Leseecke

Pythagoras
und kein Ende?

Peter Baptist
Ernst Klett Schulbuchverlag Leipzig, 1998, 152 Seiten, 10,50 €

ISBN: 3127200404

Das Vorwort beginnt mit drei Zitaten. Das erste (von Leonardo von Pisa) besitzt die Pointe, dass "an alles zu denken und keine Fehler zu begehen ist eher göttliche als menschliche Eigenschaft". Dennoch soll hier eine Rezension versucht werden. Die beiden anderen Zitate (von Georg Christoph Lichtenberg) gipfeln in der Aussage, dass Rezensenten die Bücher, die sie beurteilen, gar nicht lesen. Dies zu bewerten sei dem Leser dieser Rezension anheim gestellt. Das Buch "Pythagoras und kein Ende?" ist als Lese- und nicht als Lehrbuch konzipiert, der Unterhaltungsaspekt steht im Vordergrund. So werden im einleitenden ersten Kapitel zwar einige Ausführungen zu den "Elementen" des Euklids gegeben, doch spannt sich der Bogen auch zu Kunstwerken, Briefmarken, Werbekampagnen und Anekdoten sowie einem Drama rund um die Person Pythagoras und des nach ihm benannten Lehrsatzes. Allerdings ist der Abschnitt, der sich mit Geldscheinen mit den Konterfeis von Mathematikern beschäftigt, wohl in absehbarer Zeit wegen der Einführung des Euro geringfügig umzuschreiben. In diesem ersten Kapitel wird auch versucht, ein Bild von der Person Pythagoras zu zeichnen, dieses mündet allerdings bei dem Eingeständnis, dass man eigentlich gar nichts so richtig weiß (was aber auch nicht verwundert).
Im zweiten Kapitel werden verschiedene Varianten zur Entstehungsgeschichte des Lehrsatzes dargestellt - gespickt mit Gedicht(fragment)en aber auch Ausführungen zu potenziellen Quellen im alten Ägypten und den Babyloniern.
Das dritte Kapitel ist den verschiedenen Beweisideen gewidmet, wobei hier etliche in anderem Zusammenhang bekannte Persönlichkeiten zitiert und deren Auseinandersetzung mit dem Lehrsatz des Pythagoras dargestellt werden. Hierzu zählen u. a. Arthur Schopenhauer, Leonardo da Vinci, James A. Garfield (20. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika), Abraham Lincoln und Albert Einstein. Dieser Teil ist zwar reich mit geometrischen Figuren illustriert, doch bleibt der Charakter des Lesebuchs auch hier erhalten.
Das vierte Kapitel stellt Beziehungen zwischen Pythagoras und anderen Persönlichkeiten wie Thales, Ptolemäus, Kopernikus, Kepler und Fibonacci her und lässt dabei auch fiktive Begegnungen zu. Hierbei werden auch Zusammenhänge mit anderen mathematischen Sätzen nachvollziehbar dargestellt. Nebenbei erfährt man auch, woher die heute verwendeten Begriffe "Winkelminute" und "-sekunde" ihren Ursprung haben.
Letztlich bilden Verallgemeinerungen des Satzes des Pythagoras das letzte Kapitel dieses Buches. Hier wird zwar die Mathematik mehr in den Vordergrund gestellt, doch wirkt sie nicht erschlagend.

Das Buch ist für alle interessant, die sich nicht nur für die nackte Aussage des Satzes des Pythagoras interessieren, sondern auch gerne ein bisschen links und rechts schauen. Das Buch ist liebevoll geschrieben. Allerdings bedarf es für den Ungeübten einiger Auseinandersetzung mit den Feinheiten der Ausführungen - da werden z. B. schon mal Winkel im und gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Es haben sich auch einige wenige kleinere Fehler in den Formeln eingeschlichen, doch kann man inhaltlich den Ausführungen gut folgen.

(Rezension: Wolfgang Volk)

Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit
Logisches Denken und Zufall

Hans-Peter Beck-Bornholdt, Hans-Hermann Dubben
rororo; Auflage: 5 (1. Juni 2005), 224 Seiten, Taschenbuch, 8,95 €

ISBN-10: 3499619024
ISBN-13: 978-3499619021

Die beiden Autoren sind quer durch die Mathematik auf die Suche nach Phänomenen gegangen, bei denen unsere naive Erwartung mit den beweisbaren Tatsachen nicht übereinstimmt: Die Evolution hat uns in vielen Fällen dafür schlecht vorbereitet.

