Leseecke

The Joy of x
Die Schönheit der Mathematik

Steven Strogatz
Verlag: Kein & Aber; Auflage: 1 (1. April 2014), 24,90 €

ISBN-10: 3036956921
ISBN-13: 978-3036956923

Sechs Kapitel umfasst „The Joy of x – Die Schönheit der Mathematik“. Den konventionellen Pfaden folgend beginnt das Buch mit „Zahlen“, setzt mit „Beziehungen“ (gemeint sind Gleichungen), „Formen“ (gemeint ist Geometrie), „Veränderliches“ (gemeint sind Funktionen), „Daten“ (gemeint ist Wahrscheinlichkeitsrechnung) fort und endet mit „Grenzgänger“, einem Kapitel, das spezielle Themen der Mathematik herausgreift. Als Leser schwebt dem Autor eine Person vor, die sich vom üblichen Schulunterricht der Mathematik nicht angesprochen fühlt und die nun er auf seine Art davon überzeugen möchte, dass Mathematik „für diejenigen, die ihre Prinzipien verstehen, so unerhört spannend ist“.

Am besten gelungen ist dieses Vorhaben dem Autor in den beiden letzten Teilen seines Buches. In ihnen behandelt er – im Vergleich zu den Anfangskapiteln – anspruchsvolle Themen wie zum Beispiel den Zusammenhang zwischen der Irrtumswahrscheinlichkeit und der Signifikanz einer Messgröße, die Reihung der von Suchmaschinen ausgewiesenen Internet-Verbindungen mithilfe der linearen Algebra, die Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten, das Wesen geodätischer Linien und ähnliches mehr – all dies anhand konkreter Beispiele in einer für interessierte und mit guter Auffassungsgabe gerüstete Laien gut verständlichen Weise.

Ob die anderen Teile des Buches Laien, die der Mathematik mit einer gewissen Reserviertheit begegnen, wirklich von deren „Schönheit“ überzeugen, vermag ein Rezensent nicht zu beantworten, der sich in die Gedankenwelt derer kaum mehr einleben kann, die Mathematik bloß in der vom Schulunterricht verkleideten Gestalt kennen. Hinzu kommt erstens, dass manchmal entweder die Wortwahl des Autors oder aber der Übersetzerin irreführend ist. So ist es zum Beispiel eigentümlich, unter der „Umkehrfunktion der quadratischen Funktion“ die Zuordnung von x zum Kehrwert seines Quadrats, also zu 1/x² zu verstehen.

Hinzu kommt zweitens, dass der Autor seine zuweilen linkische Herangehensweise an die Thematik der Mathematik selbst anlastet: Der Satz des Pythagoras wird zum Beispiel auf zweifache Weise bewiesen: einerseits mithilfe der bekannten Verschiebung von vier rechtwinkligen Dreiecken mit a und b als Kathetenlängen in dem Quadrat, dessen Seite a + b lang ist, und andererseits mithilfe der Ähnlichkeit jener drei rechtwinkligen Dreiecke, die man betrachtet, wenn man im gegebenen rechtwinkligen Dreieck vom Eckpunkt des rechten Winkels aus die Höhe auf die Hypotenuse fällt. Zwar behauptet der Autor, dass der erstgenannte Beweis den zweiten an Eleganz überträfe, aber in Wahrheit vermag er sein Urteil nur dadurch zu rechtfertigen, dass er den zweitgenannten Beweis unnötig kompliziert präsentiert.

