevante Literatur zum Thema.
Derjenige Leser, der auf den Geschmack extremer Ereignisse gekommen ist, wird dieses Buch als eine erschöpfende Mahlzeit genießen. Dem, der sich noch in der Annäherung an dieses Thema befindet, wird einige unwiderstehliche Häppchen finden. Probieren Sie also selbst!

(Rezension: Mark Krüger)

Pasta und Design
Formen und Formeln zum Genießen

George L. Legendre
Springer Spektrum 2012, 208 Seiten, 24,95 €

ISBN 10: 3827429781
ISBN 13: 978-3827429780

Ja, ich liebe Pasta. Und ja: Man sieht es mir an! Wir Deutschen haben in Sachen Pasta große Fortschritte gemacht. In meiner Kindheit waren es noch „Nudeln“ und sie wurden mit „Frischei“ und weißem Mehl zubereitet, so dass meine Erinnerung an sie nicht die beste ist: Meistens waren sie labberig und nur mit großen Mengen Ketchup erträglich. Außerdem gab es (in meiner Erinnerung) nur drei oder vier verschiedene Sorten. Dann irgendwann eroberten die italienischen Hartweizennudeln – das, was ich als Pasta bezeichnen möchte – auch den deutschen Markt und mit ihnen zogen verschiedene großartige Sorten von Pesto ein, die heute nicht mehr wegzudenken sind, auch wenn die Qualität der Supermarktpesto fragwürdig ist. Wer nun aber denkt, über Pasta sei alles gesagt, den belehrt das wunderbare Buch von George Legendre eines besseren! Die Zutatenliste auf dem Buchrücken verrät es schon: „Hartweizen, Eier, Tradition, Design, Textur, Mathematik, Eleganz, Exzentrik, Genie, Besessenheit, Schönheit“ gehören in den Legendre’schen Topf. Kurz aufkochen, umrühren und dann ziehen lassen, und schon kann man dieses Buch genießen.

Legendre ist ein Designer und Architekt, der als Chef eines Architekturunternehmens in London in dem Spannungsfeld zwischen Architektur und Mathematik arbeitet. Nach einem Vorwort von Paolo Antonelli („Fertig mit dem Design, Liebling?“) folgt ein kurzes Essay des Autors zum Thema „Über die Quintessenz der Nudel“. Um die kaum noch überschaubare Vielzahl von Nudelformen zu ordnen, bedient sich Legendre an den Methoden der Phylogenetik und führt alle Nudelformen auf 92 Grundtypen zurück, die morphologisch verschieden sind. Das führt zu einem „Stammbaum der Familie Nudel“, der mir einzigartig zu sein scheint. Dann noch eine kurze „Gebrauchsanweisung“ für die „Nudel-Architektur“. Hier wird der gesamte folgende Aufbau klar. Jede Nudelform nimmt eine Doppelseite ein, wovon eine Seite ein Photo der betreffenden Nudelsorte enthält. Auf der anderen Seite, dem Photo gegenüber, ist nun das eigentlich wichtige: die Mathematik! In einem kurzen Text wird die betrachtete Nudelsorte beschrieben und etymologisch charakterisiert und es wird ihr eine Buchstabenkombination zugeordnet, so dass man sie im Stammbaum leicht finden kann. Dann kommt ihr „genetischer Code“, bestehend aus einer Anzahl von Gleichungen. Im einfachsten Fall gibt es drei Gleichungen; je eine für Länge, Breite und Höhe. Diese Größen werden in Abhängigkeit von Wertepaaren (i,j) berechnet, so dass sich zu jedem Wertepaar ein Punkt auf der Oberfläche der Nudel ergibt. Etwas kompliziertere Nudelformen wie etwa die Fussili Lunghi Bucati auf Seite 84 benötigen 6 Gleichungen, da die Form der Nudel von zwei verschiedenen Kurvenscharen gebildet wird. Der Wertebereich der (i, j ) wird jeweils angegeben. Das Ergebnis des „genetischen Codes“, also der Gleichungen, wird gezeigt und Quer- und/oder Längsschnitte dazu.

