Leseecke

Elementare Analysis
Von der Anschauung zur Theorie

Andreas Büchter, Hans Wolfgang Henn
Spektrum Verlag, 2010, 340 Seiten, 22,95 €

ISBN 978-38274-2091-6

Es folgen die Rezensionen von: Wolfgang Spiegel und Sarah Henne

Das Buch gliedert sich in acht Kapitel, wobei das erste Kapitel eine ausführliche Einleitung ist. Ein vorangestelltes Vorwort sowie ein nachgestelltes Literaturverzeichnis und abschließendes Schlagwortverzeichnis (Index) rahmen die Abhandlung ein. Im Vorwort wird noch auf einen Anhang zu diesem Buch hingewiesen, der unter einer angegebenen Internetadresse gefunden werden kann. Bereits im Vorwort beschreiben die Autoren die beabsichtigte Ausrichtung: Aus der Sicht der Hochschulmathematik soll ein inhaltlicher Zugang zur Analysis ermöglicht werden. Die Autoren haben hierbei auch die Vorlesungen „Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus“ von Felix Klein im Blick, die dieser „ganz besonders den Lehrern der Mathematik an unseren höheren Schulen“ unterbreitete, und sie verweisen auf das von ihm beschriebene Ziel (Zitat):

. . . dem Lehrer – oder auch dem reiferen Studenten – Inhalt und Grundlegung der im Unterricht zu behandelnden Gebiete vom Standpunkt der heutigen Wissenschaft in möglichst einfacher und anregender Weise überzeugend darzulegen.

Damit ist die verfolgte Absicht festgelegt und die zu erwartende Vorgehensweise in diesem Buch auch durch den Untertitel in einer Weise beschrieben, die den Leser neugierig machen dürfte auf die inhaltliche Ausgestaltung.

Zum Leserkreis gehören also konform zur Zielsetzung des Buches Studierende des Fachs Mathematik für ein Lehramt in den Sekundarstufen, aber auch Referendare und Lehrer. Studierenden der Mathematik soll es auch dazu dienen, einen für weiterführende Analysisvorlesungen inhaltlichen Zugang zu ermöglichen.

In der Einleitung werden nun noch einmal die im Vorwort bereits genannten Absichten dieses Buches beschrieben und unter Bezug auf Heinrich Winters „Grunderfahrungen“ (Heinrich Winter: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61 (1996), 37– 46) auf eine mathematikdidaktische Grundlage gestellt. Der Aufbau des Buchs wird erläutert, und spezifische Ratschläge zur Lektüre dieses Buchs werden gegeben.

Dem ersten Kapitel („Einleitung“) folgt dann ein mit 70 von insgesamt 336 Seiten besonders breit angelegtes zweites Kapitel („Funktionale Zusammenhänge und Funktionen“). Hier werden Funktionen sowohl hinsichtlich der Begrifflichkeit als auch hinsichtlich verschiedener Grundvorstellungen und Darstellungsarten problematisiert, und es werden die aus der Schule bekannten elementaren Funktionen und ihre Charakteristika vorgestellt. Ein Exkurs zum Thema „Funktionen und Kurven“ schließt dieses Kapitel ab.

Der im dritten Kapitel vorgestellte anschauliche Zugang zur Differential- und Integralrechnung erscheint dann mit 24 Seiten äußerst knapp. Sind hier doch sowohl der Ableitungsbegriff als auch das Integral und der Zusammenhang zwischen „Ableiten“ und „Integrieren“ bis hin zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vorgestellt. Unter dem Aspekt der anschaulichen Vorbereitung einer noch zu entwickelnden Theorie ist aber dieser knappe Platz durchaus angemessen.

