Leseecke

Das kleine Einmaleins des klaren Denkens
22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben

Christian Hesse
C.H.Beck, 2009. 352 S.: mit 117 Abbildungen im Text. Paperback, 14,95 €

ISBN 978-3-406-58684-2

Dieses Buch verspricht uns ein besseres Leben. Also los im Schnelldurchlauf!
Ich nehme mir zuerst eine Tafel Schokolade mit angenommen n * m = 12 Stückchen und breche sie in einzelne Teile. Schaffe ich das mit n * m - 1 = 11 Brüchen ist das die optimale Strategie und ich kann dank Analogieprinzip (1) damit das Problem in meinem Tennisverein lösen: Wie viele Begegnungen gibt es bei 128 angetretenen Turnierspielern? Das kann ich nochmals anders nachzählen und habe damit das Fubini-Prinzip (2) angewendet: Abzählen durch Abzählen von etwas anderem.

Um nun wieder etwas Ordnung in mein Leben zu bringen, kann ich nach dem Paritätsprinzip (3) einiges in (überschneidungsfreie) Klassen einteilen. Gelingt mir das nicht und fliegen in meinem Zimmer n + 1 Sachen herum und höre ich den Vorwurf der Unordnung, kann ich zu Recht behaupten, dass, wenn sich n Schubladen (oder ähnliches) finden lassen, nach dem Dirichlet-Prinzip (4) zumindest keine vollständige Unordnung herrschen kann. Oder ich kann mit dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip (5) nahelegen, dass auf zwei Stapeln meiner Sachen irgendwann ein Paar identischer Dinge auftauchen wird. Mein Gegenüber, der das Buch ebenfalls zur Hand hat, mag mit dem Gegenteilsprinzip (6) behaupten, das sei nicht richtig (und vor allem nicht auch noch nicht einmal falsch, wie Pauli es mal einem Studenten vorgeworfen hatte). Verlangt er auch noch einen Beweis, kann ich es mit Induktion (7) versuchen oder Verallgemeinerung (8), mit der ich übrigens auch die im Alltag immer wieder auftauchende Frage beantworten kann, welche der beiden Zahlen

6013und2+713 

die größere ist.

Um damit wieder auf speziellere Probleme zurückzukommen eignet sich das Stomachion-Puzzle des Archimedes, das 14 Teile enthält, die ein Quadrat ausfüllen und bemerkenswerter Weise in einem Raster von 12 * 12 alle flächengleich sind. Die Frage nach der Abzählbarkeit durch Gitterpunkte ermöglicht das Spezialisierungsprinzip (9). Mit dem Variationsprinzip (10) gelingt es mir dann, den Ort zu finden, an dem ich bei Auf- und Abstieg auf bzw. von einem Berg zur gleichen Zeit bin (sein kann).

Der Titel des Buches hält bisher, was er verspricht: Das Leben ist wirklich besser hier oben in den Bergen. Wenn ich nicht gleich darauf komme, dass der Ort dort ist, wo zwei Personen sich treffen, die zur gleichen Zeit los gehen, wird mir doch dabei etwas schwindelig und ich bin froh, dass ich schon bei der Hälfte angekommen bin und mir das Invarianzprinzip (11) wieder etwas Halt gibt, denn damit kann ich endlich die Frage der Inselbewohner beantworten, ob von 13 grauen, 15 braunen und 17 rosa Chamäleons auf ihrer Insel schließlich alle eine Farbe haben werden, wenn je zwei aufeindertreffende verschiedener Farbe jeweils in die dritte wechseln und je zwei gleichfarbige ihre jeweils eigene Farbe beibehalten.
Sollte ich sogar noch vom dortigen Botschafter eingeladen werden, so hilft mir das Monovarianzprinzip (12) in der Gruppe von 2n geladenen Diplomaten mit je maximal n - 1 unangenehmen Tischgenossen eine geeignete Sitzordnung zu finden (das Prinzip gilt auch für Mathematikerkongresse). Führt das zum Prinzip des unendlichen Abstiegs (13), das auf Fermat zurückgeht, ist man dabei angekommen, z.B. natürliche Zahlen immer weiter zu verkleinern, um Eigenschaften größerer nachzuweisen. Hat man dabei die Zeit vergessen, hilft es das Symmetrieprinzip (14) anzuwenden, um sich über die Struktur der Taktfahrpläne die Abfahrtzeit der U-Bahn in Erinnerung zu rufen.