Die Nudeln erscheinen in alphabetischer Reihenfolge; von Acini die Pepe bis zu Ziti. Als kurzer Anhang ist dem Buch eine ausklappbare Karte mit dem Titel „Familientreffen“ mitgegeben, der die Nudelsorten in ihrer verwandschaftlichen Beziehung zueinander zeigt, mich aber eher verwirrt hat.

Das Buch lädt geradezu dazu ein, mit einem Programm wie Mathematica oder Maple zu spielen und sich die Nudeln einmal selbst graphisch zu erzeugen. Als ich begann, das Buch zu lesen, gab es in der Presse erste Nachrichten über Fahradteile, die man aus einem 3-D-Drucker mit einem „rapid prototyping“-Verfahren gewonnen hat. Wie lange wird es wohl noch dauern, bis ich meine eigenen Nudeln mit Hilfe der im Buch angegebenen Gleichungen auf meinem eigenen 3-D-Nudeldrucker erzeugen kann? Bis dahin ist das Buch von Legendre kein Kochbuch – übrigens sind die Kochzeiten der Nudeln immer mit angegeben! – sondern ein wundervolles Buch zum Blättern für Mathematiker und Nichtmathematiker gleichermaßen. Man kann daraus etwas lernen oder sich einfach Appetit holen für eine Mahlzeit mit Pastasorten, die man vielleicht vorher mit ganz anderen Augen gesehen hat.

Es macht Freude, dieses Buch zur Hand zu nehmen. Der Verlag hat es hervorragend ausgestattet; das Papier ist dick und glänzend, die Photos „schön“ und dann auch noch zwischen zwei harten Deckeln sauber gebunden. Kennt man Pasta- und Mathematik-liebende liebe Menschen (und es gibt sicher nicht wenige!), dann eignet sich dieses schöne Buch ganz hervorragend als Geburtstagsgeschenk der besonderen Sorte.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar

Schlüsseltechnologie Mathematik
Einblicke in aktuelle Anwendungen der Mathematik

Hans Josef Pesch
B.G. Teubner Verlag, 2002, 185 Seiten, 22,90 €

ISBN: 351902389X

Warum Mathematik? Diese Frage ist das Leitmotiv des Buches. Und weil jeder sich oder anderen diese Frage irgendwann schon einmal gestellt hat (Mathematiker nicht ausgeschlossen), findet hier auch jeder eine entsprechende Antwort. Damit ist das Buch gleichermaßen für Mathematiker und Nicht-Mathematiker ein Gewinn.

Ausgehend von dem von Johann Bernoulli gestellten Problem, die Kurve kürzester Fallzeit zwischen zwei Punkten einer Ebene zu finden, das heute als Brachistochronenproblem bekannt ist, wird die Vielfalt der Anwendungen ausgebreitet: Simulation eines Luftkampfszenarios als Differentialspiel, optimale Notlandung eines Raumtransporters bei Triebwerkausfall über Bayreuth, Voyager-Flugbahnen, automatische Führung von Verkehrsflugzeugen, optimale Bahnplanung von Industrierobotern, Prozessführung chemischer Anlagen, Steuerungsprobleme in der Ökonomie, neue Krankonzepte sowie einige Anwendungen und Probleme numerischer Mathematik.

Der Schwerpunkt des Buches liegt im Bereich der durch die Ingenieurmathematik motivierten Numerik und mathematischen Modellierung, geht aber auch darüber hinaus. So liest sich das Buch als ein lebendiges Stück Mathematik, die zusätzlich durch einige Übungsaufgaben (und deren Lösungen) auf jeden Fall nicht zu kurz kommt. Viele farbige Abbildungen sowie ausführliche Anmerkungen und Literaturhinweise ermuntern, sich mit den Themen weiter zu beschäftigen.

Das Brachistochronenproblem beschäftigte übrigens bereits da Vinci und Galilei. Die Tatsache, dass sie es nicht lösen konnten, liegt daran, dass sie die Mathematik dazu noch nicht hatten. Das ist wohl das beste Argument für die "Schlüsseltechnologie" Mathematik: Erst mit der entsprechenden Mathematik lassen sich bislang für unlösbar gehaltene Probleme auch tatsächlich lösen.

(Rezension: Mark Krüger)