Die Kapitel vier, fünf, sechs und sieben gehen nun auf die theoretische Fundamentierung der Analysis ein: So werden im Kapitel vier („Mathematische Grundlagen der Analysis“) u. A. die Vollständigkeit der reellen Zahlen, Grenzwerte von Folgen und Grenzwerte von Funktionen sowie die Stetigkeit von Funktionen abgehandelt. Cauchy-Folgen werden kurz erwähnt. Der strategische Nutzen im Zusammenhang mit der Reihenlehre (z. B. absolute Konvergenz) bleibt offen. Zwischenwertsatz und Satz über das Maximum und Minimum stetiger Funktionen auf einem kompakten Intervall werden im Rahmen der bereitgestellten Theorien behandelt. Das Kapitel fünf („Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung“) behandelt die Differenzierbarkeit mit den üblichen Rechenregeln bis hin zu einer Regel von L’Hospital. Den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz findet der Leser im Unterkapitel „Anschauung und Differenzierbarkeit“. Der Zusammenhang zwischen dem Satz von Rolle und dem Mittelwertsatz wird formal über die bekannte Hilfsfunktion vorgestellt, ohne auf den geometrischen Zusammenhang einzugehen, der den Beweisansatz erklärt. Geht doch der Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle durch eine Scherung an der y- Achse hervor. Das Kapitel sechs ( „Grenzwerte von Riemannschen Summen: das Integral“) behandelt eine gut lesbare und auf dasWesentliche beschränkte Einführung des Riemann-Darboux-Integrals nebst Kriterien der Integrierbarkeit sowie den Zusammenhang zwischen Monotonie bzw. zwischen Stetigkeit und Integrierbarkeit. Im Kapitel sieben („Zusammenhang von Differenzialund Integralrechnung“) wird u. A. der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung abgehandelt. Dabei hätte der Bezug zum Mittelwertsatz vielleicht deutlicher herausgearbeitet werden können. Der Hauptsatz wird in zwei Teilen formuliert, und jeder Teil wird unabhängig vom anderen Teil bewiesen, obwohl beide Teile logisch äquivalent sind und dies auch von den Verfassern bekundet wird (S. 244, Aufgabe 7.1). Es folgt ein achtes Kapitel („Anwendungen in Theorie und Praxis“), in dem nicht nur auf die bekannte Kurvendiskussion eingegangen wird. Reizvoll sind die Betrachtungen zu den „ Änderungsraten bei geometrischen Maßen“ oder das „Wechselspiel von Theorie und Anwendungen“.

Zusammenfassung: Die Verfasser haben sich bemüht, den für den Schulunterricht relevanten Teil der Analysis vom Standpunkt der heutigen mathematischen Wissenschaft durch eine auf Anschauung basierte Theorie zu erarbeiten. Sie liefern hierbei eine Vielzahl von Beispielen, skizzieren ihre Überlegungen ausführlich und schaffen insgesamt ein Werk, das dem angesprochenen Personenkreis hilfreich eine Brücke bauen wird, um die auch für den angehenden Lehrer in der Sekundarstufe benötigte Theorie der Analysis, wie sie auf jeder Universität gelehrt wird, mit dem Auftrag einer verantwortungsvollen Unterrichtstätigkeit an der Schule im Sinne Felix Kleins zu verbinden, der den Verfassern mit seinen berühmten Vorlesungen „Elementarmathematik vom höherem Standpunkt aus“ vor Augen stand. Mir drängt sich ein weiteres Zitat aus diesen Vorlesungen auf:

Wissenschaftlich unterrichten kann nur heißen, den Menschen dahin bringen, dass er wissenschaftlich denkt, keineswegs aber, ihm von Anfang an mit einer kalten, wissenschaftlich aufgeputzten Systematik ins Gesicht springen (Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus; Bd. 1 Arithmetik, Algebra, Analysis; anschließende Bemerkungen über den Schulunterricht).

Dieses Werk könnte jedem Studierenden der Mathematik als Ergänzung seiner Ausbildung im Fach Analysis empfohlen werden.

Rezension: Wolfgang Spiegel (Wuppertal) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 47 - Oktober 2010

 Trotz seines eher trockenen Titels beinhaltet das Buch über 300 Seiten mit Illustrationen, Beispielen und anschaulichen Definitionen und Beweisen, die Lust machen auf die Auseinandersetzung mit der Theorie der Elementaren Analysis auf eine ganz neue Weise. Ich war zunächst überrascht, als ich das Buch durchblätterte, weil es so ganz anderes ist als die bekannten Lehrbücher. Mit vielen Grafiken, Skizzen und Bildern erklären die Autoren Andreas Büchter und Hans-Wolfgang Henn die Elementare Analysis genetisch, anstatt den Stoff, wie es in der Mathematik üblich ist, axiomatisch-deduktiv zu erläutern. Das bedeutet, dass sich der Inhalt des Buches auf historische oder alltägliche Kontexte stützt, von denen sie dann die Theorie der Analysis mit Definitionen, Sätzen und Beweisen entwickeln. Der genetische Gang des Buch ist den Autoren nach meinem Urteil sehr gelungen. Die nötigen Vorkenntnisse (Mathematikkenntnisse aus dem Abitur sollten ausreichend sein) sollte man allerdings schon beherrschen. Denn hier werden nicht Rechenmethoden zum Lösen von Analysis-Aufgaben vermittelt, sondern es geht um das umfassende Verstehen der realen (geschichtlichen) und mathematischen Zusammenhänge, in denen Elementare Analysis zur Beschreibung oder Lösungsfindung verwendet wird.

