Leseecke

Operative Genese der Geometrie

Peter Bender, Alfred Schreiber
Verlag: epubli GmbH (30. Juli 2012), 39,00 €

ISBN-10: 3844224548
ISBN-13: 978-3844224542

Das Wort „Genese“ im Titel könnte dazu führen, das Buch als Geschichtsbuch der Geometrie anzusehen, was ein Irrtum wäre. Die Autoren heben deutlich hervor, dass ihnen an einem genetischen Unterricht (nach A. I. Wittenberg) gelegen ist, der allerdings auch an der „Aneignung von Wissen und Begriffen nach dem Vorbild wirklicher Vorgänge von Wissenserwerb und Begriffsbildung“ (S. 28) orientiert sein muss. – Bei flüchtigem Hinsehen könnte ferner der Eindruck entstehen, die praktischen Anwendungen sollten radikal im Vordergrund stehen auf Kosten der „reinen“ Geometrie. Dieser Eindruck wäre total falsch. Vielmehr geht es den Autoren darum, die Beziehungen zwischen den Begriffen der Geometrie und den dazu passenden realen Phänomenen deutlich werden zu lassen und damit auch zu zeigen, wieso die Mathematik überhaupt anwendbar ist.

Im Vordergrund der Handlungen („operative Geometrie“) steht die Herstellung von (geometrischen) Gegenständen, die bestimmte Zwecke im menschlichen Leben erfüllen sollen, und weniger die Gegenstände, die die Natur schon produziert hat. Ein Beispiel ist die absolut glatte Tischplatte, die wir aber nicht vollkommen herstellen können: jedoch können wir sie denken. Denken wir uns noch dazu, dass diese ideale Platte unendlich groß (und ohne Dicke) ist, dann können wir sie Ebene nennen. Das ist ein geometrischer Begriff, sogar ein Grundbegriff. Eine wichtige Eigenschaft dieser idealen Ebene ist ihre Homogenität, d. h.: Jede Eigenschaft, die eine Stelle der Ebene aufweist, weist jede Stelle der Ebene auf. Eine Folge davon ist die freie Beweglichkeit im Lager, man kann z. B. die Ebene um jeden ihrer Punkte um jeden Winkel drehen, oder man kann die Ebene beliebig verschieben (festgelegt durch 2 Punkte der Ebene, Vektor). Als Ganzes bleibt sie dabei wieder dieselbe Ebene, ohne einen Punkt außerhalb der Ebene in Mitleidenschaft zu ziehen.

Der gedankliche Prozess von realen Tischplatten zum Begriff „Ebene“ wird von den Autoren Ideation genannt, und sie legen Wert darauf, dass dies keine Abstraktion (also Weglassen) sei, sondern vielmehr ein Akt des Forderns der Eigenschaften des Ideals, „ein Hineinsehen von Eigenschaften“ (S. 21), vor allem der Eigenschaft der Homogenität. Gewissermaßen die Umkehr der Ideation, also der Prozess vom geometrischen Begriff zu möglichen Realisaten, ist genau so wichtig wie die Ideation. Die Autoren nennen es das Prinzip der Exhaustion, also der Ausschöpfung einer Idee durch immer bessere Realisate. Dieses Prinzip sorgt dafür, „dass die Geometrie auf die Wirklichkeit passt“ (S. 25), und zwar möglichst auch im Dienste unserer Lebenswelt. Beide Prinzipien, Ideation und Exhaustion, sollen gewissermaßen eine Einheit bilden. Und diese doppelte Beziehung zwischen Ideal und Realität drücken die Autoren durch diese beiden Zeilen beneidenswert schön, kurz und bündig aus (S. 21): „Wirkliches wird begriffen, Begriffe werden verwirklicht.“

Außer Gerade und Ebene gibt es weitere Flächen und Linien, die durch Homogenität ausgezeichnet sind, nämlich Kugeloberfläche und Kreislinie sowie Zylinderoberfläche und Schraubenlinie. Im Beispiel der archimedischen Schnecke (S. 98–109, Abb. 73–85) geht es begrifflich um die (unendlich gedachte) Zylinderoberfläche, in deren Inneres eine (eventuell mehrere) Schraubfläche eingepasst ist, die ihrerseits aus sog. Schraubenlinien (oder Helices) zusammengesetzt ist. Die Schraubenlinie ist die einzige homogene nicht-ebene Linie überhaupt, wie die Autoren feststellen (S. 98). Die Abwicklung führt zu weiteren Einsichten, als erstes zur Länge der Schraubenlinie (S. 107), was im allgemeinen Fall bei Raumkurven ohne Infinitesimalrechnung nicht zu haben ist. Die führt weiter zum Glanzpunkt dieses Abschnitts, zur archimedischen Schnecke. Sie besteht aus einem Zylinderrohr, und die Achse ist stabil realisiert und mit der Wendelfläche fest verbunden. Rotiert die Achse und mit ihr die Wendelfläche, so ist die Schnecke imstande, geeignete Materialien (Wasser, Sand, Getreide u. v. a.) zu verschieben.

