Leseecke

Mathematik und Technologie

Christiane Rousseau und Yvan Saint-Aubin
Springer Spektrum, 2012, xv + 609 Seiten, 214 Abbildungen

Paperback: 49,95 €
ISBN-10: 364230091X
ISBN-13: 978-3642300912

eBook: 36,99 €
ISBN: 978-3-642-30092-9

Mit der Frage Welchen Nutzen hat die Mathematik? beginnt das Vorwort dieses nützlichen und gut lesbaren Lehrbuchs. Beantwortet wird die Frage durch die ausführliche Behandlung von Themen mit allseits bekannten Stichworten wie etwa GPS, RSA, JPEG und Google.

Das ausführliche Inhaltsverzeichnis wird auf der Internetseite des Verlages zum Buch zur Verfügung gestellt ebenso wie das Vorwort und die weiteren 47 Seiten des ersten Kapitels über Positionsbestimmung auf der Erde und im Raum. Zu diesem und den im Internet vorgestellten weiteren Kapiteln über Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel, Friese und Mosaike, der DNA-Computer und Roboterbewegung gibt es jeweils zusätzliche Links zu Seiten mit den Überschriften Related Content, References, About this Chapter, Supplementary Material. Dazu einige Bemerkungen weiter unten.

Die weiteren Kapitel haben die Überschriften:
Skelette und Gammastrahlen-Radiochirurgie,
Fehlerkorrigierende Codes,
Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel,
Zufallszahlengeneratoren,
Google und der PageRank-Algorithmus,
Warum 44 100 Abtastungen pro Sekunde?,
Bildkompression: Iterierte Funktionensysteme,
Bildkompression: Der JPEG-Standard,
Der DNA-Computer,
Variationsrechnung,
Science Flashes.

Hier gibt es zu jedem der Kapitel einen Look Inside Link, über den dann die ersten beiden Seiten des Kapitels gelesen werden können.

Alle Kapitel beginnen mit einem kurzen inhaltlichen Abriss der Auflistung der mathematischen Voraussetzungen und einem Vorschlag zum zeitlichen Aufwand in einer Vorlesung. Danach folgt meist ein geschichtlicher Problemaufriss, dann die Bereitstellung mathematischer Grundlagen und schließlich die mathematische Behandlung; es folgen Aufgaben und Literaturhinweise. Die einzelnen Kapitel lassen sich unabhängig von einander behandeln. Durch diesen Aufbau ist es möglich den vorgestellten Stoff ganz unterschiedlich einzusetzen: in einer selbstständigen Vorlesung, als einzelne Kapitel je nach Anspruch resp. Vorkenntnissen bzw. Studienplan für Proseminare und Seminare. Einzelne Themen lassen sich ohne großen zusätzlichen Arbeitsaufwand in übliche Vorlesungen integrieren um die jeweilige Theorie mit aktuellen Anwendungen anzureichern. Nicht nur der Inhalt des Buches ist also nützlich, sondern auch seine Gestaltung. Das gilt ebenso bei der Lektüre von Interessierten, denn wer hat z.B. noch keine JPEG-Datei angesehen.

Das Buch ist entstanden aus Kursen, die die Autoren ab 2001 an der Universität von Montreal gehalten haben. Sie schreiben dazu auf Seite vi des Vorworts:
Das Hauptziel des Kurses besteht darin, den aktiven und lebendigen Charakter der Mathematik zu demonstrieren, ihre Allgegenwart bei der Entwicklung von Technologien aufzuzeigen und die Studenten und Oberschüler in Modellierungsprozesse einzuführen, die einen Weg zur Entwicklung verschiedener mathematischer Anwendungen darstellen.

Eine Seite weiter wird ausführlich das breite Spektrum der verwandten Mathematik dargelegt. Weiterhin wird im Vorwort überzeugend die Auswahl der Themen begründet und es werden Verwendungsvorschläge unterbreitet.

Erfreulich ist, dass der Übersetzer Manfred Stern den englischen Text an einigen Stellen an deutsche Gegebenheiten angepasst hat: etwa dadurch, dass die Tabelle 12.1. Frequencies of letters in Dickens’s Oliver Twist (p. 371) in der deutschen Fassung durch die Buchstabentabelle von Goethes Leiden des jungen Werthers ersetzt wird (S. 390). An anderen Stellen wäre es wünschenswert gewesen, etwa den Summationsindex i zu ersetzen, um unästhetische Formeln wie   e2i−1    zu vermeiden.