Neben dem Bachelor- und Masterstudiengang ist das Lehrbuch für das Mathematikstudium von Lehramtsstudenten der Sekundarstufen I und II gedacht. Besonders der genetische Aufbau ist für zukünftige Lehrer interessant, welche später die genetische Methode ähnlich in ihren Unterricht einbinden können. Auch Schülerinnen und Schüler der Oberstufe könnten schon mal in dieses Buch schauen. Insbesondere die mathematischen Grundlagen der Analysis, wie zum Beispiel die Erklärung der reellen Zahlen, sind sehr gut verständlich und die Definitionen und Beweise sind mit Skizzen unterlegt. Die Geschichte über die Entdeckung der irrationalen Zahlen habe ich bisher nicht so spannend erlebt und das Verfahren der Intervallschachtelung wurde von den Autoren auch sehr anschaulich dargestellt. Allerdings ist der Inhalt des Buches nur bedingt für den Einsatz im Unterricht geeignet, weil die Mathematik mit vielen erst im Studium üblichen Schreibweisen dargestellt wird, und richtet sich demnach eher an Studierende.

Ein weiterer positiver Punkt ist die Internetseite des Buches http://www.elementare-analysis.de, auf welcher ein Anhang des Buches sowie Lösungsansätze der Aufgaben zu finden sind, die abschnittsweise im Buch gestellt werden. Mit Stift und Papier gerüstet kann man aber fast jede gestellte Aufgabe sogleich bearbeiteten. Sie eignen sich meiner Meinung auch für ein Tutorium oder die gemeinsame Diskussion in einer Gruppe. Denn viele der Aufgaben verlangen nach Erklärungen und man kann sich selbst oder gegenseitig überprüfen, ob das Gelesene verstanden wurde.

Das Fazit meiner Buchrezension ist, dass „Elementare Analysis“ eine tolle Erfahrung bietet um Analysis anders als in anderen Büchern zu lernen, und dass ich mir im Mathematikstudium weitere genetische Lehrbücher wünsche.

Rezension: Sarah Henne

Erste Hilfe in Analysis
Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen

Oliver Deiser
Springer Spektrum Verlag 2012, 246 Seiten, 19,95 €

ISBN 978-3-8274-2994-0
ISBN-13: 978-3827429940

Und schon wieder ein Deiser! Oliver Deiser schreibt Lehrbücher in einer unglaublichen Frequenz, und gut sind sie auch noch. Im ersten Moment bekam ich einen Schreck, denn ich hatte die Vermutung, in dieser „Ersten Hilfe“ Restmaterial aus Deisers vor kurzem in der Springer-Reihe Mathematik für das Lehramt erschienenen Buch „Analysis 1“ zu finden. Aber ich wurde schon beim Durchblättern beruhigt. Die „Erste Hilfe“ trägt den Untertitel Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen und genau das wird geboten. Die acht Kapitel tragen die folgenden Überschriften: Grundlegendes, Die reellen und komplexen Zahlen, Folgen und Grenzwerte, Reihen, Stetigkeit, Elementare Funktionen, Differentiation und Integration, und damit ist eine Stoffbreite abgezirkelt, die im Wesentlichen dem Erstsemesterkurs in Analysis an unseren Universitäten entspricht. Jedes der acht Kapitel ist in zwölf Sektionen unterteilt. Der gesamte Text ist in Doppelseiten organisiert, jedes Thema wird daher übersichtlich strukturiert. Mehr als 200 Abbildungen dienen der Veranschaulichung des Stoffes und mehr als 300 Beispiele komplettieren das Werk.

Worin besteht nun die „Erste Hilfe“ und wie unterscheidet sie sich von anderen Analysis-Büchern? Zuerst einmal in einer flacheren Lernkurve. An Stellen, an denen Anfänger bekanntermaßen Probleme haben, hält Deiser inne und hinterfragt die Bedeutung von Definitionen, Sätzen und Lemmata. Resultate werden regelrecht erläutert und zahlreiche Abbildungen tragen zum Verständnis des Stoffes bei. Komplexere Beweise werden anschaulich erklärt; besonders gut hat mir das beim Satz von Bolzano-Weierstraß gefallen. Einen rigorosen Beweis gibt Deiser hier nicht, er schreibt aber: „Eine genaue mathematische Formulierung kann diese anschauliche Darstellung des Beweises nicht ersetzen. Die Beweisidee ist vollständig vorhanden, aber die Form der Argumentation entspricht nicht der üblichen mathematischen Beweisführung. Der Anfänger ist aber aufgerufen, sich möglichst viele Beweise anschaulich klarzumachen. Beherrscht man dann noch die Übersetzung der Anschauung in die mathematische Fachsprache, so wird alles ganz einfach“. Das Fehlen eines rigorosen Beweises ist hier nicht zu kritisieren, es ist eben eine „Erste Hilfe“ und soll – so auch im Vorwort klar dargelegt – eine Begleitung und Ergänzung zu einem Skript bzw. einem Lehrbuch sein. Man erwarte also erst gar kein Lehrbuch.

