Leseecke

Kurt Gödel
Jahrhundertmathematiker und großer Entdecker

Rebecca Goldstein
Piper, 2. Aufl. 2006, 312 Seiten, 19,90 €
Piper TB, 2007, 312 Seiten, 9,95 €

ISBN: 3-492-04884-6
ISBN: 3-492-24960-4

Zwei Männer spazieren durch Princeton, New Jersey. Die Szene stammt wahlweise aus den 40er oder frühen 50er Jahren des vergangenen Jahrhunderts und bildet die Einleitung zur Biographie eines dieser beiden Männer. Gemeinsam mit Heisenbergs Unschärferelation haben diese beiden Wissenschaftler, denn um solche handelt es sich, die wahrscheinlich spektakulärsten und in ihren Auswirkungen revolutionärsten wissenschaftlichen Beiträge des 20. Jahrhunderts geliefert. Einer der beiden ist Albert Einstein, dessen Relativitätstheorie auch den Nicht-Fachleuten allgemein bekannt ist (zumindest vom Namen, schon weitaus seltener vom genauen Inhalt) und dessen Person einen der höchsten Bekanntheitsgrade weltweit erreicht hat. Sein Gesprächspartner und häufiger Begleiter auf Spaziergängen in dieser Zeit ist Kurt Gödel. Ein Mathematiker, der wohl größtenteils, ganz im Gegensatz zu Einstein, selbst als Person (unabhängig von seinen Ergebnissen) nur Fachleuten bekannt ist. Seine Unvollständigkeitssätze jedoch sind in ihrer wissenschaftlichen Bedeutung und Auswirkung auch über die Mathematik hinaus auf die Logik und Philosophie mit den Ergebnissen Einsteins sicherlich gleichwertig. Diese Person Kurt Gödel also ist es, dessen Leben und wissenschaftliche Arbeiten in diesem Buch von Rebecca Goldstein behandelt werden.
Einfach formuliert besagen die beiden Gödelschen Unvollständigkeitssätze, dass es in jedem formalen System, welches zumindest eine Theorie der natürlichen Zahlen besitzt, unentscheidbare Formeln gibt und dass die Widerspruchsfreiheit eines solchen Systems nicht innerhalb des Systems selbst nachgewiesen werden kann. Im Klartext bedeutet das: In der Mathematik gibt es Formeln, welche weder als wahr noch als falsch identifiziert werden können und es ist unmöglich, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik mit mathematischen Methoden zu beweisen. Die Auswirkungen sind sogar noch größer. Auch wenn wir unser mathematisches Axiomensystem modifizieren, indem wir etwa eine solche unentscheidbare Formel axiomatisch entscheiden, d.h. ihre Antwort als Axiom in unser Regelwerk aufnehmen, ergeben sich weitere unenetscheidbare Formeln im neuen System und die Widerspruchsfreiheit lässt sich jetzt ebensowenig nachweisen wie zuvor. Es liegt also nicht an unserem System, sondern die Problematik ist rein logisch unvermeidbar.
Verständlicherweise hört sich das für den Nicht-Mathematiker bzw. Nicht-Logiker (Nicht-Philosophen) nicht ähnlich spektakulär an, wie Einsteins gekrümmte Raumzeit, in welcher sich bei extrem hoher Geschwindigkeit sogar die Zeit verlangsamt, doch ist die wissenschaftliche Bedeutung nicht hoch genug einzuschätzen. Man beachte etwa, dass der große Mathematiker David Hilbert bei seiner berühmten Rede auf dem internationalen Mathematiker-Kongress in Paris im Jahre 1900, auf welchem er seine 23 wichtigsten mathematischen Probleme vorstellte, deren Lösung die wichtigste Aufgabe der Mathematiker-Generationen des 20. Jahrhunderts darstellen sollte, als zweites Problem folgendes liefert:
"Vor Allem aber möchte ich unter den zahlreichen Fragen, welche hinsichtlich der Axiome gestellt werden können, dies als das wichtigste Problem bezeichnen, zu beweisen, dass dieselben untereinander widerspruchslos sind, d.h. dass man auf Grund derselben mittelst einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals zu Resultaten gelangen kann, die miteinander in Widerspruch stehen."
Gödel hat also dieses Zweite Hilbertsche Problem gelöst, indem er nachgewiesen hat, dass es nicht zu lösen ist.