Zum Äußeren des Wiederabdrucks: Das Buch hat 464 Seiten (ergänzend zur Erstausgabe nun durchgängig mit hilfreichen lebenden Kolumnentiteln), davon 400 Seiten Lehrtext, der aus 10 Kapiteln besteht, ferner aus 12 Seiten chronologisch geordneter Literatur über operative Geometrie, 15 Seiten alphabetisch geordneter Literatur und 22 Seiten Index (Sach- und Personenverzeichnis). Diese gründliche Ordnung ist eine starke Stütze für den Leser des Buches, das man kaum in einem Stück lesen kann, es ist vielmehr bzw. auch ein Nachschlagewerk. Besonders hervorheben möchte ich die 212 Schwarzweißzeichnungen, die auf den Seiten 435–440 der Reihe nach mit Legende versehen sind.

Erfreulich ist der Reprint dieses Buches vor allem deshalb, weil sich in der Gegenwart die Forderung nach einem fächerübergreifenden Unterricht mehr und mehr durchsetzt, u. a. dabei das hoch anspruchsvolle MINT-Programm (Zusammenwirken von Mathematik, Informatik, Naturwissenschaften und Technik im Unterricht). Alle Mathematiklehrer, die sich darum bemühen, das MINT-Programm erfolgreich zu gestalten, werden in diesem Buch nicht nur eine üppige Anzahl von konkreten Beispielen vorfinden, sondern auch die luzide Diskussion übergeordneter Fragen zum Lehren und Lernen. Ich bin darüber hinaus der Meinung, dass die Lektüre dieses Buches unverzichtbar für alle Geometrielehrer ist, auch unabhängig von dem MINT-Programm.

Eines möchte ich garantieren: Jede Lehrerin und jeder Lehrer wird nach der Lektüre unsere Welt anders sehen und wird seine Schulklasse aufs höchste erfreuen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2014, Band 61, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Heinrich W. Winter (Aachen)

Roads to infinity
The Mathamatics of the truth and proof

John Stillwell
A.K. Peters, (2010), xi + 203 Seiten, 31,99 €

ISBN: 978-1-56881-466-7

Für Stillwells Buch über das Unendliche in der Mathematik spreche ich gerne eine uneingeschränkte Empfehlung aus (und werde diese zur Sicherheit am Schluss dieser Rezension nochmals wiederholen): Schöner kann man die Welt der Unendlichkeit nicht darstellen! Außer dem Willen zum intensiven Nachdenken, bei der häufig die Gefahr eines Knotens im Hirns besteht, muss der Leser eigentlich nicht viel wissen, so dass zumindest Teile des Buchs auch einem interessierten Abiturienten zugänglich sind. Die Belohnung besteht in einem sehr umfangreichen Einblick in die Unendlichkeit, ihrer unendlichen Tücken und ihrer Verflechtung mit der Mathematik. Stillwell versteht es, verwickelte Angelegenheiten klar und vor allem spannend zu schildern sowie durch viele interessante historische Anmerkungen den Leser zu fesseln, so dass ich das Buch nicht mehr aus der Hand legen wollte. Mehr kann man nicht verlangen!