Ein Rezensent des Deiserschen Buches „Analysis 1“ kritisierte bei Amazon, dass das Buch „in Layout und Visualisierungsmöglichkeiten ganz klar hinter dem Stand der Technik zurück[bleibt]“. Dieser wohl etwas jüngere Rezensent hatte mit dem Stand der Technik vielleicht Bücher wie die von Thomas, Weir und Hass (siehe unten) im Sinn, die vor bunten Abbildungen und farbigen Kästen nur so strotzen – in dieser Kategorie ist auch Deisers „Erste Hilfe“ definitiv nicht, und das wohl ganz bewusst, wie ich mir denken kann. Nicht jeder (auch nicht jeder Studierende!) liebt farbig aufgemachte Lehrbücher, zumal sie oft das falsche Signal: „Es ist eigentlich alles ganz einfach“ geben. Die Abbildungen in Deisers Buch sind alle schwarz/weiß, fehlende Färbung von Kurven wird durch verschiedene Linientypen kompensiert und nirgendwo hatte ich das Gefühl, eine wichtige Information zu verpassen. Am Ende findet man sogar noch zwei Seiten der verwendeten Notation.

Deiser hat schon wieder ein sehr empfehlenswertes Buch geschrieben. Es ist eine verständlich gefasste Hilfe für Lernende der Analysis, bei denen der Wunsch nach einer Durchdringung des Stoffes im Vordergrund steht. Es ist besonders geeignet für Studierende der Mathematik und Physik, aber auch für deren Dozenten, die vielleicht schon die Schwierigkeiten der Anfänger nicht mehr im Blick haben oder nach der einen oder der anderen alternativen Erklärung von Zusammenhängen suchen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Februar 2013, Band 60, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Thomas Sonar, TU Braunschweig

Everyday Calculus
Discovering the Hidden Math All around

Oscar E. Fernandez
Verlag: Princeton University Press 2014, 150 Seiten, 17,95 €
Sprache: Englisch

ISBN-10: 0691157553
ISBN-13: 978-0691157559

Oscar E. Fernandez, Professor am Wellesley College, beschäftigt sich in diesem Buch mit der Frage Wozu Mathematik? auf sehr humorvolle und unterhaltsame Art und Weise. Er beschreibt einen typischen Tag in seinem Leben vom Aufstehen am Morgen bis zum Zubettgehen am Abend und versteht es wunderbar Mathematik und da vor allem Differential- und Integralrechnung in diesen Alltag zu integrieren. Wie der Untertitel klar vermittelt geht es hier allerdings mehr um das Entdecken als das rigorose Herleiten von mathematischen Konzepten.

Das Buch ist eine Einladung alltägliche Erlebnisse mit mathematischen Augen zu betrachten. Der Autor wendet sich vor allem an Menschen mit ein wenig mathematischem Basiswissen in Trigonometrie und Grundkenntnissen in Integral- und Differentialrechnung, aber der Inhalt kann (mit etwas Aufwand) auch ohne diese Kenntnisse verstanden werden. Die Lesenden werden sanft an der Hand genommen und durch die Analysis geführt.

Er selbst spricht im Vorwort davon, dass es seine Absicht ist die Fassade des täglichen Lebens bei Seite zu schieben und die mathematische DNA aufzuzeigen.

Die REM und Non-REM Phasen während des Schlafens durchlaufen einen Zyklus, eine trigonometrische Funktion. Auch die elektrische Spannung, die den Radiowecker mit Strom versorgt, verläuft periodisch. Es finden sich rationale und logarithmische Funktionen im Zusammenhang mit Strom, Radio und dem Hörvorgang.

O. Fernandez erkennt beim Beobachten der Wassertropfen in der Dusche die Gravitation und beim Frühstück und dem Abkühlen seines Kaffees die durchschnittliche Änderungsrate. Sein Interesse an der momentanen Änderung führt ihn zum Grenzwertbegriff und schließlich zur Ableitung einer Funktion.

Es regnet, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Verkühlung zu bekommen und andere damit anzustecken? Zu Mittag beim Essen von Sushi lernen wir, dass die Ausbreitung von Krankheiten sich ähnlich verhält wie der Einfluss des Fischens auf die Fischpopulationen. Das bietet auch Gelegenheit sich mit exponentiellem Wachstum zu beschäftigen.

Eine Tasse Schokolade führt den Autor auf Optimierungsprobleme.