Selbst in der englischen Fassung des Buches wird die Überschrift des letzten Kapitels erläutert: This chapter presents a variety of Science Flashes, small self-contained subjects that can each be covered in an hour or two. Warum bleibt dann Science Flashes unübersetzt? (Miniaturen wäre ein sinngemäßer Vorschlag.) Das naked eye aus dem englischen Text wird auf Seite 415 zum unbewaffneten Auge. Würde bloßes Auge, wie im Duden-Oxford-Wörterbuch, nicht reichen? Die auf Seite 170 erwähnte Abbildung 5.3 ist auch in der englischen Fassung nicht auffindbar. Doch diese Anmerkungen gehören zu einigen Kleinigkeiten, die den Wert des Buches nicht mindern! Bei einem Werk von ca. 600 Seiten lassen sich immer noch individuelle Wünsche formulieren.

In der oben erwähnten Struktur Related Content, About this Chapter, Supplementary Material zu den Seiten der einzelnen Kapitel im Internet werden unter Related Content bzw. References auch einschlägige Bücher bzw. Zeitschriftenartikel mit Hinweisen angezeigt. Die Stelle Supplementary Material bleibt bisher wohl leer.

Wie die im Buch beschriebenen neuen Technologien – etwa zu Google – hier genutzt werden könnten, sei an einem auch sehr ästhetischen Beispiel verdeutlicht. Es beginnt mit Seite 70:

In der alten Stadt Alhambra, dem Sitz der maurischen Regierung von Granada im Süden des heutigen Spaniens, findet man erstaunlich viele Mosaike von überraschender Komplexität. Lange wurde darüber diskutiert, ob die Alhambra-Mosaike alle 17 kristallografischen Gruppen repräsentieren. Grünbaum, Grünbaum und Shephard [4] behaupten, dass das nicht der Fall ist, sondern dass nur 13 Gruppen repräsentiert sind. Sogar angesichts dieser negativen Antwort ist es eine natürliche Frage, ob sich die damaligen maurischen Künstler eines Klassifizierungssystems bewusst waren.

2006 erscheint von Branko Grünbaum in den Notices of the AMS der schöne und aktuellere Artikel What Symmetry Groups Are Present in the Alhambra? Die kontroverse Diskussion dauert immer noch an: Mit Google finden sich neuere Artikel im Netz, die zu belegen versuchen, dass 14 bzw. alle 17 Gruppen in den Mosaiken repräsentiert sind. (s. „B. Lynn Bodner: The Planar Crystallographic Groups Represented at the Alhambra, 2013“ und „Maria Francisca Blanco Blanco, Ana Lúcia Nogueira de Camargo Harris: Symmetry Groups in the Alhambra, 2011“)

Könnten solche von Lesern gefundene Hinweise auf publizierte Literatur nicht vom Verlag als Supplementary Material angegeben werden? Das wäre ein Wunsch des Rezensenten. Denn eine Schlussfolgerung im Kapitel über Zufallsgeneratoren lautet (S. 271): …eher zeigt die Gesamtsituation, dass die Forschung auf diesem Gebiet aktiv und nicht abgeschlossen ist. Dies trifft auch auf die meisten anderen Themen zu und könnte durch aktuelle Hinweise zusätzlich verdeutlicht werden.

2009 erschien jeweils bei Springer die ursprüngliche französische Fassung des Buches, 2008 die englische und nun 2012 die deutsche. Diese Fassung gibt es auch als eBook. Die englische Fassung wurde ausführlich im Zentralblatt für Mathematik (zbMATH) besprochen.

Dieses praktische, gut lesbare Buch hat eine weite Verbreitung verdient.

Rezension: Ralf Schaper, Kassel

Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen
Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn

Rainer Kaenders, Reinhard Schmidt
Springer Spektrum; Auflage: 2., erw. Aufl. 2014 (6. Mai 2014), 24,99 €

ISBN-10: 3658042214
ISBN-13: 978-3658042219

Es folgen die Rezensionen von: H. Weber und H. Stoppel

Die frei zugängliche Software Geogebra hat eine äußerst erfolgreiche Entwicklung hinter sich. Im Jahre 2005 erstmals ins Internet gestellt, gibt es sie inzwischen in über 50 Sprachen auf der ganzen Erde. Zu den Modulen der dynamischen Geometrie (in der Ebene), dem Funktionenplotter und der (numerischen) Algebra ist mit der Zeit noch eine Tabellenkalkulation und schließlich eine (symbolische) Computeralgebra (CAS) hinzugekommen. Zur Zeit laufen die Arbeiten an einer Implementation der Geometrie im Raum, die in der Version 5 veröffentlicht werden soll.