Am Beginn steht bekannte Kost: Abzählbar unendliche Mengen werden eingeführt, Cantors Diagonalargument beleuchtet und die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen nachgewiesen. Ein kurzer Exkurs zu den transzendenten Zahlen zeigt, dass der Autor nicht nur in Mengenlehre und Logik verweilen will, sondern vielmehr die Relevanz dieser Gebiete für die Mathematik erhellen möchte. Besonders gut gefallen haben mir die Erläuterungen zu den abzählbaren Ordinalzahlen, die in engen Zusammenhang mit immer schneller wachsenden Folgen natürlicher Zahlen gebracht werden und so eine eindrucksvolle Idee der Größe der Ordinalzahl

0=

vermitteln. Die weitere Betrachtung von Wachstumsraten von Folgen natürlicher Zahlen macht wenig später die Notwendigkeit des Wohlordnungssatzes deutlich, und auch die überabzählbare Ordinalzahl 1 ist jetzt mit im Spiel. Der Goodstein-Prozess macht nochmals klar, wie eng natürliche Zahlen und Ordinalzahlen miteinander verwoben sind: Man nehme eine natürliche Zahl n1 und stelle sie (inklusive aller Exponenten) im Zweiersystem dar. Anschließend schreibe man für jede 2 eine 3 und ziehe von der so entstandenen Zahl 1 ab. Das Ergebnis n2 stelle man im Dreiersystem dar, ersetze dann jede 3 durch eine 4, ziehe 1 ab und nenne die jetzt gewonnene Zahl n3 – usw. Während die so entstehende Folge n1, n2, . . . für n1 = 3 recht schnell bei 0 landet, scheinen die Folgenglieder bereits für n1=4 förmlich nach oben zu schnellen. Das überraschende Ergebnis von Goodstein besagt aber, dass ungeachtet der Wahl von n1 die Folge stets bei 0 endet! Bewiesen wird dies durch geschicktes Umschreiben der Folgenglieder in eine fallende Folge von Ordinalzahlen. Durchaus nicht zufällig ist dabei die Arithmetik der Ordinalzahlen unterhalb von 0 entscheidend. Für den genauen Zusammenhang ist aber etliches an Logik erforderlich, die in den nächsten beiden Kapiteln behandelt wird. Gödels erster und zweiter Unvollständigkeitssatz, das Halteproblem und das Entscheidungsproblem stehen auf dem Programm und werden dem Leser gut verständlich näher gebracht. Damit ist die Grundlage für die Erläuterung des Theorems von Gentzen gelegt: 0 ist die kleinste Ordinalzahl α, für die α-Induktion mit Mitteln der Peano–Arithmetik nicht beweisbar ist. Damit erweist sich die doch recht unhandliche Zahl ε₀ als ein Maß für die Komplexität des Rechnens mit natürlichen Zahlen – eine echte Überraschung. Dieser Zusammenhang zwischen der „endlichen Welt“ und der Theorie der Ordinalzahlen wird im Anschluss noch weiter ausgebaut. Wir erfahren etwas über schwere Theoreme der Graphentheorie, unerreichbare Kardinalzahlen sowie über Zöpfe. Weiterhin wird uns die Idee nahegebracht, die Theorie der Unendlichkeiten zu einer befriedigenden Lösung des Problems mit der Kontinuumshypothese heranzuziehen. Und so endet das überaus lesenswerte Buch, das ich nochmals jedem mathematisch Interessierten ans Herz legen möchte, mit Hilberts Hoffnung: „Wir müssen wissen, und wir werden wissen“.

Rezension: Harald Löwe, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 250
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Schlüsselkonzepte zur Statistik
die wichtigsten Methoden, Verteilungen, Tests anschaulich erklärt

Thomas Benesch
Spektrum Akademischer Verlag (2013), Taschenbuch, 240 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 3827427711
ISBN-13: 978-3827427717

Dieses Buch wendet sich an Anwender der Statistik, die die Grundlagen bereits gelernt haben. Es informiert in 8 Kapiteln zu je 6 Abschnitten über statistische Kernideen und illustriert diese mit Hilfe von Beispielen. Die Kapitel behandeln im einzelnen:

Kapitel 1: Grundbegriffe der Statistik;
Kapitel 2: Statistische Maßzahlen;
Kapitel 3: Statistische Maßzahlen für den Zusammenhang;
Kapitel 4: Graphische und tabellarische Komprimierung;
Kapitel 5: Regression;
Kapitel 6: Grundbegriffe der schließenden Statistik;
Kapitel 7: Leitfäden der schließenden Statistik;
Kapitel 8: Verfahren zur Überprüfung von Unterschieds- und Zusammenhangshypothesen.

