Leseecke

Statistik für Anwender

Ulrich Kockelkorn
Spektrum Akademischer Verlag 2012, 532 Seiten, 34,95 €

ISBN-10: 3827422949
ISBN-13: 978-3827422941

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik haben eine immer noch zunehmende Bedeutung in der Mathematik und den meisten Natur-, Lebens- und Geisteswissenschaften. Leider sind diese Gebiete für Anfänger schwer zugänglich (der Rezensent blickt auf eine jahrzehntelange Erfahrung mit Einführungsvorlesungen zurück).

Die Konzepte – wie etwa Wahrscheinlichkeit, Schätzer, Konfidenzintervall, ... – sind leicht zu erklären. Wenn man es aber mathematisch präzise machen möchte, wird die Geduld von Anfängern auf eine harte Probe gestellt: Was sind sigma-Algebren, wie sind Borelmengen definiert, was ist ein statistisches Modell, ...?

Im vorliegenden Fall geht es um „Statistik für Anwender“. Da kann man den mathematischen Hintergrund weitgehend ausblenden und sich überwiegend auf Ideen und Verfahren konzentrieren. Das Ergebnis ist beeindruckend. Wirklich werden die wichtigsten Aspekte von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik so dargestellt, dass auch Leser mit einem eher geringen mathematischen Hintergrund alles Wesentliche verstehen können. Hier die Kapitelüberschriften:

• Deskriptive Statistik
• Wahrscheinlichkeit
• Zufällige Variable
• Spezielle Verteilungen
• Schätztheorie
• Testtheorie
• Lineare Regression
• Varianzanalyse
• Diskriminanz- und Clusteranalyse
• Bayesianische Statistik.

Es gibt unzählige Beispiele, Bilder und Tabellen, und wer sich durch das Buch hindurchgearbeitet hat, hat einen wirklich guten Überblick. Der Autor bereitet das Material geschickt auf, die Darstellung ist sehr ansprechend.

Mein Resumee: Ich empfehle das Buch allen, die sich einen Überblick verschaffen wollen und bereit sind, darauf zu verzichten zu lernen, woran es denn eigentlich liegt, dass die Verfahren funktionieren. Für Mathematiker bleiben zu viele Lücken. Die sollten zusätzlich die für sie geschriebenen Standardwerke (etwa die Bücher von Georgii oder Meintrup-Schäffler) durcharbeiten.

Rezension: E. Behrends, FU Berlin

Statistik und Intuition
Alltagsbeispiele kritisch hinterfragt

Katharina Schüler
Springer Spektrum Verlag (14. Januar 2016)
Taschenbuch, 312 Seiten, 14,99 €

ISBN-10: 3662478471
ISBN-13: 978-3662478479

Eine schier unglaubliche Anzahl von statistischen Daten und Interpretationen beschreibt und durchleuchtet die Autorin in ihrem Buch und es gelingt ihr hervorragend die Problematik der unkritischen Rezeption von Statistiken deutlich zu machen.

Auf rund 230 Seiten werden prägnante Beispiele aus den fünf Bereichen Politik (u. a. Steuerschätzungen, Arbeitslosigkeit), Wirtschaft (u. a. Armutsberichte), Wissen und Technik (u. a. Pünktlichkeit bei der Deutschen Bahn, Klimaschutzkosten), Gesundheit (u. a. Schweinegrippe, EHEC usw.) und Gesellschaft (u. a. Statistik beim Fußball, „Edathy-Theorem“ und bedingte Wahrscheinlichkeiten) untersucht und auf ihre Aussagekraft analysiert. Häufig weist die Autorin nach, dass die Schlussfolgerungen aus Daten fragwürdig oder gar unzulässig sind. Dabei geht es nur selten um relativ einfache handwerkliche Fehler, die auch ein Laie noch erkennen kann.

Einige Beispiele sollen zeigen, wie schwierig es – auch für einen sehr interessierten und statistisch vorgebildeten – Zeitungsleser ist, Zusammenhänge richtig einzuordnen.

