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Das BUCH der Beweise

Martin Aigner, Günter M. Ziegler
Springer Verlag, 2002, 249 Seiten, 29.95 €

ISBN: 3540401857

Zur englischen Rezension.

Das BUCH der Beweise - klemmt die Umschalttaste auf Großbuchstaben auf dem Computer der Autoren? Ganz und gar nicht! Was hier vorliegt, ist eine Sammlung von Beweisen, die in das von Paul Erdös immer wieder zitierte BUCH gehören, das vom lieben (?) Gott verwahrt wird und das die perfekten Beweise aller mathematischen Sätze enthält. Manchmal lässt der Herrgott auch einige von uns Sterblichen in dieses BUCH blicken, und die so resultierenden Geistesblitze erhellen den Mathematikeralltag mit eleganten Argumenten, überraschenden Zusammenhängen und unerwarteten Volten. Erdös hat übrigens stets versichert, dass man nicht an Gott zu glauben braucht - er selbst tat es wohl auch nicht, titulierte er doch das höchste Wesen despektierlich als SF (= Supreme Fascist) -, dass man aber als Mathematiker an das BUCH glauben sollte.
Hier ist es also, das BUCH der Beweise in der wunderbaren Version von Martin Aigner und Günter Ziegler (genauer ist es die deutsche Ausgabe der 2. englischen Auflage). Es enthält 32 Kapitel aus den Gebieten Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Kombinatorik und Graphentheorie; nicht von ungefähr sind das die Gebiete, auf denen Erdös selbst aktiv war. Viele der dargestellten Beweise stammen auch von ihm; so erfahren wir im 2. Kapitel den BUCH-Beweis des Satzes, wonach zwischen einer Zahl n und ihrem Doppelten 2n stets eine Primzahl liegt (im Wesentlichen aus der ersten Publikation des damals knapp zwanzigjährigen Erdös), und im letzten Kapitel wird die Erdössche "probabilistische Methode" vorgestellt, die die Kombinatorik revolutioniert hat. Dazwischen geht es um irrationale Zahlen, die Eulersche Polyederformel, Körper und Schiefkörper, Zerlegungen konvexer Mengen, Ungleichungen, Polynome, Färbungsprobleme und und und ...
Es liegt in der Natur der Sache, dass für manche Kapitel mehr Kenntnisse beim Leser vorausgesetzt werden als für andere. Da das Buch recht kondensiert geschrieben ist, verlangt die Lektüre hohe Konzentration; aber für alle, die zwei Semester Mathematik studiert haben und die bereit sind, diese Konzentration aufzubringen, wird die Mühe reichlich belohnt, zumal das Buch hervorragend gesetzt und illustriert ist (ob es das BUCH auch ist?). Auch hierfür gebührt den Autoren und ihren TeX-Beratern höchstes Lob.
Wer (wie ich) bislang vergeblich versucht hat, einen Blick ins BUCH zu werfen, wird begierig in Aigners und Zieglers BUCH der Beweise schmökern.

(Ferner gibt es Besprechungen zur Erdös-Biographie Der Mann, der die Zahlen liebte und zu dem Erdös-Video N is a number.

(Rezension: Dirk Werner)

Proofs from THE BOOK

Martin Aigner, Günter M. Ziegler
Springer 2001, 215 Seiten

ISBN: 3540678654

Paul Erdös zufolge gibt es im Himmel ein Buch perfekter Beweise mathematischer Sätze. Die Autoren geben Beispiele solcher "perfekter Beweise", die eine gute Chance haben, in The Book aufgenommen zu werden. 32 Themen werden in den fünf Kapiteln behandelt: Aus der Zahlentheorie, Geometrie, Analysis, Kombinatorik und Graphentheorie. Das Themenspektrum ist also durchaus breit, wobei die diskrete Mathematik sicher am stärksten vertreten ist. Es reicht von Allgemeinbildendem (z. B. sechs verschiedenen Beweisen dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt) zu eher speziellen Fragestellungen.
Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Abschnitte ist unterschiedlich, und Schulmathematik reicht wohl nicht ganz. Aber nach zwei Semestern Mathematikstudium sollte alles zu verstehen sein. Der Stil ist jedoch dicht, so dass es selbst für Berufsmathematiker als Gute-Nacht-Lektüre wenig geeignet scheint. Doch macht es Spaß, im Buch zu lesen. Die Ideen sind z.T. ungewöhnlich und brillant. Schließlich lernt man noch einiges. Jeder weiss, dass pi irrational ist. Wer aber kennt einen Beweis? Noch dazu so einen eleganten?

(Über Paul Erdös selbst gibt es hier Besprechungen zu dem Buch Der Mann, der die Zahlen liebte und dem Video N is a number)

(Rezension: Bernd Schmidt)

Pythagoras
Erinnern Sie sich?

