Leseecke

Mathematisches Problemlösen und Beweisen
Eine Entdeckungsreise in die Mathematik

Daniel Grieser
Springer Spektrum (2013), 305 Seiten, 22,95 €

ISBN-10: 3834824593
ISBN-13: 978-3834824592

In der Mathematik bereitet der Übergang von der Schule zur Universität den Studierenden offensichtlich besondere Schwierigkeiten. Wohl jeder Dozent von mathematischen Erstsemestervorlesungen hat dies schon beobachtet. Ein wesentlicher Grund scheint darin zu liegen, daß allen Anstrengungen der Fachdidaktiker zum Trotz im Schulunterricht der Schwerpunkt vielerorts nach wie vor auf dem Rechnen konkreter Aufgaben liegt, die einem vorher vielfach eingeübten Schema folgen. Abstraktere Konzepte und allgemeine Prinzipien, wie sie in der Hochschulmathematik von zentraler Bedeutung sind, spielen dagegen nur eine untergeordnete Rolle. Erst recht stellt das eigenständige Beweisen mathematischer Aussagen sowie das Bearbeiten offener Probleme, bei denen der Lösungsweg zunächst völlig unklar ist, für viele Erstsemester völliges Neuland dar und wird von vielen auch als ein ziemlicher Schock erfahren. Hinzu kommen häufig noch Schwierigkeiten mit dem deutlich massiveren Einsatz der mathematischen Formelsprache und dem präzisen Formulieren mathematischer Zusammenhänge.

Klassisch wird von Dozentenseite erwartet, daß die Studierenden diese Defizite in den ersten beiden Semestern von alleine aufholten, wenn sie nur regelmäßig ihre Übungsblätter bearbeiteten. „Ganz nebenbei“ gewännen sie dabei schon die nötige Erfahrung. Angesichts der schon immer sehr hohen Abbrecherquote in mathematischen Studiengängen kann man bezweifeln, ob dies schon jemals sonderlich gut geklappt hat. Heute gilt dies sicherlich für viele Studierende nicht mehr. Sie sind einfach überfordert mit der Vielzahl der für sie neuen Aspekte, die sie neben dem eigentlichen Vorlesungsstoff aufnehmen sollen.

Wie der Titel schon nahelegt, steht dagegen für Daniel Grieser in seinem Buch das Problemlösen und das Beweisen im Mittelpunkt. Das Erlernen entsprechender Techniken und Strategien stellt hier das zentrale Ziel und Thema dar und nicht die Vermittlung mathematischen Fachwissens. Dazu wird eine Vielzahl mathematischer Probleme detailliert studiert und der Lösungsprozeß anschließend noch einmal ausführlich analysiert. Vor allem dieser letzte Schritt macht einen großen Unterschied, da er in einer „normalen“ Vorlesung in aller Regel fehlt. Daniel Grieser orientiert sich hierbei an der Vorgehensweise in dem klassischen Buch von George Pólya Vom Lösen mathematischer Aufgaben. Die Bearbeitung eines Problems erfolgt in vier Stufen: Verstehen, Untersuchen, geordnetes Aufschreiben der Lösung und Rückschau. Das eigentliche Lösen findet hierbei überwiegend im zweiten Schritt statt; für das Erlernen des Problemlösens sind die anderen drei Schritte aber mindestens genauso wichtig.

Die betrachteten Probleme entstammen vorwiegend der Elementargeometrie, der Kombinatorik und der elementaren Zahlentheorie. Fast alle können mit Schulwissen (vorwiegend aus der Mittelstufe) behandelt werden. An zusätzlichem Stoff führt Daniel Grieser nur etwas Graphen- und Zahlentheorie ein. Dadurch ist das Buch nicht nur für Studierende, sondern auch schon für Oberstufenschüler gut lesbar. Insbesondere ist es auch hervorragend für das Selbststudium geeignet.

Bei den vorgestellten Lösungsmethoden kann man zwischen allgemeinen Strategien, die auch außerhalb der Mathematik nützlich sind, und spezifisch mathematischen Strategien unterscheiden. Zu der ersten Gruppe gehört das Betrachten von Spezialfällen und Beispielen, um ein Gefühl für das Problem zu bekommen, die Betrachtung ähnlicher oder einfacherer Probleme, das Formulieren von Vermutungen und die Einführung von Zwischenzielen. Man kann auch rückwärts statt vorwärts arbeiten. An speziellen mathematischen Lösungstechniken werden behandelt Rekursion und Induktion, diverse Abzählprinzipien, das Schubfachprinzip, das Extremalprinzip und das Invarianzprinzip.

