Leseecke

Das Poincaré Abenteuer
Eine mathematisches Welträtsel wird gelöst

George S. Szpiro
Piper, 2007, 347 Seiten, 19,90 €

ISBN: 3-492-05130-8

Immer wieder die Poincaré-Vermutung, immer wieder Perelman. Kein anderes Thema der aktuellen mathematischen Forschung hat es in den letzten Jahren auch nur annähernd auf eine ähnlich hohe Anzahl an Publikationen für die breite Öffentlichkeit gebracht wie die Lösung der über hundert Jahre alten Poincaré-Vermutung und der Hauptverantwortliche Grigorij Perelman.
Inzwischen kennt wohl jeder halbwegs Interessierte die Eckdaten: Perelman löste die Vermutung weitestgehend zurückgezogen im Alleingang. Natürlich baute er auf vielen Vorarbeiten auf, insbesondere auf denen Richard Hamiltons. Den entschiedenden letzten Schritt jedoch, an welchem Hamilton sich die Zähne ausgebissen hatte, löste er allein. Er stellte seine Beiträge (drei Aufsätze von insgesamt 68 Seiten) frei verfügbar ins Internet, lehnte die Fields-Medaille, einen der wichtigsten mathematischen Preise, ab und scheint auch kein gesteigertes Interesse an dem Preisgeld von einer Million US-Dollar zu haben.
Dieses Zusammenspiel aus wissenschaftlicher Bedeutung, hohem Preisgeld und dem für die Öffentlichkeit leicht als im besten Fall "verschroben", im radikaleren als "verrückt" darstellbaren Charakter Perelman, sorgten spätestens seit seiner Ablehnung der Fields-Medallie auf dem Internationalen Mathematikerkongress 2006 in Madrid für eine wahre Flut an Medienberichten. Neben einer Vielzahl an Pressemitteilungen lag auf Deutsch bisher das im April 2007 erschienene Buch "Poincarés Vermutung - Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers" von Donal O'Shea vor.

Jetzt kommt also mit "Das Poincaré-Abenteuer" von George Szpiro ein weiteres hinzu.
Um es gleich vorwegzunehmen, es ist keineswegs eine überflüssige Publikation, ist der Ansatz doch ein deutlich anderer als der O'Sheas. O'Shea konzentriert sich stark auf die genaue Entwicklung der mathematischen Konzepte, welche überhaupt zur Formulierung der Poincaré-Vermutung führten und für diese von Nöten waren. Er beschreibt ausführlich die Geschichte der menschlichen Wahrnehmung des Raumes, beginnend mit der Antike. Poincaré selbst und seine explizite Vermutung kommen bei ihm erst etwa in der Mitte des Buches vor.
Auch Szpiro gibt zu Beginn einige Erklärungen ab, und auch er schildert durchweg die mathematischen Konzepte und Details, doch ist seine Darstellung ganz klar an den Lösungsversuchen der Vermutung orientiert. Das bedeutet insbesondere, dass sein Hauptaugenmerk auf der Zeit seit der Formulierung durch Poincaré im Jahr 1904 liegt.
So gelangen wir bei der Lektüre von einem Lösungsansatz zum nächsten, einer mehr, ein anderer weniger vielversprechend, und erfahren dabei jeweils auch einiges über die beteiligten Personen. Letztendlich handelt es sich damit auch um ein "Who is Who" der Topologie, weshalb das Fehlen eines Personenregisters doch deutlich negativ auffällt.

