Leseecke

Die Architektur der Mathematik
Denken in Strukturen

Pierre Basieux
rororo; Auflage: 3., Aufl. (1. 11. 2000), 187 Seiten, Taschenbuch, 8,99 €

ISBN-10: 3499611198
ISBN-13: 978-3499611193

In diesem schmalen Taschenbuch setzt sich der Autor das ambitionierte Ziel, die strukturelle Sichtweise der (reinen) Mathematik des 20. Jahrhunderts einem breiten Leserkreis nahezubringen. Dieser Ansatz ist mit Namen wie David Hilbert und insbesondere mit der französischen Mathematikergruppe Bourbaki verknüpft und hat die Mathematik der letzten 100 Jahre entscheidend geprägt.

Da diese Sichtweise für manche Leserinnen und Leser dieser Rezension ungewohnt ist, bei denen die rechentechnischen Aspekte im Schulunterricht im Vordergrund standen, möchte ich ein Beispiel geben. Wir gehen von einer Menge von Objekten aus, etwa der Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) . Außer der Gleichheit zweier Zahlen können wir gröbere Raster betrachten, unter denen zwei Zahlen als „äquivalent“ gelten sollen, zum Beispiel, wenn sie bei Division durch 7 denselben Rest lassen. In diesem Sinn sind 5 und 12 oder -3 und 11 jeweils äquivalent, aber natürlich nicht gleich. Das ist ein Beispiel einer Äquivalenzrelation. Darunter versteht man in der Mathematik eine Beziehung zwischen je zwei Elementen einer Menge, die folgenden Bedingungen genügt: Stets ist x äquivalent zu sich selbst (Reflexivität); wenn x zu y äquivalent ist, dann auch y zu x (Symmetrie); schließlich folgt aus der Äquivalenz von x zu y und der von y zu z die Äquivalenz von x zu z (Transitivität).

Äquivalenzrelationen tauchen überall in der Mathematik auf, und statt jede einzeln zu untersuchen, wird der abstrakte Begriff studiert. So stellt sich zum Beispiel heraus, dass jede Äquivalenzrelation die Grundmenge in sogenannte Äquivalenzklassen aufspaltet. Manchmal kann man mit den Klassen genauso rechnen wie mit den ursprünglichen Elementen; so gilt im obigen Beispiel in naheliegender Weise „Restklasse von 2 + Restklasse von 3 = Restklasse von 5“ oder „Restklasse von 4 + Restklasse von 6 = Restklasse von 3“. Ich habe gerade etwas vage „in naheliegender Weise“ geschrieben, um zu kaschieren, dass die Addition von Restklassen einer Erklärung bedarf. Dies führt zur abstrakten Struktur einer abelschen Gruppe; was das genau ist, erfährt man in diesem Buch – und vieles mehr. Hier sind einige Stichworte zum Inhalt: Mengen und Relationen; Auswahlaxiom und Zornsches Lemma; Ordnungsrelationen; algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper; topologische Räume; strukturverträgliche Abbildungen; Homomorphismen; topologische Vektorräume.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Das kleine Buch der Zahlen
Vom Abzählen bis zur Kryptographie

Peter M. Higgins
Springer Spektrum Verlag (2012), Taschenbuch, 354 Seiten, 19,95 €

ISBN-10: 3827430151
ISBN-13: 978-3827430151

Ein wunderschönes Buch über Zahlen hat der englische Mathematik-Professor Peter Higgins geschrieben. Auf 280 Seiten werden mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad – aber fast ohne jede Formel und stets mit großer Anschaulichkeit – die Eigenschaften der verschiedenen Zahltypen dargestellt; im letzten Abschnitt (60 Seiten) werden dann Herleitungen und Beweise notiert – teils so knapp, dass sie ordentliche Vorkenntnisse erfordern.

Die gelungene Mischung von systematischer Darstellung des Zahlensystems mit deren historischen Wurzeln und auflockernden Aufgaben zum Nachdenken für den Leser führt zu einer außerordentlich kurzweiligen Lesefreude.