Es sei betont, dass es sich nicht um ein Lehrbuch handelt, sondern um einen Text, der wesentliche Konzepte und Ideen für die Leser komprimiert aufbereitet. Es wird vorausgesetzt, dass die Leser bereits statistische Grundkenntnisse besitzen, etwa über den X²- und den t-Test sowie deskriptive Verfahren. Das Ziel des Autors ist es, die Fähigkeit zu entwickeln, „[. . . ] Bereiche mit statistischem Bezug zu verstehen (und auch kritisch zu bewerten).“ Der technisch-mathematische Inhalt bleibt dabei vollkommen im Hintergrund; explizit beschränkt sich der Autor auf die Anwendung der Grundrechenarten.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

So einfach ist Mathematik
Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen

Dirk Langemann, Vanessa Sommer
Springer Spektrum; Auflage: 1. Aufl. 2016. (14. September 2015)
Taschenbuch, 240 Seiten, 19,99 €

ISBN-10: 3662471035
ISBN-13: 978-3662471036

Die Anfängerzahlen in den ingenieurwissenschaftlichen Fächern sind in den letzten Jahren an den Technischen Universitäten stark angestiegen. Mit diesem prinzipiell begrüßenswertem Anstieg ist allerdings auch die immer größere Zahl derjenigen Studentinnen und Studenten gestiegen, die mit nicht mehr ausreichenden Mathematikkenntnissen ein solches Studium in Angriff nehmen. Eklatante Mängel zeigen sich dabei nicht etwa nur bei der sogenannten „höheren“ Mathematik, sondern bereits bei elementaren Techniken der Bruch- oder Potenzrechnung. Es ist ein offenes Geheimnis, dass der Mathematikunterricht an den Gymnasien heute in der Regel für ein MINT-Studium kaum noch ausreicht; der politische Wunsch nach einer immer weiter wachsenden Zahl von Abiturientinnen und Abiturienten und zahllose sogenannte Unterrichtsreformen bis hin zur völlig inhaltslosen Kompetenzorientierung des Mathematikunterrichts haben tiefe Spuren der Verwüstung hinterlassen. Die Leidtragenden dieser Entwicklung sind die jungen Leute, die sich nach der Schule in den Hörsälen wiederfinden und mit Ingenieurmathematik (bzw. Mathematik, Physik, Informatik) in Berührung kommen.

Mein Kollege Dirk Langemann liest seit vielen Jahren die Ingenieurmathematik für Maschinenbau- und Bauingenieurstudierende und hat daher sehr reichhaltige Erfahrungen sammeln können. Viele Studentinnen und Studenten haben regelrecht Angst vor der Mathematik entwickelt, einige haben sich selbst schon beinahe aufgegeben und vertrauen fragwürdigen Ratschlägen älterer Semester zum „Überleben“ der Mathematikvorlesungen. Da diese Studentinnen und Studenten aber keineswegs dümmer sind als ihre Vorgänger vor zwei Jahrzehnten, muss man ihnen mit konkreten Hinweisen helfen. Genau das will das vorliegende Buch, das Langemann mit seiner Mitarbeiterin Vanessa Sommer, einer studierten Mathematiklehrerin, erreichen.

Das Einstiegskapitel „Bevor’s richtig losgeht“ heißt Leserinnen und Leser erst einmal willkommen und steckt den Claim ab. Schon hier werden die Adressaten sehr liebevoll empfangen, aber sie erfahren auch schon wichtige Hilfestellungen. Jeder Dozent kennt vermutlich die bohrende Frage von Erstsemestern: „Wozu brauche ich das?“. Dahinter steckt wohl der Wunsch, nur genau das lernen zu müssen (wollen?), was man später in der Anwendung auch wirklich benötigt, und die Mathematikausbildung der Anfänger scheint vielen sehr fern davon zu sein. Langemann/Sommer bringen als schlagendes Beispiel einen ersten Tag in einer Fahradwerkstatt, in der der Novize eine Schraube mit Querbohrung findet und laut ausruft, dass niemand eine solche Schraube braucht. Es handelt sich aber um die wichtige Schraube für die Bowdenzüge der Bremsen! Mit feinem mecklenburgischen Humor (Langemann stammt aus Rostock), der das gesamte Buch durchzieht, berichten die Autoren von einer Prüfung, die irgendwo in der Mitte Deutschlands stattgefunden haben soll. Ein Lehramtskandidat wurde gefragt, wie viele Kubikzentimeter einen Kubikmeter bilden, und er wusste es nicht, auch nicht nach massiver Hilfe und Veranschaulichung. Das ist natürlich ein trauriger Einzelfall, aber inzwischen haben die Autoren ebenfalls solche Erlebnisse gehabt und dabei mit Taschentuchpackungen und aus einem Apfel geschnitzten Würfeln versucht, Hilfestellungen zu geben. In einem dieser Fälle kam nach nicht bestandener Prüfung sogar der Brief eines Anwalts, der auf die attestierte Hochbegabung des Prüflings hinwies! Immer wieder berichten die Autoren von solchen und ähnlichen Fällen („e weiß ich jetzt nicht“) – immer aber mit der Intention und der Erläuterung, dass sie ihre Leserinnen und Leser davon abhalten wollen, solche Offenbarungseide abzulegen. „Sie werden es schaffen“, schreiben die Autoren, und nach der Lektüre dieses Buches kann man es auch schaffen!