Zu Hause angekommen, kann ich mir beim Händewaschen den Nutzen des Extremalprinzips (15) am Beispiel der Seifenlauge deutlich machen und es auch bei der Planung der nächsten Autobahn anwenden (wobei ich bei dem Streit zwischen den beiden Interessengruppen um den Bau zumindest mit dem Rekursionsprinzip (16) die Wahrscheinlichkeit abschätzen könnte, mit der einem der beiden die Argumente zuerst ausgehen).

Und wenn es etwa dann noch darum geht, bei dem anstehenden Autobahneinweihungsfest den quadratischen Kuchen dreizuteilen, könnte man es dem Prinzip der schrittweisen Annäherung (17) folgend mit einer schrittweisen Vierteilung versuchen 41+116+164+=31 , aber dabei auch beachten, dass schon der zweite kein wirklich essbares Stück mehr erhält und ich wahrscheinlich mächtig Ärger bekomme. Man könnte sich in den Garten verziehen und mit dem Färbungsprinzip (18) darüber nachdenken wie man die 8 * 8 Terrasse mit 1*2 Steinen pflastern könnte und ob ein 1*1 Blumenkübel ein sinnvolles Dekor ist. Oder dann doch lieber Lotto der morgigen Ziehung spielen, aber da wäre ich nach dem Randomisierungsprinzip (19) aller Wahrscheinlichkeit eher bereits tot als zu gewinnen. Was also tun?

Perspektivenwechselprinzip (20): Machen wir ein Gruppenfoto mit n Personen (große, mittlere und kleine) und zwar so, dass jede Person entweder größer oder kleiner ist als alle links von ihr (also z.B. für drei Personen: gmk, mgk, kmg, kgm) wieviele Aufstellungen sind möglich? (Man fange hinten an). Und wenn dann noch Fragen bleiben, versuche man mit dem Modularisierungsprinzip (21) eine beliebige ganze Zahl zwischen 1 und 16 in nur 4 Fragen erfragen.

Das wäre also ein möglicher Weg durch das klare Denken. Einer von vielen und wenn das alles nun doch nicht geholfen hat für ein besseres Leben (dafür aber vielleicht amüsanteres), bleibt nur noch Brute Force (22) – das Ausprobieren aller möglichen Lösungen. An Vorschlägen dazu mangelt es in diesem Buch nicht.

Rezension: Mark Krüger

Der Klang als Formel
Ein mathematisch-musikalischer Streifzug

Manfred Reimer
Oldenbourg Verlag (2. verbesserte Auflage 2011), X, 192 Seiten., broschiert, 29,80 €

ISBN: 78-3-486-70542-3

Der Ton macht die Musik. Das gilt auch für die Mathematik. Denn wie die Musik aus Tönen ist die Mathematik aus Zahlen aufgebaut. So ist die Tonhöhe (zum Beispiel bei einem Saiteninstrument ausgehend von der Saitenlänge) ein Verhältnis von Zahlen, also ein Bruch: Für die Oktave gilt ein Verhältnis von 2:1 zwischen dem höheren und dem tieferen Ton. Ohne etwas über Frequenzen zu wissen, kann man so ganze Tonsysteme aufbauen.

Das Buch eröffnet zwei mathematische Zugänge zur Musik: der erste erfolgt über das Kapitel „Geometrie der Töne“ (Geometrie, weil die Saitenlänge hier den Ausgangspunkt für die Tonhöhe bildet) zu den Tonsystemen des griechischen Altertums und der Renaissance über die wohltemperierte Stimmung bis zum 12-Ton-System des 20. Jahrhunderts. Vorherrschendes Handwerkszeug sind hier Algebra und Zahlentheorie.

Der zweite Zugang erfolgt im Kapitel „Natur der Töne“ über Schwingungen. Genauer: Transversalschwingungen bei Saiteninstrumenten und Longitudinalschwingungen bei Blasinstrumenten. Handwerkszeug ist hier die Analysis und Differentialgleichungen (vor allem der Besselschen). Danach wird man beim Paukenschlag nicht mehr an eine Kesselpauke denken, sondern daran, dass „Bessel“-Pauke viel passender wäre.

