Leseecke

Eine Einladung in die Mathematik
Einblicke in aktuelle Forschung

Dierk Schleicher / Malte Lackmann (Hrsg.)
Springer Spektrum; Auflage: 2013, 24,95 €

ISBN-10: 3-642-25797-6
ISBN-13: 978-3642257971

Aspekte ganz aktueller mathematischer Forschung werden in 14 Kapiteln von namhaften, auf ihrem jeweiligen Gebiet führenden Mathematikern vorgestellt. Sie vertreten recht verschiedene Disziplinen ihres Fachs. Die Inhalte kommen aus der Zahlen- und der Graphentheorie, befassen sich mit dynamischen Systemen und partiellen Differentialgleichungen, mit Komplexitätstheorie und numerischer Analysis. Die Beiträge (ca. 10 bis 25 Seiten lang) weisen teils überraschende Verbindungen untereinander auf.

Abwechslung bietet neben der Vielfalt der Themen auch der unterschiedliche, teilweise erfrischende Stil der Autoren. Viele Beiträge gehen von gut verständlichen einführenden Beispielen aus, erklimmen dann aber schnell mathematische Höhen, die relativ gute und spezielle Kenntnisse erfordern. Das geht dann so weit, dass einige der sieben „Milleniumsprobleme“ des Clay Mathematics Institute aus dem Jahre 2000 angesprochen werden (P≠NP?, Riemannsche Vermutung, Navier-Stokes-Gleichungen).

In drei Arbeiten wird insbesondere auch ein Vergleich gezogen zwischen mathematischen Wettbewerben, insbesondere der Internationalen Mathematik-Olympiade (IMO), und echten mathematischen Forschungsproblemen. Das hat seinen guten Grund!

Mehrere der Autoren haben über diese Themen vor Teilnehmern der 50. IMO vorgetragen, die 2009 in Bremen stattfand. Die schriftliche Fassung wurde allerdings speziell für dieses Buch erstellt, wobei ganz besonders Wert darauf gelegt wurde, dass sie für die Zielgruppe der Leser verständlich ist. Um das zu erreichen, haben die Herausgeber (Schleicher als Professor und Hauptorganisator der Bremer IMO, Lackmann als dreifacher erfolgreicher IMO-Teilnehmer) und ein Team von jungen „Testlesern“ die Beiträge sorgfältig gelesen und zahlreiche Änderungsvorschläge gemacht, die von den Autoren akzeptiert wurden.

Und welche Zielgruppe haben die Herausgeber vor Augen? Auf dem Buchrücken heißt es: „... richtet sich in erster Linie an interessierte Schüler und junge Studierende, die Mathematik aus der Schule oder von Wettbewerben kennen und die aktuelle Forschungsmathematik kennen lernen wollen.“ Wer Mathematik nur aus der Schule kennt, dürfte allerdings bei den meisten Themen – auch wenn er gute Noten  hat(te) – sehr schnell an Grenzen kommen, die er nicht allein überwinden kann. Eine Teilnahme an Wettbewerben wie etwa dem „Bundeswettbewerb Mathematik“ könnte eine Vorstellung dafür geweckt haben, wie Aufgaben und Probleme jenseits der klassischen Schulmathematik aussehen und welche Anforderungen sie stellen. Solch talentierten und sehr begabten Schülern oder Studierenden könnte man dann auch den einen oder anderen Beitrag dieses Buches zumuten. Es ist zu wünschen, dass, um noch einmal den Buchrückentext zu zitieren, „... Schüler, Lehrer, Mathematiker und alle Mathematik-Begeisterten ... in diesem vielseitigen und spannenden Buch genussvoll lesen.“

Rezension: Hartmut Weber

Eine kurze Geschichte der Unendlichkeit

Paolo Zellini
Mathematische Fachberatung: Dr. Max Schröder
Aus dem Italienischen von Enrico Heinemann
C.H.Beck, 2010, 256 Seiten, gebunden, 19,95 €

ISBN: 978-3-406-59092-4

Das Buch erzählt die Geschichte der Unendlichkeit. Die Geschichte beginnt lange vor einer mathematischen Beschreibung und endet noch lange nicht mit der Einführung des Zeichens ∞ oder des Differentialquotienten d/dx. Was jedoch in der Geschichte der Unendlichkeit hindurch bleibt, ist die Faszination der Ideen und die Versuche einer angemessenen Beschreibung. Das Unendliche ist damit eines der herausragendsten Beispiele für die Herausforderungen der Mathematik.