Das zweite Kapitel ist häufigen Fragen gewidmet und hier geben Langemann/Sommer unentbehrliche Hinweise. Sie wissen wie sich Studentinnen und Studenten fühlen, die mit Mathematik nicht zurechtkommen, und sie wissen auch um die vielen Fallen, in die man in solcher Situation und Gemütslage tappen kann. Wie lernt man Mathematik? Warum ist es wichtig, die Bedeutung der Mathematik erst einmal zu akzeptieren, bevor man die Anwendungen in der Praxis kennt? Wie argumentiert man in der Mathematik? Wann hat man einen mathematischen Sachverhalt verstanden? Wie schreibt man Mathematik auf und warum? Wie kann ich selbst einfache Rechenregeln prüfen, wenn ich sie doch einmal vergessen habe? Brauche ich Mathematik? Was sollen Beweise? Das sind einige der Fragen, die das Autorenduo klug und mit Blick auf die Studierenden diskutiert. Und das wichtigste: man darf nicht nur selbst ausprobieren, man muss es sogar, denn ohne aktiven Einsatz ist Mathematik nicht zu lernen.

Im dritten Kapitel geht es dann zur Sache, und zwar zuerst mit den natürlichen Zahlen, dem Kopfrechnen, der überschlägigen Rechnung und der Klammersetzung. Schriftliches Rechnen, Zahlbereichserweiterungen, Division mit Rest, Bruchrechnen, das Rechnen mit Beträgen, die Primzahlen, Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze werden nicht dogmatisch wie in einem Lehrbuch behandelt, sondern es wird mit zahlreichen Beispielen und Gegenbeispielen motiviert und über die jeweilige Mathematik gesprochen; ja, manchmal sogar philosophiert. Den Abschluss des dritten Kapitels bildet ein Ausflug in die schlimmsten Fehler, die man in der Elementarmathematik machen kann und die beide Autoren auch bei ihren Studentinnen und Studenten des öfteren gesehen haben. Auch hier wird aber niemand vorgeführt, sondern streng (aber immer liebevoll) an die Hand genommen.

Im vierten Kapitel wird „ein bisschen Geometrie“ betrieben. Die klassische Geometrie hat noch vor der Analysis in der Schulmathematik schwere Einbußen hinnehmen müssen und ist bei vielen Studienanfängern kaum noch vorhanden. Im fünften Kapitel stehen Funktionen im Zentrum der Diskussion. Die Bedeutung des Graphen wird beschrieben, ein Klausurbeispiel einer gebrochen rationalen Funktion durchgesprochen, und auch eine durch geschachtelte Beträge definierte Funktion wird mit einer Anweisung zum Zeichnen des Graphen vorgestellt. Das Verschieben von Funktionen auf Ordinate und Abszisse wird behandelt, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen werden diskutiert, auch die Verkettung von Funktionen wird angesprochen. Dann geht es um Flächen und Änderungen; hier werden Integral und Ableitung eingeführt und die zugehörigen Rechenregeln hergeleitet. Hier, wie überall im Buch, steht dezidiert kein Lehrbuchcharakter hinter den Ausführungen. Man lernt wichtige Zusammenhänge sozusagen beim Lesen, das man allerdings (auch darauf weisen die Autoren mehrmals hin) mit Bleistift und Papier ergänzen sollte.

In den folgenden Kapiteln geht die Reise weiter vom Umgang mit mathematischen Symbolen (Binomische Formeln, Termumformungen, Polynomdivision, Partialbruchzerlegung) bis hin zu Gleichungen (lineare, quadratische, Systeme) und einfachen Beweisen von Ungleichungen, wobei auch Beweistechniken erläutert werden.