Beim Fahren mit dem Zug stellt er Überlegungen zu Zeit-Geschwindigkeit Funktionen an, für ihn eine willkommene Gelegenheit sich mit der Herleitung und Berechnung von Integralen auseinanderzusetzen. Eine mögliche Verspätung des Zuges erlaubt ihm wieder tiefer in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einzusteigen und Dichtefunktionen vorzustellen.

Immer wieder streicht Oscar E. Fernandez Ähnlichkeiten in der mathematischen Beschreibung und Behandlung von Problemen aus den verschiedensten Gebieten hervor. Insgesamt führt er die Leser und Leserinnen durch mehr als fünfzig vertraute Situationen und Aktivitäten des Tages. Über den Tag verteilt werden dabei verschiedene Klassen von Funktionen, Grenzwert, Stetigkeit von Funktionen, (erste und zweite) Ableitungen, Differentiationsregeln, Optimierung, Integral und vieles mehr vorgestellt.

Unabhängig ob Sie relativ „neu“ in der Mathematik oder schon sehr fortgeschritten sind, das Buch lädt Sie ein, einen Tag lang die Mathematik in Ihrer Umgebung zu entdecken. Es gelingt dem Autor ausgezeichnet ohne allzu große Vorkenntnisse, sehr unterhaltsam faszinierend und spannend zu erzählen und die im Alltag versteckte Mathematik aufzudecken.

Es kann sein, dass manche der Inhalte ohne jede Kenntnis oder Interesse für Mathematik etwas anspruchsvoll zu lesen sind, aber dass in diesem Buch Mathematik drinnen steckt, macht der Titel ohnehin klar. Für etwas fortgeschrittene Lesende und an der Mathematik Interessierte und Begeisterte finden sich elementare mathematische Ableitungen etwas tiefer gehend gesammelt in den Anhängen.

Das Buch ist kein Lehrbuch, kann aber eventuell begleitend zu einem einführenden Kurs oder einer ersten Vorlesung über Calculus verwendet werden.

Der Inhalt motiviert und ermutigt weitere Mathematik in der unmittelbaren Umgebung zu entdecken. Sie werden eingeladen sich auf die Suche zu begeben. Bei genauem Hinschauen findet sich Mathematik überall und verbindet erstaunlicherweise Phänomene in einer schönen und tiefen Art und Weise, von denen man auf dem ersten Blick nie gedacht hätte, dass sie etwas miteinander zu tun haben.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2015, Band 62, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Gabriela Schranz-Kirlinger (Wien)

Experimentelle Mathematik
Eine beispielorientierte Einführung

Jonathan Borwein, Keith Devlin
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2011), 158 Seiten, 17,90 €

ISBN: 978-3-8274-2661-1

Dieses nach einer Idee des Verlegers Klaus Peters entstandene Büchlein von Jonathan Borwein und Keith Devlin liegt nun, zwei Jahre nach Erscheinen der Originalausgabe („The computer as crucible“), auch in deutscher Übersetzung vor. Durch das Zusammenspiel der beiden Autoren – Borwein ist einer der bekanntesten und profiliertesten Vertreter der experimentellen Mathematik sowie Autor diverser Bücher zu diesem Thema, Devlin hat sich neben der Beschäftigung mit mathematischer Kognitionswissenschaft als Wissenschaftsjournalist einen Namen gemacht – wird die Sichtweise von innen sowie von außen auf dieses relativ neue Teilgebiet der Mathematik auf fruchtbare Weise kombiniert.

Die Autoren haben sich hierbei zum Ziel gesetzt, anhand zahlreicher Beispiele einen Einblick in einige Möglichkeiten zu geben, wie ein leistungsfähiger Computer mit Computeralgebrasystemen (CAS), numerischen Werkzeugen sowie geeigneten Datenbanken die Mathematikerin bzw. den Mathematiker beim Beweisen von Sätzen und Erkennen von Zusammenhängen unterstützen und neue Möglichkeiten eröffnen kann. Das Buch präsentiert, angereichert und aufgelockert durch Anekdoten, historische Bemerkungen und diverse amüsante und pointierte Zeichnungen, verschiedene interessante und teils erstaunliche Beispiele und Spielweisen des experimentellen Zugangs.

Zwar stellt die Experimentelle Mathematik seit jeher (allerdings ohne Computereinsatz, sondern in Form langer Rechnungen auf Papier) einen wichtigen Bestandteil der Arbeit aller bedeutenden Mathematikerinnen und Mathematiker auf dem intuitiv experimentierenden, suchenden und probierenden Weg zu letztendlich analytisch beweisbaren Hypothesen dar. Jedoch führen die Autoren vor, wie die Mathematik durch fortgeschrittenen Computereinsatz methodisch in die Nähe der klassischen Naturwissenschaften rückt, wobei das Experiment seinen Platz als selbständiger Teil der Mathematik findet, ohne jedoch die Grenzen dieses Zugangs und die Bedeutung des analytischen Beweises außer Acht zu lassen.