Das Buch gliedert sich in elf Kapitel und zwei Anhänge. Ein Symbolverzeichnis, ein Glossar und Listen der Probleme, Sätze und Verfahren helfen beim intensiven Arbeiten mit dem Buch. Da man das Problemlösen und Beweisen nur dadurch erlernt, daß man selbst an Problemen und Beweisen arbeitet, endet jedes Kapitel mit einer größeren Anzahl von Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades. Zu einigen findet man am Ende des Buchs Hinweise.

Das Buch ist in einem sehr angenehmen, gut lesbaren Stil geschrieben und lädt ein zum aktiven Lesen. Die Behandlung der Probleme wird immer wieder unterbrochen durch ein Symbol „Denkpause“, das den Leser (oder die Leserin) auffordert, an dieser Stelle inne zu halten und sich selbst Gedanken zu machen, wie es weiter gehen könnte. Wer dies ernst nimmt und das Buch entsprechend intensiv durcharbeitet, wird sehr von der Lektüre profitieren. Gerade im Übergang von der Schule zur Universität sind die hier vermittelten Fähigkeiten sehr nützlich und können helfen, den Schock des ersten Semesters besser zu verdauen oder erst gar nicht entstehen zu lassen.

Werner M. Seiler (Kassel)

Operative Genese der Geometrie

Peter Bender, Alfred Schreiber
Verlag: epubli GmbH (30. Juli 2012), 39,00 €

ISBN-10: 3844224548
ISBN-13: 978-3844224542

Das Wort „Genese“ im Titel könnte dazu führen, das Buch als Geschichtsbuch der Geometrie anzusehen, was ein Irrtum wäre. Die Autoren heben deutlich hervor, dass ihnen an einem genetischen Unterricht (nach A. I. Wittenberg) gelegen ist, der allerdings auch an der „Aneignung von Wissen und Begriffen nach dem Vorbild wirklicher Vorgänge von Wissenserwerb und Begriffsbildung“ (S. 28) orientiert sein muss. – Bei flüchtigem Hinsehen könnte ferner der Eindruck entstehen, die praktischen Anwendungen sollten radikal im Vordergrund stehen auf Kosten der „reinen“ Geometrie. Dieser Eindruck wäre total falsch. Vielmehr geht es den Autoren darum, die Beziehungen zwischen den Begriffen der Geometrie und den dazu passenden realen Phänomenen deutlich werden zu lassen und damit auch zu zeigen, wieso die Mathematik überhaupt anwendbar ist.

Im Vordergrund der Handlungen („operative Geometrie“) steht die Herstellung von (geometrischen) Gegenständen, die bestimmte Zwecke im menschlichen Leben erfüllen sollen, und weniger die Gegenstände, die die Natur schon produziert hat. Ein Beispiel ist die absolut glatte Tischplatte, die wir aber nicht vollkommen herstellen können: jedoch können wir sie denken. Denken wir uns noch dazu, dass diese ideale Platte unendlich groß (und ohne Dicke) ist, dann können wir sie Ebene nennen. Das ist ein geometrischer Begriff, sogar ein Grundbegriff. Eine wichtige Eigenschaft dieser idealen Ebene ist ihre Homogenität, d. h.: Jede Eigenschaft, die eine Stelle der Ebene aufweist, weist jede Stelle der Ebene auf. Eine Folge davon ist die freie Beweglichkeit im Lager, man kann z. B. die Ebene um jeden ihrer Punkte um jeden Winkel drehen, oder man kann die Ebene beliebig verschieben (festgelegt durch 2 Punkte der Ebene, Vektor). Als Ganzes bleibt sie dabei wieder dieselbe Ebene, ohne einen Punkt außerhalb der Ebene in Mitleidenschaft zu ziehen.