Das Buch animiert zur Querbeziehung mit Musik. So lässt sich die Division mit Rest (modulo) am Beispiel der Oktavfolgen {..., c, c’, ...} verdeutlichen und der Chinesische Restesatz als Aussage über den Quintenzirkel interpretieren. Es regt an, bei Musikinstrumenten über deren spezielle Randbedingungen und Anfangswerte bei der Klangerzeugung nachzudenken, die sich aus der jeweiligen Geometrie des Instruments ergeben.

Wie wir wissen, ist Musik mehr als (nur) Mathematik. Aber dieses Buch stellt der Musik einen Begleiter an die Seite, mit dem es Spaß macht, hinter (oder besser: in) die Musik mit mathematischen Augen zu sehen. Damit könnte der Leser dann nach der Lektüre die Welt vielleicht auch mit mathematischen Ohren hören.

Rezension: Mark Krüger

Die Architektur der Mathematik
Denken in Strukturen

Pierre Basieux
rororo; Auflage: 3., Aufl. (1. 11. 2000), 187 Seiten, Taschenbuch, 8,99 €

ISBN-10: 3499611198
ISBN-13: 978-3499611193

In diesem schmalen Taschenbuch setzt sich der Autor das ambitionierte Ziel, die strukturelle Sichtweise der (reinen) Mathematik des 20. Jahrhunderts einem breiten Leserkreis nahezubringen. Dieser Ansatz ist mit Namen wie David Hilbert und insbesondere mit der französischen Mathematikergruppe Bourbaki verknüpft und hat die Mathematik der letzten 100 Jahre entscheidend geprägt.

Da diese Sichtweise für manche Leserinnen und Leser dieser Rezension ungewohnt ist, bei denen die rechentechnischen Aspekte im Schulunterricht im Vordergrund standen, möchte ich ein Beispiel geben. Wir gehen von einer Menge von Objekten aus, etwa der Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) . Außer der Gleichheit zweier Zahlen können wir gröbere Raster betrachten, unter denen zwei Zahlen als „äquivalent“ gelten sollen, zum Beispiel, wenn sie bei Division durch 7 denselben Rest lassen. In diesem Sinn sind 5 und 12 oder -3 und 11 jeweils äquivalent, aber natürlich nicht gleich. Das ist ein Beispiel einer Äquivalenzrelation. Darunter versteht man in der Mathematik eine Beziehung zwischen je zwei Elementen einer Menge, die folgenden Bedingungen genügt: Stets ist x äquivalent zu sich selbst (Reflexivität); wenn x zu y äquivalent ist, dann auch y zu x (Symmetrie); schließlich folgt aus der Äquivalenz von x zu y und der von y zu z die Äquivalenz von x zu z (Transitivität).

Äquivalenzrelationen tauchen überall in der Mathematik auf, und statt jede einzeln zu untersuchen, wird der abstrakte Begriff studiert. So stellt sich zum Beispiel heraus, dass jede Äquivalenzrelation die Grundmenge in sogenannte Äquivalenzklassen aufspaltet. Manchmal kann man mit den Klassen genauso rechnen wie mit den ursprünglichen Elementen; so gilt im obigen Beispiel in naheliegender Weise „Restklasse von 2 + Restklasse von 3 = Restklasse von 5“ oder „Restklasse von 4 + Restklasse von 6 = Restklasse von 3“. Ich habe gerade etwas vage „in naheliegender Weise“ geschrieben, um zu kaschieren, dass die Addition von Restklassen einer Erklärung bedarf. Dies führt zur abstrakten Struktur einer abelschen Gruppe; was das genau ist, erfährt man in diesem Buch – und vieles mehr. Hier sind einige Stichworte zum Inhalt: Mengen und Relationen; Auswahlaxiom und Zornsches Lemma; Ordnungsrelationen; algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper; topologische Räume; strukturverträgliche Abbildungen; Homomorphismen; topologische Vektorräume.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Das kleine Buch der Zahlen
Vom Abzählen bis zur Kryptographie

Peter M. Higgins
Springer Spektrum Verlag (2012), Taschenbuch, 354 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 3827430151
ISBN-13: 978-3827430151

Ein wunderschönes Buch über Zahlen hat der englische Mathematik-Professor Peter Higgins geschrieben. Auf 280 Seiten werden mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad – aber fast ohne jede Formel und stets mit großer Anschaulichkeit – die Eigenschaften der verschiedenen Zahltypen dargestellt; im letzten Abschnitt (60 Seiten) werden dann Herleitungen und Beweise notiert – teils so knapp, dass sie ordentliche Vorkenntnisse erfordern.