Im Anschluss an diese Einführung bestehen die weiteren Kapitel des Buches aus einer Reihe von Beispielen, hauptsächlich aus dem Bereich der reellen Analysis und analytischen Zahlentheorie, die eindrucksvoll die Vorzüge des experimentellen Zugangs in der Praxis vorführen. Jedes Kapitel wird unter der Überschrift „Untersuchungen“ durch eine Reihe Vorschläge und Denkanstöße zu eigenen Experimenten und Betrachtungen abgerundet, durch die die Leserin bzw. der Leser praktische Erfahrungen mit den vorgestellten Werkzeugen und Methoden sammeln kann und zu weiteren Untersuchungen und Versuchen ermutigt wird. Der Anhang liefert hierzu Lösungsvorschläge sowie weitere Denkanstöße und Ausblicke.

Das zweite Kapitel widmet sich dem Problem, eine beliebige Nachkommastelle einer irrationalen Zahl wie π in Binärdarstellung zu bestimmen. Das folgende Kapitel befasst sich mit der (Wieder-)Erkennung von Zahlen oder Folgen aus numerischen Approximationen als Ergebnis einer experimentellen Berechnung, wobei einschlägige Internet-Datenbanken zur Unterstützung der Suche geschlossener Ausdrücke vorgestellt werden. Im Anschluss rücken die Autoren die Riemannsche Zeta-Funktion in den Blickpunkt und beleuchten einige Einsichten, die sich aus experimenteller Perspektive aus ihr gewinnen lassen. Das fünfte Kapitel betrachtet die numerische Auswertung von Integralen und führt vor, wie diese mit den zuvor beschriebenen Methoden zum Auffinden einer analytischen Lösung beitragen können. Das folgende Kapitel widmet sich den Glückstreffern und unverhofften Entdeckungen und stellt einige nützliche Übungen und Tricks vor, das mathematische „Glück“ zu fördern und unterstützen. Im siebten Kapitel kommen die Autoren auf die Zahl π zurück, diesmal zur Basis 10, und diskutieren einige effiziente und schnell konvergierende Verfahren zur Berechnung möglichst vieler Dezimalstellen. Unter dem etwas provokanten Titel „Der Computer kennt mehr Mathematik als Sie“ stellen die Autoren, ausgehend von einer Aufgabe, die Donald Knuth den Leserinnen und Lesern des American Mathematical Monthly stellte und die sich mit experimentellen Mitteln elegant lösen ließ, unter anderem die Lambertsche W-Funktion vor und präsentieren ein weiteres Problem, dessen mit Hilfe von Maple gefundene Lösung nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Quantenfeldtheorie und statistischer Mechanik von Interesse ist. Das neunte Kapitel führt einige Grenzwertberechnungen von Folgen und Reihen mit Hilfe von CAS vor und veranschaulicht den Nutzen des experimentellen Zugangs in diesem Bereich. Im folgenden Kapitel weisen die Autoren auf die Grenzen, Risiken und möglichen Nebenwirkungen des experimentellen Zugangs hin und präsentieren einige Beispiele für scheinbar nahe liegende und verführerische Fehlschlüsse bei allzu großem Vertrauen in die Macht der CAS, stellen allerdings auch Vermeidungsstrategien vor.

Das letzte Kapitel liefert schließlich einige Schlaglichter und Beispiele zu Erfolgen des experimentellen Zugangs aus anderen Bereichen der Mathematik, so etwa zu einem topologischen Problem, das sich mit Hilfe von Visualisierungen von (Minimal-)Flächen lösen ließ, einen Ausflug in die Knotentheorie sowie zum Paradebeispiel des Computerbeweises, dem Vierfarbensatz, und schließlich zum Ende des Rundgangs Beispiele aus der komplexen Iteration und sogar formaler Logik und dynamischen Systemen, um einem möglichst breiten Überblick über die Möglichkeiten und Chancen der Experimentellen Mathematik vorzustellen.

Das Buch ist durchgehend gut lesbar geschrieben und stellt eine wohldosierte Gratwanderung zwischen einem Überblick über ein vielfältiges Gebiet und der konkreten Präsentation nachvollziehbarer Beispiele dar, wobei stets die Faszination und Freude der Autoren an diesem sowohl ursprünglichen als auch innovativen Zugang durchscheint.