Im neunten Kapitel geben die Autoren Hinweise, wie man ein mathematisches Fachbuch lesen sollte. Dann kommen zwei abschließende Kapitel, die man nur als „survival guide“ bezeichnen kann. Hier wird sachlich beschrieben, dass der Glaube an Rechenrezepte und an Taschenrechner in die Irre führt. Gefährlich ist auch Halbwissen, auf das man sich nie verlassen sollte. Dann geht es um beliebte Ausreden und immer wieder vorgebrachte Entschuldigungen für das Versagen in Klausuren oder mündlichen Prüfungen. Auch hier finden die Leserinnen und Leser an keiner Stelle Vorwürfe, aber „Zahlenblindheit“, „Dyskalkulie“ und echte „Prüfungsangst“ treten nun einmal wirklich sehr selten auf – viel seltener als die meisten Studierenden das vermuten.

Das Buch von Langemann und Sommer kann nicht genug gepriesen werden. An keiner Stelle werden Vorwürfe erhoben, sondern die Studentinnen und Studenten werden ernst genommen und dort abgeholt, wo sie stehen: am Anfang ihrer ernsthaften Beschäftigung mit dem Fach Mathematik. Ich habe die Vokabel schon zwei Mal verwendet, aber mir fällt keine bessere ein: das Buch ist äußerst liebevoll geschrieben! Ich kann es allen Studienanfängern nur wärmstens empfehlen, die sich in ihrem Studium mit Mathematik beschäftigen müssen, und nach Lektüre dieses wundervollen Buches auch hoffentlich wollen. Auch Schülerinnen und Schüler, die sich mit der Mathematik schwertun, werden sicher von diesem Buch profitieren. Wenn man nach der Lektüre immer noch Mathematik für ein A...loch hält, dann hat man sicher ein falsches Studienfach gewählt! Ein grandioses Buch.

Rezension: Thomas Sonar (Braunschweig)

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2017, Band 64,
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Elementare Analysis
Von der Anschauung zur Theorie

Andreas Büchter, Hans Wolfgang Henn
Spektrum Verlag, 2010, 340 Seiten, 22,95 €

ISBN 978-38274-2091-6

Es folgen die Rezensionen von: Wolfgang Spiegel und Sarah Henne

Das Buch gliedert sich in acht Kapitel, wobei das erste Kapitel eine ausführliche Einleitung ist. Ein vorangestelltes Vorwort sowie ein nachgestelltes Literaturverzeichnis und abschließendes Schlagwortverzeichnis (Index) rahmen die Abhandlung ein. Im Vorwort wird noch auf einen Anhang zu diesem Buch hingewiesen, der unter einer angegebenen Internetadresse gefunden werden kann. Bereits im Vorwort beschreiben die Autoren die beabsichtigte Ausrichtung: Aus der Sicht der Hochschulmathematik soll ein inhaltlicher Zugang zur Analysis ermöglicht werden. Die Autoren haben hierbei auch die Vorlesungen „Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus“ von Felix Klein im Blick, die dieser „ganz besonders den Lehrern der Mathematik an unseren höheren Schulen“ unterbreitete, und sie verweisen auf das von ihm beschriebene Ziel (Zitat):

. . . dem Lehrer – oder auch dem reiferen Studenten – Inhalt und Grundlegung der im Unterricht zu behandelnden Gebiete vom Standpunkt der heutigen Wissenschaft in möglichst einfacher und anregender Weise überzeugend darzulegen.

Damit ist die verfolgte Absicht festgelegt und die zu erwartende Vorgehensweise in diesem Buch auch durch den Untertitel in einer Weise beschrieben, die den Leser neugierig machen dürfte auf die inhaltliche Ausgestaltung.

Zum Leserkreis gehören also konform zur Zielsetzung des Buches Studierende des Fachs Mathematik für ein Lehramt in den Sekundarstufen, aber auch Referendare und Lehrer. Studierenden der Mathematik soll es auch dazu dienen, einen für weiterführende Analysisvorlesungen inhaltlichen Zugang zu ermöglichen.

In der Einleitung werden nun noch einmal die im Vorwort bereits genannten Absichten dieses Buches beschrieben und unter Bezug auf Heinrich Winters „Grunderfahrungen“ (Heinrich Winter: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61 (1996), 37– 46) auf eine mathematikdidaktische Grundlage gestellt. Der Aufbau des Buchs wird erläutert, und spezifische Ratschläge zur Lektüre dieses Buchs werden gegeben.

Dem ersten Kapitel („Einleitung“) folgt dann ein mit 70 von insgesamt 336 Seiten besonders breit angelegtes zweites Kapitel („Funktionale Zusammenhänge und Funktionen“). Hier werden Funktionen sowohl hinsichtlich der Begrifflichkeit als auch hinsichtlich verschiedener Grundvorstellungen und Darstellungsarten problematisiert, und es werden die aus der Schule bekannten elementaren Funktionen und ihre Charakteristika vorgestellt. Ein Exkurs zum Thema „Funktionen und Kurven“ schließt dieses Kapitel ab.

Der im dritten Kapitel vorgestellte anschauliche Zugang zur Differential- und Integralrechnung erscheint dann mit 24 Seiten äußerst knapp. Sind hier doch sowohl der Ableitungsbegriff als auch das Integral und der Zusammenhang zwischen „Ableiten“ und „Integrieren“ bis hin zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vorgestellt. Unter dem Aspekt der anschaulichen Vorbereitung einer noch zu entwickelnden Theorie ist aber dieser knappe Platz durchaus angemessen.

Die Kapitel vier, fünf, sechs und sieben gehen nun auf die theoretische Fundamentierung der Analysis ein: So werden im Kapitel vier („Mathematische Grundlagen der Analysis“) u. A. die Vollständigkeit der reellen Zahlen, Grenzwerte von Folgen und Grenzwerte von Funktionen sowie die Stetigkeit von Funktionen abgehandelt. Cauchy-Folgen werden kurz erwähnt. Der strategische Nutzen im Zusammenhang mit der Reihenlehre (z. B. absolute Konvergenz) bleibt offen. Zwischenwertsatz und Satz über das Maximum und Minimum stetiger Funktionen auf einem kompakten Intervall werden im Rahmen der bereitgestellten Theorien behandelt. Das Kapitel fünf („Grenzwerte von Differenzenquotienten: die Ableitung“) behandelt die Differenzierbarkeit mit den üblichen Rechenregeln bis hin zu einer Regel von L’Hospital. Den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz findet der Leser im Unterkapitel „Anschauung und Differenzierbarkeit“. Der Zusammenhang zwischen dem Satz von Rolle und dem Mittelwertsatz wird formal über die bekannte Hilfsfunktion vorgestellt, ohne auf den geometrischen Zusammenhang einzugehen, der den Beweisansatz erklärt. Geht doch der Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle durch eine Scherung an der y- Achse hervor. Das Kapitel sechs ( „Grenzwerte von Riemannschen Summen: das Integral“) behandelt eine gut lesbare und auf dasWesentliche beschränkte Einführung des Riemann-Darboux-Integrals nebst Kriterien der Integrierbarkeit sowie den Zusammenhang zwischen Monotonie bzw. zwischen Stetigkeit und Integrierbarkeit. Im Kapitel sieben („Zusammenhang von Differenzialund Integralrechnung“) wird u. A. der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung abgehandelt. Dabei hätte der Bezug zum Mittelwertsatz vielleicht deutlicher herausgearbeitet werden können. Der Hauptsatz wird in zwei Teilen formuliert, und jeder Teil wird unabhängig vom anderen Teil bewiesen, obwohl beide Teile logisch äquivalent sind und dies auch von den Verfassern bekundet wird (S. 244, Aufgabe 7.1). Es folgt ein achtes Kapitel („Anwendungen in Theorie und Praxis“), in dem nicht nur auf die bekannte Kurvendiskussion eingegangen wird. Reizvoll sind die Betrachtungen zu den „ Änderungsraten bei geometrischen Maßen“ oder das „Wechselspiel von Theorie und Anwendungen“.

Zusammenfassung: Die Verfasser haben sich bemüht, den für den Schulunterricht relevanten Teil der Analysis vom Standpunkt der heutigen mathematischen Wissenschaft durch eine auf Anschauung basierte Theorie zu erarbeiten. Sie liefern hierbei eine Vielzahl von Beispielen, skizzieren ihre Überlegungen ausführlich und schaffen insgesamt ein Werk, das dem angesprochenen Personenkreis hilfreich eine Brücke bauen wird, um die auch für den angehenden Lehrer in der Sekundarstufe benötigte Theorie der Analysis, wie sie auf jeder Universität gelehrt wird, mit dem Auftrag einer verantwortungsvollen Unterrichtstätigkeit an der Schule im Sinne Felix Kleins zu verbinden, der den Verfassern mit seinen berühmten Vorlesungen „Elementarmathematik vom höherem Standpunkt aus“ vor Augen stand. Mir drängt sich ein weiteres Zitat aus diesen Vorlesungen auf:

Wissenschaftlich unterrichten kann nur heißen, den Menschen dahin bringen, dass er wissenschaftlich denkt, keineswegs aber, ihm von Anfang an mit einer kalten, wissenschaftlich aufgeputzten Systematik ins Gesicht springen (Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus; Bd. 1 Arithmetik, Algebra, Analysis; anschließende Bemerkungen über den Schulunterricht).

Dieses Werk könnte jedem Studierenden der Mathematik als Ergänzung seiner Ausbildung im Fach Analysis empfohlen werden.

Rezension: Wolfgang Spiegel (Wuppertal) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 47 - Oktober 2010

 Trotz seines eher trockenen Titels beinhaltet das Buch über 300 Seiten mit Illustrationen, Beispielen und anschaulichen Definitionen und Beweisen, die Lust machen auf die Auseinandersetzung mit der Theorie der Elementaren Analysis auf eine ganz neue Weise. Ich war zunächst überrascht, als ich das Buch durchblätterte, weil es so ganz anderes ist als die bekannten Lehrbücher. Mit vielen Grafiken, Skizzen und Bildern erklären die Autoren Andreas Büchter und Hans-Wolfgang Henn die Elementare Analysis genetisch, anstatt den Stoff, wie es in der Mathematik üblich ist, axiomatisch-deduktiv zu erläutern. Das bedeutet, dass sich der Inhalt des Buches auf historische oder alltägliche Kontexte stützt, von denen sie dann die Theorie der Analysis mit Definitionen, Sätzen und Beweisen entwickeln. Der genetische Gang des Buch ist den Autoren nach meinem Urteil sehr gelungen. Die nötigen Vorkenntnisse (Mathematikkenntnisse aus dem Abitur sollten ausreichend sein) sollte man allerdings schon beherrschen. Denn hier werden nicht Rechenmethoden zum Lösen von Analysis-Aufgaben vermittelt, sondern es geht um das umfassende Verstehen der realen (geschichtlichen) und mathematischen Zusammenhänge, in denen Elementare Analysis zur Beschreibung oder Lösungsfindung verwendet wird.

Neben dem Bachelor- und Masterstudiengang ist das Lehrbuch für das Mathematikstudium von Lehramtsstudenten der Sekundarstufen I und II gedacht. Besonders der genetische Aufbau ist für zukünftige Lehrer interessant, welche später die genetische Methode ähnlich in ihren Unterricht einbinden können. Auch Schülerinnen und Schüler der Oberstufe könnten schon mal in dieses Buch schauen. Insbesondere die mathematischen Grundlagen der Analysis, wie zum Beispiel die Erklärung der reellen Zahlen, sind sehr gut verständlich und die Definitionen und Beweise sind mit Skizzen unterlegt. Die Geschichte über die Entdeckung der irrationalen Zahlen habe ich bisher nicht so spannend erlebt und das Verfahren der Intervallschachtelung wurde von den Autoren auch sehr anschaulich dargestellt. Allerdings ist der Inhalt des Buches nur bedingt für den Einsatz im Unterricht geeignet, weil die Mathematik mit vielen erst im Studium üblichen Schreibweisen dargestellt wird, und richtet sich demnach eher an Studierende.

Ein weiterer positiver Punkt ist die Internetseite des Buches http://www.elementare-analysis.de, auf welcher ein Anhang des Buches sowie Lösungsansätze der Aufgaben zu finden sind, die abschnittsweise im Buch gestellt werden. Mit Stift und Papier gerüstet kann man aber fast jede gestellte Aufgabe sogleich bearbeiteten. Sie eignen sich meiner Meinung auch für ein Tutorium oder die gemeinsame Diskussion in einer Gruppe. Denn viele der Aufgaben verlangen nach Erklärungen und man kann sich selbst oder gegenseitig überprüfen, ob das Gelesene verstanden wurde.

Das Fazit meiner Buchrezension ist, dass „Elementare Analysis“ eine tolle Erfahrung bietet um Analysis anders als in anderen Büchern zu lernen, und dass ich mir im Mathematikstudium weitere genetische Lehrbücher wünsche.

Rezension: Sarah Henne