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Berühmte Aufgaben der Stochastik
von den Anfängen bis heute

Rudolf Haller, Friedrich Barth
Verlag: Oldenbourg Wissenschaftsverlag (1. September 2013), 79,95 €

ISBN-10: 3486728326
ISBN-13: 978-3486728323

Die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung als mathematischer Disziplin sind vorrangig in Berechnungen von Chancenverhältnissen und „gerechten“ Spieleinsätzen zu finden, wie sie verstärkt ab der Mitte des 17. Jahrhunderts auftraten. Der mathematische Begriff der Wahrscheinlichkeit wurde allerdings erst um ca. 1700, insbesondere in Jakob Bernoullis „ars conjectandi“ (1713) manifest. Die kombinatorische Bestimmung von „Möglichkeiten“ hatte bereits eine wesentlich längere Tradition, jedoch scheinen im allgemeinen das Aristotelische Dogma von der Unberechenbarkeit des Zufalls und die immer wieder propagierten Verbote von Glücksspielen die substantielle Beschäftigung mit entsprechenden Problemen stark behindert zu haben.

Bis heute haben konkrete Aufgaben die Weiterentwicklung von Konzepten und algebraischen sowie analytischen Methoden der Stochastik motiviert. Insofern bilden Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik innerhalb der mathematischen Teilgebiete einen Bereich, der in besonderer Weise mit seinen inner- wie außermathematischen Anwendungen in Wechselwirkung steht.

Das Buch „Berühmte Aufgaben der Stochastik“ von Friedrich Barth und Rudolf Haller greift gerade diesen Aspekt auf. Beide Autoren sind Verfasser mehrerer gymnasialer Unterrichtswerke, besonders des auch für einführende Hochschulkurse empfehlenswerten „Stochastik-Leistungskurs“ (1. Aufl. München 1983), der zusammen mit dem zugehörigen Lösungsbuch immer noch im Handel ist. Eine Besonderheit dieses Lehrbuchs ist der reiche Fundus an historischen Problemstellungen, insbesondere aus der Zeit zwischen ca. 1650 und ca. 1750, die auch den Kernbestandteil des neuen Buchs bilden.

Die einzelnen „berühmten Aufgaben“ werden in der Regel in der chronologischen Reihenfolge ihres ersten Auftretens vorgestellt. Gemäß Inhaltsverzeichnis sind es ca. 140 Probleme, die meist noch in verschiedenen Ausprägungen und Lösungsansätzen erläutert werden. Der Hauptanteil des Buchs betrifft den Zeitraum bis ca. 1750. Natürlich werden die „klassischen“ Aufgabenstellungen genau diskutiert: Das bereits in älteren Quellen behandelte, aber erst im Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat gelöste Problem über die gerechte Aufteilung des Spieleinsatzes bei vorzeitigem Spielabbruch, die von Huygens formulierten 5 Probleme, darunter das über die Ruinwahrscheinlichkeit eines Spielers, die Berechnung von Lebenserwartungen. Auch Nikolaus Bernoullis „Petersburger Problem“ von 1713 wird ausführlich vorgestellt. Es betrifft die paradoxe Situation eines simplen Spiels, das mit überwältigender Wahrscheinlichkeit nach einer geringen Zahl von Durchgängen beendet ist, jedoch trotzdem eine unendliche Gewinnerwartung aufweist und damit nach den üblichen Regeln einen unendlichen Spieleinsatz verlangt. Daneben findet man eine Vielzahl von Würfelproblemen, wie sie bereits in der ihrer Zeit weit vorauseilenden Schrift „De Vetula“ (ca. 1250) berührt worden sind. Zutreffenderweise setzt das Buch aber schon bei uralten Zufallsexperimenten und den damit verbundenen Anzahlbestimmungen ein. Der Leser lernt die in der Antike weit verbreiteten Astragaloi – das sind die Sprungbeine von Paarhufern, die vier unterschiedlich wahrscheinliche Seitenflächen aufweisen – als Zufallsgeräte samt ihrem Einsatz für Orakel kennen. Überhaupt bietet das Werk eine Vielzahl von ebenso interessanten wie lehrreichen kulturhistorischen Bezügen. Für die eher „moderneren“ Zeiten stehen, um nur einige Themen zu nennen, das inverse Schließen aufgrund der Bayesschen Formel, verschiedenste Urnenexperimente, darunter auch das der berühmten Pólya-Urne, aber auch einige sehr interessante Paradoxa, wie etwa das „pairwise-worst-best-paradox“ von Colin Blyth. Dass das notorische Ziegenproblem keine Berücksichtigung findet, ist wahrhaftig kein Mangel.