Hinzu kommt drittens, dass sich der Autor in einer blumigen Sprache verliert, die dem hie und da gepflogenen populärwissenschaftlichen Stil entspricht, der mit Bombastik in der Wortwahl die Dürre des Inhalts zu überspielen trachtet – aber eben das wäre für die Mathematik mit ihrem Reichtum an Ideen gar nicht vonnöten. Ein Beispiel dafür ist die Behandlung quadratischer Gleichungen durch den Autor: Anhand seines von ihm gewählten numerischen Beispiels trifft er zwar sehr gut den Kern des Gedankens, der zur Lösungsformel führt, aber bis zur Formel selbst, die er aus unerfindlichen Gründen die „a-b-c-Formel“ nennt, führt er den Gedanken leider nicht weiter. Er behauptet lediglich, das „so überaus Bemerkenswerte an dieser Formel“, die er seinem Publikum unbewiesen an den Kopf wirft, „ihre erbarmungslose Klarheit und Knappheit“ sei. Mit solchen Epitheta beeindrucken zu wollen, wirkt ein wenig hilflos. Ebenso böte sich bei der Betrachtung von Kegelschnitten die schöne Herleitung ihrer Brennpunkteigenschaften mithilfe der dandelinschen Kugeln an – es wäre jedenfalls erhellender, als beim Blick auf diese Kurven rhetorisch-geziert zu fragen: „Parabeln und Ellipsen: Wie kommt es, dass sie und nur sie ein so unglaubliches Talent zum Fokussieren haben? Was ist ihr gemeinsames Geheimnis?“ Gelüftet wird dieses „gemeinsame Geheimnis“ jedenfalls nicht, und das ist schade. Ebenso am Rande des Kitsches entlangschrammend ist der schwärmende Befund über die Sinusfunktion: „Sinuswellen sind echte Strukturatome. Sie sind Bausteine der Natur. Ohne sie gäbe es nichts.“ Stilblüten wie diese setzen sich im ganzen Buch fort.

Das Buch ist offenkundig aus einer Sammlung von Tageszeitungskolumnen des Autors entstanden. Das mag einiges erklären. Ein Artikel, der heute in der New York Times erscheint, ist morgen vergessen – da spielt die berufsbedingte journalistische Übertreibung kaum eine Rolle. Der Zusammenfassung der Kolumnen zu einem Buch jedoch hätte eine gründliche Überarbeitung des Textes mit der Betonung auf etwas weniger Wortgeklingel und etwas mehr Substanz sicher sehr gut getan.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2015, Band 62, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Rudolf Taschner (Wien)

The Proof and the Pudding.
What Mathematicians, Cooks and You Have in Common

Jim Henle
Princeton University Press (April 27, 2015), 176 Seiten, 24,25 $
Sprache: Englisch

ISBN-10: 069116486X
ISBN-13: 978-069116486

Das vorliegende Buch ist weder ein Mathematikbuch noch ein Kochbuch. Es ist ein Buch über Mathematik und über Kochen. Der Autor Jim Henle zeigt uns, dass Kochen und Mathematik erstaunlicherweise sehr viele Gemeinsamkeiten haben. Das Herangehen an ein mathematisches Problem ist aus seiner Sicht sehr ähnlich dem Kochen einer Speise. Auch der Titel angelehnt an das Sprichwort The proof of the pudding is in the eating oder Probieren geht über Studieren wurde bestimmt nicht zufällig gewählt. Daraus resultiert eine weitere Parallele: Die Schönheit der Mathematik oder die Freuden des Kochens erschließen sich nur durch Probieren, Tun oder Kosten.

Henle hat Spaß, sehr viel Spaß, er betreibt Kochen und Mathematik mit grosser Leidenschaft, das scheint ihm auch extrem wichtig zu sein. Nur was wir gerne tun, tun wir auch und wenn wir dabei bleiben etwas zu tun, werden wir darin immer besser. Spaß ist produktiv. Viele seiner mathematischen Einsichten und Ergebnisse beginnen mit doodling – vielleicht am besten mit Kritzeln, Skizzieren zu übersetzen, ein Spielen und Ausprobieren mit Papier und Stift. Ist das ernstzunehmende Mathematik? Henle gibt eine zwei geteilte Antwort, einerseits ist er selbst einfach keine ernste Person. Andererseits ist dieses Tun aber doch sehr ernst, da seiner Ansicht nach wirkliche Mathematik oft auch genau mit der in seinem Buch beschriebenen Art und Weise beginnt. Seriöse Mathematikbücher gibt es genug. Es ist faszinierend wie das Thema doodles und noodles im ersten Kapitel ineinander übergreifend bearbeitet wird.

Auch die beiden häufig gehörten Bekenntnisse Ich kann nicht Brot backen, Ich kann nicht Mathematik sind Parallelitäten zwischen den beiden Gebieten. Beides stimmt übrigens nicht, glaubt man dem Buch, jeder Mensch kann Mathematik betreiben und auch Brot backen. Auch die notwendige Problemlösungsstrategie wird mitgeliefert, nämlich zunächst Vertrauen ein Problem lösen zu können aber dann auch Zweifel, ob die erhaltene Lösung gut, richtig oder passend ist. Danach findet sich in diesem Kapitel ein sehr einfaches Brotrezept, genau genommen zwei Rezepte, deren Nachahmung ich hier sehr empfehlen kann. Schließlich sind wir wieder bei Mathematik, um ein Rätsel mit einer wichtigen Ingredienz nämlich Arroganz oder großem Selbstbewußtsein zu lösen. Wie sich diese Eigenschaft dabei auswirkt, ist sehr vergnüglich im Buch nachzulesen. Auch die Ästhetik ein wichtiger Bestandteil beim Kochen und Mathematik betreiben wird beschrieben.