Die gelungene Mischung von systematischer Darstellung des Zahlensystems mit deren historischen Wurzeln und auflockernden Aufgaben zum Nachdenken für den Leser führt zu einer außerordentlich kurzweiligen Lesefreude.

Im Hauptteil des Buches werden in den ersten vier Kapiteln elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen abgehandelt: Rechenoperationen, Primzahlen, Teilbarkeitsregeln und Neunerprobe, magische Quadrate. Besondere Zahlen wie etwa befreundete und glückliche Zahlen, Fibonacci-Zahlen und Binomialkoeffizienten werden vorgestellt und untersucht. Die systematische Betrachtung wird immer wieder unterbrochen durch historische Anmerkungen und Beispiele aus der Unterhaltungsmathematik. Die Kapitel 6 und 7 zeigen, wie man von den natürlichen Zahlen zu den ganzen und rationalen und schließlich zu den reellen Zahlen gelangt (dem Hankel'schen Permanenzprinzip folgend). Danach werden nach der Vorstellung von Hilberts Hotel (der Begriff der Abzählbarkeit wird sehr anschaulich gemacht) Eigenschaften der algebraischen und transzendenten Zahlen erklärt. In den Kapiteln 9 bis 10 vollendet sich der Aufbau des Zahlensystems durch die Einführung der imaginären und komplexen Zahlen. Auch hier machen die historischen Bezüge (Wissenschaftsstreit im 16. Jahrhundert über die Lösung der kubischen Gleichung, langsame Akzeptanz von imaginären Zahlen im 18./19. Jahrhundert) den besonderen Reiz des Buches aus. Ein kurzer Blick auf die Hamilton'schen Quaternionen und die Cayley'schen Oktaven runden diesen systematischen Teil ab. Kapitel 11 schließlich geht an Hand von Kettenbrüchen und der Cantor-Menge noch einmal auf die Eigenschaften der reellen Zahlen und ihrer geometrischen Deutung auf der Zahlengeraden ein.

In drei Abschnitten wird die Systematik stärker unterbrochen: Prozente, Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte (Kapitel 5), ausgewählte klassische Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kapitel 8, z. B. Geburtstagsproblem oder St. Petersburger Paradoxon) werden vorgestellt. Zum Abschluss (Kapitel 12) erzählt der Autor von der Kryptographie: vom Caesar- und Viginère-Code über den One-Time-Pad führt er in spannender Weise zu den modernen Public-Key-Verfahren vom Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch bis zum RSA-Algorithmus. Auch hier schafft er es, Verständnis beim Leser mit einfachen Rechnungen und Vergleichen zu schaffen.

Der Übersetzer hat manchmal Begriffe gewählt, die weniger verbreitet sind als andere: z. B. Taubenschlagprinzip statt Schubfachprizip, quartische bzw. quintische Gleichung statt Gleichung 3. bzw. 4. Grades, rekurrente statt rekursive Folge.

Rezension: Hartmut Weber

Das ist o.B.d.A. trivial
Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken

Albrecht Beutelspacher
Vieweg Verlag, 1999, 96 Seiten, 12,50 €

ISBN: 3528664428

Angenommen, jemand hat sich entschlossen, Mathematik zu studieren. Auch wenn man in ganz hervorragend gestalteten Vorlesungen sitzt und sich ein paar gute Lehrbücher zugelegt hat, so bleiben in der Regel doch noch viele Fragen offen: Wie schreibt man einen Beweis gut auf? Welche Bedeutung haben Quantoren, was muss man dabei beachten? Sollte man bei den Formulierungen mathematischer Aussagen den Konjunktiv oder den Indikativ verwenden? ...

Das vorliegende Buch füllt diese Lücke so erfolgreich, dass es seit der Erstausgabe 1991 mittlerweile zum fünften Mal neu aufgelegt wurde. Es ist gut zu lesen, zur Vertiefung werden Übungen angeboten. Mit Hilfe dieses Buches dürfte es Erstsemestern wesentlich leichter fallen, den Übergang Schule/Universität problemlos zu bewältigen.

Auch Professoren könnten einmal hineinschauen, um sich anregen zu lassen, denn die Fragen, die dort gestellt und beantwortet werden, sollten in jeder Anfängervorlesung zur Sprache kommen.

(Rezension: E. Behrends)