Das Buch fesselt den Leser von Beginn an, und durch die gewählte chronologische Darstellungsform der Lösungsversuche bekommt man ein wenig das Gefühl, direkt den langen hundertjährigen Lösungsweg mitzuerleben.
Etwas unglücklich ist, dass die mathematischen Erläuterungen etwas unverhältnismäßig ausfallen. So werden simple Dinge, welche auch Nichtmathematikern leicht verständlich sein sollten, in großer Ausführlichkeit erklärt, wohingegen kompliziertere mathematische Konzepte kaum oder durch teilweise eher verwirrende Vergleiche erläutert werden.
Szpiro ist insgesamt jedoch ein äußerst ergiebiges Buch für Mathematiker und Nichtmathematiker gelungen, und in den Abschlusskapiteln erfährt der Leser auch, dass es selbst unter den oft so weltfremd geschilderten Mathematikern die gleichen Rangeleien und Eitelkeiten um Annerkennung gibt wie wohl überall. Man beginnt, einen Aussteiger und Außenseiter wie Grigorij Perelman zu verstehen und auch ein wenig, unabhängig von seiner mathematischen Genialität, zu bewundern, dafür, dass er es geschafft hat, sich aus dieser wenig idealistischen Maschinerie Öffentlichkeit zurückzuziehen.

(Rezension: Joerg Beyer)

Der Mann, der die Zahlen liebte
Die erstaunliche Geschichte des Paul Erdös und die Suche nach der Schönheit in der Mathematik

Paul Hoffmann
Econ Taschenbuch Verlag, 2000, 8,45 €

ISBN: 3548750583

Dieses unterhaltsame, leicht zu lesende Buch beschreibt Leben und Werk von Paul Erdös. Manche könnte es in dem Vorurteil bestätigen, dass Mathematiker keine ,,normalen'' Menschen sind, denn Paul Erdös hatte in der größten Zeit seines Lebens weder Zuhause, noch Frau oder Kind, noch Besitztum. Erdös reiste durch die Welt mit zwei Koffern, von Tagung zu Tagung, von einem gastlichen Mathematiker zum nächsten. Aber das Buch macht auch sehr deutlich, dass heute viele Mathematiker im Team arbeiten, diskutieren und sich gegenseitig anregen. Es werden auch die Lebenswege anderer Mathematiker gestreift, von historischen Berühmtheiten wie Pythagoras bis zu lebenden Mathematikern wie R. L. Graham. Es werden viele Anekdoten erzählt, und natürlich auch einige mathematische Ideen beschrieben. Paul Hoffmann ist kein Mathematiker (und der Übersetzer wohl auch nicht), aber die meisten mathematischen Sachverhalte sind leicht verständlich und richtig beschrieben.
Wer noch mehr über Erdös erfahren will, kann sich auch das Video "N is a number" anschauen (Springer Verlag 2000).

(Rezension: Silke Göbel)

Der Rechenmeister

Dieter Jörgensen
Aufbau-Verlag Berlin, 2004, 400 Seiten, 6 EURO

ISBN: 3746620147

Es geht um ein facettenreiches Buch. Einerseits ist es ein historischer Roman, in dem mit Erfolg versucht wird, das Venedig des 16. Jahrhunderts lebendig werden zu lassen. Völlig zu Recht finden sich im Klappentext Worte wie "farbenprächtig", "opulent erzählt" usw. Dieser Anteil rechtfertigt eine Empfehlung als Urlaubslektüre. (Es geht allerdings bei der Schilderung zwischenmenschlicher Aktivitäten manchmal recht detailliert zu, empfindsame Leserinnen und Leser seien hiermit vorgewarnt.)
Wichtiger ist hier jedoch - und deswegen gibt es auch eine Rezension in www.mathematik.de - der mathematische Anteil. Die Hauptperson ist nämlich Niccolo Tartaglia, Rechenmeister in Venedig. Und so ganz nebenbei werden wir als Leser erstens in die Mathematik des 16. Jahrhunderts eingeführt (wie weit war man mit dem Gleichungslösen? wo stand die Physik? welche Rolle spielte Euklid? wie verdiente man damals sein Brot als Mathematiker?), und zweitens hören wir einiges von der berühmten Tartaglia-Cardano-Kontroverse, wer von beiden denn nun als erster die Gleichung dritten Grades lösen konnte.
Der Rezensent gesteht, dass er nicht nachgeprüft hat, ob die historischen Details stimmen, und er gibt auch zu, dass er nicht alle Einzelheiten der geometrischen Erläuterungen Tartaglias verstanden hat. Trotzdem empfiehlt er dieses Buch allen, die sich einige Urlaubstage lang in eine andere Welt versetzen lassen wollen und dabei noch so ganz nebenbei eine aufregende Epoche europäischer Mathematikgeschichte kennen lernen möchten.