Hoehn, Alfred und Huber, Martin:
orell füssli Verlag, 176 Seiten, 1. Aufl.

ISBN: 3-280-04040-X, 19,90 €

 Inhalt

Einleitung
1. Der Satz von Pythagoras: Geschichte und Bedeutung
2. Pythagoreische Zahlentripel: Die babylonischen Formeln
3. Geometrische Realisierungen
4. Babylonische Formeln - iteriert und umgekehrt
5. Der inkommensurable Fall
6. Pythagoreische Dreiecke und komplexe Zahlen
7. Harmonische Teilung
8. Eiformen der Megalithkultur
9. Morphologie der Kristalle
10. Folgen von pythagoreischen Zahlentripeln

• Glossar
• Literatur
• Register
• Bildnachweis

Beurteilung

Der berühmte Satz des Pythagoras a² + b² = c² im rechtwinkligen Dreieck ist eine Schatztruhe, aus der sich auch heute noch immer neue Zusammenhänge entdecken lassen.
Die Autoren stellen die Wirkungsgeschichte des berühmten Satzes und seine geometrischen Realisierungen vor und liefern überraschende Resultate, etwa zur Anwendung pythagoreischer Dreiecke bei der Steinsetzung in der Megalithkultur.
Der Text ist zu jeder Zeit mit vielen graphischen Darstellungen und Bildern versehen, um die aufgezeigten Ergebnisse und Anwendungen zu visualisieren.
Das Buch ist so aufgebaut, dass die Kapitel 1-4 notwendige Voraussetzung für die restlichen Kapitel 5-10 sind. Letztere sind jedoch voneinander unabhänigig und können in beliebiger Reihenfolge gelesen oder auch weggelassen werden.
Das Buch ist primär an Lehrerinnen und Lehrer, sowie Schülerinnen und Schüler gerichtet, welche den Satz von Pythagoras im Unterricht behandelt haben und dieses Thema nun im Selbststudium vertiefen möchten, richtet sich darüber hinaus aber auch an alle interessierten Laien.

Schere, Stein, Papier
Spieltheorie im Alltag

Lens Fisher
Spektrum Akademischer Verlag; Auflage: 1st Edition.
(1. April 2010), 283 Seiten, gebunden, 19,95 €

ISBN-10: 3827424674
ISBN-13: 978-3827424679

Bei einem Buch über Spieltheorie denkt ein Mathematiker an Matrix-Spiele, Gleichgewichtspunkte, Fixpunktsätze, Lineares Programmieren und das Simplex-Verfahren. Nichts dergleichen wird er in diesem Buch finden. Das Buch enthält keine einzige Formel! Das Nash-Gleichgewicht wird verbal erklärt und grundlegende Probleme wie etwa das Gefangenen-Dilemma werden durch die Auszahlungsmatrix der beiden Kontrahenten dargestellt.

Trotzdem enthält dieses Buch auch mathematisch interessante Ausführungen. In die Umgangssprache ist schon der Begriff der „Win-Win-Situation“ eingegangen. Mehrfach wird der Satz aufgeführt, dass man jedes Nicht-Konstantsummen-Zweipersonenspiel in eine Win-Win-Situation umwandeln kann. Nach dem Gefangenen-Dilemma in Kapitel 1 wird in Kapitel 2 die gerechte Aufteilung von Gütern behandelt. Gibt es nur zwei Personen, so gibt es eine salomonische Lösung: Der eine teilt, der andere wählt. Schwieriger wird es, wenn mehrere Personen vorhanden sind und/oder auch mehrere Güter. Auch die Aufteilung des Nachlasses unter mehreren Witwen gehört zu diesem Problemkreis. Hierfür gibt es eine stochastische Lösung, aber es soll auch eine spieltheoretische Lösung geben. Für das Verteilen unter mehr als zwei Personen wird ein mathematischer Algorithmus erwähnt, aber nicht dargestellt.

Den letzten Nobelpreis für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften gab es in der Spieltheorie zu Gunsten von Robert Aumann und Thomas Schelling. Dieses Buch ist mehr ein Buch im Sinne der Spieltheorie von Thomas Schelling. Schelling und Schelling-Punkte werden in Kapitel 3 bei der Besprechung der 7 fatalen Lemma im Zusammenhang mit dem Freiwilligen-Dilemma erwähnt. Das vierte Kapitel „Schere, Stein, Papier“ hat dem gesamten Buch den Titel gegeben. Wegen der Intransitivität sind drei betrachtete Strategien gleichwertig, keine dominiert alle anderen. Bemerkenswert ist, dass berichtet wird, dass es sogar Weltmeisterschaften für dieses Spiel gibt. Es gibt auch empirische Untersuchungen über die Anwendungs-Wahrscheinlichkeiten der drei gleichwertigen Strategien. Als eine biologische Anwendung wird auf S. 87 der Gemeine Seitenfleckleguan (Uta stansburiana) erwähnt. Hiervon gibt es drei verschiedene Arten, die zur Stabilisierung der Population drei verschiedene Überlebensstrategien anwenden. Keine der drei Strategien ist dominant.