An den mathematischen Instituten dreier deutscher Universitäten gibt es inzwischen sogenannte Geogebra-Institute, die es sich zur Aufgabe gemacht haben, den sinnvollen Einsatz der Software GeoGebra im Unterricht zu fördern und zu optimieren. Das Kölner Institut ist für die Herausgabe dieses Buches verantwortlich. Von dessen Internetseite können alle im Buch besprochenen Applets heruntergeladen werden.

Als Einstiegskurs für den Geogebra-Anfänger ist dieses Buch nicht geeignet. (Wer dafür Hilfe sucht, kann im Internet viele Materialien finden, z. B. http://www.geogebra.org/book/intro-de.pdf). Hier hingegen soll – wie dem Untertitel zu entnehmen ist – ein „tieferes Mathematikverständnis“ gefördert werden. So werden denn auch in den zehn Kapiteln Beispiele vorgestellt, die nicht zum Standardinhalt des Mathematikunterrichts gehören.

Drei Kapitel sind der Geometrie bzw. Algebra der Mittelstufe zuzuordnen, drei weitere der Analysis und eines der Stochastik der Oberstufe. In einem weiteren wird ein Optimierungsproblem aus der Wirtschaftsmathematik („In welche Aktien soll ich investieren?“) behandelt – spannend, aber für den „normalen“ Unterricht in der Regel außerhalb des Zeitbudgets. Dasselbe gilt für die faszinierende Thematik von fraktaler Geometrie und Chaostheorie (Feigenbaum-Diagramm): Die vor 20 Jahren erschienenen Bücher von Peitgen u. a. (heute nur noch antiquarisch zu bekommen) sind die Grundlage für diesen Artikel mit vielen Materialien und Geogebra-Applets. Der letzte Abschnitt über Darstellung von Funktionen durch Nomogramme und Höhenlinien dürfte am weitesten von der Unterrichtspraxis entfernt sein. Ein wenig mehr über den Inhalt einiger Kapitel kann man in der Rezension der 1. Auflage dieses Buches nachlesen.

Das „tiefere Mathematikverständnis“ von schulmathematischen Inhalten ist für Studenten (insbesondere für das Lehramt) sehr zu empfehlen. Auch Lehrer finden hier interessante Varianten zu herkömmlichen Unterrichtsthemen. Für den alltäglichen Unterricht allerdings, der oft doch unter Zeitmangel leidet und zudem durch zentrale Abiturprüfungen ein Abweichen von den kanonisierten Inhalten nur schwer zulässt, dürften die meisten Vorschläge jedoch nicht unterrichtsrelevant werden.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Der Buchtitel des von Rainer Kaenders und Reinhard Schmidt herausgegebenen Buches stellt hohe Erwartungen an das Buch. Wie auf Seite 9 erwähnt, werden in „diesem Buch [...] Wege gesucht, die [...] neuen Möglichkeiten an ausgewählten Beispielen vorzuzeigen“.

Das Buch enthält Beispiele für den möglichen Einsatz von GeoGebra im Mathematikunterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei liegen in einzelnen Fällen sogar Beschreibungen von Unterrichtseinheiten inklusive Arbeitsblättern vor. Die Inhalte der Kapitel sind unterschiedlich nah an der Schulmathematik. Zu allen Kapiteln können die dort eingesetzten GeoGebra-Dateien von der Internetseite der GeoGebra-Instituts Köln/Bonn heruntergeladen werden, wodurch sich die einzelnen Kapitel gut durcharbeiten lassen, so dass die Inhalte sinnvoll im Unterricht eingesetzt werden können.

Auf Seite 1 des ersten Kapitels wird erwähnt, dass „das Programm zur Vertiefung des Mathematikverständnisses von Schülerinnen, Schülern oder anderen Mathematiklernenden einzusetzen“ ist. Anschließend wird anhand eines Beispiels erklärt, wie sich die mathematischen Verständnisse mit GeoGebra vertiefen lassen. Dabei wird insbesondere deutlich, dass gemeint ist, mit Hilfe von GeoGebra mehr Mathematik verstehen zu können, wobei der Einsatz von GeoGebra nicht zu umfangreich sein sollte. Denn nach einer Beobachtung auf Seite 6 handelt es sich bei „diesem Schülerergebnis [...] um alles andere als eine mathematische Gewissheit, aber es legt [...]“ eine „Vermutung nahe“. Dieses Konzept wird zu einem großen Teil umgesetzt, wie es hier an einigen Beispielen beschrieben wird.