Im Hauptteil des Buches werden in den ersten vier Kapiteln elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen abgehandelt: Rechenoperationen, Primzahlen, Teilbarkeitsregeln und Neunerprobe, magische Quadrate. Besondere Zahlen wie etwa befreundete und glückliche Zahlen, Fibonacci-Zahlen und Binomialkoeffizienten werden vorgestellt und untersucht. Die systematische Betrachtung wird immer wieder unterbrochen durch historische Anmerkungen und Beispiele aus der Unterhaltungsmathematik. Die Kapitel 6 und 7 zeigen, wie man von den natürlichen Zahlen zu den ganzen und rationalen und schließlich zu den reellen Zahlen gelangt (dem Hankel'schen Permanenzprinzip folgend). Danach werden nach der Vorstellung von Hilberts Hotel (der Begriff der Abzählbarkeit wird sehr anschaulich gemacht) Eigenschaften der algebraischen und transzendenten Zahlen erklärt. In den Kapiteln 9 bis 10 vollendet sich der Aufbau des Zahlensystems durch die Einführung der imaginären und komplexen Zahlen. Auch hier machen die historischen Bezüge (Wissenschaftsstreit im 16. Jahrhundert über die Lösung der kubischen Gleichung, langsame Akzeptanz von imaginären Zahlen im 18./19. Jahrhundert) den besonderen Reiz des Buches aus. Ein kurzer Blick auf die Hamilton'schen Quaternionen und die Cayley'schen Oktaven runden diesen systematischen Teil ab. Kapitel 11 schließlich geht an Hand von Kettenbrüchen und der Cantor-Menge noch einmal auf die Eigenschaften der reellen Zahlen und ihrer geometrischen Deutung auf der Zahlengeraden ein.

In drei Abschnitten wird die Systematik stärker unterbrochen: Prozente, Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte (Kapitel 5), ausgewählte klassische Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kapitel 8, z. B. Geburtstagsproblem oder St. Petersburger Paradoxon) werden vorgestellt. Zum Abschluss (Kapitel 12) erzählt der Autor von der Kryptographie: vom Caesar- und Viginère-Code über den One-Time-Pad führt er in spannender Weise zu den modernen Public-Key-Verfahren vom Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch bis zum RSA-Algorithmus. Auch hier schafft er es, Verständnis beim Leser mit einfachen Rechnungen und Vergleichen zu schaffen.

Der Übersetzer hat manchmal Begriffe gewählt, die weniger verbreitet sind als andere: z. B. Taubenschlagprinzip statt Schubfachprizip, quartische bzw. quintische Gleichung statt Gleichung 3. bzw. 4. Grades, rekurrente statt rekursive Folge.

Rezension: Hartmut Weber

Das ist o.B.d.A. trivial
Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken

Albrecht Beutelspacher
Vieweg Verlag, 1999, 96 Seiten, 12,50 €

ISBN: 3528664428

Angenommen, jemand hat sich entschlossen, Mathematik zu studieren. Auch wenn man in ganz hervorragend gestalteten Vorlesungen sitzt und sich ein paar gute Lehrbücher zugelegt hat, so bleiben in der Regel doch noch viele Fragen offen: Wie schreibt man einen Beweis gut auf? Welche Bedeutung haben Quantoren, was muss man dabei beachten? Sollte man bei den Formulierungen mathematischer Aussagen den Konjunktiv oder den Indikativ verwenden? ...

Das vorliegende Buch füllt diese Lücke so erfolgreich, dass es seit der Erstausgabe 1991 mittlerweile zum fünften Mal neu aufgelegt wurde. Es ist gut zu lesen, zur Vertiefung werden Übungen angeboten. Mit Hilfe dieses Buches dürfte es Erstsemestern wesentlich leichter fallen, den Übergang Schule/Universität problemlos zu bewältigen.

Auch Professoren könnten einmal hineinschauen, um sich anregen zu lassen, denn die Fragen, die dort gestellt und beantwortet werden, sollten in jeder Anfängervorlesung zur Sprache kommen.

(Rezension: E. Behrends)

Das Unendliche
Mathematiker ringen um einen Begriff

Rudolf Taschner
Springer Verlag, 2006, 141 Seiten, 19,90 €
ISBN:3-540-25797-7

Inhalt

1. Pythagoras und das Unendliche im Pentagram
2. Euklid und die Unendlichkeit der Primzahlen
3. Archimedes und die unendliche Erschöpfung
4. Newton und die Unendlichkeit in der Bewegung
5. Cantor und die unendlichen Dezimalzahlen
6. Hilbert und die unendliche Gewissheit
7. Brouwer und die unendliche Freiheit

Beurteilung

Hier geht es also um das "Unendliche". Es gehört wie die Null und Pi zu jenen Größen, von denen eine besondere Faszination ausgeht. Im Laufe des Studiums der Differential- und Integralrechnung kommt das Unendliche dagegen meist recht nüchtern daher: als "Limes von n gegen unendlich", als uneigentliches Integral "von minus unendlich bis plus unendlich" oder, definitorisch aus der Welt geräumt, wo Schwierigkeiten, die in der Analysis beim Rechnen mit "unendlich" etwa in der Form "unendlich durch unendlich" ziemlich früh auftreten.
Das Buch von Rudolf Taschner hält diesen Erfahrungen mit dem Unendlichen eine kurze Geschichte des Unendlichen entgegen: In der Arbeit eines jeden einer Reihe von Mathematikern spiegelt sich das Unendliche als etwas jeweils Einzigartiges. Von Pythagoras' immer kleiner werdenden Fünfeck-Konstruktionen (die bis zu Mandelbrots Apfelmännchen und Kochs Schneeflocke führen), Euklids unendlichen Primzahlen, Archimedes' bis ins Unendliche gehenden Exhaustionsmethode als Näherung der Kreisfläche, Newtons triangulum characteristicum, das für unendlich kleine Strecken zum Begriff der Ableitung führte, bis hin zu den unendlichen Dezimalzahlen, die über Kronecker zu einem Streit führten, in den am Ende Hilbert und vor allem Brouwer involviert waren.
Dies ist also kurz die wechselvolle Geschichte des "Unendlichen". Einzige Gemeinsamkeit bei allen diesen Episoden ist: Das Unendliche taucht bei dem Versuch mathematische Probleme zu lösen, in der einen oder anderen Form aus dem Nichts auf. So wird das Unendliche von einem anfänglich unbekannten Besucher zu einem Dauergast, den man bald schon gar nicht mehr bemerkt, wenn man, wie in der Mathematik üblich, mit ihm "rechnet". Vielleicht ist das Unendliche letztlich Symbol für die Methode der Mathematik: ihre Probleme über alle Grenzen hinaus zu lösen und so ewige Gültigkeit der gewonnenen Lösungen zu erhalten. Da die Mathematik den Begriff der Zeit nicht kennt ist der Begriff der Unendlichkeit vielleicht der Ersatz dafür. Daran erinnert Taschner mit diesem Buch.

(Rezension: Mark Krüger)

Das Geheimnis der transzendenten Zahlen
Eine etwas andere Einführung in die Mathematik

Fridtjof Toenniessen
Spektrum Akademischer Verlag (2009), 434 Seiten, 24,95 €

ISBN: 978-3-8274-2274-3

Wer kein Mathematiker ist, könnte auf die Idee kommen, ein Buch mit dem Titel Das Geheimnis der transzendenten Zahlen sei für den Esoterikermarkt geschrieben. Leser, die sich aus diesem Grund davon angesprochen fühlen, werden jedoch schnell enttäuscht sein; alle übrigen werden ebensoschnell feststellen, dass es sich hier um ein sehr ungewöhnliches Mathematikbuch handelt.

Was also ist eine transzendente Zahl? Dazu muss man erklären, was das Gegenteil, nämlich eine algebraische Zahl, ist: Dies ist eine Lösung einer polynomialen Gleichung der Form

anxn++a2x2+a1x+a0=0

mit ganzen Zahlen a0an. Zum Beispiel ist √2  solch eine Zahl (sie ist Lösung von x2−2=0) und √2+√3  auch (das ist eine Lösung von x4−10x2+1=0). Eine Zahl, die nicht algebraisch ist, wird transzendent genannt. Was kann man über transzendenten Zahlen sagen? Gibt es überhaupt welche? (Ja, sogar viele, aber sie sind mit bloßem Auge nicht leicht zu erkennen.) Wie steht es mit der Kreiszahl , ist die transzendent? (Ja, aber das ist schwierig zu beweisen.) Und die Eulersche Zahl e? (Die auch.) Und e+? (Das weiß bis heute niemand.)

All diese und viele weitere Dinge werden im vorliegenden Buch besprochen, aber so leicht die Fragen gestellt sind, so schwierig (und bisweilen bis auf den heutigen Tag unmöglich, siehe oben) ist es, sie zu beantworten. Dazu ist nämlich eine ganze Menge Mathematik nötig, und die stellt der Autor vor, bevor er am Schluss des Buches den entscheidenden Satz beweist: Ist α≠0 , so sind α und e nicht beide algebraisch. Das zeigt sofort die Transzendenz von e, und da im Satz auch komplexe Zahlen genommen werden dürfen, wegen der berühmten Eulerschen Formel ei=−1 auch die Transzendenz von . Letzteres impliziert übrigens die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal; auch das wird im Buch genau erklärt.

Um so weit zu kommen, nimmt der Autor seine Leser auf eine Rundreise durch verschiedene Bereiche der Mathematik: Mengenlehre, Analysis, lineare Algebra, Zahlentheorie, Algebra und schließlich Funktionentheorie werden in einem Umfang entwickelt, der fast einem Bachelorprogramm einer deutschen Universität entspricht. Die Darstellung ist systematisch, aber es ist nicht die Systematik der Lehrbücher; zum Beispiel erscheint der Satz über Umordnungen absolut konvergenter Reihen erst, wenn er gebraucht wird, und nicht direkt bei der Einführung der Reihenkonvergenz.

Die Sprache des Buches lässt die Begeisterung des Autors für seinen Gegenstand spüren, und damit der Funke auch auf die Leser überspringt, spart er nicht mit für ein Mathematikbuch ungewöhnlichen Formulierungen („ein schräger Vektorraum“, „ich behaupte jetzt ganz frech“ etc.) und lädt die Leser immer wieder zum Ausruhen nach besonders schwierigen Überlegungen ein. Alle Argumente werden motiviert, häufig mittels eines einfachen Beispiels, und bisweilen im Nachgang noch einmal zusammengefasst, um den Kern der Sache herauszuarbeiten. Dabei wird stets der Wert mathematischer Abstraktion herausgestellt.

Das Buch ist fast tippfehlerfrei geschrieben; eine Ausnahme ist das Jahr der Veröffentlichung der Leibnizschen Abhandlung zur Integralrechnung, wo der Text um genau 100 Jahre falsch liegt. Ob im übrigen die große Algebraikerin Emmy Noether als Mathematikerin und Physikerin (Hervorhebung von mir) zu bezeichnen ist, halte ich für zweifelhaft.

Fridtjof Toenniessen hat ein außergewöhnliches Mathematikbuch vorgelegt, das, so der Verlag, Laien, Schülern und Studierenden die Faszination mathematischer Forschung zeigen soll. Wie viele Leser dieser Zielgruppe die Kraft aufbringen, die gut 400 Seiten (wie gesagt, etwa ein halbes Mathematikstudium) auf sich selbst gestellt zu meistern, sei dahingestellt. Für fortgeschrittene Studierende und Lehrer ist der Text jedoch ein anregendes Kompendium der reinen Mathematik und wird wärmstens empfohlen.

Rezension: Dirk Werner, FU Berlin