Beispiele dafür sind gar nicht so selten, besonders zahlreich sind sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen. Hier einige Beispiele (die alle in diesem Buch auch aufgegriffen werden):

• Wir sind nicht gut darin, bedingte Wahrscheinlichkeiten umzukehren. Es ist wirklich erstaunlich, dass die Wahrscheinlichkeit, wirklich krank zu sein, nach einem positiven Test überraschend gering sein kann.
• Mehr Stau durch mehr Straßen (das Braesssche Paradoxon)
• Die Anfangsziffern in einer Tabelle sind nicht gleichmäßig verteilt, die Eins ist am Häufigsten, am Zweihäufigsten ist die Zwei usw. (das Benfordsche Gesetz)
• Beim Ziegenproblem haben sich sogar Profi-Mathematiker geirrt.
• Über nur wenige Zwischenstationen kennt jeder jeden in dieser Welt.

Alle Probleme wurden in kleine Geschichten verpackt und in einem betont lockeren Stil behandelt. Das Buch ist allen zu empfehlen, die sich über den mathematischen Hintergrund einiger typischer mathematischer Paradoxien informieren wollen.

Rezension: E. Behrends (FU Berlin)

Music and Mathematics
From Pythagoras to Fractals

John Fauvel, Raymond Flood, Robin Wilson (Hrsg.)
Oxford University Press (2006), 200 Seiten, 28,99 €

ISBN: 13978-0199298938

Am diesjährigen Ostermontag holte ich wieder einmal – nach langer Zeit – meine alte Gitarre aus der Wohnzimmerecke und begann sie zaghaft zu bespielen. Doch etwas unterschied sich von den Malen zuvor. Zwei Approximationsprobleme, der ich mir im Zusammenhang mit der Gitarre nie offensichtlich bewusst war, lagen plötzlich vor mir, real in meinen Händen: Wie lässt sich die Funktion x2x von der Form \({x}\mapsto\frac{ax + b}{cx + d}\) approximieren oder  \(\sqrt [12]{2}\)  rational annähern? Ob sich diese Fragen der schwedische Handwerker Daniel Strähle stellte, als er 1743 eine wunderschöne geometrische Methode zur Anordnung der Bünde (engl. frets) auf dem Griffbrett einer Gitarre publizierte, sei an dieser Stelle zunächst ungeklärt gelassen.

Mit der vor kurzem bei Oxford University Press erschienenen Paperback-Auflage von „Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals“ gelang es John Fauvel, Raymond Flood und Robin Wilson, ihreszeichens allesamt Mathematiker, eine äußerst lesenswert kurzweilige Sammlung über das Wesen der Verbindung von Musik und Mathematik zusammen zu bringen. Steckt Musik hinter Mathematik und Mathematik hinter Musik? Fauvel, Flood und Wilson schufen kein fundamentales Lehrwerk zu dieser Thematik, vielmehr riefen sie neben weiteren Musikern, Mathematikern, Physikern und Historikern eine facettenreiche Sammlung von zehn Artikeln ins Leben, die sich im Kleinen jeder einzelne aus der Sichtweise seines Autors mit der Materie Mathematik und Musik beschäftigt und auf äußerst gelungene Weise im Großen zu einem Gesamtwerk zusammenfindet.

Nach einer kurzen Tour d’Histoire von Susan Wollenberg findet sich der Leser in der von Neil Bibby zusammengestellen – auch für musiktheoretisch interessierte Laien gut lesbaren – Entwicklungsgeschichte „Tuning and temperament: closing the spiral“ der Skalen von den Pythagoräern bis in die heutige Zeit und erfährt indirekt, warum die Pythagoräer mit den heutigen Klavieren sicherlich ihre Probleme gehabt hätten. Entourant wird man von J.V. Field in sein mit vielen historischen Skizzen versehenes „Musical cosmology: Kepler and his readers“ begleitet, findet sich in Keplers Welt der Planeten wieder und erfährt von deren kosmischer Kompositionskraft. An dieser Stelle sei angemerkt, dass es mit diesem Buch gelungen ist, die informativen Texte visuell mit einer ausgewogenen Anzahl von Abbildungen in jeder Hinsicht zu bereichern. In Charles Taylors „The science of musical sound“ werden Fragen vom Entstehen der Töne, über den Unterschied von Musik und Lärm bis hin zur Wahrnehmung elektronischer Töne, beispielweise der der Hammond-Orgel, beantwortet. Schon aus der Einleitung dieser Rezension können Sie schließen, dass „Faggot’s fretful fiasco“ von Ian Steward zu meinem Lieblingskapitel avancierte. Stewart führt den Leser in amüsanter Manier durch die Geschichte des (uns schon bekannten) Daniel Strähle sowie dem ebenfalls aus Schweden stammenden Geometer und (in die heutige Zeit übertragen) Betriebswirtschaftler Jacob Faggot, einem Gründungsmitglied der Schwedischen Akademie der Wissenschaften. Möchte man auf einer Gitarre eine gleichtemperierte 12-Ton-Notenskala spielen, lässt sich die rationale Annäherung von \(\sqrt [12]{2}\) als Verhältnis für die Anordnung der Bünde nicht umgehen. Faggots Versuch, die von Strähle veröffentlichte geometrische Konstruktionsmethode mittels eigener Publikation zu widerlegen, endete in einem wahrhaften „fretful fiasco“ (dt. „ärgerliches Fiasko“): Faggot – der Mathematiker – hatte sich schlichtweg bei der elementaren Berechnung eines Winkels vertan. Interessanterweise stellt sich heraus, dass des Handwerkers Strähles Konstruktion aus heutiger Sicht gleich zwei Approximationsaufgaben optimal löst. Nach David Fowlers „Helmholtz: combinational tones and consonance“ verlässt der Leser den mathematisch-physikalisch dominierten Teil des Buches, um sich mit der mathematisch-geometrischen Struktur von Musik, insbesondere notierter Musik, wie etwa in Wilfrid Hodges „The geometry of music“ zu beschäftigen. Hier steht der Begriff „Raum“ in der Musik und dessen Symmetrien im Mittelpunkt. Gruppentheoretiker werden mit „Ringing the changes: bells and mathematics“ von Dermot Roaf und Arthur White ihre wahre Freude haben, mehr sei an dieser Stelle nicht verraten. Wie aus Zahlen und magischen Quadraten musikalische Meisterwerke entstehen, erläutert Jonathan Cross in „Composing with numbers: sets, rows and magic squares“. Die letzten zwei Artikel des Buches sind der Sicht des Komponisten gewidmet. Nach Carlton Gamer und Robin Wilsons „Microtones and projective planes“ erfährt der Leser in „Composing with fractals“ von Robert Sherlaw Johnson, dass sich neben Fraktalen auch aus rekursiv definierten Folgen, wie zum Beispiel der chaotisch von a, b und c abhängenden Vektorfolge  \((x_{n+1},y_{n+1})=(y_n-sign(x_n)\sqrt{\vert {bx_n-c}\vert}, a-x_n)\) in der Ebene, ganze Kompositionen ableiten lassen.

Mit Music and Mathematics: From Pythagoras to Fractals ist den Herausgebern der Versuch einer ganzheitlichen Betrachtungsweise des Gebildes „Musik und Mathematik“ hervorragend gelungen. Sicherlich nicht nur Musiker und Mathematiker werden beim Lesen dieses Werkes einen wahren Genuss empfinden.

Rezension: Oliver Novak, Braunschweig

Quelle: Springer Verlag, Mathematische Semesterberichte, Oktober 2007, Band 54, Heft 2, S. 241
Mit freundlicher Genehmigung des Verlags

Nullen machen Einsen groß
Mathe-Tricks für alle Lebenslagen

Holger Dambeck
KiWi-Taschenbuch (20. Juni 2013), 8,99 €

ISBN-10: 3462045113
ISBN-13: 978-3462045116

„Mathe-Tricks für alle Lebenslagen“ verheißt der Untertitel des Taschenbuchs von Holger Dambeck. Der Text auf dem rückseitigen Buchdeckel verstärkt das noch: „praktische Mathe-Tipps und -Tricks, die uns im Alltag verblüffend hilfreich sein können“. Ob sich die durch solche Versprechungen geweckten Erwartungen beim Käufer des Buches erfüllen?

Nein, das tun sie nicht. Diese Ankündigungen sollen sicher den Kaufanreiz stärken, enttäuschen aber nach der Lektüre in dieser Hinsicht. Trotzdem sind mehrere Teile des Buches sehr reizvoll.

Mit dem Binden von Schleifen an Schuhen beginnt ein Kapitel (und hier wird in der Tat der einzige hilfreiche Trick verraten, mit dem solche Schleifen besser gebunden werden können), das ein wenig über die Mathematik der Knoten vermittelt und schließlich die 85 möglichen Knotenarten beim Binden einer Krawatte vorstellt.

Zahlenspielereien, die wie Zauberei erscheinen, sind sicher für viele beeindruckend: das Ziehen dritter Wurzeln, das Rechnen mit Kalenderdaten und zugehörigen Wochentagen, das Vorhersagen des Ergebnisses bei langen Rechnungen mit unbekannter Startzahl und Tricks mit der Quersumme verblüffen jeden, der die dahinter steckende Mathematik nicht kennt.

Ebenso finden Zaubertricks, die auf mathematischen Grundlagen beruhen, mit Sicherheit bei vielen großes Interesse: Würfel, Dominosteine und Spielkarten werden dabei benutzt.

Wenn die genannten Themen auch nicht gerade „im Alltag verblüffend hilfreich“ sind, bringen sie dem Leser doch Amüsantes und Überraschendes.

Für die anderen Teile des Buches gilt das meiner Ansicht nach aber nicht unbedingt, die dürften eher etwas für Freunde spezieller Rechentechniken sein.

Drei Kapitel befassen sich damit, wie man Additionen und vor allem Multiplikationen von ein- und mehrstelligen Zahlen abkürzen und häufig das Ergebnis schnell aufschreiben kann. Insbesondere wird ein spezielles Verfahren, die sogenannte Trachtenberg-Methode, auf 30 Seiten vorgestellt und an vielen Beispielen vorgerechnet. Der Verfasser des Buches glaubt, „das Trachtenberg-System ist in erster Linie etwas für Liebhaber“. Meiner Ansicht nach trifft das für alle drei Kapitel zu, die sich mit Methoden beschäftigen, die die traditionell in der Schule gelehrten schriftlichen Rechenverfahren abkürzen. Während letztere allgemeingültig sind, gelten die hier vorgestellten jeweils nur unter bestimmten Voraussetzungen, die man – will man sie spontan anwenden – alle im Gedächtnis haben muss. Entscheidender aber: Wer hat daran noch ein Interesse im Zeitalter moderner und nahezu überall zugänglicher technischer Hilfen für das Rechnen? Doch wohl wirklich nur spezielle Mathe-Liebhaber oder Rechen-Freaks.

Vielleicht sind das Trachtenberg-System und die anderen Rechen-Tricks geeignet zur Untersuchung durch Studenten der Grundschulmathematik. Einerseits könnten sie den Hintergrund dieser Tricks mathematisch begründen, andererseits könnten sie solche Kenntnisse im differenzierenden Unterricht interessierten Schülern beibringen.

Erfreulich sind die fünf Aufgaben, mit denen jedes Kapitel schließt und zu denen die ausführliche Lösung im Anhang abgedruckt ist. Ein Verzeichnis mit den einzelnen Kapiteln zugeordneten Quellen – viele davon als Internetadressen – ist sehr hilfreich für jeden, der weiter in die Themen eindringen will.

Rezension: Hartmut Weber (Uni Kassel)

Numerator
Mathematik für jeden

Holger Dambeck
Goldmann Verlag, 2009, mit Abbildungen 7,95 €

ISBN 344215572X

Die Leser von Spiegel-ONLINE finden Mathematik spannend. Das zumindest suggerieren die hohen Zugriffszahlen der Numerator-Kolumne, in der Holger Dambeck seit 2006 Erkenntnisse und Einsichten der Forschung unterhaltsam schildert.

Zusammengefasst sind die Texte nun in seinem Buch „Numerator – Mathematik für jeden“ erschienen. In 31 abwechslungsreichen Artikeln berichtet er von kuriosen, lustigen, interessanten und aufschlussreichen Fakten – über das Bauchrechnen und unser natürliches Gefühl für Zahlen, über die Besonderheit der Zahl 23 und das Mysterium Pi. Er erklärt wie das Handwerk von Rechenkünstlern funktioniert und fragt nach geheimen Botschaften in Bachs Sonaten. Für alle, die gern knobeln, finden sich mathematische Rätsel mit Lösung im Anhang.

Wortgewandt versteht es der Autor, mathematische Zusammenhänge so zu schildern, dass der Leser sie versteht, auch ohne Mathematik studiert zu haben – selbst dann, wenn hohe Mathematik dahinter steckt.

Rezension: Anne Wendt in Mitteilungen der DMV 18-3, S. 138-139 PDF, 143 KB (Herbst 2010)