In Kapitel 2 wird sehr praxisnah beschrieben, wie GeoGebra in Verbindung mit Konstruktionen sinnvoll verwendet werden kann. Hier ist die hohe praktische Erfahrung des Autors erkennbar, der in Abschnitt 2.3 deutlich macht, dass sich Fertigkeiten wie das Zeichnen nicht durch den Einsatz von Dynamischer Geometrie Software (DGS) ersetzen lassen. In Kapitel 4 werden mit GeoGebra Nullstellen quadratischer Funktionen aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet. Neben den schon sehr bekannten Weisen wird mit Hilfe von GeoGebra die Geometrie der quadratischen Ergänzung untersucht, was sich bei der Behandlung von Polynomen zweiten Grades und quadratischer Funktionen in der Sekundarstufe I anwenden lässt. Mit der Methode von Lill wird eine weitere Anwendungsmöglichkeit von GeoGebra in der Sekundarstufe II beschrieben, bei der neben ganzrationalen Funktionen auch die Trigonometrie ihre Anwendung findet.

Auf Polynome wird auch in Kapitel 5 eingegangen. Hier befindet sich eine interessante Kombination aus Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei der Zufallspunkte in Verbindung mit quadratischen Funktionen gebracht werden. Am Ende des Kapitels (in Abschnitt 5.3) befindet sich ein Ausblick, der sich nicht zuletzt an Studentinnen und Studenten sowie Lehrerinnen und Lehrer wendet, die ihr Hintergrundwissen vertiefen möchten. Hierbei wird neben GeoGebra eine weitere Software eingesetzt, um dreidimensionale Zeichnungen machen zu können. (Mit der Beta-Version von GeoGebra 5 lassen sich auch 3-d-Graphen zeichnen. Sie ist jedoch noch nicht in einer Endfassung.)

Kapitel 6 zeigt eine Anwendung von GeoGebra in der Stochastik. Zu der hier beschriebenen Unterrichtsreihe sind in einem Anhang auch Aufgaben enthalten, in denen sich Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II mit Tests und Schätzungen beschäftigen sollen.

Verschiedene Ableitungsregeln werden in Kapitel 7 mit Hilfe von GeoGebra behandelt, wobei man sich nicht auf ganzrationale Funktionen beschränkt hat, sondern beispielsweise auch die Exponentialfunktion untersucht wird. Hier wird das Verständnis wie in Kapitel 1 und oben beschrieben durch Unterstützung durch GeoGebra erreicht. Neben den hier beschriebenen Kapiteln gibt es weitere zu den Themen des Einsatzes von GeoGebra beim Aufstellen von Vermutungen und Lösen geometrischer Probleme, zur Eulerschen Zahl, zur Iteration und zu alternativen Bildern zu Funktionen mit Hilfe von Nomogrammen und Höhenlinien.

Insgesamt lässt sich das Buch sinnvoll von Lehrerinnen und Lehrern der Mathematik nutzen, um Ideen und teilweise auch Material für den Einsatz von GeoGebra im Mathematikunterricht der Sekundarstufen I und II zu haben. Es lässt sich auch zur Erweiterung eigener Kenntnisse und Anwendungen von DGS in der Lehre verwenden und kann daher auch von Studentinnen und Studenten der Mathematik des Lehramts sinnvoll genutzt werden.

Rezension: Hannes Stoppel (Bochum) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 50 - März 2012

Statistik für Anwender

Ulrich Kockelkorn
Spektrum Akademischer Verlag 2012, 532 Seiten, 34,95 €

ISBN-10: 3827422949
ISBN-13: 978-3827422941

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik haben eine immer noch zunehmende Bedeutung in der Mathematik und den meisten Natur-, Lebens- und Geisteswissenschaften. Leider sind diese Gebiete für Anfänger schwer zugänglich (der Rezensent blickt auf eine jahrzehntelange Erfahrung mit Einführungsvorlesungen zurück).

Die Konzepte – wie etwa Wahrscheinlichkeit, Schätzer, Konfidenzintervall, ... – sind leicht zu erklären. Wenn man es aber mathematisch präzise machen möchte, wird die Geduld von Anfängern auf eine harte Probe gestellt: Was sind sigma-Algebren, wie sind Borelmengen definiert, was ist ein statistisches Modell, ...?