Die historischen Lösungsansätze werden im Detail erklärt und, falls der Situation angemessen, mit modernen Methoden verglichen. Dabei genügt die Auswahl der Aufgaben dem Prinzip der Zugänglichkeit mit möglichst elementaren, vorrangig kombinatorischen, Mitteln. Somit ist das Buch bereits für Oberstufenschüler und mathematische Laien mit Grundkenntnissen lesbar. Manche der verzwickten kombinatorischen Betrachtungen sind aber auch für den mathematisch Gebildeten eine Herausforderung. In diesem wahrlich nicht einfachen Rahmen ist den Autoren in aller Regel eine sehr durchsichtige und verständliche Darstellung gelungen. Durch die Beschränkung auf elementare Problemstellungen wird allerdings die Repräsentativität der Aufgaben für den gleichzeitigen Entwicklungsstand der Stochastik spätestens ab Laplace wesentlich eingeschränkt. Asymptotische Betrachtungen bei großen Fallzahlen, wie sie bereits im 18. Jahrhundert einsetzten und bei Laplace zu einem wesentlichen Element der Wahrscheinlichkeitsrechnung wurden, fehlen fast vollständig, ebenso wie statistische Aufgabenstellungen im engeren Sinne.

Trotz des historischen Zugangs handelt es sich bei den „berühmten Aufgaben“ nicht um ein eigentlich mathematikgeschichtliches Werk. Die Autoren legen den Schwerpunkt ihres Interesses eher in die Variabilität von Lösungsmethoden als in konzeptionelle Entwicklungen. Tatsächlich liegt jedoch ausgerechnet die Genese des mathematischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs mitten in einer von dem Buch besonders ausführlich erfassten Periode. Dieser Tatsache hätte man vielleicht stärker Rechnung tragen sollen. Trotzdem ist das vorliegende Werk eine gute Basis auch für historische Untersuchungen, wenn es durch geeignete Quellen ergänzt wird. Auch wenn die Originalliteratur jeweils explizit aufgeführt und zum großen Teil im Internet in digitalisierter Form zugänglich ist, könnte in systematischerer Weise auf Sammelwerke, Übersetzungen und Kommentare hingewiesen werden. Fehlende Seitenangaben bei Zeitschriftenaufsätzen erschweren ebenfalls die weiterführende Lektüre.

Leider weist das Buch von Barth und Haller eine recht erhebliche Zahl an Flüchtigkeitsfehlern, Schreibfehlern sowie kleineren Ungereimtheiten oder auch Redundanzen auf. Trotz der insgesamt sehr guten Ausstattung und reichen Illustrierung genügen Text- wie auch Formelsatz nicht professionellen Anforderungen. Andererseits bietet das Buch eine ausgezeichnete Basis für verschiedenste Unterrichtszwecke, etwa als Arbeitsgrundlage für stochastische Arbeitsgemeinschaften und Seminare ab der gymnasialen Oberstufe, als Fundus für Übungen zu Stochastikvorlesungen, zum problemorientierten Selbststudium der elementaren Kombinatorik, als Interpretationshilfe für historische Originalquellen. Aufgrund der vielenVorzüge möchte man daher den „berühmten Aufgaben“ eine gute Verbreitung wünschen.

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, April 2015, Band 62, Heft 1
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Rezension: Hans Fischer (Eichstätt)

Wer falsch rechnet, den bestraft das Leben
Das kleine Einmaleins der Alltagsmathematik

Christian Hesse
C.H.Beck; Auflage: 1 (11. März 2014), 12,95 €

ISBN-10: 3406644724
ISBN-13: 978-3406644726

Christian Hesse, Professor für Mathematik an der Universität Stuttgart, legt hiermit das sechste populärwissenschaftliche Buch innerhalb weniger Jahre vor.
Dass es sich hier um das kleine Einmaleins der Alltagsmathematik handelt – wie der Untertitel behauptet – ist etwas missverständlich: im Alltag kann man die diskutierten Sachverhalte wohl kaum gebrauchen. Allerdings sind die benötigten Kenntnisse schon „alltäglich“: man benötigt keinerlei höhere Mathematik, was man bis zur 7. Klasse gelernt hat, reicht zum Verständnis völlig aus.