Der gedankliche Prozess von realen Tischplatten zum Begriff „Ebene“ wird von den Autoren Ideation genannt, und sie legen Wert darauf, dass dies keine Abstraktion (also Weglassen) sei, sondern vielmehr ein Akt des Forderns der Eigenschaften des Ideals, „ein Hineinsehen von Eigenschaften“ (S. 21), vor allem der Eigenschaft der Homogenität. Gewissermaßen die Umkehr der Ideation, also der Prozess vom geometrischen Begriff zu möglichen Realisaten, ist genau so wichtig wie die Ideation. Die Autoren nennen es das Prinzip der Exhaustion, also der Ausschöpfung einer Idee durch immer bessere Realisate. Dieses Prinzip sorgt dafür, „dass die Geometrie auf die Wirklichkeit passt“ (S. 25), und zwar möglichst auch im Dienste unserer Lebenswelt. Beide Prinzipien, Ideation und Exhaustion, sollen gewissermaßen eine Einheit bilden. Und diese doppelte Beziehung zwischen Ideal und Realität drücken die Autoren durch diese beiden Zeilen beneidenswert schön, kurz und bündig aus (S. 21): „Wirkliches wird begriffen, Begriffe werden verwirklicht.“

Außer Gerade und Ebene gibt es weitere Flächen und Linien, die durch Homogenität ausgezeichnet sind, nämlich Kugeloberfläche und Kreislinie sowie Zylinderoberfläche und Schraubenlinie. Im Beispiel der archimedischen Schnecke (S. 98–109, Abb. 73–85) geht es begrifflich um die (unendlich gedachte) Zylinderoberfläche, in deren Inneres eine (eventuell mehrere) Schraubfläche eingepasst ist, die ihrerseits aus sog. Schraubenlinien (oder Helices) zusammengesetzt ist. Die Schraubenlinie ist die einzige homogene nicht-ebene Linie überhaupt, wie die Autoren feststellen (S. 98). Die Abwicklung führt zu weiteren Einsichten, als erstes zur Länge der Schraubenlinie (S. 107), was im allgemeinen Fall bei Raumkurven ohne Infinitesimalrechnung nicht zu haben ist. Die führt weiter zum Glanzpunkt dieses Abschnitts, zur archimedischen Schnecke. Sie besteht aus einem Zylinderrohr, und die Achse ist stabil realisiert und mit der Wendelfläche fest verbunden. Rotiert die Achse und mit ihr die Wendelfläche, so ist die Schnecke imstande, geeignete Materialien (Wasser, Sand, Getreide u. v. a.) zu verschieben.

Zum Äußeren des Wiederabdrucks: Das Buch hat 464 Seiten (ergänzend zur Erstausgabe nun durchgängig mit hilfreichen lebenden Kolumnentiteln), davon 400 Seiten Lehrtext, der aus 10 Kapiteln besteht, ferner aus 12 Seiten chronologisch geordneter Literatur über operative Geometrie, 15 Seiten alphabetisch geordneter Literatur und 22 Seiten Index (Sach- und Personenverzeichnis). Diese gründliche Ordnung ist eine starke Stütze für den Leser des Buches, das man kaum in einem Stück lesen kann, es ist vielmehr bzw. auch ein Nachschlagewerk. Besonders hervorheben möchte ich die 212 Schwarzweißzeichnungen, die auf den Seiten 435–440 der Reihe nach mit Legende versehen sind.

Erfreulich ist der Reprint dieses Buches vor allem deshalb, weil sich in der Gegenwart die Forderung nach einem fächerübergreifenden Unterricht mehr und mehr durchsetzt, u. a. dabei das hoch anspruchsvolle MINT-Programm (Zusammenwirken von Mathematik, Informatik, Naturwissenschaften und Technik im Unterricht). Alle Mathematiklehrer, die sich darum bemühen, das MINT-Programm erfolgreich zu gestalten, werden in diesem Buch nicht nur eine üppige Anzahl von konkreten Beispielen vorfinden, sondern auch die luzide Diskussion übergeordneter Fragen zum Lehren und Lernen. Ich bin darüber hinaus der Meinung, dass die Lektüre dieses Buches unverzichtbar für alle Geometrielehrer ist, auch unabhängig von dem MINT-Programm.