Das Unterkapitel 2.2 handelt von statistischen Daten zur Arbeitslosigkeit. Untersucht werden zunächst  „Arbeitslosenquoten“ (bei denen es ja nur um einfache Prozentrechnung geht). Warum man hier in Zeitungsberichten unterschiedliche Zahlen finden kann, liegt daran, dass z. B. die Begriffe „arbeitslos“ und „erwerbslos“ nicht dasselbe bedeuten und außerdem vom Statistischen Bundesamt und der Bundesagentur für Arbeit unterschiedliche Definitionen verwendet werden. Aber nicht nur der Zähler des Quotienten ist also nicht eindeutig festgelegt, auch für den Nenner (die Anzahl aller Erwerbspersonen) existieren unterschiedliche Angaben und Bezugsgrößen. Internationale Vergleiche, etwa innerhalb der EU, sind zudem problematisch, da auch die Länder noch unterschiedliche Definitionen verwenden!

Das Unterkapitel 2.5 hat Korruptionsindizes zum Thema. Hier wird von der Autorin deutlich gemacht, dass die für einen „normalen“ Zeitungsleser so klar scheinende Aussagekraft von Länderranglisten gar nicht so klar ist. Aber selbst wenn dieser hier weitere Quellen hinzuziehen würde, dürfte die Analyse für ihn nicht einfach sein – es sei denn, er hat doch einige statistische Kenntnisse. Denn er müsste dazu wissen, dass Methoden der Korrelationsrechnung zur Erfassung solcher Ranglisten benutzt werden und dass für die Punkte in der Rangliste Konfidenzintervalle verwendet werden und dass – laut Autorin – weitere methodische Fehler enthalten sind.

Beide Beispiele machen wohl deutlich, dass man doch sehr vorsichtig mit den gern und überall in den Medien angeführten Statistiken sein muss. Allerdings zeigen nicht nur diese beiden Beispiele aus dem Buch, dass selbst der verständige Konsument solcher statistischer Daten, Tabellen und Grafiken gar nicht in der Lage ist, diese zu hinterfragen. Auch der Autorin ist dies meist nur deshalb möglich, weil sie die den Veröffentlichungen zugrunde liegenden Arbeiten – und manchmal auch noch weitere zusätzliche – studiert hat und oft erst dadurch einschätzen kann, ob die Datengrundlage und die darauf beruhenden Interpretationen richtig sind. Einmal resümiert die Autorin:  „… zeigt auch, wie einfach es manchmal ist, die Wahrheit herauszufinden, indem man nicht nur Pressemitteilungen liest, sondern auch die Originalstudien“ (S. 102). Dem mag man gerne zustimmen – aber an der Realität dürfte das wohl vorbei gehen. Hier in diesem Buch wird am Ende eines jeden Abschnitts „zum Nachlesen“ eine kleine Liste von Originalstudien angegeben (die aber meist nicht als Internetquellen zitiert sind).

Dieses Buch kann nichtsdestotrotz sehr dabei helfen, angemessenes statistisches Denken zu fördern. So werden mehrfach die wichtigen Begriffe Hypothese, Test und statistische Signifikanz kritisch analysiert. Die Autorin formuliert sehr prägnant und einleuchtend, deshalb seien hier einige Zitate angeführt: „Wer erst in die Daten blickt und danach seine Hypothesen aufstellt, kann damit nichts beweisen. Nur wenn in neuen Daten dieselben Muster auftauchen, sind die Hypothesen bestätigt.“ (S. 66)
„Passende Zahlen auszusuchen und unpassende zu verschweigen mag in der Politik akzeptiert sein, aber ein wissenschaftliches Vorgehen ist es nicht.“ (S. 69)
„Signifikanz spielt für die empirische Forschung eine erhebliche Rolle. Experimentell arbeitende Wissenschaftler stellen Forschungshypothesen auf. Dann erheben oder messen sie Daten und testen auf Signifikanz. ... Nur dann ist eine konfirmatorische, eine Hypothesen bestätigende Analyse möglich, und die Ergebnisse sind belastbar. Im Gegensatz dazu steht die explorative, Hypothesen generierende Analyse. Sie sucht in Daten nach Mustern, die zuvor noch nicht beschrieben wurden. Auch das ist erlaubt, aber das Problem dabei ist: Wer lange genug sucht, findet immer irgendetwas.“ (S. 109/110)

Auf ca. 50 Seiten (im letzten Kapitel) stellt die Autorin das „Handwerkszeug“ zusammen, mit dem Statistiken allgemein erstellt werden und hier von ihr überprüft wurden. Dabei geht es von mehr elementaren Kenntnissen wie Skalentypen, Prozenten, Mittelwerten und Streuungsmaßen weiter über statistische Tests und Konfidenzintervalle bis hin zu Zeitreihen, Korrelation und Regression. Diese grundlegenden statistischen Begriffe und Verfahren werden kurz und klar und damit gut verständlich dargestellt. Wer die im Buch behandelten Fallanalysen besser verstehen will, dem sei empfohlen, mit dem Studium dieses Kapitels zu beginnen.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)

Wie man mathematisch denkt
Eine Einführung in die mathematische Arbeitstechnik für Studienanfänger

Kevin Houston
Springer Spektrum 2012, XII + 323 Seiten, 24,95 €

ISBN 10: 3827429978
ISBN 13: 978-3827429971

Es folgen die Rezensionen von: Harald Löwe und Dirk Werner

„Ich will Ihnen beibringen, wie ein Mathematiker zu denken [...]“ lautet das Ziel Kevin Houstons. Das klingt vertraut, haben doch Bücher, die die immer größer werdende Kluft zwischen Schul- und Hochschulmathematik überbrücken sollen, derzeit Hochkonjunktur. Und doch ist das vorliegende Buch anders als der Durchschnitt dieses Genres. Denn anstelle mathematischer Inhalte steht tatsächlich das mathematische Denken im Vordergrund. Der Leser soll lernen, Mathematik zu lesen und zu verstehen, mathematische Probleme zu lösen und seine Lösungen aufzuschreiben. Hierfür könnte man das Wort „Kompetenzerwerb“ mit Fug und Recht verwenden, wäre eben dieses Wort nicht derart unsäglich vorbelastet. Daher schreiben wir im Folgenden lieber „Training des mathematischen Denkens“.

Nun begeht Houston an keiner Stelle den groben (aber derzeit recht weit verbreiteten) Fehler, ein solches Training losgelöst von mathematischen Inhalten zu sehen. Ganz im Gegenteil beginnt er mit den Worten: „Zum mathematischen Denken benötigt man Mathematik, über die man nachdenken kann.“ – wie wahr! Das erste Kapitel beschäftigt sich folgerichtig mit Mengen und Funktionen, damit ein wenig Mathematik zum Nachdenken verlässlich zur Verfügung steht. Bereits hier fällt auf, wie sehr neben dem flüssig und prägnant formulierten Text auch das exzellente Layout nicht nur das Verständnis fördern, sondern das Lesen zu einem echten Vergnügen machen kann. Die vielen integrierten Übungsaufgaben, die den Sätzen und Definitionen nicht nur optisch gleichgestellt sind, lassen keinen Zweifel über die Intention des Autors zu: dieses Buch soll man nicht lesen, sondern durcharbeiten. Wie man im folgenden Kapitel erfährt, gilt dies nicht nur für das vorliegende Buch, sondern für jeden mathematischen Text: ohne Papier und Bleistift geht es nicht. Die weiteren Ratschläge zum verstehenden Lesen sind ähnlich allgemein, aber auch ähnlich allgemeingültig; der vorgeschlagene Fünfpunkteplan ist sicherlich für die meisten Studierenden ein guter Ausgangspunkt.

Auf das Schreiben mathematischer Texte legt der Autor besonderen Wert; gleich zwei Kapitel sind diesem Thema gewidmet. Als Ausgangspunkt dient ein Beweis eines Studenten für den Kosinussatz. Dieser Beweis ist zwar korrekt, aber schlecht lesbar aufgeschrieben. Im Verlauf des Kapitels werden dann die Fehler recht gnadenlos aufgezeigt und erläutert, aber auch Abhilfe geschaffen. Fast schon nebenher erfährt der Neuling dabei etwas über guten Stil, wird zum Schreiben ganzer Sätze angehalten, und erhält immer wieder konkrete Formulierungsvorschläge. Bereits an dieser Stelle habe ich das Buch auf die Liste der Empfehlungen für Erstsemester gesetzt – so überzeugend und auf den Punkt gebracht habe ich diese Ratschläge noch nie gesehen.

Nach dem Lesen und Schreiben steht das Problemlösen auf dem Programm des Autors. Pólyas Vierpunkteplan – (1) Verstehe das Problem, (2) entwickle einen Plan, (3) führe den Plan aus und (4) blicke zurück – wird liebevoll aufbereitet und Schritt für Schritt erläutert. Wie schon beim Lesen mathematischer Texte legt Houston auch hierbei großen Wert auf das eigenständige Suchen und Durchrechnen passender Beispiele, was auch in meinen Augen ein wesentlicher Schritt zum Verständnis mathematischer Sachverhalte ist.

Damit endet der erste, mit „Grundtechniken für Mathematik-Studierende“ überschriebene Teil des Buches. Wer bis hierhin mitgearbeitet hat, dem wird bereits etliches im Mathematikstudium leichter fallen. Im nächsten Teil geht es um Logik; genauer gesagt, um die Vermeidung der Fallstricke, die die elementare Logik dem Anfänger in den Weg legt. So wird der mathematische Gebrauch logischer Verknüpfungen gegen die Alltagssprache abgegrenzt, Wahrheitstafeln finden sich ebenso wie die Erläuterung der Begriffe „notwendig“ und „hinreichend“, und den Quantoren werden zwei großzügig bemessene Kapitel eingeräumt. Wie im gesamten Buch stehen dabei nicht Formalismen im Vordergrund, sondern es wird viel Wert auf Verständlicheit für den Anfänger gelegt.

Überraschend spät, aber genau an der richtigen Stelle wird im dritten Teil erläutert, was es eigentlich mit Definitionen, Sätzen und Beweisen für eine Bewandtnis hat. Auch hier erschöpft sich die Darstellung nicht mit einer allgemeinen Beschreibung; vielmehr erhält der angehende Mathematiker viele gute und ausgesprochen nützliche Ratschläge, wie er denn an eine solche Sache herangehen soll. Neben den offenkundigen Dingen wie dem Zerlegen eines Beweises in kleinere Teile und dem Betrachten der so wichtigen Beispiele wird er zum Beispiel dazu aufgefordert, durch das Testen von Extremfällen nachzuprüfen, ob der vorliegende Satz nicht doch falsch ist. Auch Nicht–Beispiele können sich nützlich machen; sieht man doch so ein, warum der Beweis nur unter den im Satz genannten Voraussetzungen funktioniert. Sodann werden die stets an kleineren Beispielen erläuterten Ratschläge eingehend zur Analyse des Beweises des Satzes von Pythagoras herangezogen – das ist hervorragend ausgearbeitet und ein echter Lesegenuss! Grundlegende Beweistechniken (direkter Beweis, Beweis durch Fallunterscheidung, Widerspruchsbeweis, Beweis durch Kontraposition, vollständige Induktion) stehen im Zentrum des nächsten Teils; wieder werden die häufigen Fehlerquellen aufgezeigt. Die Entscheidungshilfen, wann man denn welches Beweisverfahren nehmen soll, überzeugen ebenfalls. Nach einigen spezielleren mathematischen Ausführungen zur Injektivität und ihren Verwandten, der ewigen Klippe der Äquivalenzrelationen sowie etlichen Informationen zur Teilbarkeit, euklidischem Algorithmus und zur modularen Arithmetik geht es dann zur Zusammenfassung. Das größte Geheimnis des erfolgreichen Zugangs zur Mathematik wird im letzten Kapitel verraten: Schreiben Sie Mathematik sauber auf und entwerfen Sie einfache Beispiele.

Ich bekenne an dieser Stelle gerne, dass mir das Lesen des Buches eine große Freude war. Die dem Fortgeschrittenen selbstverständlichen Strategien zur Aneignung eines mathematischen Sachverhaltes werden gut lesbar und verständlich an die Leserin und den Leser gebracht. Viele Beispiele untermauern wirkungsvoll die Gedankengänge. Aufteilung, Sprache und Schwierigkeitsgrad sind an den absoluten Neuling angepasst, der sich an keiner Stelle mit allzu abstrakten Strukturen herumschlagen muss und sich so auf die Ausführungen des Autors konzentrieren kann. Aus diesen Gründen erhält das Buch von mir eine ganz klare Kaufempfehlung: wer den Abgrund zwischen Schul- und Universitätsmathematik mit weniger Blessuren als seine Mitstreiter überwinden möchte, dem sei das Werk nachdrücklich ans Herz gelegt. Besser kann man fast nicht mehr schreiben, und eindrücklicher kann man die Strategien wohl kaum vermitteln. Damit bleiben nur noch zwei Fragen offen: Warum gab es das Buch nicht bereits zu meiner Zeit? Und warum wird nicht wenigstens ein Teil des Trainings des mathematische Denkens bereits in der Schule betrieben? Dann würde das Wort „Kompetenz“ wohl auch einen etwas besseren Beigeschmack erhalten....

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Harald Löwe

„Wie man mathematisch denkt“ ist ein wichtiges und notwendiges Buch, das alle Studienanfänger in Mathematik anspricht. Viele davon kommen nämlich mit falschen Vorstellungen an die Universität und glauben zum Beispiel, nach den Extremwertaufgaben für Polynome 3. Grades in der Schule wären jetzt die Polynome 4. Grades dran, und wundern sich, dass die Universitätsmathematik weniger vom Rechnen lebt und sich stattdessen um Begriffe und Beweise kümmert, und das mit einer unerbittlichen Präzision, die landläufig mathematisch genannt wird und Anfänger auf der ganzen Welt – und das zu allen Zeiten – vor Probleme stellt.

Der britische Autor Kevin Houston legt hier ein Buch vor, das den Zugang zur universitären Mathematik erleichtert. Er beschreibt zunächst detailliert Fallstricke der Logik (die Profis trivial erscheinen; wie etwa den Unterschied zwischen „aus A folgt B“ und „aus B folgt A“). Das Kernstück des Buchs sind Kapitel zu mathematischen Beweisen; insbesondere werden typische Beweisverfahren (direkter Beweis, Beweis durch Widerspruch, Beweis durch vollständige Induktion etc.) ausführlich an elementar zugänglichen mathematischen Themen vorgeführt, etwa Aussagen zu Teilbarkeit und zur modularen Arithmetik.

Erstsemester und auch Fortgeschrittene, die den ausgezeichnet formulierten und übersetzten Text durchgearbeitet haben, werden die für die Mathematik typischen Denkweisen schneller und erfolgreicher assimilieren als ohne diese Hilfe. Kevin Houstons Buch sollte Pflichtlektüre für alle Studienanfänger sein.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Mathematik - Ein Reiseführer

Ingrid und Joachim Hilgert
Spektrum Akademischer Verlag, (2012), 284 Seiten, 24,95 €

ISBN-10: 3827429315
ISBN-13: 978-3827429315

Einen Reiseführer nimmt zur Hand, wer eine Reise vorhat. Dies ist der Ausgangspunkt der Autoren für ihre in Form eines Reiseführers gestaltete Einführung ins Land der Mathematik (das auf dem Buchumschlag vage an Australien erinnert) – ein interessanter Ansatz, der von Ingrid und Joachim Hilgert erfolgreich umgesetzt wird. Einem touristischen Reiseführer gleich begnügt sich auch der vorliegende nicht damit, die Hauptsehenswürdigkeiten aufzuzählen, sondern widmet sich ebenfalls der Geschichte und Kultur des Landes sowie den Einheimischen und ihrer Sprache.

Als Reisende stellen sich die Autoren in erster Linie Schülerinnen und Schüler vor, die sich für ein Mathematikstudium interessieren. Aber auch nach getaner Reise schaut man gerne noch einmal in einen Reiseführer, um zum Beispiel den geschichtlichen Abriss mit besserem Verständnis erneut zu lesen. Dementsprechend können auch Studenten und Absolventen von diesem Buch profitieren.

Der Mathematik-Reiseführer hat fünf Kapitel und einen Anhang. Das erste Kapitel handelt „Vom Wesen der Mathematik“. Dort geht es um die Abstraktion in der Mathematik, ihre Sprache, um Beweise und Definitionen sowie um mathematische Kommunikation und mathematische Moden. Als Beispiel für erfolgreiche Abstraktion dient in diesem Kapitel der Gruppenbegriff, der so verschiedene Dinge wie Restklassenarithmetik und Symmetriebewegungen eines n-Ecks subsumiert. Ferner taucht als running gag immer wieder das Problem der Lösung polynomialer Gleichungen auf, das unter anderem als Motivation zur Zahlbereichserweiterung verwendet wird. Viele Beispiele erläutern die Thesen der Autoren, die auch mathematischen Anfängern zugänglich sind bzw. sein sollten.

A propos „sein sollten“: Man kann nicht häufig genug betonen, dass die Mathematik ganz besondere Anforderungen an ihre Adepten stellt – nicht umsonst ist die „mathematische Präzision“ sprichwörtlich –, und der Reiseführer trägt einiges zur Verbreitung dieser Wahrheit bei. Nach meiner Erfahrung ist aber in dem Satz (S. 30) „Die Definition von Vereinigung und Schnitt zweier Mengen lässt sich problemlos auf mehr als zwei Mengen verallgemeinern“ (gemeint sind hier insbesondere unendlich viele Mengen) der Begriff „problemlos“ der Autoren nicht mit dem Begriff von „problemlos“ der Mehrheit der Mathematikstudenten kompatibel; und es ist eine Sache, die Definition einer injektiven Abbildung (S. 34) einmal zu sehen, und eine andere, damit auch umgehen zu können. Deshalb ist mir nicht klar, in welchem Grade die Leserinnen und Leser solche Stellen wirklich verinnerlichen – bei allen Bemühungen der Autoren, angehenden Mathematikstudenten die richtige Vorstellung vom Wesen der Mathematik zu vermitteln, um die Überraschung darüber in Grenzen zu halten, „dass an der Universität nur selten gerechnet, dafür aber sehr viel definiert und bewiesen wird“ (S. 11). (Irlandreisende sollten sich ja auch bereits vor ihrer Reise auf das dortige Wetter – dry between the showers – einstellen.)

Kapitel 2 gibt einen ersten Einblick in die Hauptgebiete der Mathematik. Zusätzlich zur klassischen Trias Geometrie-Algebra-Analysis stellen die Autoren recht detailliert die Stochastik vor, und in einem weiteren Abschnitt kommen Gebiete wie Topologie und Optimierung zur Sprache. Dieser Kurzstudienführer wird durch Informationen ergänzt, welche Universitätsvorlesungen mit welchen Inhalten zum Umfeld der genannten Gebiete gehören. Hier kann der Reiseführer also vor Ort eingesetzt werden. Im kurzen Kapitel 3 skizzieren die Autoren einige zeitgenössische Anwendungen (zeitgenössischer!) Mathematik, z. B. GPS, Tumorerkennung, Google-Suche.

Das vierte Kapitel des Reiseführers „Entwicklungslinien“ ist gewiss auch nach der Reise interessant zu lesen. Nach einem Abriss der Geschichte der Mathematik, einiger ihrer Grundlagenkrisen (nichteuklidische Geometrie, Russellsche Antinomie, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze) und der Diskussion der Millenniumsprobleme (das sind sieben als äußerst bedeutend eingestufte offene mathematische Probleme, für deren Lösung das Clay-Institut im Jahr 2000 je 1 Million Dollar ausgesetzt hat; eines wurde inzwischen gelöst) befassen sich die Autoren in einer sehr lesenswerten Fallstudie mit der Analogie zwischen der zeitgenössischen Forderung der unmittelbaren Verwertbarkeit mathematischer Forschung (die der reinen Mathematik tendenziell ihre Daseinsberechtigung abspricht) und der im alten Rom vorherrschenden utilitaristischen Haltung zur Mathematik und zur Wissenschaft überhaupt. Wenngleich diese Analogie alles andere als perfekt ist, klingen einige Aussagen von Cicero oder Seneca doch wie die Vorgaben aus dem Haus der ehemaligen EU-Kommissarin Edith Cresson, nur eleganter formuliert.

Im abschließenden 5. Kapitel geht es um die mathematische Ausbildung an Universitäten und Mathematik als Beruf. Die Autoren betonen nochmals die hohe Disziplin, die Studierende der Mathematik aufbringen müssen, und stellen klar, welche Lehrmethoden sie für eher wenig geeignet halten (Projektgruppen, Mooresche Methode, Praxisrelevanz). Der Lohn der Mühen des Studiums ist z. B. aus der Arbeitslosenstatistik abzulesen: Die Arbeitslosenquote der Mathematikabsolventen an deutschen Universitäten im Jahre 2008 lag bei 2,6% und unter Promovierten praktisch bei 0.

Der Anhang ist rein mathematisch und zeigt die Konstruktion der reellen Zahlen via ganze und rationale Zahlen aus den natürlichen Zahlen auf, die axiomatisch vorgegeben werden, und zwar – dies sei für die Profis angemerkt – durch eine Variante der Peano-Axiome, in der die Ordnung bereits eingebaut ist. Zukünftige Reisende ins Land der Mathematik können hier bereits erproben, ob sie die manchmal etwas dünne Luft dort auch vertragen. Wie jedes Kapitel des vorliegenden Reiseführers soll auch diese Rezension mit einem Fazit schließen. Das Buch von Ingrid und Joachim Hilgert ist ein wertvoller Begleiter für alle, die Mathematik studieren wollen oder es bereits tun. Dank des vielfältigen Materials liefert es ihnen wichtige Informationen über das Fach Mathematik und seine Spezifika sowie sein gesellschaftliches Umfeld; es ist sehr flüssig geschrieben und fast tippfehlerfrei, wofür den Autoren und dem bekannt effektiven Lektorat des Spektrum-Verlags gleichermaßen zu danken ist. Der Mathematik-Reiseführer gehört ins Gepäck aller Mathematik-Touristen.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin

Mathematisches Problemlösen und Beweisen
Eine Entdeckungsreise in die Mathematik

Daniel Grieser
Springer Spektrum (2013), 305 Seiten, 22,95 €

ISBN-10: 3834824593
ISBN-13: 978-3834824592

In der Mathematik bereitet der Übergang von der Schule zur Universität den Studierenden offensichtlich besondere Schwierigkeiten. Wohl jeder Dozent von mathematischen Erstsemestervorlesungen hat dies schon beobachtet. Ein wesentlicher Grund scheint darin zu liegen, daß allen Anstrengungen der Fachdidaktiker zum Trotz im Schulunterricht der Schwerpunkt vielerorts nach wie vor auf dem Rechnen konkreter Aufgaben liegt, die einem vorher vielfach eingeübten Schema folgen. Abstraktere Konzepte und allgemeine Prinzipien, wie sie in der Hochschulmathematik von zentraler Bedeutung sind, spielen dagegen nur eine untergeordnete Rolle. Erst recht stellt das eigenständige Beweisen mathematischer Aussagen sowie das Bearbeiten offener Probleme, bei denen der Lösungsweg zunächst völlig unklar ist, für viele Erstsemester völliges Neuland dar und wird von vielen auch als ein ziemlicher Schock erfahren. Hinzu kommen häufig noch Schwierigkeiten mit dem deutlich massiveren Einsatz der mathematischen Formelsprache und dem präzisen Formulieren mathematischer Zusammenhänge.

Klassisch wird von Dozentenseite erwartet, daß die Studierenden diese Defizite in den ersten beiden Semestern von alleine aufholten, wenn sie nur regelmäßig ihre Übungsblätter bearbeiteten. „Ganz nebenbei“ gewännen sie dabei schon die nötige Erfahrung. Angesichts der schon immer sehr hohen Abbrecherquote in mathematischen Studiengängen kann man bezweifeln, ob dies schon jemals sonderlich gut geklappt hat. Heute gilt dies sicherlich für viele Studierende nicht mehr. Sie sind einfach überfordert mit der Vielzahl der für sie neuen Aspekte, die sie neben dem eigentlichen Vorlesungsstoff aufnehmen sollen.

Wie der Titel schon nahelegt, steht dagegen für Daniel Grieser in seinem Buch das Problemlösen und das Beweisen im Mittelpunkt. Das Erlernen entsprechender Techniken und Strategien stellt hier das zentrale Ziel und Thema dar und nicht die Vermittlung mathematischen Fachwissens. Dazu wird eine Vielzahl mathematischer Probleme detailliert studiert und der Lösungsprozeß anschließend noch einmal ausführlich analysiert. Vor allem dieser letzte Schritt macht einen großen Unterschied, da er in einer „normalen“ Vorlesung in aller Regel fehlt. Daniel Grieser orientiert sich hierbei an der Vorgehensweise in dem klassischen Buch von George Pólya Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Die Bearbeitung eines Problems erfolgt in vier Stufen: Verstehen, Untersuchen, geordnetes Aufschreiben der Lösung und Rückschau. Das eigentliche Lösen findet hierbei überwiegend im zweiten Schritt statt; für das Erlernen des Problemlösens sind die anderen drei Schritte aber mindestens genauso wichtig.

Die betrachteten Probleme entstammen vorwiegend der Elementargeometrie, der Kombinatorik und der elementaren Zahlentheorie. Fast alle können mit Schulwissen (vorwiegend aus der Mittelstufe) behandelt werden. An zusätzlichem Stoff führt Daniel Grieser nur etwas Graphen- und Zahlentheorie ein. Dadurch ist das Buch nicht nur für Studierende, sondern auch schon für Oberstufenschüler gut lesbar. Insbesondere ist es auch hervorragend für das Selbststudium geeignet.

Bei den vorgestellten Lösungsmethoden kann man zwischen allgemeinen Strategien, die auch außerhalb der Mathematik nützlich sind, und spezifisch mathematischen Strategien unterscheiden. Zu der ersten Gruppe gehört das Betrachten von Spezialfällen und Beispielen, um ein Gefühl für das Problem zu bekommen, die Betrachtung ähnlicher oder einfacherer Probleme, das Formulieren von Vermutungen und die Einführung von Zwischenzielen. Man kann auch rückwärts statt vorwärts arbeiten. An speziellen mathematischen Lösungstechniken werden behandelt Rekursion und Induktion, diverse Abzählprinzipien, das Schubfachprinzip, das Extremalprinzip und das Invarianzprinzip.

Das Buch gliedert sich in elf Kapitel und zwei Anhänge. Ein Symbolverzeichnis, ein Glossar und Listen der Probleme, Sätze und Verfahren helfen beim intensiven Arbeiten mit dem Buch. Da man das Problemlösen und Beweisen nur dadurch erlernt, daß man selbst an Problemen und Beweisen arbeitet, endet jedes Kapitel mit einer größeren Anzahl von Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades. Zu einigen findet man am Ende des Buchs Hinweise.

Das Buch ist in einem sehr angenehmen, gut lesbaren Stil geschrieben und lädt ein zum aktiven Lesen. Die Behandlung der Probleme wird immer wieder unterbrochen durch ein Symbol „Denkpause“, das den Leser (oder die Leserin) auffordert, an dieser Stelle inne zu halten und sich selbst Gedanken zu machen, wie es weiter gehen könnte. Wer dies ernst nimmt und das Buch entsprechend intensiv durcharbeitet, wird sehr von der Lektüre profitieren. Gerade im Übergang von der Schule zur Universität sind die hier vermittelten Fähigkeiten sehr nützlich und können helfen, den Schock des ersten Semesters besser zu verdauen oder erst gar nicht entstehen zu lassen.

Werner M. Seiler (Kassel)