Der  Inhalt des Buches lässt sich mit den beiden Begriffen „Mittelwerte“ und „Paradoxien“ zusammenfassend beschreiben. Die erste Hälfte widmet sich in vielen verschiedenen Beispielen der Berechnung von Mittelwerten, während die Vorstellung und erklärende Auflösung einer Reihe von Paradoxien sich über das ganze Buch, insbesondere die zweite Hälfte, hinzieht.

Das arithmetische (einschließlich des gewichteten arithmetischen), das geometrische und das harmonische Mittel – alle drei in der populären Mathematik-Literatur häufig vertreten - werden nicht systematisch eingeführt, sondern an Beispielen erläutert und es wird diskutiert, unter welchen Voraussetzungen und in welchen Fällen die jeweilige Durchschnittsbildung die passende ist. Immer wieder zeigt der Autor sehr geschickt, wie man durch falsche Wahl zu falschen Ergebnissen kommt. Der Median wird motiviert mit dem bekannten Beispiel der Haushaltseinkommen in einem kleinen Ort, dem nur 8 „normale“ und ein Millionärshaushalt angehören. Des weiteren werden – in solch populären Darstellungen weitgehend unbekannt – das Eigengewichtsmittel und das Ampère’sche Mittel vorgestellt. Für den, der Rat sucht in alltäglichen Rechen-Problemen, wahrscheinlich weniger spannend, wohl aber für den mathematischen Liebhaber reizvoll ist es, wenn immer wieder Vergleiche sowie Beziehungen zwischen den verschiedenen Konstrukten hergestellt werden. Dem Autor kann man nur zustimmen, wenn er begeistert feststellt: „Großartig: diese wunderbar filigranen Beziehungen zwischen den diversen Mitteln, oder?“

Mit mathematischen Paradoxa kann man stets Verblüffung hervorrufen. Hesse stellt uns hier mehrere weniger bekannte Beispiele vor. Zwei ganz spezielle werden von ihm das Freundschafts- und das Geburtsgewichtsparadoxon genannt und durch Datenanalyse aufgeklärt. Mehrfach wird auf das Simpson’sche Paradoxon eingegangen. Es kann dann auftreten, wenn mehrfach Mittelwerte gebildet werden: also dann, wenn Mittelwerte von schon gemittelten Teilmengen berechnet werden. In der Realität trat dieses Paradoxon wohl erstmals in den fünfziger Jahren bei einer statistischen Auswertung an einer amerikanischen Universität auf; Hesses Beispiele mit fiktiven Zahlen sind leicht nachzuprüfen und daher kann man seinen Erklärungen zur „Auflösung“ des scheinbaren Widerspruchs gut folgen.

Mit dem Braess-Paradoxon und dem Benford-Gesetz werden weitere paradoxe Ergebnisse beschrieben. Das letzte Kapitel ist dem schwierigen Thema der Regression gewidmet. Auch hier treibt Simpson abermals sein erstaunliches Spiel und mit der sogenannten Symmetrie-Paradoxie taucht ein weiterer scheinbarer Widerspruch auf.

Das Nachwort über Fehler an und für sich ist unabhängig von den Kapiteln genauso lesenswert wie die vielen lose in den Text eingestreuten kleinen – oft nur wenige Zeilen, manchmal aber auch einige Seiten umfassenden – „Schnipsel“, die – ähnlich wie in dem von Hesse veröffentlichten mathematischen Sammelsurium – meist den fortlaufenden Sachtext ergänzen, oft aber auch nur unterhaltsam, witzig den Leser erheitern.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Wie man einen Schokoladendieb entlarvt
... und andere mathematische Zaubertricks.

Carla Cederbaum
Verlag Herder (2008), 159 Seiten, 14,95 €

ISBN: 978-3-451-29962-9

Sie suchen immer mal wieder nach mathematischen Zauberkunststücken? Sie wollen Ihre Schulklasse unterhalten oder einfach mal bei einer Geburtstagsfeier durch einen besonderen Auftritt glänzen? Sie suchen nach einem sinnvollen Geburtstagsgeschenk? Dann kaufen Sie Carla Cederbaums liebevoll gemachtes Buch! Von einem Vorwort von Albrecht Beutelspacher begleitet, beschreibt die Autorin ausführlich und strukturiert verschiedenste Zaubertricks, die alle etwas mit Mathematik zu tun haben. Nicht genug damit: Carla Cederbaum erklärt dann auch noch jeden Trick so, dass die Leser nach dem Erstaunen über die Tricks diese auch verstehen können. In sieben Gruppen sind die Zaubertricks geordnet: Zauberzahlen, Zahlenzauber, Alltagszauber, Figuren, Spiele, Knoten und Bänder und schließlich: Na logisch. Die Kunststücke reichen von simplen Manipulationen eines Taschenrechners bis hin zu spannenden Geschichten wie dem Barbier von Sevilla, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren.

Der Charme dieses kleinen Büchleins kommt nicht nur von Frau Cederbaums Art, spannend und verständlich zu schreiben, sondern auch aus dem Aufbau der Zauberkunststücke. Nach einer Schilderung des eigentlichen Tricks und seines Ablaufes gibt es einen kleinen Abschnitt „Mathematischer Hintergrund“, in dem auch über den Tellerrand der gerade vorgestellten Zauberei hinausgeguckt wird. So etwa beim Schokoladendieb. Da klaut in einer Klasse ein Kind einen Riegel Schokolade, während der „Zauberer“ draußen ist. Nach dem Betreten der Klasse bittet der Zauberer einen Schüler seines Vertrauens (im Buch ist es derjenige, dem aufgetragen wurde auf das Stück Schokolade aufzupassen), ihm 16 Klassenkameraden zu nennen, die für den Diebstahl in Frage kommen. Bedingung ist, dass einer der 16 der wahre Dieb sein muss. Nun lässt der Zauberer die 16 Kinder in einer 4×4-Matrix antreten und bittet die Vertrauensperson, ihm die Reihe zu nennen, in der der wahre Dieb steht. Dann bildet der Zauberer aus den 16 Schülern die transponierte Matrix, fragt wieder nach der Reihe, in der der wahre Dieb steht, und . . . hat ihn auch schon ermittelt! Natürlich wird im Abschnitt „Mathematischer Hintergrund“ die überraschende Aufklärung des Diebstahls nicht über die Eigenschaften von Matrizen erklärt, sondern über Koordinaten in einem cartesischen Koordinatensystem. Cederbaum greift aber sofort weiter aus und erklärt, wie wichtig Koordinaten auch in der Differentialgeometrie sind und stellt Verbindungen zu anderen Zaubertricks im Buch her. In den „Tipps zum Nachzaubern“ findet man dann Variationen des Themas, für das man sich bei Bedarf oder Neigung entscheiden kann.

Das kleine Büchlein ist sehr liebevoll ausgestattet worden. Da fallen zuerst die wirklich gut gelungenen Illustrationen von Anna Zimmermann auf, die in genau richtiger Dosierung den Text ab und zu lustig auflockern, aber immer mit den gerade geschilderten Zaubertricks zu tun haben. Der Verlag hat das Buch sehr schön mit fester Bindung und Leinenrücken ausgestattet, so dass es auch Kinderhände unbeschadet überstehen sollte. Ich habe einige der Tricks schon mit großem Erfolg an und mit Kindern aus den Klassenstufen 5 und 6 ausprobiert und das Buch auch schon zweimal an dankbare Zaubernovizen verschenkt. Uneingeschränkt empfehlenswert!

Rezension: Thomas Sonar, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, September 2009, Band 56, Heft 1, S. 258
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Zahl, Zeit, Zufall
Alles Erfindung?

Rudolf Taschner
Ecowin Verlag, 2007, 187 Seiten, 22, €

ISBN: 3-902-40444-2

Im Vorwort zu Rudolf Taschners neuem Buch schreibt Daniel Kehlmann:
"Wer seine Vorlesungen und Vorträge [...] miterleben durfte, kennt sein Feuer, seinen Witz und seine Begabung, scheinbar trockenes Wissen zum Leben zu erwecken aus erster Hand; wer dieses Glück noch nicht hatte, kann am gleichen Effekt teilhaben, indem er Taschners Bücher liest. Viel Rätselhaftes wird verständlich, während zugleich so manches scheinbar Vertraute erst zum Rätsel wird."
Ein großes Lob, dem der Autor mit seinem Stil und seiner Fähigkeit wissenschaftliche Sachverhalte spannend wiederzugeben, allerdings voll gerecht wird. Nur muss an dieser Stelle auch erwähnt werden, dass es sich bei dem vorliegenden Buch nicht um einen homogenen, klar gegliederten Text handelt, sondern zum größten Teil eher um eine Aneinanderreihung und Aufzählung interessanter Geschichten und Anekdoten, strukturiert nach den drei im Titel genannten Themenbereichen Zahl, Zeit und Zufall.
So erfährt man gleich zu Beginn von der Erkenntnis des Pythagoras: "Wenn man die Zahlen versteht, dann versteht man die Welt, denn alles in ihr scheint auf Zahlen und deren Beziehungen zu beruhen", welche er formulierte, nachdem ihm gezeigt wurde, dass gewisse Himmelsbeziehungen wie der Saroszyklus (die Zeitspanne, nach welcher sich Sonnen- und Mondverhältnisse wiederholen) auf einfachen Zahlenverhältnissen beruhen.
Ein jüngeres Phänomen, eigentlich eher eine schlichte Tatsache, zum Thema Alles Zahl, welches uns die Bedeutung von Zahlen in unserem Alltag zeigt, ist, dass beispielsweise der Inhalt einer DVD aus nichts anderem als einer riesigen Zahlenkolonne aus 0 und 1 besteht.
Nikolaus von Kues (Kardinal und Universalgelehrter des 15. Jahrhunderts) ging so weit zu sagen: "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Weg als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit."
Nicht nur zu den Zahlen, auch zu den Themen Zufall und Zeit gibt es eine Vielzahl von Fakten und Geschichten zu erfahren. So schildert Taschner z.B. die Diskussion um das als Ziegenproblem bekannt gewordene Spiel der amerikanischen Fernseh-Show Let's make a deal, in welcher einem Kandidaten drei Umschläge (bzw. andere verdeckte mögliche Preise) angeboten werden, wobei zwei der drei Umschläge leer sind und nur der dritte einen Preis enthält. Die Frage war nun, ob, nachdem der Kandidat sich für einen Umschlag entschieden und der Quizmaster einen der leeren Umschläge entfernt hatte, es sinnvoll wäre sich für den anderen noch im Spiel befindlichen Umschlag zu entscheiden, oder ob es wahrscheinlichkeitstheoretisch egal war, ob man den bereits gewählten Umschlag behielt oder tauschte. In einer Zeitungskolumne erklärte eine Dame (Anmerkung: es handelte sich hierbei um die Frau mit dem bis dato höchsten jemals gemessenen IQ) mathematisch korrekt, dass sich die Gewinnchancen von 33 % auf 67 % erhöhen, wenn man nach der Entfernung eines der leeren Umschläge seine Wahl verändert und seinen zunächst gewählten Umschlag gegen den anderen übriggebliebenen eintauscht. Dies scheint vielleicht der Intuition zu widersprechen, ist aber, wie bereits gesagt, mathematisch vollkommen korrekt. Die Antworten und Leserbriefe, welche daraufhin in der Redaktion der Zeitung eingingen lauteten u.a. wie folgt: "Sie haben Unsinn verzapft! Als Mathematiker bin ich sehr besorgt über das Unwissen in mathematischen Dingen. Bitte machen Sie den angerichteten Schaden wieder gut, indem Sie Ihren Fehler zugeben, und seien Sie in Zukunft vorsichtiger." Ein weiterer Leserbrief hatte folgenden Inhalt: "Ihre Lösung des Problems ist falsch. Aber zum Trost kann ich Ihnen sagen, dass viele meiner akademisch gebildeten Kollegen ebenfalls auf diesen Trugschluss hereingefallen sind."
Es ist nicht zu erfahren, ob die Absender im Laufe der Zeit eingesehen haben, dass nicht die von ihnen kritisierte Beweisführung falsch war, sondern sie selbst im Unrecht sind. Dieses Beispiel zeigt, dass selbst einfache Wahrscheinlichkeitsrechnungen, und genau diese modellieren ja das Prinzip Zufall, noch immer für große Verwirrung sorgen können.
Vieles weitere beispielsweise über die Geschichte der Uhrensynchronisation, den genialen indischen Mathematiker und "Zahlen- bzw. Formelkünstler" Ramanujan oder die Datenverschlüsselung mittels riesiger Primzahlen, lässt sich durch dieses Buch in Erfahrung bringen. Nebenbei gibt es auch noch ein große Menge an Farbbildern zu all diesen Bereichen, die die Ausführungen illustrieren und auffrischen.
Zum Abschluss noch ein Zitat des Autors:
Wenn etwas untrüglich sicher "existiert", dann sind es Zahlen, mit denen die Mathematik Gleichungen und Formeln zu bilden versteht.
Es bleibt nur zu sagen: Viel Freude bei einer kurzweiligen, unterhaltsamen und interessanten Lektüre!

(Rezension: Joerg Beyer)

Zahlenreich
Eine Entdeckungsreise in eine vertraute, fremde Welt

Marianne Freiberger, Rachel Thomas
Springer; Auflage: 1. Aufl. 2016, (13. April 2016), 19,99 €

ISBN-10: 3662475898
ISBN-13: 978-3662475898

Eine Reise in die Welt der Zahlen? Da denkt man doch, dass es hier im wesentlichen um Zahlen, Zahlbereiche und ihre Eigenschaften ginge. Mitnichten!
Zwar findet man auch darüber manches Interessante, aber größeren Raum nehmen mathematische Entdeckungen, merkwürdige Phänomene und kurze biografische Anmerkungen zu Mathematikern ein. Auf über 300 Seiten werden auch physikalische und technische Aspekte dargestellt.

Die Kapitel sind in aufsteigender Reihe nummeriert – aber nicht in der Folge der natürlichen Zahlen, sondern mit der Zahl bezeichnet, die Thema des Kapitels ist: angefangen von 0, 1, √2, Φ (goldener Schnitt), 2  und e (Eulersche Zahl) geht es hin bis 100, zu Grahams Zahl, zu ∞ und i (komplexe Einheit).

Um einen Eindruck von den vielfältigen Inhalten zu vermitteln, greife ich einige Kapitel heraus.

Kapitel 3 beginnt mit dem ebenen Dreieck und seiner Winkelsumme von 180°. Über sphärische Dreiecke (auf der Kugel) wird ein Modell der hyperbolischen Geometrie entwickelt. Triangulierung führt einmal zur Methode der finiten Elemente, zum andern zur Eulerschen Polyederformel und der Euler-Charakteristik zur topologischen Klassifizierung. Das Ganze findet man auf 15 Seiten – klar, dass die Themen sehr konzentriert und nur beschreibend, nicht mit Beweisen und tiefer gehenden Begründungen dargestellt werden.

Diesem Stil entsprechend beginnt das Kapitel 4 mit der Sphäre im 4-dimensionalen Raum, 3-Mannigfaltigkeiten werden aufgeführt und schon ist man bei der Poincaré-Vermutung und dem sonderbaren russischen Mathematik-Genie Perelman, der diese Vermutung bewiesen hat. Über den Begriff „Bezugssystem“ wird die spezielle Relativitätstheorie, insbesondere das Phänomen der Zeitdilatation, die Anwendung auf das GPS (Global Positioning System) erwähnt und schließlich auf Quantengravitation und String-Theorie eingegangen, womit die Autorinnen wieder auf den Kapitelanfang mit dem Thema „höhere Dimensionen“ zurückkommen.

Im Kapitel 12 geht es zunächst um Uhren und Zeitmessung, dies führt zur Modularithmetik und dem Gruppenbegriff. Abel mit seinem Beweis der Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades sowie Galois und sein tragisches Ende leiten weiter zur Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen und der Vorstellung der größten sporadischen Gruppe, die den Namen Das Monster führe und 808.017.424.794.512,875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 Elemente enthalte.

Die beiden Autorinnen sind laut Vortext Herausgeberinnen des Plus-Magazins (www.plus-maths.org), das „einer breiten Öffentlichkeit die Tür zur Welt der Mathematik öffnen möchte.“ Diesem Anliegen ist offenbar auch dieses Buch verpflichtet. Es werden in leicht verständlichem und gut lesbarem Stil eine Vielzahl interessanter, spannender mathematischer (teils auch physikalisch-technischer) Fakten in kleinen Häppchen vorgestellt. Man kann hoffen, dass dadurch Leser zum einen von der großen Bedeutung der Mathematik für unsere moderne Welt überzeugt und auch zur gründlicheren Beschäftigung mit einigen der vorgestellten Themen motiviert werden.

Rezension: Hartmut Weber (Kassel)