Obwohl sich das Werk in erster Linie an forschende Mathematikerinnen und Mathematiker richtet, um ihnen das Computerexperiment als heuristisches Werkzeug schmackhaft zu machen, kann es gerade auch Studierenden der Anfangssemester empfohlen werden, die mit seiner Hilfe (und einem CAS) einen spielerischen und praktischen Zugang zur mathematischen Arbeitsweise gewinnen und so in das „Mathematik machen“ eintauchen können. So mag das Buch auch als reichhaltige Quelle an Übungen und Ideen beim Erlernen des Umgangs mit z. B. Maple oder Mathematica dienen und durch Inspiration zu eigenen, weiteren Experimenten zum Aufbau einer mathematischen Intuition beitragen. Nicht zuletzt kann das Büchlein aber auch Lehrkräften und Schülerinnen sowie Schülern der Oberstufe, die ein Mathematikstudium erwägen, ans Herz gelegt werden, da es, abgesehen von etwas Vertrautheit (oder Mut und Unverdrossenheit) im Umgang mit Reihen und Integralen kaum Vorkenntnisse voraussetzt und ihnen einen wertvollen Blick hinter die Kulissen ermöglicht, wie „Mathematik wirklich gemacht wird“ und wie ein Großteil Arbeit im Vorfeld von Sätzen mit eleganten Beweisen wirklich aussieht. Das Buch leistet einen guten Beitrag, um dem wichtigen Prozess der Suche und dem Experiment, die in der (Außen-)Darstellung von Mathematik oftmals nicht mehr wahrgenommen werden, ihren legitimen, eigenen Platz zu verschaffen, und dadurch den (praktischen) Zugang für viele Interessierte zu erleichtern.

Rezension: Gehrt Hartjen (RWTH Aachen) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 48 - März 2011

Geometry by its History

Alexander Ostermann, Gerhard Wanner
Springer; Auflage: 2012 (12. April 2012), 64,15 €

ISBN-10: 3642291627
ISBN-13: 978-3642291623

Mit diesem Werk setzt G. Wanner (Genève) die 1996 mit seinem mit E. Hairer verfassten Buch „Analysis by its History“ (mittlerweile auch Deutsch als „Analysis durch ihre Geschichte“ (2011)) begonnenen Bemühungen fort, mathematische Theorien unter Zuhilfenahme von historischen Beispielen dem fortgeschrittenen Anfängerstudenten nahe zu bringen. Der Tod der Geometrie (vor allem im klassischen insbesondere synthetischen Sinne) wird heute oft beschworen, gelegentlich sogar beklagt und der Geometrieanteil im Schulunterricht schrumpft. Lehramtsstudenten mit geringen geometrischen Vorkenntnissen bauen dieses Defizit im Studium nicht ab und verspüren später in der Praxis wenig Neigung, sich der Geometrie zuzuwenden. Darum ist es besonders erfreulich, dass gerade diese Gegenstand des neuen Buches von Ostermann und Wanner geworden ist. Vielleicht kann dieses exzellente Werk etwas dazu beitragen, diesen Teufelskreis zu durchbrechen.

„By its History“ meint keine systematische Geschichte der Geometrie, die Vorgehensweise der Autoren scheint mir am ehesten beschrieben durch Orientierung an historischen Problemen. Es geht also mehr um historische Mathematik als um Mathematikhistorie. Viel Attraktivität gewinnt das Werk aus den zahlreichen Abbildungen, von denen nicht wenige historischen Quellen entnommen wurden. So fordert es zum Blättern und Verweilen heraus, wobei man unversehens Manches lernt. Geschickt ausgewählte Zitate laden zum Nachdenken, manchmal auch zum Schmunzeln ein. In bester Schweizerischer Tradition (ich bitte den österreichischen Koautor um Nachsicht) ist hier Vielsprachigkeit gefordert. Das Buch ist kein Lehrbuch im klassischen Sinne mit der ehernen Abfolge Definitionen – Axiome – Sätze – Beweise – Beispiele. Es ist viel stärker problem- denn systemorientiert, wobei aber Beweise nicht vollkommen fehlen. Vieles wird auch einfach referiert und das Meiste muss der Leser selber leisten. Also kein Buch für „Dummies“ oder „Nullen“, das „leicht gemacht" verspricht. Welches Modell des Lernens den Autoren vielleicht vorschwebte, erfährt der Leser auf S. 345, wo L. Eulers Mathematikunterricht bei Johann Bernoulli beschrieben wird.