Dem Autor geht es vor allem um die Auflösung sozialer Dilemmas. Dies zeigen die Kapitel „Einigung erzielen“ und „Vertrauen“. In dem 7. Kapitel „Tit for Tat“ geht es um Altruismus und Vergeltung. Im 8. Kapitel wird gezeigt, wie man durch Abänderung des Spiels und Hinzunahme neuer Spieler eine schwierige Situation einer Lösung zuführen kann. Dieses Buch diskutiert soziologische, psychologische und politische Aspekte der Spieltheorie. Im letzten Kapitel zeigt sich aber, dass der Autor ein Physiker ist, der mit Hilfe der in Entwicklung befindlichen Quantencomputer eine Quantenspieltheorie entwickeln will.

Ein amüsantes und in viele Gebiete hineinreichendes Buch liegt hier vor. Es zeigt auch, wie man Spieltheorie auf Alltags-Situationen anwenden kann.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, März 2012, Band 59, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Hilmar Drygas (Universität Kassel)

Talentförderung Mathematik
Ein Tagungsband anlässlich des 25-jährigen Jubiläums der Schülerförderung

Stephanie Schiemann (Hg.)
Münster Lit Verlag 2009, 412 Seiten 24,90 €

ISBN-10: 3643101937
ISBN-13: 978-3643101938

Tagungsbände sind für die Teilnehmer der Tagung von großem Interesse, finden über diesen Kreis hinaus aber häufig nur geringe Verbreitung. Dem vorliegenden Band ist zu wünschen, dass es anders sein wird. Er richtet sich an die immer weiter wachsende Schar von Kolleginnen und Kollegen, die im Rahmen der individuellen Förderung Angebote für mathematisch interessierte Schülerinnen und Schüler machen wollen.

Der Band bietet einen Überblick über Projekte zur Förderung mathematischer Talente und über Wettbewerbsangebote. Dargestellt werden sowohl erprobte Vorschläge zur Lösung der vielfältigen organisatorischen und finanziellen Probleme bei der Durchführung von Fördermaßnahmen, zur Gewinnung von Dozenten und zur Auswahl geeigneter Teilnehmer als auch Ideen zur inhaltlichen Gestaltung. Bei der Vielzahl der vorgestellten Projekte können naturgemäß manche Punkte nur angerissen werden, fast alle Artikel enthalten jedoch nützliche Hinweise auf Internetseiten. Dort werden teilweise komplette Aufgabensätze zum direkten Einsatz in der Talentförderung angeboten.

Beeindruckend sind die Erlebnisberichte ehemaliger Teilnehmer an mathematischen Förderungen, in denen diese nicht nur darstellen, welchen Nutzen sie für ihr Leben daraus gezogen haben, sondern aus denen vor allem große Begeisterung spricht. Vielleicht kann gerade das weitere Kolleginnen und Kollegen motivieren, sich bei der Talentförderung unserer Schülerinnen und Schüler zu engagieren.

Rezension: Michael Rüsing in der MNU 63/2 (1.3.2010)

Unendlichkeiten
Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes

Harro Heuser
Teubner Verlag, 2008, 228 Seiten, 29,90 €

ISBN: 3-835-10119-6

"Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt des Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend und fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig."
Dieses Zitat des großen Mathematikers David Hilbert stellt den Anfang von Harro Heusers Buch über den Begriff der Unendlichkeit dar. Etwas von den philosophischen, theologischen, kosmologischen und mathematischen Abgründen erahnen zu lassen, ist das Ziel des Buches, welches dazu im Großen und Ganzen den Spuren Georg Cantors folgt, des Mathematikers, der zu Beginn des 20. Jahrhunderts zum ersten Mal das "mathematisch Unendliche" einer Klärung zugeführt hat.
Die intensivste philosophische Auseinandersetzung führte Cantor dabei wohl mit dem Philosophen Aristoteles, dessen entschiedene Gegnerschaft und Ablehnung dem Unendlichen gegenüber am besten in seiner folgenden Aussage erkennbar wird:
"Die Theorie des Unendlichen hat ihre Schwierigkeiten; mag man die Existenz eines Unendlichen annehmen oder nicht, sofort drohen unannehmbare Konsequenzen."
So schuf Aristoteles den Begriff des "Potential-Unendlichen". Gerade an der Zahlenreihe 1, 2, 3, ... zeigt er dieses Prinzip auf. Diese Reihe ist sicherlich unendlich, da sie nie endet, jedoch denkt er sie nicht als Gesamtheit, sondern immer als Teil, als Anfangsstück 1, 2, ..., n. Die gesamte Zahlenreihe ist für Aristoteles nur die ständig länger werdende Folge von Anfangsstücken. Sie ist also nicht "aktual", sondern nur "im Modus der Möglichkeit", also "potential" unendlich.
Für Aristoteles stellt sich nun jede Form der Unendlichkeit als ein solches "Potential-Unendliches" dar, das "Aktual-Unendliche" gibt es für ihn schlicht und ergreifend nicht.
Cantors Kommentar dazu ist, dass "bestimmte Zählungen [welche gerade die Argumentation von Aristoteles darstellen] wie an endlichen Mengen auch an unendlichen Mengen vorgenommen werden können."

Einen legitimen Nachfolger in der Verbannung des "Aktual-Unendlichen" findet Aristoteles im Mittelalter in Thomas von Aquin, dem princeps philosophorum (König der Philosophen). So heißt es in einer seiner Schriften:
"Das Unendliche ist nicht wirklich, war nicht wirklich und wird nicht wirklich sein." und "Es gibt nicht unendlich viele Einzeldinge."
D.h. die unendlichen Mengen, mit welchen Cantor später arbeiten sollte, existieren nach seiner Sicht der Dinge gar nicht.
Problematisch wird die Argumentation von Thomas von Aquin jedoch bei der "Unendlichkeit Gottes", welche er ausdrücklich angibt. Er "rettet" sich wieder mit dem Aristotelischen Prinzip, dass es zwar nicht unendlich viele Naturdinge gibt, aber doch unendlich viele Geistesdinge [wie eben beispielsweise Zahlen]. Durch Gottes vollkommenen Verstand so Thomas, "erkennt er alles Unendliche dieser Art."

Wie bereits erwähnt ist es schließlich Georg Cantor, der die Unendlichkeit mathematisch zum ersten Mal präzise einfängt. Jedoch gelingt ihm nicht nur dies, sondern er zeigt auch, dass es verschieden große Unendlichkeiten gibt. So sind beispielsweise die Menge der ganzen Zahlen und die der rationalen Zahlen [d.h. die Menge aller Brüche] beide unendlich, jedoch in Cantors Begriffen gleichmächtig. Die Menge der reellen Zahlen hingegen besitzt eine größere Mächtigkeit als die beiden vorherigen. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass es genau so viele Brüche wie ganze Zahlen gibt. [Dieses Ergebnis mag verwundern, da schließlich jede ganze Zahl auch ein Bruch, jedoch längst nicht jeder Bruch eine ganze Zahl ist. Man muss sich jedoch daran erinnern, dass es sich an dieser stelle jeweils um unendliche Mengen handelt.] Reelle Zahlen aber gibt es mehr als eben ganze Zahlen oder Brüche.
Cantors Argumentation und überhaupt seine Theorie der unendlichen Mengen schildert Heuser zum Abschluss des Buches ebenso interessant wie die Entwicklungen zuvor.

Neben den historischen Entwicklungen beim Versuch, den Begriff der Unendlichkeit zu fassen, werden auch die berühmten Paradoxa des Unendlichen erwähnt, welche immer wieder gerne benutzt werden, um auf die Schwierigkeit im Umgang mit der Unendlichkeit hinzuweisen.
So erfährt man z.B., wie es in Hilberts Hotel mit unendlich vielen Zimmern möglich ist, noch eine Vielzahl an neuen Gästen aufzunehmen, obwohl alle Zimmer belegt sind.
Ebenso wird die bemerkenswerte Tatsache geschildert, dass ein unendlich langes Leben ebenso viele Tage wie Jahre zählt, was bereits in dem 1760 erschienenen Roman Leben und Meinungen des Tristram Shandy von Laurence Sterne erwähnt wird.

Wie schon angedeutet, werden hier jedoch nicht nur die mathematischen Gesichtspunkte der Unendlichkeit dargestellt, sondern beispielsweise auch, wie schon bei Thomas von Aquin erwähnt, theologische.
So erkennt bereits Origines in der unendlichen Allmacht Gottes gewisse Probleme:
"Man muss auch Gottes Macht für begrenzt erklären und nicht unter dem Vorwand frommer Scheu ihr die Umgrenzung nehmen. Denn wenn Gottes Macht unbegrenzt ist, so folgt, dass sie sich nicht einmal selbst denken kann; denn nur das Unbegrenzte ist in seinem Wesen nach nicht umfassbar."
Die endgültige "Einzäunung" Gottes, wie Heuser sie nennt, findet sich dann wieder bei Thomas von Aquin:
"Gott will nur, was gut ist oder gut sein kann."

(Rezension: Joerg Beyer)