(Rezension: Ehrhard Behrends)

Der das Unendliche kannte
Das Leben des genialen Mathematikers Srinivasa Ramanujan

Robert Kanigel
Vieweg Verlag, 1995, 358 Seiten, 32 €

ISBN: 352816509X

In der Mathematikgeschichte finden sich immer wieder Lebensläufe, die eine besondere Dramatik aufweisen, der von Ramanujan gehört ganz sicher dazu.
Die Fakten: Er wurde 1887 im armen Süden Indiens geboren, als Teenager brachte er sich selbständig Mathemaik bei (indem er eine Formelsammlung durcharbeitete, die er durch Zufall in die Hände bekam). Er entdeckte unglaublich schwierige Ergebnisse, später nahm er brieflich Kontakt mit europäischen Mathematikern auf. Er ging dann für einige Jahre nach Cambridge, wo es eine sehr produktive Zusammenarbeit mit den Mathematikern Hardy und Littlewood gab.
Nach dem ersten Weltkrieg kehrte er schwerkrank nach Indien zurück, wo er schon 1918 hochgeehrt starb.

Viele Aspekte dieses Lebens sind bemerkenswert. So etwa seine Fähigkeit, einen ,,direkten Weg'' zu den mathematischen Wahrheiten zu finden, die ihm oft blitzartig aufgingen, oder das komplizierte Aufeinandertreffen westlicher und östlicher Lebensauffassungen. Darüberhinaus ist Raum für Spekulationen: Was hätte aus ihm werden können, wenn er von Anfang an eine seinen Fähigkeiten angemessene mathematische Ausbildung bekommen hätte? Oder wenn man seine Krankheit - wahrscheinlich Tuberkolose - damals schon hätte heilen können?

Das vorliegende Buch erzählt Ramanujans Geschichte liebevoll und detailgetreu. Man lernt nebenbei eine Menge über indische Kultur, Mathematiker des frühen 20. Jahrhunderts, die Zeit vor und während des ersten Weltkriegs, das europäische Universitätssystem und vieles mehr.
Die Übersetzung ins Deutsche ist sprachlich und mathematisch einwandfrei. Das ist für Bücher dieser Art nicht selbstverständlich, der Verlag ist zu beglückwünschen, dass er den Mathematiker Beutelspacher für diese Aufgabe gewinnen konnte.

Kurz: Es liegt eine rundum empfehlenswerte Biografie der vielschichtigen Mathematiker-Persönlichkeit Ramanujan vor, die allen Fachleuten und anderen an Mathematik Interessierten nachdrücklich empfohlen werden kann.

(Rezension: Ehrhard Behrends)

Die Theorie, die nicht sterben wollte
Wie der englische Pastor Thomas Bayes eine Regel entdeckte, die nach 150 Jahren voller Kontroversen heute aus der Wissenschaft, Technik und Gesellschaft nicht mehr wegzudenken ist

Sharon B. McGrayne
Verlag: Springer Spektrum 2014, 365 Seiten, 29,99 €

ISBN-10: 3642377696
ISBN-13: 978-3642377693

Rezensionen von Reinhard Viertl (Wien) und Hartmut Weber (Kassel)

Schon der Untertitel des Bandes am Titelblatt sagt sehr viel über dieses gelungene Werk aus. „Wie der englische Pastor Thomas Bayes eine Regel entdeckte, die nach 150 Jahren voller Kontroversen heute aus Wissenschaft, Technik und Gesellschaft nicht mehr wegzudenken ist.“

Dieses exzellente, aus dem Englischen übersetzte Buch, das die Autorin in zehnjähriger Arbeit verfasst hat, ist eine umfassende Beschreibung Bayes’scher Methoden, die auch die Situation der Bayes’schen Analyse in der Statistik beleuchtet. Bayes’sche Statistik ist ja weit mehr als die Anwendung der Bayes’schen Formel, sondern ein philosophisch anderer Zugang als die klassische Statistik, da sie auch subjektive Information des Analytikers in mathematischer Form zu verwenden erlaubt.