Den Anfang nimmt die Geschichte mit der Frage nach der Zeit, der Teilung und den Zahlen im Widerspiel mit ihren jeweiligen Grenzen. Dies führt bei Aristoteles, Anaximander und den Pythagoreern zu dem Begriff des Unbegrenzten für das Unendliche. Grundlegend bis heute ist die Unterscheidung des potentiell Unendlichen und des aktual Unendlichen, d.h. der Unendlichkeit durch Hinzufügen immer weiterer Teile (z.B. bei der Folge 1, 2, 3, ...) und des schon da-seienden Unendlichen (z.B. was wir heute manchmal lapidar mit ∞ ausdrücken). Weiterhin begegnet man im Laufe der Geschichte Cauchy, Bolzano, Weierstrass, Dedekind, Hilbert. Es bleibt also spannend.

Dieses Buch ist ein Lesebuch und will kein Lehrbuch sein. Sein Platz ist der Nachttisch, der Bus oder die Bahn und nicht der Schreibtisch. Es dient dem nicht-technischen Einstieg ins Thema und erhebt nicht den Anspruch einer systematischen und alle (oder die meisten) Fragen beantwortenden Darstellung. Es bietet aber die Möglichkeit der selbstbestimmten Vertiefung durch seine vielen Verweise auf Originalbeiträge in den Fußnoten.

Dem Buch gelingt eine spannende und fundierte Mischung aus Philosophie, den Grundlagen der Mathematik und konkreten Einzelproblemen aus der Analysis, der Zahlentheorie bis zur Metamathematik des 20. Jahrhunderts und all ihren Versuchen in der Annäherung an das Thema Unendlichkeit.

Rezension: Mark Krüger

Das kleine Einmaleins des klaren Denkens
22 Denkwerkzeuge für ein besseres Leben

Christian Hesse
C.H.Beck, 2009. 352 S.: mit 117 Abbildungen im Text. Paperback, 14,95 €

ISBN 978-3-406-58684-2

Dieses Buch verspricht uns ein besseres Leben. Also los im Schnelldurchlauf!
Ich nehme mir zuerst eine Tafel Schokolade mit angenommen n * m = 12 Stückchen und breche sie in einzelne Teile. Schaffe ich das mit n * m - 1 = 11 Brüchen ist das die optimale Strategie und ich kann dank Analogieprinzip (1) damit das Problem in meinem Tennisverein lösen: Wie viele Begegnungen gibt es bei 128 angetretenen Turnierspielern? Das kann ich nochmals anders nachzählen und habe damit das Fubini-Prinzip (2) angewendet: Abzählen durch Abzählen von etwas anderem.

Um nun wieder etwas Ordnung in mein Leben zu bringen, kann ich nach dem Paritätsprinzip (3) einiges in (überschneidungsfreie) Klassen einteilen. Gelingt mir das nicht und fliegen in meinem Zimmer n + 1 Sachen herum und höre ich den Vorwurf der Unordnung, kann ich zu Recht behaupten, dass, wenn sich n Schubladen (oder ähnliches) finden lassen, nach dem Dirichlet-Prinzip (4) zumindest keine vollständige Unordnung herrschen kann. Oder ich kann mit dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip (5) nahelegen, dass auf zwei Stapeln meiner Sachen irgendwann ein Paar identischer Dinge auftauchen wird. Mein Gegenüber, der das Buch ebenfalls zur Hand hat, mag mit dem Gegenteilsprinzip (6) behaupten, das sei nicht richtig (und vor allem nicht auch noch nicht einmal falsch, wie Pauli es mal einem Studenten vorgeworfen hatte). Verlangt er auch noch einen Beweis, kann ich es mit Induktion (7) versuchen oder Verallgemeinerung (8), mit der ich übrigens auch die im Alltag immer wieder auftauchende Frage beantworten kann, welche der beiden Zahlen

6013und2+713 

die größere ist.

Um damit wieder auf speziellere Probleme zurückzukommen eignet sich das Stomachion-Puzzle des Archimedes, das 14 Teile enthält, die ein Quadrat ausfüllen und bemerkenswerter Weise in einem Raster von 12 * 12 alle flächengleich sind. Die Frage nach der Abzählbarkeit durch Gitterpunkte ermöglicht das Spezialisierungsprinzip (9). Mit dem Variationsprinzip (10) gelingt es mir dann, den Ort zu finden, an dem ich bei Auf- und Abstieg auf bzw. von einem Berg zur gleichen Zeit bin (sein kann).

Der Titel des Buches hält bisher, was er verspricht: Das Leben ist wirklich besser hier oben in den Bergen. Wenn ich nicht gleich darauf komme, dass der Ort dort ist, wo zwei Personen sich treffen, die zur gleichen Zeit los gehen, wird mir doch dabei etwas schwindelig und ich bin froh, dass ich schon bei der Hälfte angekommen bin und mir das Invarianzprinzip (11) wieder etwas Halt gibt, denn damit kann ich endlich die Frage der Inselbewohner beantworten, ob von 13 grauen, 15 braunen und 17 rosa Chamäleons auf ihrer Insel schließlich alle eine Farbe haben werden, wenn je zwei aufeindertreffende verschiedener Farbe jeweils in die dritte wechseln und je zwei gleichfarbige ihre jeweils eigene Farbe beibehalten.
Sollte ich sogar noch vom dortigen Botschafter eingeladen werden, so hilft mir das Monovarianzprinzip (12) in der Gruppe von 2n geladenen Diplomaten mit je maximal n - 1 unangenehmen Tischgenossen eine geeignete Sitzordnung zu finden (das Prinzip gilt auch für Mathematikerkongresse). Führt das zum Prinzip des unendlichen Abstiegs (13), das auf Fermat zurückgeht, ist man dabei angekommen, z.B. natürliche Zahlen immer weiter zu verkleinern, um Eigenschaften größerer nachzuweisen. Hat man dabei die Zeit vergessen, hilft es das Symmetrieprinzip (14) anzuwenden, um sich über die Struktur der Taktfahrpläne die Abfahrtzeit der U-Bahn in Erinnerung zu rufen.

Zu Hause angekommen, kann ich mir beim Händewaschen den Nutzen des Extremalprinzips (15) am Beispiel der Seifenlauge deutlich machen und es auch bei der Planung der nächsten Autobahn anwenden (wobei ich bei dem Streit zwischen den beiden Interessengruppen um den Bau zumindest mit dem Rekursionsprinzip (16) die Wahrscheinlichkeit abschätzen könnte, mit der einem der beiden die Argumente zuerst ausgehen).

Und wenn es etwa dann noch darum geht, bei dem anstehenden Autobahneinweihungsfest den quadratischen Kuchen dreizuteilen, könnte man es dem Prinzip der schrittweisen Annäherung (17) folgend mit einer schrittweisen Vierteilung versuchen 41+116+164+=31 , aber dabei auch beachten, dass schon der zweite kein wirklich essbares Stück mehr erhält und ich wahrscheinlich mächtig Ärger bekomme. Man könnte sich in den Garten verziehen und mit dem Färbungsprinzip (18) darüber nachdenken wie man die 8 * 8 Terrasse mit 1*2 Steinen pflastern könnte und ob ein 1*1 Blumenkübel ein sinnvolles Dekor ist. Oder dann doch lieber Lotto der morgigen Ziehung spielen, aber da wäre ich nach dem Randomisierungsprinzip (19) aller Wahrscheinlichkeit eher bereits tot als zu gewinnen. Was also tun?

Perspektivenwechselprinzip (20): Machen wir ein Gruppenfoto mit n Personen (große, mittlere und kleine) und zwar so, dass jede Person entweder größer oder kleiner ist als alle links von ihr (also z.B. für drei Personen: gmk, mgk, kmg, kgm) wieviele Aufstellungen sind möglich? (Man fange hinten an). Und wenn dann noch Fragen bleiben, versuche man mit dem Modularisierungsprinzip (21) eine beliebige ganze Zahl zwischen 1 und 16 in nur 4 Fragen erfragen.

Das wäre also ein möglicher Weg durch das klare Denken. Einer von vielen und wenn das alles nun doch nicht geholfen hat für ein besseres Leben (dafür aber vielleicht amüsanteres), bleibt nur noch Brute Force (22) – das Ausprobieren aller möglichen Lösungen. An Vorschlägen dazu mangelt es in diesem Buch nicht.

Rezension: Mark Krüger

Der Klang als Formel
Ein mathematisch-musikalischer Streifzug

Manfred Reimer
Oldenbourg Verlag (2. verbesserte Auflage 2011), X, 192 Seiten., broschiert, 29,80 €

ISBN: 78-3-486-70542-3

Der Ton macht die Musik. Das gilt auch für die Mathematik. Denn wie die Musik aus Tönen ist die Mathematik aus Zahlen aufgebaut. So ist die Tonhöhe (zum Beispiel bei einem Saiteninstrument ausgehend von der Saitenlänge) ein Verhältnis von Zahlen, also ein Bruch: Für die Oktave gilt ein Verhältnis von 2:1 zwischen dem höheren und dem tieferen Ton. Ohne etwas über Frequenzen zu wissen, kann man so ganze Tonsysteme aufbauen.