Ein wichtiges Ziel in The Proof and the Pudding ist es zu zeigen, dass Mathematik und Gastronomie eigentlich dasselbe sind. Hier einige Begründungen:

• Wir betreiben Mathematik und Kochen aus mehr oder weniger denselben Gründen.
• Wir lösen mathematische Probleme auf die gleiche Art und Weise wie wir Probleme in der Küche lösen.
• Wir beurteilen Mathematik und Speisen mit denselben Kriterien.
• Das Leben mit Mathematik und das Leben in der Gastronomie sind bemerkenswert ähnlich.

Wer sich davon überzeugen will, neugierig geworden ist oder einfach nur Spaß haben will mit Mathematik und/oder Kochen dem sei das Buch wärmstens ans Herz gelegt. Auch zahlreiche Rezepte laden zum Ausprobieren ein.

Übrigens, dass Mathematik und Kochen in diesem Buch in Beziehung gesetzt werden – wie der Autor gegen Ende des Buches gesteht – ist ganz zufällig. Eine wichtige Botschaft in diesem Buch ist nämlich, dass Mathematik nicht irgendwie speziell ist, sondern fundamental ähnlich zu zahlreichen anderen Aufgabenfeldern. Jim Henle fasst das in einem der letzten Kapiteln folgendermaßen zusammen: If you can do math, you can do anything.

Insgesamt ist The Proof and the Pudding ein vergnügliches Fest für Geist und Gaumen. Die Leidenschaft, Freude und der Spaß des Autors sowohl für Mathematik als auch für das Kochen sind ansteckend und man kann sich kaum entziehen.

Rezension: Gabriela Schranz-Kirlinger

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2016, Band 62, Heft 2, S. 313
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

PISA, Bach, Pythagoras
Ein vergnügliches Kabarett um Bildung, Musik und Mathematik

D. Paul
Vieweg Verlag, Wiesbaden,2. Aufl., 2008, 24,90 €

ISBN 3-8348-0041-4

Es sei gleich am Anfang mitgeteilt: Computeralgebra kommt in diesem ”vergnüglichen Kabarett um Bildung, Musik und Mathematik“ nicht vor! Dennoch lohnt es sich für jeden Freund des symbolischen Rechnens auch einmal Mathematik in solch ungewöhnlicher Form zu genießen. Der aus Niederbayern stammende promovierte Mathematiker tritt als Kabarettist mit dem Namen ’Piano-Paul‘ auf – siehe http://www.piano-paul.de. Wie schon der Untertitel andeutet verbirgt sich hinter ”PISA, Bach, Pythagoras“ ein in Buchform gegossener Kabarett-Abend zum Thema Mathematik, garniert mit Musik. Wie kann das gehen? Schon die Vorstellung zwei Stunden Kabarett zu diesem Thema zu gestalten wird vielen als unrealisierbar erscheinen. Doch das gelingt!

Der Autor behandelt in vergnüglicher Weise mathematische Themen wie die Summationsformel von Gauß, hier abgeleitet als Formel

für Freunde der Fußballbundesliga mit n = 18 – und zeigt dabei Prinzipien der Mathematik auf. Natürlich bekommen dabei auch die Sportjournalisten ihr Fett ab, die regelmäßig bei der Berechnung der Bundesligatabelle dies angeblich mit dem Rechenschieber tun! Der Satz von Pythagoras wird benutzt um abzuleiten, warum es in Gran Canaria so schön ist. Wenn man nun aber glaubt, dass man mit solchen leichteren Erkenntnissen aus der Mathematik bereits am kabarettistischen Höhepunkt angelangt sein muss, dann irrt man gewaltig: Durchaus anschaulich und auch – wie ich denke – für Nicht-Mathematiker nachvollziehbar nimmt sich Paul als nächstes die beiden Cantorschen Diagonalverfahren vor, um die Gleichmächtigkeit der rationalen Zahlen mit den natürlichen Zahlen zu demonstrieren so wie die Überabzählbarkeit des Intervalls ]1; 2[. Dies gelingt mit Hilfe von Äpfeln und Birnen – was denn sonst! – wobei er sich Seitenhiebe auf die mathematik-didaktischen Auswüchse der siebziger und achtziger Jahre nicht entgehen lässt. Was steht in einem Lehrerheft als Musterlösung auf die Frage, was man erhält, wenn man eine dreielementige Menge von Äpfeln mit einer vierelementigen Menge von Birnen vereinigt: Na klar, eine siebenelementige Menge von Obst!