Eines möchte ich garantieren: Jede Lehrerin und jeder Lehrer wird nach der Lektüre unsere Welt anders sehen und wird seine Schulklasse aufs höchste erfreuen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2014, Band 61, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Heinrich W. Winter (Aachen)

Roads to infinity
The Mathamatics of the truth and proof

John Stillwell
A.K. Peters, (2010), xi + 203 Seiten, 31,99 €

ISBN: 978-1-56881-466-7

Für Stillwells Buch über das Unendliche in der Mathematik spreche ich gerne eine uneingeschränkte Empfehlung aus (und werde diese zur Sicherheit am Schluss dieser Rezension nochmals wiederholen): Schöner kann man die Welt der Unendlichkeit nicht darstellen! Außer dem Willen zum intensiven Nachdenken, bei der häufig die Gefahr eines Knotens im Hirns besteht, muss der Leser eigentlich nicht viel wissen, so dass zumindest Teile des Buchs auch einem interessierten Abiturienten zugänglich sind. Die Belohnung besteht in einem sehr umfangreichen Einblick in die Unendlichkeit, ihrer unendlichen Tücken und ihrer Verflechtung mit der Mathematik. Stillwell versteht es, verwickelte Angelegenheiten klar und vor allem spannend zu schildern sowie durch viele interessante historische Anmerkungen den Leser zu fesseln, so dass ich das Buch nicht mehr aus der Hand legen wollte. Mehr kann man nicht verlangen!

Am Beginn steht bekannte Kost: Abzählbar unendliche Mengen werden eingeführt, Cantors Diagonalargument beleuchtet und die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nachgewiesen. Ein kurzer Exkurs zu den transzendenten Zahlen zeigt, dass der Autor nicht nur in Mengenlehre und Logik verweilen will, sondern vielmehr die Relevanz dieser Gebiete für die Mathematik erhellen möchte. Besonders gut gefallen haben mir die Erläuterungen zu den abzählbaren Ordinalzahlen, die in engen Zusammenhang mit immer schneller wachsenden Folgen natürlicher Zahlen gebracht werden und so eine eindrucksvolle Idee der Größe der Ordinalzahl

0=

vermitteln. Die weitere Betrachtung von Wachstumsraten von Folgen natürlicher Zahlen macht wenig später die Notwendigkeit des Wohlordnungssatzes deutlich, und auch die überabzählbare Ordinalzahl 1 ist jetzt mit im Spiel. Der Goodstein-Prozess macht nochmals klar, wie eng natürliche Zahlen und Ordinalzahlen miteinander verwoben sind: Man nehme eine natürliche Zahl n1 und stelle sie (inklusive aller Exponenten) im Zweiersystem dar. Anschließend schreibe man für jede 2 eine 3 und ziehe von der so entstandenen Zahl 1 ab. Das Ergebnis n2 stelle man im Dreiersystem dar, ersetze dann jede 3 durch eine 4, ziehe 1 ab und nenne die jetzt gewonnene Zahl n3 – usw. Während die so entstehende Folge n1, n2, . . . für n1 = 3 recht schnell bei 0 landet, scheinen die Folgenglieder bereits für n1=4 förmlich nach oben zu schnellen. Das überraschende Ergebnis von Goodstein besagt aber, dass ungeachtet der Wahl von n1 die Folge stets bei 0 endet! Bewiesen wird dies durch geschicktes Umschreiben der Folgenglieder in eine fallende Folge von Ordinalzahlen. Durchaus nicht zufällig ist dabei die Arithmetik der Ordinalzahlen unterhalb von 0 entscheidend. Für den genauen Zusammenhang ist aber etliches an Logik erforderlich, die in den nächsten beiden Kapiteln behandelt wird. Gödels erster und zweiter Unvollständigkeitssatz, das Halteproblem und das Entscheidungsproblem stehen auf dem Programm und werden dem Leser gut verständlich näher gebracht. Damit ist die Grundlage für die Erläuterung des Theorems von Gentzen gelegt: 0 ist die kleinste Ordinalzahl α, für die α-Induktion mit Mitteln der Peano–Arithmetik nicht beweisbar ist. Damit erweist sich die doch recht unhandliche Zahl ε₀ als ein Maß für die Komplexität des Rechnens mit natürlichen Zahlen – eine echte Überraschung. Dieser Zusammenhang zwischen der „endlichen Welt“ und der Theorie der Ordinalzahlen wird im Anschluss noch weiter ausgebaut. Wir erfahren etwas über schwere Theoreme der Graphentheorie, unerreichbare Kardinalzahlen sowie über Zöpfe. Weiterhin wird uns die Idee nahegebracht, die Theorie der Unendlichkeiten zu einer befriedigenden Lösung des Problems mit der Kontinuumshypothese heranzuziehen. Und so endet das überaus lesenswerte Buch, das ich nochmals jedem mathematisch Interessierten ans Herz legen möchte, mit Hilberts Hoffnung: „Wir müssen wissen, und wir werden wissen“.

Rezension: Harald Löwe, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 250
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Schlüsselkonzepte zur Statistik
die wichtigsten Methoden, Verteilungen, Tests anschaulich erklärt

Thomas Benesch
Spektrum Akademischer Verlag (2013), Taschenbuch, 240 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 3827427711
ISBN-13: 978-3827427717

Dieses Buch wendet sich an Anwender der Statistik, die die Grundlagen bereits gelernt haben. Es informiert in 8 Kapiteln zu je 6 Abschnitten über statistische Kernideen und illustriert diese mit Hilfe von Beispielen. Die Kapitel behandeln im einzelnen:

Kapitel 1: Grundbegriffe der Statistik;
Kapitel 2: Statistische Maßzahlen;
Kapitel 3: Statistische Maßzahlen für den Zusammenhang;
Kapitel 4: Graphische und tabellarische Komprimierung;
Kapitel 5: Regression;
Kapitel 6: Grundbegriffe der schließenden Statistik;
Kapitel 7: Leitfäden der schließenden Statistik;
Kapitel 8: Verfahren zur Überprüfung von Unterschieds- und Zusammenhangshypothesen.

Es sei betont, dass es sich nicht um ein Lehrbuch handelt, sondern um einen Text, der wesentliche Konzepte und Ideen für die Leser komprimiert aufbereitet. Es wird vorausgesetzt, dass die Leser bereits statistische Grundkenntnisse besitzen, etwa über den X²- und den t-Test sowie deskriptive Verfahren. Das Ziel des Autors ist es, die Fähigkeit zu entwickeln, „[. . . ] Bereiche mit statistischem Bezug zu verstehen (und auch kritisch zu bewerten).“ Der technisch-mathematische Inhalt bleibt dabei vollkommen im Hintergrund; explizit beschränkt sich der Autor auf die Anwendung der Grundrechenarten.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

So einfach ist Mathematik
Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen

Dirk Langemann, Vanessa Sommer
Springer Spektrum; Auflage: 1. Aufl. 2016. (14. September 2015)
Taschenbuch, 240 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3662471035
ISBN-13: 978-3662471036

Die Anfängerzahlen in den ingenieurwissenschaftlichen Fächern sind in den letzten Jahren an den Technischen Universitäten stark angestiegen. Mit diesem prinzipiell begrüßenswertem Anstieg ist allerdings auch die immer größere Zahl derjenigen Studentinnen und Studenten gestiegen, die mit nicht mehr ausreichenden Mathematikkenntnissen ein solches Studium in Angriff nehmen. Eklatante Mängel zeigen sich dabei nicht etwa nur bei der sogenannten „höheren“ Mathematik, sondern bereits bei elementaren Techniken der Bruch- oder Potenzrechnung. Es ist ein offenes Geheimnis, dass der Mathematikunterricht an den Gymnasien heute in der Regel für ein MINT-Studium kaum noch ausreicht; der politische Wunsch nach einer immer weiter wachsenden Zahl von Abiturientinnen und Abiturienten und zahllose sogenannte Unterrichtsreformen bis hin zur völlig inhaltslosen Kompetenzorientierung des Mathematikunterrichts haben tiefe Spuren der Verwüstung hinterlassen. Die Leidtragenden dieser Entwicklung sind die jungen Leute, die sich nach der Schule in den Hörsälen wiederfinden und mit Ingenieurmathematik (bzw. Mathematik, Physik, Informatik) in Berührung kommen.

Mein Kollege Dirk Langemann liest seit vielen Jahren die Ingenieurmathematik für Maschinenbau- und Bauingenieurstudierende und hat daher sehr reichhaltige Erfahrungen sammeln können. Viele Studentinnen und Studenten haben regelrecht Angst vor der Mathematik entwickelt, einige haben sich selbst schon beinahe aufgegeben und vertrauen fragwürdigen Ratschlägen älterer Semester zum „Überleben“ der Mathematikvorlesungen. Da diese Studentinnen und Studenten aber keineswegs dümmer sind als ihre Vorgänger vor zwei Jahrzehnten, muss man ihnen mit konkreten Hinweisen helfen. Genau das will das vorliegende Buch, das Langemann mit seiner Mitarbeiterin Vanessa Sommer, einer studierten Mathematiklehrerin, erreichen.

Das Einstiegskapitel „Bevor’s richtig losgeht“ heißt Leserinnen und Leser erst einmal willkommen und steckt den Claim ab. Schon hier werden die Adressaten sehr liebevoll empfangen, aber sie erfahren auch schon wichtige Hilfestellungen. Jeder Dozent kennt vermutlich die bohrende Frage von Erstsemestern: „Wozu brauche ich das?“. Dahinter steckt wohl der Wunsch, nur genau das lernen zu müssen (wollen?), was man später in der Anwendung auch wirklich benötigt, und die Mathematikausbildung der Anfänger scheint vielen sehr fern davon zu sein. Langemann/Sommer bringen als schlagendes Beispiel einen ersten Tag in einer Fahradwerkstatt, in der der Novize eine Schraube mit Querbohrung findet und laut ausruft, dass niemand eine solche Schraube braucht. Es handelt sich aber um die wichtige Schraube für die Bowdenzüge der Bremsen! Mit feinem mecklenburgischen Humor (Langemann stammt aus Rostock), der das gesamte Buch durchzieht, berichten die Autoren von einer Prüfung, die irgendwo in der Mitte Deutschlands stattgefunden haben soll. Ein Lehramtskandidat wurde gefragt, wie viele Kubikzentimeter einen Kubikmeter bilden, und er wusste es nicht, auch nicht nach massiver Hilfe und Veranschaulichung. Das ist natürlich ein trauriger Einzelfall, aber inzwischen haben die Autoren ebenfalls solche Erlebnisse gehabt und dabei mit Taschentuchpackungen und aus einem Apfel geschnitzten Würfeln versucht, Hilfestellungen zu geben. In einem dieser Fälle kam nach nicht bestandener Prüfung sogar der Brief eines Anwalts, der auf die attestierte Hochbegabung des Prüflings hinwies! Immer wieder berichten die Autoren von solchen und ähnlichen Fällen („e weiß ich jetzt nicht“) – immer aber mit der Intention und der Erläuterung, dass sie ihre Leserinnen und Leser davon abhalten wollen, solche Offenbarungseide abzulegen. „Sie werden es schaffen“, schreiben die Autoren, und nach der Lektüre dieses Buches kann man es auch schaffen!

Das zweite Kapitel ist häufigen Fragen gewidmet und hier geben Langemann/Sommer unentbehrliche Hinweise. Sie wissen wie sich Studentinnen und Studenten fühlen, die mit Mathematik nicht zurechtkommen, und sie wissen auch um die vielen Fallen, in die man in solcher Situation und Gemütslage tappen kann. Wie lernt man Mathematik? Warum ist es wichtig, die Bedeutung der Mathematik erst einmal zu akzeptieren, bevor man die Anwendungen in der Praxis kennt? Wie argumentiert man in der Mathematik? Wann hat man einen mathematischen Sachverhalt verstanden? Wie schreibt man Mathematik auf und warum? Wie kann ich selbst einfache Rechenregeln prüfen, wenn ich sie doch einmal vergessen habe? Brauche ich Mathematik? Was sollen Beweise? Das sind einige der Fragen, die das Autorenduo klug und mit Blick auf die Studierenden diskutiert. Und das wichtigste: man darf nicht nur selbst ausprobieren, man muss es sogar, denn ohne aktiven Einsatz ist Mathematik nicht zu lernen.