Das Buch eröffnet zwei mathematische Zugänge zur Musik: der erste erfolgt über das Kapitel „Geometrie der Töne“ (Geometrie, weil die Saitenlänge hier den Ausgangspunkt für die Tonhöhe bildet) zu den Tonsystemen des griechischen Altertums und der Renaissance über die wohltemperierte Stimmung bis zum 12-Ton-System des 20. Jahrhunderts. Vorherrschendes Handwerkszeug sind hier Algebra und Zahlentheorie.

Der zweite Zugang erfolgt im Kapitel „Natur der Töne“ über Schwingungen. Genauer: Transversalschwingungen bei Saiteninstrumenten und Longitudinalschwingungen bei Blasinstrumenten. Handwerkszeug ist hier die Analysis und Differentialgleichungen (vor allem der Besselschen). Danach wird man beim Paukenschlag nicht mehr an eine Kesselpauke denken, sondern daran, dass „Bessel“-Pauke viel passender wäre.

Das Buch animiert zur Querbeziehung mit Musik. So lässt sich die Division mit Rest (modulo) am Beispiel der Oktavfolgen {..., c, c’, ...} verdeutlichen und der Chinesische Restesatz als Aussage über den Quintenzirkel interpretieren. Es regt an, bei Musikinstrumenten über deren spezielle Randbedingungen und Anfangswerte bei der Klangerzeugung nachzudenken, die sich aus der jeweiligen Geometrie des Instruments ergeben.

Wie wir wissen, ist Musik mehr als (nur) Mathematik. Aber dieses Buch stellt der Musik einen Begleiter an die Seite, mit dem es Spaß macht, hinter (oder besser: in) die Musik mit mathematischen Augen zu sehen. Damit könnte der Leser dann nach der Lektüre die Welt vielleicht auch mit mathematischen Ohren hören.

Rezension: Mark Krüger

Die Architektur der Mathematik
Denken in Strukturen

Pierre Basieux
rororo; Auflage: 3., Aufl. (1. 11. 2000), 187 Seiten, Taschenbuch, 8,99 €

ISBN-10: 3499611198
ISBN-13: 978-3499611193

In diesem schmalen Taschenbuch setzt sich der Autor das ambitionierte Ziel, die strukturelle Sichtweise der (reinen) Mathematik des 20. Jahrhunderts einem breiten Leserkreis nahezubringen. Dieser Ansatz ist mit Namen wie David Hilbert und insbesondere mit der französischen Mathematikergruppe Bourbaki verknüpft und hat die Mathematik der letzten 100 Jahre entscheidend geprägt.

Da diese Sichtweise für manche Leserinnen und Leser dieser Rezension ungewohnt ist, bei denen die rechentechnischen Aspekte im Schulunterricht im Vordergrund standen, möchte ich ein Beispiel geben. Wir gehen von einer Menge von Objekten aus, etwa der Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) . Außer der Gleichheit zweier Zahlen können wir gröbere Raster betrachten, unter denen zwei Zahlen als „äquivalent“ gelten sollen, zum Beispiel, wenn sie bei Division durch 7 denselben Rest lassen. In diesem Sinn sind 5 und 12 oder -3 und 11 jeweils äquivalent, aber natürlich nicht gleich. Das ist ein Beispiel einer Äquivalenzrelation. Darunter versteht man in der Mathematik eine Beziehung zwischen je zwei Elementen einer Menge, die folgenden Bedingungen genügt: Stets ist x äquivalent zu sich selbst (Reflexivität); wenn x zu y äquivalent ist, dann auch y zu x (Symmetrie); schließlich folgt aus der Äquivalenz von x zu y und der von y zu z die Äquivalenz von x zu z (Transitivität).

Äquivalenzrelationen tauchen überall in der Mathematik auf, und statt jede einzeln zu untersuchen, wird der abstrakte Begriff studiert. So stellt sich zum Beispiel heraus, dass jede Äquivalenzrelation die Grundmenge in sogenannte Äquivalenzklassen aufspaltet. Manchmal kann man mit den Klassen genauso rechnen wie mit den ursprünglichen Elementen; so gilt im obigen Beispiel in naheliegender Weise „Restklasse von 2 + Restklasse von 3 = Restklasse von 5“ oder „Restklasse von 4 + Restklasse von 6 = Restklasse von 3“. Ich habe gerade etwas vage „in naheliegender Weise“ geschrieben, um zu kaschieren, dass die Addition von Restklassen einer Erklärung bedarf. Dies führt zur abstrakten Struktur einer abelschen Gruppe; was das genau ist, erfährt man in diesem Buch – und vieles mehr. Hier sind einige Stichworte zum Inhalt: Mengen und Relationen; Auswahlaxiom und Zornsches Lemma; Ordnungsrelationen; algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper; topologische Räume; strukturverträgliche Abbildungen; Homomorphismen; topologische Vektorräume.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)