Der Band beschreibt auch die Geschichte der Entwicklung der Bayes’schen Statistik sowie zahlreiche erfolgreiche Anwendungen, wie schon das Inhaltsverzeichnis zeigt. Die fünf Teile des Werkes umfassen folgende 18 Abschnitte:

Teil I mit dem Titel „Aufklärung und anti-Bayes’sche Reaktion“ umfasst drei Abschnitte. Abschnitt 1 „Die Frage nach den Ursachen“ beschreibt die Anfänge der Bayes’schen Ideen im historischen Zusammenhang. Abschnitt 2 „Pierre Simon Laplace: Der Mann, der alles machte“ erläutert dessen Beitrag zur Bayes’schen Analyse. Interessant ist, dass bei Laplace dessen Adelstitel fehlt, während dieser etwa bei Bruno de Finetti angeführt wird. Abschnitt 3 „Viele Zweifler, wenige Verteidiger“ widmet sich dem Rückschlag nach dem Tod von Laplace und beschreibt auch psychologische Aspekte persönlicher Gegensätze.

Teil II „Die Zeit des Zweiten Weltkriegs“ umfasst zwei Abschnitte, nämlich „Bayes zieht in den Krieg“, worin die erfolgreiche Rolle Bayes’scher Analyse für die Entschlüsselung von Geheimnachrichten geschildert wird. Abschnitt 5 „Noch einmal tot begraben“ schildert die Situation Bayes’scher Ideen nach dem Zweiten Weltkrieg.

Teil III „Die grandiose Wiedergeburt“ umfasst 5 Abschnitte, deren Überschriften für sich sprechen. Dies sind die folgenden: Abschnitt 6 „Arthur Bailey: Bayes und die Versicherungen“, Abschnitt 7 „Vom statistischen Werkzeug zur Glaubensfrage“, Abschnitt 8 „Jerome Cornfield: Lungenkrebs und Herzinfarkt“, Abschnitt 9 „Bayes und das Unmögliche: Unfälle mit Atombomben“ sowie Abschnitt 10 „Varianten des Bayes-Theorems“, in dem auch auf unscharfe Varianten des Bayes’schen Theorems hingewiesen wird.

Teil IV „Die Nützlichkeit von Bayes“ enthält ebenfalls 5 Abschnitte: Abschnitt 11 „Business-Entscheidungen“, Abschnitt 12 „Wer schrieb die Federalist-Artikel?“, Abschnitt 13 „Kalte Krieger“, Abschnitt 14 „Three Miles Island“ und Abschnitt 15 „Eine Wasserstoffbombe fällt ins Meer“. Dieser Teil führt die Nützlichkeit der Anwendung Bayes’scher Methoden bei realen Problemen drastisch vor Augen.

Der letzte Teil V „Der Sieg des Bayes-Theorms“ ist selbsterklärend. Abschnitt 16 „Heureka!“ erläutert, wie durch die Computerrevolution viele Bayes’sche Analysen komplexerer Art möglich wurden, welche wichtige Anwendungen bewältigen können. Diese reichen von medizinischen Problemen über Risikoanalysen, Umweltanalysen, Bildverarbeitung bis zu Problemen der Künstlichen Intelligenz. Heute kann man sagen, dass die Bayes’sche Statistik sich den ihr zustehenden Platz in der Statistik erobert hat. Abschnitt 17 „Bayes und die babylonische Sprachverwirrung“ beschreibt den Erfolg Bayes’scher Analysemethoden und zeigt, dass die Kontroversen zwischen Bayesianern und anderen Statistikern abgekühlt sind. Mit der Verleihung des Nobelpreises an Daniel Kahnemann hat die Entscheidungsfindung nach rationalen Bayes’schen Verfahren große Anerkennung gewonnen. Allerdings ist der Standpunkt mancher Bayesianer, dass alle Ungewissheit mittels Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben sind, nicht haltbar, wie neuere Arbeiten der mathematischen Beschreibung von Unschärfen zeigen. Abschnitt 18 „Epilog: Der Air France-Flug 447 Rio de Janeiro – Paris“ erklärt, dass Bayes’sche Methoden bei der Suche nach Wrackteilen schließlich zum Erfolg geführt haben.

Ein Kapitel „Anmerkungen“ gibt interessante Verweise sowie einige interessante Bemerkungen historischer und psychologischer Art. Ein Glossar erklärt die wichtigsten Begriffe und eine Bibliografie, die über 700 Publikationen umfasst, ein gutes Sachverzeichnis sowie ein Namensverzeichnis mit über 400 Einträgen runden die Darstellung des gelungenen Werkes ab.

Zusammenfassend ist das Buch als großartige Darstellung der Entwicklung Bayes’scher Methodik seit ihren Anfängen zu bezeichnen. Jedem, der an Statistik oder Entscheidungsanalyse aus formaler oder historischer Sicht interessiert ist, kann das Werk bestens empfohlen werden.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2015, Band 62, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Reinhard Viertl (Wien)

In weiten Teilen spannend wird hier die Geschichte eines speziellen mathematischen Themas sehr ausführlich dargestellt: Die Entdeckung des sogenannten Bayes-Theorems im 18. Jahrhundert, die historische Entwicklung seiner Anwendungsmöglichkeiten im 20. und – nicht zuletzt – die wissenschaftstheoretische Kontroverse zwischen zwei verschiedenen Auffassungen über den Wahrscheinlichkeitsbegriff. Während der Satz von Bayes in der praktischen Anwendung anerkannt ist und schon lange benutzt wird, ist der wissenschaftstheoretische Hintergrund offensichtlich bis heute nicht unumstritten.

Ich möchte (in Anlehnung an Wikipedia) die beiden Richtungen dieses Wissenschaftsstreits kurz charakterisieren: Der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff (auch objektive Wahrscheinlichkeit genannt) interpretiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als die relative Häufigkeit, mit der es in einer großen Anzahl gleicher, wiederholter, voneinander unabhängiger Zufallsexperimente auftritt

In der Bayesschen Statistik ist die Wahrscheinlichkeit hingegen eine (subjektive) Aussage über die Plausibilität des Eintretens eines Ereignisses. Daher ist in der Bayesschen Statistik kein Zufallsexperiment als Grundlage notwendig. In ihr werden immer bedingte Wahrscheinlichkeiten betrachtet, d. h., wie wahrscheinlich (plausibel) es ist, dass Aussage A eintritt, wenn B eingetreten ist (es also Vorwissen gibt).

Bei der Betrachung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) interessiert oft die „inverse“ Wahrscheinlichkeit P(B|A). Für deren Berechnung ist der Satz von Bayes zuständig. Die Apriori-Wahrscheinlichkeit für das Ereignis kann oft genau bestimmt werden (objektiv), manchmal stecken darin aber unsichere Annahmen (subjektiv). Über die Zulässigkeit dieser sogenannten Prioren geht die genannte Kontroverse. Diese können – wenn nicht durch Häufigkeiten bekannt – in der Bayesschen Statistik sogar anfangs willkürlich gewählt werden, werden dann in einem Iterationsprozess durch die berechneten Aposteriori-Wahrscheinlichkeiten ersetzt. Nach der frequentistischen Auffassung ist ein willkürlich gewählter Prior, auch wenn er plausibel erscheinen mag, nicht zulässig.1

Die Autorin ist keine Mathematikerin. Mit Ausnahme von sechs ein- bis zweiseitigen Exkursen enthält das Buch keine exakten mathematischen Aussagen oder gar Formeln. Es werden vielmehr wichtige Mathematiker bzw. Statistiker (die sich oft ohne Mathematikstudium als Wissenschaftler aus verschiedenen Bereichen wie Genetik oder Ökonomie der Statistik verschrieben haben) mit ihren Arbeitsgebieten und wissenschaftlichen Ergebnissen beschrieben. Dabei kommen auch deren individuellen Vorlieben, persönliche Feindschaften und kollegiale Zusammenarbeit wie auch private Aspekte ihres Lebens zur Sprache. Die teils anekdotenhafte Darstellung liest sich meist sehr unterhaltsam.

In den vielen Beispielen aus der Geschichte der Statistik des 20. Jahrhunderts ist auch immer wieder die wissenschaftliche Kontroverse ein wesentliches Thema. Es werden viele Anwendungsbereiche beschrieben, in denen die Statistik zu beeindruckenden Erfolgen geführt hat. Als Beispiele seien genannt: Kriminologie (Gutachten in Strafprozessen), Kryptologie (Dechiffrierung), Epidemiologie (Versuchsreihen zur Suche nach Ursachen chronischer Krankheiten), Entscheidungs- und Spieltheorie, Pharmazie (randomisierte, klinische Testreihen, Studien zum Placebo-Effekt), Atomtechnik (Rasmussen-Report zur Sicherheit von Atomkraftwerken), Informatik (u. a. Spam-Filter, Techniken bei Bildverarbeitung und Handschriftenerkennung).

Besonders aktuellen Bezug haben mehrere Kapitel, in denen die Suche nach (durch einen Flugzeugunfall verloren gegangenen) Atom- und Wasserstoffbomben sowie nach der 2009 im Atlantik auf dem Flug von Rio de Janeiro nach Paris abgestürzten Maschine der Air France. Laut Beschreibung der Autorin haben in allen Fällen Methoden der Bayes-Statistik beim Auffinden der Objekte geholfen. Ob solche Verfahren auch bei der Suche nach dem im März 2014 vermissten malaysischen Flugzeug MH370 helfen werden?

Wegen des Fehlens mathematischer Präzision bleibt in vielen Fällen unklar, welche Rolle genau die Verfahren der Bayes-Statistik gespielt haben. Sehr blumig bleiben auch Ausführungen wie: „Das Bayes-Theorem ... liefert uns einen Ansatz, wie wir in den weiten Bereichen des Lebens weiterkommen, die in der Grauzone zwischen absoluter Wahrheit und völligem Nichtwissen liegen.“ oder „Nach langen schmerzhaften Jahren der leidenschaftlichen Verdammung weist Bayes heute einen Weg, rational mit der Welt umzugehen.“

Nebulös klingen auch die im Schlusskapitel erwähnten Andeutungen, dass Bayes als „theroretisches Modell dienen [kann], um das Funktionieren des Gehirns zu erklären“. Wie soll man die Aussage verstehen, dass „das ’Bayessche Gehirn’ zu einer Metapher für das menschliche Gehirn schlechthin geworden [ist], das die Wahrscheinlichkeit nachahmt“?

In den Exkursen, die von der Autorin nicht allein verfasst worden sind, werden an (bekannten) Beispielen (u. a. Mammographie-Screening, Vererbung der Bluter-Krankheit, Justizirrtum) bedingte Wahrscheinlichkeiten mit dem Satz von Bayes berechnet und die für den Laien oft verblüffenden Ergebnisse interpretiert.

Ein Literaturverzeichnis von 30 Seiten belegt die ausführlichen Recherchen, die die Autorin geleistet hat.

¹ Eine etwas ausführlichere Beschreibung mit Rechenbeispielen zu dieser Thematik findet man unter
  http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/aussermathAnw/Bayes.html

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)