Der Inhalt von „Geometry by its History“ ist ganz ungewöhnlich reichhaltig. Es kommen weite Teile der synthetischen Elementargeometrie zur Sprache inklusive von Highlights älterer Schulmathematik wie der Feuerbachsche Neunpunktekreis und die Eulersche Gerade, die Kegelschnitte und die Kreisgeometrie (der Peripheriewinkelsatz als große Unbekannte heutzutage). Voran geht eine Übersicht zur Entwicklung der Geometrie vor Euklid sowie ein Überblick zum Inhalt der „Elemente“ des Euklid. Der der synthetischen Geometrie gewidmete Teil endet mit einem Kapitel über ebene und sphärische Trigonometrie. Natürlich gibt es auch schöne Anwendungen wie die Cardanische Aufhängung, den sphärischen Abstand zweier Punkte (Rom und Lutetia) und die Konstruktion von Sonnenuhren. Die Keplerschen Gesetze werden ausführlich besprochen einschließlich R. Feynmans Beweis (1964) dafür, dass sich ein Körper unter dem ausschließlichen Einfluss der Schwerpunkt um einen anderen auf einer Bahn von der Form eines (nicht-entarteten) Kegelschnitts bewegt.

Die zweite Hälfte des Buches widmet sich der analytischen Geometrie. Nach einer Einführung in das Thema Koordinaten – das Problem von Cramer-Castillon ist hier ein Kleinod, das es zu entdecken gilt – folgen Ausführungen zur Frage „Konstruierbar oder nicht-konstruierbar?“ mit der Konstruktion des regulären 17ecks – und zur Raumgeometrie in vektorieller Darstellung. Schließlich folgen Matrizen in Beziehung auf geometrische Abbildungen und quadratische Formen. Natürlich darf in einem Buch mit dem Titel „Geometry by its History“ die projektive Geometrie einschließlich der Perspektive nicht fehlen. Klassische Sätze wie Desargues, Pascal und Brianchon werden im Stile von J. V. Poncelet bewiesen, indem z. B. eine Gerade ins Unendliche geschickt wird. Auch hier sei ein Höhepunkt genannt: Poncelets Schließungssatz. Alle Ausführungen werden von historischen Hinweisen (z. B. auf Fundstellen, Erstverwendungen etc.) begleitet, was das eigenständige Weitersuchen sehr befördert. Im Unterschied zu vielen „historischen“ Hinweisen, die man sonst in Lehrbüchern findet, sind die Angaben bei Ostermann und Wanner korrekt, präzise und zuverlässig. Geschichte wird hier ernst genommen und nicht nur als nettes Ornament missbraucht. Daneben gibt es auch zahlreiche Hinweise auf zeitgenössische Arbeiten, was belegt, dass die Elementargeometrie doch nicht ganz so tot ist, wie man vermuten könnte. Daran haben auch dynamische Geometriesoftware und Computeralgebrasysteme nicht viel geändert.

Die einzelnen Kapitel enden mit ansprechenden Aufgaben – auch hier zeigt sich wieder die Problemorientierung. Deren Lösungen finden sich am Ende des Buches ebenso wie ein beeindruckend umfangreiches Literaturverzeichnis und ein sehr nützlicher Index.

Vor rund fünfzig Jahren erklärte J. Dieudonné im Vorwort zu seinem Buch „Algèbre linéaire et géométrie élémentaire“ (1964), Themen wie der Neunpunktekreis und die Euler-Geraden seien Spielzeuge, denen kein größeres Interesse mangels fehlender Allgemeinheit zukomme – wichtig sei die lineare Algebra. Diese zweifellos polemisch überhöhte Position hatte nicht unerheblichen Einfluss auf Mathematikunterricht und -studium. Das Buch von Ostermann und Wanner kann viel dazu beitragen, zu beweisen, wie Unrecht Dieudonné hatte. Es weist auf, welch großes Interesse diesen „Spielzeugen“ zukommt und dass sie nach wie vor hervorragend geeignet sind, die Begeisterung des Homo ludens zu wecken – neben Bereitschaft zur Anstrengung die beste Voraussetzung für Lernen und Verstehen. In ihrem Vorwort zitieren die Autoren Alain Connes:

„We must absolutely train very young people to do mathematics exercises, in particular geometric exercises – this is a very good training.“

Ihr Buch belegt überzeugend, wie dies auf dem Niveau des Studiums geschehen kann. Es ist Ostermann und Wanner in der Tat gelungen, ein interessantes und Freude bereitendes Buch – dies ist ihr im Vorwort ausgedrückter Wunsch – zu schreiben, das durchaus auch subtilen Humor zulässt (man vgl. etwa das goldene Zelt S. 25).

Zu diesem Werk kann man sie nur beglückwünschen und ihm eine möglichst große Verbreitung und natürlich auch eine baldige Übersetzung ins Deutsche wünschen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2014, Band 61, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Michael Drmota (TU Wien)