Im vorliegenden Fall geht es um „Statistik für Anwender“. Da kann man den mathematischen Hintergrund weitgehend ausblenden und sich überwiegend auf Ideen und Verfahren konzentrieren. Das Ergebnis ist beeindruckend. Wirklich werden die wichtigsten Aspekte von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik so dargestellt, dass auch Leser mit einem eher geringen mathematischen Hintergrund alles Wesentliche verstehen können. Hier die Kapitelüberschriften:

• Deskriptive Statistik
• Wahrscheinlichkeit
• Zufällige Variable
• Spezielle Verteilungen
• Schätztheorie
• Testtheorie
• Lineare Regression
• Varianzanalyse
• Diskriminanz- und Clusteranalyse
• Bayesianische Statistik.

Es gibt unzählige Beispiele, Bilder und Tabellen, und wer sich durch das Buch hindurchgearbeitet hat, hat einen wirklich guten Überblick. Der Autor bereitet das Material geschickt auf, die Darstellung ist sehr ansprechend.

Mein Resumee: Ich empfehle das Buch allen, die sich einen Überblick verschaffen wollen und bereit sind, darauf zu verzichten zu lernen, woran es denn eigentlich liegt, dass die Verfahren funktionieren. Für Mathematiker bleiben zu viele Lücken. Die sollten zusätzlich die für sie geschriebenen Standardwerke (etwa die Bücher von Georgii oder Meintrup-Schäffler) durcharbeiten.

Rezension: E. Behrends, FU Berlin

Statistik und Intuition
Alltagsbeispiele kritisch hinterfragt

Katharina Schüler
Springer Spektrum Verlag (14. Januar 2016)
Taschenbuch, 312 Seiten, 14,99 €

ISBN-10: 3662478471
ISBN-13: 978-3662478479

Eine schier unglaubliche Anzahl von statistischen Daten und Interpretationen beschreibt und durchleuchtet die Autorin in ihrem Buch und es gelingt ihr hervorragend die Problematik der unkritischen Rezeption von Statistiken deutlich zu machen.

Auf rund 230 Seiten werden prägnante Beispiele aus den fünf Bereichen Politik (u. a. Steuerschätzungen, Arbeitslosigkeit), Wirtschaft (u. a. Armutsberichte), Wissen und Technik (u. a. Pünktlichkeit bei der Deutschen Bahn, Klimaschutzkosten), Gesundheit (u. a. Schweinegrippe, EHEC usw.) und Gesellschaft (u. a. Statistik beim Fußball, „Edathy-Theorem“ und bedingte Wahrscheinlichkeiten) untersucht und auf ihre Aussagekraft analysiert. Häufig weist die Autorin nach, dass die Schlussfolgerungen aus Daten fragwürdig oder gar unzulässig sind. Dabei geht es nur selten um relativ einfache handwerkliche Fehler, die auch ein Laie noch erkennen kann.

Einige Beispiele sollen zeigen, wie schwierig es – auch für einen sehr interessierten und statistisch vorgebildeten – Zeitungsleser ist, Zusammenhänge richtig einzuordnen.

Das Unterkapitel 2.2 handelt von statistischen Daten zur Arbeitslosigkeit. Untersucht werden zunächst  „Arbeitslosenquoten“ (bei denen es ja nur um einfache Prozentrechnung geht). Warum man hier in Zeitungsberichten unterschiedliche Zahlen finden kann, liegt daran, dass z. B. die Begriffe „arbeitslos“ und „erwerbslos“ nicht dasselbe bedeuten und außerdem vom Statistischen Bundesamt und der Bundesagentur für Arbeit unterschiedliche Definitionen verwendet werden. Aber nicht nur der Zähler des Quotienten ist also nicht eindeutig festgelegt, auch für den Nenner (die Anzahl aller Erwerbspersonen) existieren unterschiedliche Angaben und Bezugsgrößen. Internationale Vergleiche, etwa innerhalb der EU, sind zudem problematisch, da auch die Länder noch unterschiedliche Definitionen verwenden!

Das Unterkapitel 2.5 hat Korruptionsindizes zum Thema. Hier wird von der Autorin deutlich gemacht, dass die für einen „normalen“ Zeitungsleser so klar scheinende Aussagekraft von Länderranglisten gar nicht so klar ist. Aber selbst wenn dieser hier weitere Quellen hinzuziehen würde, dürfte die Analyse für ihn nicht einfach sein – es sei denn, er hat doch einige statistische Kenntnisse. Denn er müsste dazu wissen, dass Methoden der Korrelationsrechnung zur Erfassung solcher Ranglisten benutzt werden und dass für die Punkte in der Rangliste Konfidenzintervalle verwendet werden und dass – laut Autorin – weitere methodische Fehler enthalten sind.