Überhaupt: allein die vielen Seitenhiebe im Text und vor allem in den Fußnoten, mit denen er beispielsweise zur deutschen PISA-Bildungsmisere genau so seinen Senf dazu gibt wie zur Benutzung der Anfangstakte von Richard Strauss’ ’Also sprach Zarathustra‘ für eine Schuhcreme-Werbung, sind lohnend. Der letzte mathematische Höhepunkt im Buch ist die Herleitung der Formel für die Spitzengeschwindigkeit eines Intercitys auf der Fahrt von Nürnberg nach Regensburg in Abhängigkeit von der Dauer der gleichmäßigen Beschleunigung und Abbremsung bei der Abfahrt in Nürnberg bzw. vor der Ankunft in Regensburg.

Natürlich kommt im ganzen Buch die Musik nicht zu kurz. Das versteht sich bei Piano-Paul schon von selbst, da in der Hohen Schule in Prag die sieben freien Künste in zwei Gruppen eingeteilt wurden, die ’trivialen‘ (Rhetorik, Grammatik, Dialektik) zum ’Trivium‘, die anderen vier (Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik) zum ’Quadrivium‘. Ausgehend von einer Quizfrage zum ersten Präludium in C-Dur von J. S. Bach aus dem Wohltemperierten Klavier, die – anders als bei Günther Jauch – nur unzutreffende Antworten zur Auswahl enthält, darunter das Ave Maria von Ch. Gounod, das gerne als Antwort ausgewählt wird, nachdem Paul seinem Kabarettpublikum einige Takte vorspielt. Aus diesem Grund ist dem Buch eine Musik-CD mit all den im Text angesprochenen Musikbeispielen beigelegt. Polyphonie und Fugen, Rhythmen und Bruchrechnen sowie die Zwölftonmusik – bei Bach, Mozart und Schönberg – stehen unter Anderem auf dem Programm sowie seine mathematisch aufbereitete Theorie beispielsweise die Melodie zu ’Happy Birthday to you‘ in verschiedenen klassischen Komponiertechniken umzusetzen.

Auch die Erklärung der wohltemperierten Stimmung eines Klaviers mit Hilfe der Potenzen der zwölften Wurzel aus 2 lässt er sich nicht entgehen: Als Kompromiss für den Unterschied der Schwingungszahlen für den 6. Halbtonschritt am Klavier – zum einen als

zu deuten, zum anderen als

– wird die 6. Potenz

verwendet, was gleichzeitig dem geometrischen Mittelwert von Fis und Ges entspricht und in seiner allgemeinen Form der gleichmäßigen Verteilung der Fehler über die ganze Oktave entspringt und somit das Klavier unabhängig von jeglicher Starttonart macht. Als Rezensent im Computeralgebra-Rundbrief kann ich mir die Bemerkung allerdings nicht verkneifen, dass man mit einem Computeralgebrasystem oder anders ganz leicht die Differenz

die auf einem Klavier mit 12 Tasten je Oktave nicht realisierbar ist, genauer bestimmen kann, während Paul sie unvereinfacht als

stehen lässt und nur von einem ”ziemlich kleinen Zähler und einem Riesennenner“ spricht.

Das tut aber diesem Feuerwerk an Ideen und spritzigen Bonmots keinen Abbruch. Dieses Buch sollte jeden Mathematiker erfreuen – und eignet sich auch als hervorragendes Geschenk an andere, um das eigene Gebiet einmal in einem ganz anderen Licht präsentieren zu lassen – sogar für Musiker! Für die Hochschul-Mathematiker empfiehlt es sich darüber hinaus zum Fakultätstag, bei Tagen der offenen Tür und ähnlichem Piano-Paul zum Kabarett-Vortrag einzuladen, falls man das finanzieren kann – es würde sich lohnen.

Rezension: Johannes Grabmeier (Deggendorf) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 38 - März 2006

Paradoxa
Klassische und neue Überraschungen aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischer Statistik

Gabor J. Székely
Harri Deutsch Verlag, 1990, 240 Seiten, 24,80 €

ISBN 3-87144-850-8

Hier geht es also um Paradoxa: richtige - obwohl überraschende - mathematische Aussagen. Um genau zu sein, sind es etwa 100 und man wird nicht müde, sich durch eines nach dem anderen überraschen zu lassen. Damit die Überraschung aber nicht einzige Regung ist, die diese Paradoxa hervorrufen, hat Székely, der dem Umfeld von Rényi, Pólya und Kolmogorow entstammt, die Darstellung jedes Paradoxons eingebettet in: Geschichte des Paradoxons, Erklärung des Paradoxons, Bemerkungen, Literaturhinweise. Daneben versammeln sich auch noch eine Reihe von "Blitzparadoxa" ohne die entsprechenden Einzelheiten aber mit nicht minderem Überraschungseffekt.

Die Paradoxa stammen aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematischer Statistik, Zufallsprozessen, Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und einigen aus verwandten Gebieten. Hier finden sich bekannte Paradoxa wie das Geburtstagsparadoxon (von 68 Personen haben mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% mindestens zwei von ihnen an demselben Tag Geburtstag), das Paradoxon des Bernoullischen Gesetzes der großen Zahlen (die relative Häufigkeit vielmaliger Münzwürfe nähert sich dem Wert 1/2, obwohl doch Münzen keine Erinnerung haben) oder das Paradoxon der Verzweigungsprozesse (die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die männlichen Nachkommen in der n-ten Generation aussterben, ist gleich 1, d. h. unvermeidlich).

Neben diesen Klassikern finden sich eine Reihe unbekannter(er) Paradoxa, deren Verständnis der Paradoxie auch dem Mathematiker Höheres unter Umständen abverlangen. Immer aber bleiben auch diese dem Nicht-Mathematiker zugänglich. Die naturgemäße Affinität der Paradoxie mit dem Zufall täuscht natürlich nicht über die Tatsache hinweg, dass die Mathematik immer schon sich daran übte, überall Paradoxien als solche zu entlarven. (Im Einsteinjahr sei daran erinnert, dass große Entdeckungen immer auch auf große Paradoxien zurückgehen.) Für die Mathematik des Zufalls jedenfalls ist dieses Buch ein Schatzkästlein und gehört überall dorthin, wo es Menschen gibt, die nicht ganz so offensichtliche Überraschungen lieben.

(Rezension: Mark Krüger)

Pasta all'infinito
Meine italienische Reise in die Mathematik

Albrecht Beutelspacher
C. H. Beck 1999, 267 Seiten, 19,50 €
Taschenbuch: Dtv, 2001, 10 €

ISBN: 3406454046
ISBN: 3423330694

In diesem Buch erzählt Albrecht Beutelspacher, Deutschlands bekanntester Mathematik-Popularisierer, von sich selbst: wie er als junger Assistent für sechs Wochen nach l'Aquila in den Abruzzen ging, um mit italienischen Kollegen gemeinsam zu forschen. Die Geschichte ist in einem lockeren Plauderton geschrieben und lebt von einer guten Mischung aus Anekdoten zur italienischen Lebensart und ein wenig Mathematik. Leitthema ist das Unendliche, und der Leser erfährt einiges über abzählbare und überabzählbare Mengen, irrationale Zahlen, Fibonacci-Zahlen und den goldenen Schnitt. Neben diesen Klassikern, die in fast allen populärwissenschaftlichen Mathematikbüchern wiederholt werden, gibt Beutelspacher aber auch eine kleine Einführung in die Eigenschaften der affinen Ebene, einer Struktur, in der man Punkte und Geraden sowie ihre Eigenschaften zueinander untersucht. Für Leser mit Mathematik-Kenntnissen ist das Buch über weite Teile leichte Kost, für jene mit eher moderaten Kenntnissen wird es genau das Richtige sein. Beutelspacher versteht es wie kaum ein anderer, mathematische Sachverhalte in treffenden Metaphern und unterhaltsamen Geschichten zu erklären.

(Rezension: Vasco Schmidt)