Im dritten Kapitel geht es dann zur Sache, und zwar zuerst mit den natürlichen Zahlen, dem Kopfrechnen, der überschlägigen Rechnung und der Klammersetzung. Schriftliches Rechnen, Zahlbereichserweiterungen, Division mit Rest, Bruchrechnen, das Rechnen mit Beträgen, die Primzahlen, Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze werden nicht dogmatisch wie in einem Lehrbuch behandelt, sondern es wird mit zahlreichen Beispielen und Gegenbeispielen motiviert und über die jeweilige Mathematik gesprochen; ja, manchmal sogar philosophiert. Den Abschluss des dritten Kapitels bildet ein Ausflug in die schlimmsten Fehler, die man in der Elementarmathematik machen kann und die beide Autoren auch bei ihren Studentinnen und Studenten des öfteren gesehen haben. Auch hier wird aber niemand vorgeführt, sondern streng (aber immer liebevoll) an die Hand genommen.

Im vierten Kapitel wird „ein bisschen Geometrie“ betrieben. Die klassische Geometrie hat noch vor der Analysis in der Schulmathematik schwere Einbußen hinnehmen müssen und ist bei vielen Studienanfängern kaum noch vorhanden. Im fünften Kapitel stehen Funktionen im Zentrum der Diskussion. Die Bedeutung des Graphen wird beschrieben, ein Klausurbeispiel einer gebrochen rationalen Funktion durchgesprochen, und auch eine durch geschachtelte Beträge definierte Funktion wird mit einer Anweisung zum Zeichnen des Graphen vorgestellt. Das Verschieben von Funktionen auf Ordinate und Abszisse wird behandelt, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen werden diskutiert, auch die Verkettung von Funktionen wird angesprochen. Dann geht es um Flächen und Änderungen; hier werden Integral und Ableitung eingeführt und die zugehörigen Rechenregeln hergeleitet. Hier, wie überall im Buch, steht dezidiert kein Lehrbuchcharakter hinter den Ausführungen. Man lernt wichtige Zusammenhänge sozusagen beim Lesen, das man allerdings (auch darauf weisen die Autoren mehrmals hin) mit Bleistift und Papier ergänzen sollte.

In den folgenden Kapiteln geht die Reise weiter vom Umgang mit mathematischen Symbolen (Binomische Formeln, Termumformungen, Polynomdivision, Partialbruchzerlegung) bis hin zu Gleichungen (lineare, quadratische, Systeme) und einfachen Beweisen von Ungleichungen, wobei auch Beweistechniken erläutert werden.

Im neunten Kapitel geben die Autoren Hinweise, wie man ein mathematisches Fachbuch lesen sollte. Dann kommen zwei abschließende Kapitel, die man nur als „survival guide“ bezeichnen kann. Hier wird sachlich beschrieben, dass der Glaube an Rechenrezepte und an Taschenrechner in die Irre führt. Gefährlich ist auch Halbwissen, auf das man sich nie verlassen sollte. Dann geht es um beliebte Ausreden und immer wieder vorgebrachte Entschuldigungen für das Versagen in Klausuren oder mündlichen Prüfungen. Auch hier finden die Leserinnen und Leser an keiner Stelle Vorwürfe, aber „Zahlenblindheit“, „Dyskalkulie“ und echte „Prüfungsangst“ treten nun einmal wirklich sehr selten auf – viel seltener als die meisten Studierenden das vermuten.

Das Buch von Langemann und Sommer kann nicht genug gepriesen werden. An keiner Stelle werden Vorwürfe erhoben, sondern die Studentinnen und Studenten werden ernst genommen und dort abgeholt, wo sie stehen: am Anfang ihrer ernsthaften Beschäftigung mit dem Fach Mathematik. Ich habe die Vokabel schon zwei Mal verwendet, aber mir fällt keine bessere ein: das Buch ist äußerst liebevoll geschrieben! Ich kann es allen Studienanfängern nur wärmstens empfehlen, die sich in ihrem Studium mit Mathematik beschäftigen müssen, und nach Lektüre dieses wundervollen Buches auch hoffentlich wollen. Auch Schülerinnen und Schüler, die sich mit der Mathematik schwertun, werden sicher von diesem Buch profitieren. Wenn man nach der Lektüre immer noch Mathematik für ein A...loch hält, dann hat man sicher ein falsches Studienfach gewählt! Ein grandioses Buch.

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags