Leseecke

Philosophie der Mathematik

Thomas Bedürftig und Roman Murawski
De Gruyter (2010) Hardcover, 79,95 €, 322 Seiten

ISBN: 978-3-11-019093-9
Auch als eBook erhältlich

Philosophie der Mathematik beschäftigt sich mit den Grundlagen der Mathematik. Sie hat eine lange Geschichte, die parallel zur Entwicklung der Mathematik verläuft und wie diese heute kaum noch in ihrer Gesamtheit darstellbar ist. Diesem Buch gelingt der Versuch, dies dennoch zu tun.

Obwohl sich die meisten Lehrbücher der Mathematik in ihren einleitenden Kapiteln mit den Grundlagen der Mathematik beschäftigen, gehen die Grundfragen heute weit über Analysis, Artihmetik, Mengenlehre und Logik hinaus. Umso wertvoller ist ein Buch wie dieses für den Jung-Mathematiker, der noch nach Orientierung sucht und in Fragen nach den Grundlagen der Mathematik vielleicht einen neuen Blick auf die Mathematik jenseits von Teilgebieten erhält.

Die Gliederung des Buches erinnert an den Einsatz in Schulen, in denen der Inhalt in Modulen vermittelbar wird (Motivation, Geschichte, ausgewählte Grundfragen und eine ausgewählte Vertiefung, hier Axiomatik und Logik, Kurzbiographien). Das Buch wählt gerade nicht den Weg, das Gebiet einseitig aufzubauen, sondern erlaubt eine unabhängige Beschäftigung mit einzelnen Modulen.

Der Einstieg erfolgt mit einem Kapitel über den Weg zu den reellen Zahlen als einführendes Beispiel für die Grundlagenprobleme des Begriffs der Zahl und des Unendlichen. Daran schließt sich ein Abriss der Geschichte der Philosophie der Mathematik von Pythagoras bis heute an. Dabei erhalten die klassischen Fragen vom Altertum bis einschließlich Cantor und Dedekind in etwa den gleichen Raum wie aktuelle Fragen des 20. Jahrhunderts.

Im Kapitel über die Grundfragen werden Zahlbegriff, Unendlichkeit und das Kontinuum in der zeitlichen Entwicklung behandelt. So werden die verschiedenen Herangehensweisen der Theorien in der Beschäftigung mit den Einzelproblemen erkennbar.

Das Kapitel über Mengenlehre trägt der besonderen Bedeutung dieses Fachgebietes Rechnung, die Grundlagen der Mathematik zu schaffen. Es führt auf die Mengenlehren von Zermelo-Fraenkel und die von Neumann, Bernays und Gödel.

Schließlich wird im letzten Kapitel über Axiomatik und Logik die theoretische Grundlage für die Mengenlehre vertieft. Die verwendete Symbolsprache gibt einen Einblick in die Arbeitsweise der Logik und macht Lust auf mehr. Gleichzeitig erlaubt dieses Kapitel die vorangegangenen Kapitel im Licht des mächtigen Apparates der Logik zu reflektieren.

Mit Ausnahme der Vertiefung zur Axiomatik und Logik ist das Buch nicht-technisch. Aber auch die gewählte Symbolik für dieses Kapitel erfordert kein Vorwissen, wird sorgsam vorbereitet und belohnt mit tieferen Einsichten.

Nach Lektüre dieses Buches steht fest: Philosophie der Mathematik ist die schönste Nebensache der Welt (neben der Beschäftigung mit Mathematik). Das Buch ist der geeignete Begleiter dafür.

Rezension: Mark Krüger

12×12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik

Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2011), x+338 Seiten, 19,95 €

ISBN: 978-3-8274-2297-2

Welche mathematischen Begriffe, Ideen, Methoden und Resultate könnten für einen Studierenden des Fachs wichtig sein? Hierauf kann wohl niemand eine von allen akzeptierte Antwort geben. Umso löblicher ist der Versuch der vier Autoren des vorliegenden Buchs, diese Frage wenigstens subjektiv zu beantworten und so dem Studienanfänger einen Wegweiser durch den von ihm zunächst als undurchdringlich empfundenen Dschungel des mathematischen Wissens zu geben.

Hierzu haben sich die Autoren zwölf Themengebiete der Mathematik ausgesucht. Für jedes dieser Gebiete werden zwölf „Schlüsselkonzepte“ auf jeweils zwei bis vier Buchseiten knapp, aber präzise erläutert. Nach einem ersten Abschnitt über die Grundlagen (elementare Logik, Mengenlehre sowie die mathematische Sprache) geht es zunächst in die Welt der Zahlbereiche. Neben dem Bogen von den natürlichen bis zu den komplexen Zahlen stehen hier auch die Quaternionen, eine Einführung in die Nonstandard-Zahlen und die p-adischen Zahlen sowie, etwas neben der Spur, über Zufallszahlen auf dem Programm. Man merkt bereits in diesem Kapitel, dass die Autoren wirklich eine umfassende Allgemeinbildung eines Bachelors der Mathematik im Blick haben. Dieses Ziel scheint mir – soviel sei bereits an dieser Stelle gesagt – trotz der Subjektivität der Auswahl gelungen!

Die Zahlentheorie steht im Mittelpunkt des nächsten Kapitels. Neben Primzahlen, quadratischen Resten sowie diophantischen Gleichungen erfährt der Leser auch etwas über elliptische Kurven sowie über Zahlkörper. Anschließend gibt es eine Einführung in die Welt der diskreten Mathematik inklusive der Graphentheorie. Die nächsten vier Kapitel widmen sich dann dem Grundkanon des Mathematikstudiums: Lineare Algebra, Algebra, elementare und höhere Analysis lauten die Überschriften. Sozusagen als Brücke zum fortgeschrittenen Studium erhält man im folgenden Abschnitt Einblicke in topologische und (differential-)geometrische Fragestellungen; sogar Homotopie und Homologie werden hier kurz angerissen. Mit Numerik und Stochastik kommt im Anschluss auch der Bereich der angewandten Mathematik zur Rede. Ganz am Ende schließt sich thematisch der Kreis: Axiomatische Mengenlehre und Logik werden inklusive der Gödelschen Unvollständigkeitssätze dem Leser nahe gebracht.

Natürlich könnte man als Rezensent nun mit den beliebten Meckereien anfangen: Wo ist dies und jenes unverzichtbare Thema wie etwa der Satz über implizite Funktionen? Was um alles in der Welt hat dieser und jener Abschnitt, der doch nicht alle interessiert, in diesem Buch verloren? Und warum ist Theorie XYZ hier so knapp beschrieben worden? Solch billige Kritik verkennt, dass die Seitenanzahl des Buches beschränkt ist. Mit dieser Randbedingung kann aber die Auswahl nur als gelungen bezeichnet werden: Wer den im Buch angeführten Stoff überblickt, dem kann man getrost eine gute mathematische Allgemeinbildung bescheinigen.

Auch an der Darstellung gibt es nichts auszusetzen. Flüssig und präzise erscheinen die Ausführungen zu den jeweiligen Themen, so dass das Lesen einfach Spaß macht. Der Anfänger kann sich zur gegebenen Zeit (nicht alle Teile sind für einen Erstsemester erreichbar) einen groben Überblick über ein für ihn neues Teilgebiet der Mathematik verschaffen, auch wenn er naturgemäß an einigen Stellen sicher nicht alles verstehen wird.

Trotzdem hat das Buch in meinen Augen ein schwerwiegendes Defizit, nämlich das völlige Fehlen von ein- oder weiterführender Literatur. Nehmen wir als Beispiel einen Zweitsemester, der mit etwas Mühen auf Seite 210 die Idee des Residuensatzes näherungsweise verstanden hat und auf die dort ebenfalls besprochenen Anwendungen bei der reellen Integration neugierig geworden ist, da ihm die uneigentlichen Integrale aus seinen Vorlesungen vertraut sind. Wie schön wäre es jetzt, wenn besagter Studierender mit einer – wenn möglich kommentierten – Bücherliste in die Bibliothek gehen und seinen Wissensdurst stillen könnte! So aber wird er schon fast im Stich gelassen, was die Eignung des vorliegenden Buches als Einführung in die Welt der Mathematik doch ein wenig in Frage stellt – schade!

Trotz des eben beschriebenen Mankos möchte ich das Buch jedem interessierten Studierenden ans Herz legen. Als Orientierungshilfe im Studium macht es durchaus eine gute Figur, und viele spannende Dinge (die man im Wahlbereich des Bachelors so vielleicht nicht in Betracht ziehen würde) gibt es hier zu entdecken. Die fehlenden Literaturhinweise muss man sich anderweitig beschaffen – wozu gibt es schließlich Dozenten?

Rezension: Harald Löwe, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2011, Band 58, Heft 2, S. 235
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

99 Schnittpunkte
Beispiele - Bilder - Beweise

Hans Walser
Verlag: Edition am Gutenbergplatz Leipzig; 2. Auflage (14. Februar 2012), 188 Seiten, 18,50 €

ISBN-10: 3937219951
ISBN-13: 978-3937219950

Drei Geraden in der Ebene haben in der Regel keinen gemeinsamen Schnittpunkt, und wenn doch, ist das ein Indiz dafür, dass es sich um eine besondere Situation handelt. Viele Leserinnen und Leser erinnern sich gewiss aus dem Geometrieunterricht daran, dass die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich in einem Punkt schneiden, nämlich dem Schwerpunkt des Dreiecks. (Zumindest die älteren Semester können das; die Jüngeren haben möglicherweise keinen Geometrieunterricht mehr gehabt.)

In seinem Büchlein „99 Schnittpunkte“ beschreibt der Autor 99 Konstruktionen, bei denen mehrere Geraden oder Kurven überraschenderweise einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Das Buch hat drei Teile, von denen der erste eine allgemeine Einführung mit einigen Beispielen ist. Im Hauptteil werden, jeweils durch drei Skizzen und ohne Worte, 99 erstaunliche Schnittpunktkonstellationen vorgestellt; zum Beispiel diese:

Mit freundlicher Genehmigung des Verlags.

Der abschließende dritte Teil bringt einige mathematische Erläuterungen und Begründungen zu den Konstruktionen des zweiten Teils. Der Autor war als Gymnasiallehrer und in der Ausbildung von Lehramtskandidaten tätig und verfügt daher über einen reichen Fundus an geometrischen Beispielen. Liebhaber der Geometrie werden sich an seinem Buch erfreuen.

Rezension: Dirk Werner (FU Berlin)

Algorithmik für Einsteiger

Armin P. Barth
Springer Spektrum; Auflage: 2., überarb. Aufl. 2013 (24. Oktober 2013), 24,99 €

ISBN-10: 3658022817
ISBN-13: 978-3658022815

Gleich vorweg: Uneingeschränkt empfehlenswert ist dieses Lehrbuch für die vom Verlag genannte Zielgruppe, nämlich für Lehrer, Studierende und Gymnasialschüler der Fächer Mathematik und Informatik.

Die Auswahl der Inhalte und ihre Präsentation sind sehr gelungen.

Die Darstellung erfolgt tatsächlich strikt unter dem Motto „für Einsteiger“. So ist es sehr motivierend, dass die einzelnen Abschnitte stets mit einem Überblick über das Folgende eingeleitet werden und auf diese Weise den Leser auf die Inhalte der kommenden Seiten vorbereiten. Sehr hilfreich dürfte es auch sein, dass die Beweise – nicht wie von Autoren der mathematischen Eleganz wegen oft möglichst knapp gehalten – sondern sehr ausführlich und mit erläuternden Zwischenbemerkungen versehen sind. Auch Definitionen fallen nicht unmotiviert vom Himmel, sie werden vielmehr vorbereitet, bevor sie ihre endgültige Form erhalten. Dazu dienen auch immer wiederkehrende kurze Absätze, die die Aufforderung „Zum Nachdenken“ in der Überschrift tragen, und den Leser – auch mit zusätzlichen Informationen – zum Innehalten und selbständigen Nachdenken anleiten wollen.

Nach einführenden Bemerkungen zum Algorithmus-Begriff und seiner historischen Entwicklung im ersten Kapitel (25 Seiten) werden im zweiten wichtige Algorithmen vorgestellt, u. a. der euklidische Algorithmus, ein Primzahltest, die „Türme von Hanoi“ (mit einer ausführlichen Beschreibung der Funktionsweise der Rekursion), einfache (langsame) Sortieralgorithmen, der Dijkstra-Algorithmus zum Durchlaufen von Graphen und aus der Kryptologie der RSA- und ein Zero-Knowledge-Algorithmus (70 Seiten).

Das dritte Kapitel zum Thema „Effizienz von Algorithmen“ erläutert die Landausche Symbolik der O-Schreibweise, führt als Beispiel des divide-and-conquer-Prinzips das schnelle Sortierverfahren von Hoare vor und bringt eine Einführung in die Komplexitätstheorie (40 Seiten). Gerade hier werden die Beweise sehr übersichtlich und ausführlich dargestellt.

Das vierte Kapitel ist den Turing-Maschinen gewidmet (35 Seiten). Hier werden zunächst einige Programme für diese detailliert hergeleitet, bevor die universelle Turing-Maschine beschrieben wird. Die Diskussion der Church-Turing-These beschließt diesen Abschnitt.

Das letzte Kapitel (40 Seiten) – überschrieben mit „Grenzen des Formalisierens“ – führt zum einen die Entdeckung vor, dass es nicht-berechenbare Funktionen und damit Probleme gibt, die prinzipiell nicht von Computern gelöst werden können (neben dem bekannten Halteproblem werden auch weitere Beispiele vorgestellt). Zum anderen wird hier ausführlich auf die Komplexitätstheorie und die P-NP-Problematik der „schwierigsten Probleme der Welt“ eingegangen.

Jedes Kapitel endet mit einer Vielzahl von Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades (für einige sind im Anhang Lösungen angegeben) sowie einer Literaturliste.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

An Introduction to Benford's Law

Arno Berger, Theodore P. Hill
Verlag: Princeton University Press 2015. 256 Seiten 69,68 €
Sprache: Englisch

ISBN-10: 0691163065
ISBN-13: 978-0691163062

Es ist bemerkenswert, dass der von Timothy Gowers herausgegebene, über tausend Seiten dicke „Princeton Companion to Mathematics“ nicht das Benfordsche Gesetz zitiert: In dem aus rund 2500 Stichworten bestehenden Index kommt dieses höchst eigenartige, zuerst von Simon Newcomb entdeckte und mehr als 50 Jahre später im Jahre 1938 vom Physiker Francis Benford wieder aufgefundene Phänomen nicht vor. Es handelt sich bei ihm um eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Ziffernstrukturen von Zahlen und galt Gowers und seinen Mitautoren wohl eher als ein empirisches denn als ein mathematisches Gesetz: In vielen Datensätzen aus dem Bereich der Bevölkerungsstatistik, der Finanzbuchhaltung, der Messwerte quantitativ bestimmter Größen sowie aus anderen Bereichen zeigt sich nämlich, dass die Anfangsziffern der Daten nicht gleichverteilt sind, sondern dass die Ziffer 1 als Anfangsziffer signifikant öfter vorkommt als die anderen Ziffern, zum Beispiel mehr als dreimal so häufig wie die Anfangsziffer 4 und sogar mehr als sechsmal so häufig wie die Anfangsziffer 9. Genauer kann man Newcombs und Benfords Beobachtungen in ihrer einfachsten Version so formulieren: Eine Folge positiver Dezimalzahlen heißt Benfordfolge, wenn die Häufigkeit, mit der die Ziffer z als Anfangsziffer eines Folgenelements unter den ersten n Folgegliedern aufscheint, bei n → ∞ gegen lg(z + 1) − lg z konvergiert. Dabei bezeichnet lg in dieser Differenz den Briggschen Logarithmus zur Basis 10. Der empirische Befund von Newcomb und Benford besagt, dass bei Datensätzen, die sich über mehrere Zehnerpotenzen hinweg erstrecken, erstaunlich viele Benfordfolgen auftauchen.

Mit dem schönen Buch „An Introduction to Benford’s Law“ gelingt den Autoren Arno Berger und Theodore P. Hill, das Benfordsche Gesetz in das Gefüge der Mathematik so einzubinden, dass alle künftigen Ausgaben des „Princeton Companion to Mathematics“ an ihm nicht mehr vorübergehen werden können. Das Buch ist in konziser Sprache verfasst, alle Beweise werden klar und verständlich geführt, alle Definitionen werden mit guten Motivationen gerechtfertigt und punktgenau formuliert, die Bedeutung der hergeleiteten Sätze wird anhand zahlreicher und einleuchtender Beispiele und Gegenbeispiele hervorgehoben und die vielen farbig aufbereiteten Tabellen und Skizzen bereichern den Text außerordentlich. Teile des Buches sind interessierten Laien zugänglich, vieles in ihm wird mit Grundkenntnissen aus der Maßtheorie gut verstanden, nur an einigen Stellen wird tieferes Fachwissen vorausgesetzt, wobei sich die Autoren nicht scheuen, auf noch unbeantwortete Fragen und offene Probleme hinzuweisen.

Nach einer knappen historischen Einleitung bereiten die Autoren den maßtheoretischen Rahmen vor, innerhalb dessen sie nicht nur Benfordfolgen, sondern auch Funktionen und Zufallsvariablen beschreiben können, die dem Benfordschen Gesetz folgen. Sie untersuchen sodann die für das Benfordsche Gesetz eigentümliche Skaleninvarianz, sowie die Basis- und Summeninvarianz, und sie wenden sich danach eindimensionalen dynamischen Systemen, Differentialgleichungen, Produkten von Matrizen, Markoffketten, Differenzengleichungen und verwandten Themen zu, die mit dem Benfordschen Gesetz in Verbindung gebracht werden können. Im vorletzten Kapitel wird überdies ein sehr interessanter Zugang zum Benfordschen Gesetz aufgezeigt, der von den Spuren der formalen Maßtheorie mit ihren Sigmaalgebren abweicht und Mengenalgebren in den Blick nimmt, bei denen keine abzählbaren, sondern nur endlichen Vereinigungen und Durchschnitte zugelassen sind. Das letzte Kapitel ist den vielfältigen Anwendungen des Benfordschen Gesetzes gewidmet.

Der Haupsatz des Buches von Berger und Hill ist der Satz 4.2, in dem eine Folge positiver Dezimalzahlen genau dann als Benfordfolge erkannt wird, wenn die Folge der Briggschen Logarithmen dieser Dezimalzahlen modulo eins gleichverteilt ist. Dieser zentrale Satz schlägt die Brücke zwischen dem Benfordschen Gesetz und der von Hermann Weyl erfundenen Theorie der Gleichverteilung von Zahlen modulo eins. Dass die Potenzen von zwei, von drei und von vielen anderen Basen, so auch von π, hingegen natürlich nicht die Potenzen von zehn, Benfordfolgen sind, folgt hieraus unmittelbar. Ebenso schnell ergibt sich aus den Binetschen Formeln für die Fibonacci-Zahlen, dass die aus ihnen gebildete Folge dem Benfordschen Gesetz gehorcht.

Fast genau hundert Jahre, nachdem Weyl seine bahnbrechende Arbeit zur Gleichverteilung von Zahlen modulo eins verfasst hatte, zeigt nun das beeindruckende Buch von Berger und Hill, wie zukunftsweisend die damalige Arbeit Weyls war, die selbst bereits viele Aspekte der Theorie der Gleichverteilung vorwegnahm, welche später von Johannes van der Corput, Leopold Fejér, Edmund Hlawka und vielen anderen erarbeitet wurden. Berger und Hill bringen manche von ihnen wieder in einem neuen Kontext zur Sprache. Selbst die Tatsache, dass so erstaunlich viele empirische Datensätze dem Benfordschen Gesetz gehorchen, spiegelt sich in einem metrischen Satz in §7 der Arbeit von Weyl wider, wobei er – für einen konstruktiven Mathematiker typisch – anmerkt, dass er „freilich glaube, dass man den Wert solcher Sätze, in denen eine unbestimmte Ausnahmemenge vom Maße 0 auftritt, nicht eben hoch einschätzen darf“.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2015, Band 62, Heft 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Rudolf Taschner (Wien)