Als weiteren Grund für die unterschiedliche Wirkung, die die beiden Spaziergänger Gödel und Einstein auf die Öffentlichkeit ausübten, lassen sich natürlich die völlig andersartigen Persönlichkeiten der beiden heranziehen. Gödel zog sich Zeit seines Lebens so weit es ging von seiner Umwelt zurück. Auch blieb er stets zurückhaltend und fast schüchtern in der Begegnung mit anderen. Selbst als seine Ergebnisse in ihrer Bedeutung, welche Gödel selbst wohlbewusst war, zunächst von seinen Kollegen kaum erkannt und gewürdigt wurde, unternahm er keine großen Anstrengungen, die Mathematiker-Gemeinde davon zu überzeugen. Zusätzlich zeichnete ihn, wie Rebecca Goldstein an mehreren Stellen aufzeigt, eine fast bis zur Selbstverleugnung starke Obrigkeitshörigkeit und eine gewisse Weltfremdheit aus, die ihn zum Einen die politischen Entwicklungen um ihn herum (bspw. die Machtübernahme der Nationalsozialisten in Deutschland) kaum wahrnehmen bzw. richtig einschätzen ließ. Zum Anderen führte sie dazu, dass er, auch nachdem seine Leistungen und Ergebnisse allseits anerkannt und gewürdigt wurden, in ständiger Sorge um seine Anstellung am Institut war.
Bereits 1934 verbrachte er in Folge eines Nervenzusammenbruchs, welcher sich auf Überarbeitung zurückführen lässt, einige Wochen im Sanatorium. Als er sich im Sommersemester 1939 zu Studienzwecken bereits ein zweites Mal in den Vereinigten Staaten aufhielt, kam es zur Annektierung der Tschechoslowakei durch das Deutsche Reich. Zum Entsetzen seiner Freunde und Bekannten in Amerika bestand Gödel jedoch darauf, nach Wien zurückzukehren, aus Angst, die neuen Machthaber könnten ihm seine Dozentur aberkennen. Seine Weltfremdheit und gleichzeitige problematische psychologische Verfassung illustriert Rebecca Goldstein sehr gut durch die Aussage: "Ein Mann, den ein Kühlschrank in Angst und Schrecken versetzen konnte, weil er glaubte, dass daraus giftige Gase entströmten, kehrte in ein Wien zurück, das von den Nazis »übernommen« worden war, um »seine Rechte« durchzusetzen."
Erst nachdem er wegen seines "jüdischen Aussehens" (Gödel war kein Jude) von einer Gang junger Schläger gestellt und beinahe verprügelt wurde (seine Frau kam ihm zu Hilfe) und nachdem er vollkommen unerwarteterweise als "volltauglich" für den Whrdienst eingestuft wurde (trotz seines angeblichen Herzfehlers, an den er seit seinem achten Lebensjahr glaubte), fasste er den Entschluss, Wien endgültig zu verlassen und die Einladung aus Princeton anzunehmen. Im Bemühen, ihm eine Ausreisegenehmigung zu beschaffen, argumentierte der Direktor des Institute for Advanced Studies u.a., dass Gödels Ausreise keinen Präzedenzfall schaffen könne, da es "nur wenige Menschen von ähnlicher wissenschaftlicher Bedeutung" gäbe. Dort in Princeton war es, wo Gödel Einstein kennenlernte und er in ihm seine wichtigste Bezugsperson bis zu dessen Tod fand.
Sowohl die jungen Jahre in Wien, die Mitgliedschaft im Wiener Kreis, die Einflüsse Wittgensteins auf das dortige intellektuelle Leben und die gegenseitige Ablehnung der Ansichten Gödels und Wittgensteins, als auch das immer stärkere Zurückziehen aus der Welt nach Einsteins Tod, was letztendlich zum eigenen Tod durch Unterernährung und Entkräftung führte, schildert Rebecca Goldstein auf würdige und interessante Weise. Sie schafft es auch, dabei die mathematischen und logisch-philosophischen Ergebnisse Gödels verständlich zu präsentieren und deren Bedeutungen und Auswirkungen auf die Wissenschaft aufzuzeigen.
Das Buch bietet eine ausgewogene Darstellung von wissenschaftlicher Deutung, biographischer Lebensbeschreibung und interessanten und unterhaltsamen Anekdoten, wie der inzwischen schon sehr berühmten Geschichte, dass Gödel vor seinem Termin zur Erlangung der amerikanischen Staatsbürgerschaft Einstein darüber unterrichtet, in der Verfassung einen logischen Widerspruch entdeckt zu haben, was diesen dazu veranlasst, am besagten Tag Gödel nicht von der Seite zu weichen und ihn auf dem Weg mit allen möglichen Gesprächen von diesem Thema abzulenken.
Es ist sowohl für Mathematiker, als auch für solche Leute, die sich nicht mit der Materie beschäftigt haben, eine äußerst lesenswerte Biographie, und man kann davon ausgehen, dass sie die Person Kurt Gödel ein wenig der Stellung näher bringt, die sie eigentlich verdient hätte, als der vielleicht größte Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

(Rezension: Jörg Beyer)

Poincarés Vermutung
Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers

Donal O'Shea
S.Fischer Verlag, 2007, 378 Seiten, 19,90 €

ISBN: 3-10-054020-1

Im Jahr 2006 hatte die Mathematik eine Präsenz in den Medien wie seit langem nicht mehr. Der Grund war der Beweis der Poincaréschen Vermutung, eine Sensation, ein Meilenstein der Mathematikgeschichte. In jüngerer Zeit vielleicht nur vergleichbar mit dem Beweis des Satzes von Fermat, wobei dieser seine Berühmtheit allerdings eher aus seinem Mythos bezog als aus seiner mathematischen Bedeutung für Forschung und Anwendung. Ganz im Gegensatz dazu stellt der Beweis der Poincaréschen Vermutung einen bedeutenden Fortschritt für die Topologie und auch die Physik dar, da die Vermutung das Wissen über die Struktur unseres Universums wesentlich betrifft.
Trotz alledem würde dies in der heutigen Zeit wohl leider nicht ausreichen, um in der Weltpresse für Schlagzeilen zu sorgen, und so stellen wohl zwei andere Aspekte der Geschichte den Grund für die ausführliche Berichterstattung dar.
Zum Einen gehörte die Poincarésche Vermutung zu den sieben, vom Clay Institut benannten Milleniumsproblemen, was zur Folge hat, dass auf die Lösung ein Preisgeld von einer Million US-Dollar ausgelobt ist. Zum Anderen ist der Mann, der den Beweis erbracht hat, Grigorij Perelman, ein ideales Objekt für die mediale Berichterstattung. Er lebt vollkommen zurückgezogen in Russland, ohne jeglichen Kontakt zum mathematischen Leben und deren Diskussionen in der Welt, stellte seine Beiträge, die zum Beweis der Vermutung führten, für jedermann öffentlich ins Internet und verzichtete auf eine Publikation in einschlägigen Fachmagazinen. Damit zeigte er auch, dass er an dem Preisgeld wohl keinerlei Interesse hegt, da die ordentliche Publikation in eben einem solchen Fachmagazin zu den Voraussetzung zur Erlangung des Preisgeldes zählte.
Hinzu kam der Internationale Mathematik Kongress im August 2006 in Madrid, auf welchem, nach langen Spekulationen und Gerüchten, verkündet wurde, dass Perelman die Fields-Medallie, die wohl bedeutendste mathematische Auszeichnung überhaupt, zugesprochen bekommen hat, dieser eine Annahme der Auszeichnung jedoch verweigerte.

Nach all den Sensationsmeldungen und Berichten, welche sich hauptsächlich um Perelman und das Preisgeld kümmerten, liegt jetzt mit Donal O'Sheas Buch "Poincarés Vermutung" ein Werk für die breite Öffentlichkeit vor, welches sich mit der Mathematik befasst, die hinter all diesem Wirbel steckt und die, wie oben bereits erwähnt, eigentlich alleine ausreichend sein müsste, um solche Aufmerksamkeit zu erregen.
O'Shea schlägt einen enorm großen Bogen, indem er die Geschichte der Mathematik - besser ist es vielleicht zu sagen, eines Teils der Mathematik - von den Anfängen bei den Ioniern und den Griechen, bis zur heutigen Zeit und eben der Lösung der Poincaréschen Vermutung erzählt. Dabei stehen die Vermutung und auch ihre Bedeutung für eine mögliche Antwort auf die Frage der Gestalt unseres Universums im Zentrum der Erzählung und ist das verbindende Element der erläuterten Entwicklungen.

Zwar geraten die ersten Kapitel, welche sich u.a. mit den Pythagoräern und Euklid beschäftigen, auch durch die Unterbrechungen, welche der Darstellung von Mannigfaltigkeiten und Spekulationen über mögliche Modelle unserer Welt gewidmet sind, manchmal etwas verwirrend und es fällt nicht immer leicht - gerade zu Beginn - den roten Faden zu finden, doch wird dies dann mit den späteren Kapiteln mehr als entschädigt, welche sich mit den mathematischen Entwicklungen der letzten etwa 200 Jahre, über die Entwicklung nichteuklidischer Geometrien, zur Entstehung des mathematischen Gebiets der Topologie befassen. Seine Darstellungen der Lebens- und Schaffenszeiten beispielsweise Riemanns, Kleins und Poincarés sind wahrlich mitreißend und ergreifend, und auch wenn er sich einige Darstellungen der politischen Geschehnisse der Zeit hätte sparen können, ist O'Shea doch im zweiten Teil ein fesselnedes Buch gelungen, welches in angemessener Weise vom Leben einiger der bedeutendsten Mathematiker der Geschichte und ihres Werkes erzählt.
Dass er auch ihre Zweifel, Fehlschläge, persönlichen Eitelkeiten und anderen Eigenschaften nicht außer Acht lässt, steigert die Lesefreude ebenfalls. So ist der Briefwechsel zwischen Klein und Poincaré, gespickt mit Anspielungen und hinter Höflichkeiten versteckten Spitzen, ebenso faszinierend wie die Bescheidenheit und die unermüdliche Arbeit der beschriebenen Persönlichkeiten für eine Weiterentwicklung der Mathematik, unabhängig von der eigenen Berühmtheit.
Auch ist O'Shea die Darstellung der verschiedenen Universitäts- und Lehreinrichtungsmodelle und -entwicklungen in Europa - hier insbesondere Deutschlands und Frankreichs - und den USA ebensogut gelungen wie die Beschreibung der Internationalität der Mathematik trotz widrigster Umstände.

Leider ist zu bemängeln, dass die Herausgabe des Buches sich weitaus besser hätte bewerkstelligen lassen können. Sowohl öfters auffallende Wiederholungen (insbesondere Fußnoten, in denen teilweise fast wörtlich dasselbe steht wie im Text), als auch gut gemeinte, jedoch völlig nutzlose, weil unscharfe Karten, stellen ein gewisses Ärgernis dar, wobei einem immer wieder die Frage aufkommt, warum diese offensichtlichen Mängel nach einer Durchsicht des Buches nicht behoben wurden.

Diese Kritikpunkte sollen jedoch nicht darüber hinwegtäuschen, dass es sich um ein großartiges Buch zu einem großartigen Thema handelt und sowohl Mathematiker, die mit der Thematik vertraut sind, als auch Leser, die sich nicht besonders stark mit der Mathematik beschäftigt haben, es mit Genuss lesen werden.

(Rezension: Jörg Beyer)

N is a Number
A Portrait of Paul Erdös

George Paul Scicsery
Springer VideoMATH 1999

Einigermaßen gut Englisch bzw. Amerikanisch muss man können, um das Video über Paul Erdös zu verstehen. Aber dann ist es interessant für jeden, der sich für eine besondere Persönlichkeit interessiert. Es ist eine sehr gute Ergänzung zum Buch von Paul Hoffmann: "Der Mann, der die Zahlen liebte". Hier sieht man Erdös und viele seiner Kollegen "live" bei Vorlesungen, Tagungen und Interviews. Es wird über Paul Erdös' unruhiges Leben berichtet, seine Eigenheiten und seine mathematischen Interessen.

(Rezension: Silke Göbel)

Fußball - Wissenschaft mit Kick
Von der Physik fliegender Bälle und der Statisik des Spielausgangs

John Wesson
Elsevier Verlag, 2005, 244 Seiten, 15 €

ISBN:3-8274-1665-5

In diesem Buch geht es also um den Fußball. Der Mathematiker würde sagen um jene Sphäre um a mit Radius r im metrischen Raum (X,d). Nicht dass ein Mathematiker dieses Buch nicht hätte schreiben können, aber es musste eben ein Physiker kommen, denn am Anfang war wohl der springende Ball. Erst dann kam die Mathematik und blieb - man könnte sagen - bis zum Spielausgang. Denn hier geht es um mehr als nur den Ball.
Am Anfang war also der springende Ball. Und das, springen, kann er nur, weil er getreten wird, das heißt der Fuß auf ihn eine Kraft ausübt und der Ball einen Innendruck von größer als die Atmosphäre hat. Mit einer Elastizitätszahl von etwa 0,8 kommt er dann und wann auch mal ins Rollen - er rotiert - oder prallt von der Torlatte ab. Dabei ist der Ball im Flug alles andere als eine einfache Bahn ohne Luftwiderstand. Luftströmungen, Grenzschichten und der Bernoulli-Effekt tun ihr übriges - von den Bananenflanken einmal abgesehen. Soviel zur elementaren Fussballphysik. Und weil nicht alles nur der Physik überlassen werden kann, schafft auch der Mensch ein paar Regeln. Es heißt ja: Kein Spiel ohne Regeln.
Mit den gegenwärtigen Bestimmungen über die Anzahl der Spieler, die Spielfeldgröße und der Anzahl der Bälle, ergibt sich ein vernünftiger Wert von etwa einem Ballkontakt alle 3 Sekunden. Und weil es ja eigentlich nicht um Ballkontakte, sondern um Tore geht, kann man mittels geeigneter Methoden die im Spiel gefallenen Tore auf Basis von entsprechenden Siegchancen einzelner Teams bestimmen oder die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Entfernung ermitteln, einen unbehinderten Torschuss zu verwandeln. Dass ein Spiel 90 Minuten dauert ist Fussball-Philosophie. Dass die Spielstärke eines Teams unter der Normalverteilungsannahme aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% genau gleich der tatsächlichen Punkteanzahl der Bundesliga ist, ist stochastische Fussball-Mathematik. Und wer davon nicht genug kriegen kann, der findet in den statistischen Kapiteln und endgültig im physikalisch-mathematischen Anhang alle Erklärungen dafür, warum ... ja warum Fussball eigentlich nie langweilig werden kann.
Denn letztlich ist Fussball - vereinfacht gesagt - ein Brownscher Prozess. Dieses Buch macht auf unterhaltsame Weise klar, worauf es beim Fussball ankommt: auf Mathematik. Damit gehört es in jede Sporttasche!

(Rezension: Mark Krüger)

Ein aufleuchtender Blitz
Niels Henrik Abel und seine Zeit

Arild Stubhaug
Springer-Verlag, 2001, 580 Seiten, 39.95 €

ISBN: 3540418792

Ein mathematisches Genie, das viel zu früh starb und das quasi erst auf dem Totenbett die Stelle angeboten bekam, die seinem Leben eine finanzielle Basis gegeben und ihm eine große Karriere eröffnet hätte: Das war der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel (1802 - 1829).
In der Mathematikgeschichte ist eine Biographie, aus der man leicht ein Film-Drehbuch machen könnte, kein Einzelfall (Galois, Ramanujan, ...), im vorliegenden Buch wird das Leben von Abel liebevoll und sehr ausführlich nachgezeichnet. Man kann das Buch als erste Einführung in die von Abel entwickelte Mathematik lesen. (Es gibt in dem Buch aber keine einzige Formel, wirklich schwierig wird es an keiner Stelle.) Es bietet auch die Möglichkeit, viel Interessantes aus der europäischen, insbesondere der norwegischen Geschichte zu Beginn des neunzehnten Jahrhunderts zu erfahren. Deutschland kommt auch vor, denn hier verbrachte Abel die für seine mathematische Entwicklung wichtigsten Jahre.
Für Abel- und Norwegen-Fans ein Muss, für den Durchschnittsleser vielleicht etwas zu ausführlich.

(Rezension: Ehrhard Behrends)