Beide Beispiele machen wohl deutlich, dass man doch sehr vorsichtig mit den gern und überall in den Medien angeführten Statistiken sein muss. Allerdings zeigen nicht nur diese beiden Beispiele aus dem Buch, dass selbst der verständige Konsument solcher statistischer Daten, Tabellen und Grafiken gar nicht in der Lage ist, diese zu hinterfragen. Auch der Autorin ist dies meist nur deshalb möglich, weil sie die den Veröffentlichungen zugrunde liegenden Arbeiten – und manchmal auch noch weitere zusätzliche – studiert hat und oft erst dadurch einschätzen kann, ob die Datengrundlage und die darauf beruhenden Interpretationen richtig sind. Einmal resümiert die Autorin:  „… zeigt auch, wie einfach es manchmal ist, die Wahrheit herauszufinden, indem man nicht nur Pressemitteilungen liest, sondern auch die Originalstudien“ (S. 102). Dem mag man gerne zustimmen – aber an der Realität dürfte das wohl vorbei gehen. Hier in diesem Buch wird am Ende eines jeden Abschnitts „zum Nachlesen“ eine kleine Liste von Originalstudien angegeben (die aber meist nicht als Internetquellen zitiert sind).

Dieses Buch kann nichtsdestotrotz sehr dabei helfen, angemessenes statistisches Denken zu fördern. So werden mehrfach die wichtigen Begriffe Hypothese, Test und statistische Signifikanz kritisch analysiert. Die Autorin formuliert sehr prägnant und einleuchtend, deshalb seien hier einige Zitate angeführt: „Wer erst in die Daten blickt und danach seine Hypothesen aufstellt, kann damit nichts beweisen. Nur wenn in neuen Daten dieselben Muster auftauchen, sind die Hypothesen bestätigt.“ (S. 66)
„Passende Zahlen auszusuchen und unpassende zu verschweigen mag in der Politik akzeptiert sein, aber ein wissenschaftliches Vorgehen ist es nicht.“ (S. 69)
„Signifikanz spielt für die empirische Forschung eine erhebliche Rolle. Experimentell arbeitende Wissenschaftler stellen Forschungshypothesen auf. Dann erheben oder messen sie Daten und testen auf Signifikanz. ... Nur dann ist eine konfirmatorische, eine Hypothesen bestätigende Analyse möglich, und die Ergebnisse sind belastbar. Im Gegensatz dazu steht die explorative, Hypothesen generierende Analyse. Sie sucht in Daten nach Mustern, die zuvor noch nicht beschrieben wurden. Auch das ist erlaubt, aber das Problem dabei ist: Wer lange genug sucht, findet immer irgendetwas.“ (S. 109/110)

Auf ca. 50 Seiten (im letzten Kapitel) stellt die Autorin das „Handwerkszeug“ zusammen, mit dem Statistiken allgemein erstellt werden und hier von ihr überprüft wurden. Dabei geht es von mehr elementaren Kenntnissen wie Skalentypen, Prozenten, Mittelwerten und Streuungsmaßen weiter über statistische Tests und Konfidenzintervalle bis hin zu Zeitreihen, Korrelation und Regression. Diese grundlegenden statistischen Begriffe und Verfahren werden kurz und klar und damit gut verständlich dargestellt. Wer die im Buch behandelten Fallanalysen besser verstehen will, dem sei empfohlen, mit dem Studium dieses Kapitels zu beginnen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Wie man mathematisch denkt
Eine Einführung in die mathematische Arbeitstechnik für Studienanfänger

Kevin Houston
Springer Spektrum 2012, XII + 323 Seiten, 24,95 €

ISBN 10: 3827429978
ISBN 13: 978-3827429971

Es folgen die Rezensionen von: Harald Löwe und Dirk Werner

„Ich will Ihnen beibringen, wie ein Mathematiker zu denken [...]“ lautet das Ziel Kevin Houstons. Das klingt vertraut, haben doch Bücher, die die immer größer werdende Kluft zwischen Schul- und Hochschulmathematik überbrücken sollen, derzeit Hochkonjunktur. Und doch ist das vorliegende Buch anders als der Durchschnitt dieses Genres. Denn anstelle mathematischer Inhalte steht tatsächlich das mathematische Denken im Vordergrund. Der Leser soll lernen, Mathematik zu lesen und zu verstehen, mathematische Probleme zu lösen und seine Lösungen aufzuschreiben. Hierfür könnte man das Wort „Kompetenzerwerb“ mit Fug und Recht verwenden, wäre eben dieses Wort nicht derart unsäglich vorbelastet. Daher schreiben wir im Folgenden lieber „Training des mathematischen Denkens“.

Nun begeht Houston an keiner Stelle den groben (aber derzeit recht weit verbreiteten) Fehler, ein solches Training losgelöst von mathematischen Inhalten zu sehen. Ganz im Gegenteil beginnt er mit den Worten: „Zum mathematischen Denken benötigt man Mathematik, über die man nachdenken kann.“ – wie wahr! Das erste Kapitel beschäftigt sich folgerichtig mit Mengen und Funktionen, damit ein wenig Mathematik zum Nachdenken verlässlich zur Verfügung steht. Bereits hier fällt auf, wie sehr neben dem flüssig und prägnant formulierten Text auch das exzellente Layout nicht nur das Verständnis fördern, sondern das Lesen zu einem echten Vergnügen machen kann. Die vielen integrierten Übungsaufgaben, die den Sätzen und Definitionen nicht nur optisch gleichgestellt sind, lassen keinen Zweifel über die Intention des Autors zu: dieses Buch soll man nicht lesen, sondern durcharbeiten. Wie man im folgenden Kapitel erfährt, gilt dies nicht nur für das vorliegende Buch, sondern für jeden mathematischen Text: ohne Papier und Bleistift geht es nicht. Die weiteren Ratschläge zum verstehenden Lesen sind ähnlich allgemein, aber auch ähnlich allgemeingültig; der vorgeschlagene Fünfpunkteplan ist sicherlich für die meisten Studierenden ein guter Ausgangspunkt.

Auf das Schreiben mathematischer Texte legt der Autor besonderen Wert; gleich zwei Kapitel sind diesem Thema gewidmet. Als Ausgangspunkt dient ein Beweis eines Studenten für den Kosinussatz. Dieser Beweis ist zwar korrekt, aber schlecht lesbar aufgeschrieben. Im Verlauf des Kapitels werden dann die Fehler recht gnadenlos aufgezeigt und erläutert, aber auch Abhilfe geschaffen. Fast schon nebenher erfährt der Neuling dabei etwas über guten Stil, wird zum Schreiben ganzer Sätze angehalten, und erhält immer wieder konkrete Formulierungsvorschläge. Bereits an dieser Stelle habe ich das Buch auf die Liste der Empfehlungen für Erstsemester gesetzt – so überzeugend und auf den Punkt gebracht habe ich diese Ratschläge noch nie gesehen.

Nach dem Lesen und Schreiben steht das Problemlösen auf dem Programm des Autors. Pólyas Vierpunkteplan – (1) Verstehe das Problem, (2) entwickle einen Plan, (3) führe den Plan aus und (4) blicke zurück – wird liebevoll aufbereitet und Schritt für Schritt erläutert. Wie schon beim Lesen mathematischer Texte legt Houston auch hierbei großen Wert auf das eigenständige Suchen und Durchrechnen passender Beispiele, was auch in meinen Augen ein wesentlicher Schritt zum Verständnis mathematischer Sachverhalte ist.

Damit endet der erste, mit „Grundtechniken für Mathematik-Studierende“ überschriebene Teil des Buches. Wer bis hierhin mitgearbeitet hat, dem wird bereits etliches im Mathematikstudium leichter fallen. Im nächsten Teil geht es um Logik; genauer gesagt, um die Vermeidung der Fallstricke, die die elementare Logik dem Anfänger in den Weg legt. So wird der mathematische Gebrauch logischer Verknüpfungen gegen die Alltagssprache abgegrenzt, Wahrheitstafeln finden sich ebenso wie die Erläuterung der Begriffe „notwendig“ und „hinreichend“, und den Quantoren werden zwei großzügig bemessene Kapitel eingeräumt. Wie im gesamten Buch stehen dabei nicht Formalismen im Vordergrund, sondern es wird viel Wert auf Verständlicheit für den Anfänger gelegt.

Überraschend spät, aber genau an der richtigen Stelle wird im dritten Teil erläutert, was es eigentlich mit Definitionen, Sätzen und Beweisen für eine Bewandtnis hat. Auch hier erschöpft sich die Darstellung nicht mit einer allgemeinen Beschreibung; vielmehr erhält der angehende Mathematiker viele gute und ausgesprochen nützliche Ratschläge, wie er denn an eine solche Sache herangehen soll. Neben den offenkundigen Dingen wie dem Zerlegen eines Beweises in kleinere Teile und dem Betrachten der so wichtigen Beispiele wird er zum Beispiel dazu aufgefordert, durch das Testen von Extremfällen nachzuprüfen, ob der vorliegende Satz nicht doch falsch ist. Auch Nicht–Beispiele können sich nützlich machen; sieht man doch so ein, warum der Beweis nur unter den im Satz genannten Voraussetzungen funktioniert. Sodann werden die stets an kleineren Beispielen erläuterten Ratschläge eingehend zur Analyse des Beweises des Satzes von Pythagoras herangezogen – das ist hervorragend ausgearbeitet und ein echter Lesegenuss! Grundlegende Beweistechniken (direkter Beweis, Beweis durch Fallunterscheidung, Widerspruchsbeweis, Beweis durch Kontraposition, vollständige Induktion) stehen im Zentrum des nächsten Teils; wieder werden die häufigen Fehlerquellen aufgezeigt. Die Entscheidungshilfen, wann man denn welches Beweisverfahren nehmen soll, überzeugen ebenfalls. Nach einigen spezielleren mathematischen Ausführungen zur Injektivität und ihren Verwandten, der ewigen Klippe der Äquivalenzrelationen sowie etlichen Informationen zur Teilbarkeit, euklidischem Algorithmus und zur modularen Arithmetik geht es dann zur Zusammenfassung. Das größte Geheimnis des erfolgreichen Zugangs zur Mathematik wird im letzten Kapitel verraten: Schreiben Sie Mathematik sauber auf und entwerfen Sie einfache Beispiele.

Ich bekenne an dieser Stelle gerne, dass mir das Lesen des Buches eine große Freude war. Die dem Fortgeschrittenen selbstverständlichen Strategien zur Aneignung eines mathematischen Sachverhaltes werden gut lesbar und verständlich an die Leserin und den Leser gebracht. Viele Beispiele untermauern wirkungsvoll die Gedankengänge. Aufteilung, Sprache und Schwierigkeitsgrad sind an den absoluten Neuling angepasst, der sich an keiner Stelle mit allzu abstrakten Strukturen herumschlagen muss und sich so auf die Ausführungen des Autors konzentrieren kann. Aus diesen Gründen erhält das Buch von mir eine ganz klare Kaufempfehlung: wer den Abgrund zwischen Schul- und Universitätsmathematik mit weniger Blessuren als seine Mitstreiter überwinden möchte, dem sei das Werk nachdrücklich ans Herz gelegt. Besser kann man fast nicht mehr schreiben, und eindrücklicher kann man die Strategien wohl kaum vermitteln. Damit bleiben nur noch zwei Fragen offen: Warum gab es das Buch nicht bereits zu meiner Zeit? Und warum wird nicht wenigstens ein Teil des Trainings des mathematische Denkens bereits in der Schule betrieben? Dann würde das Wort „Kompetenz“ wohl auch einen etwas besseren Beigeschmack erhalten....

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe

„Wie man mathematisch denkt“ ist ein wichtiges und notwendiges Buch, das alle Studienanfänger in Mathematik anspricht. Viele davon kommen nämlich mit falschen Vorstellungen an die Universität und glauben zum Beispiel, nach den Extremwertaufgaben für Polynome 3. Grades in der Schule wären jetzt die Polynome 4. Grades dran, und wundern sich, dass die Universitätsmathematik weniger vom Rechnen lebt und sich stattdessen um Begriffe und Beweise kümmert, und das mit einer unerbittlichen Präzision, die landläufig mathematisch genannt wird und Anfänger auf der ganzen Welt – und das zu allen Zeiten – vor Probleme stellt.

Der britische Autor Kevin Houston legt hier ein Buch vor, das den Zugang zur universitären Mathematik erleichtert. Er beschreibt zunächst detailliert Fallstricke der Logik (die Profis trivial erscheinen; wie etwa den Unterschied zwischen „aus A folgt B“ und „aus B folgt A“). Das Kernstück des Buchs sind Kapitel zu mathematischen Beweisen; insbesondere werden typische Beweisverfahren (direkter Beweis, Beweis durch Widerspruch, Beweis durch vollständige Induktion etc.) ausführlich an elementar zugänglichen mathematischen Themen vorgeführt, etwa Aussagen zu Teilbarkeit und zur modularen Arithmetik.

Erstsemester und auch Fortgeschrittene, die den ausgezeichnet formulierten und übersetzten Text durchgearbeitet haben, werden die für die Mathematik typischen Denkweisen schneller und erfolgreicher assimilieren als ohne diese Hilfe. Kevin Houstons Buch sollte Pflichtlektüre für alle Studienanfänger sein.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin